江苏南通启东市吕四中学2020届高三数学下学期第一次质量检测试题（Word版带答案）

吕四中学高三下学期第一次质量检测 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．设集合 A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1 ， ， 1( ) ( ) 12f x f x+ − >接下来 的三项是 20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整 数幂.那么该款软件的激活码是▲． 13．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是▲． 14．设函数的定义域为 R，满足，且当时，．若对任意，都有，则 m 的取值范围是▲． 二、解答题：本大题共 6 小题, 共计 70 分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分）已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围． 16.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点， AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 17.（本小题满分 15 分）已知函数 ， ， ． （1） ， ，求 值域； （2） ，解关于 x 的不等式 ． 2( ) 1f x x= − ( ) 1g x a x= − ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 2a = [ ]0,3x∈ ( )F x 0a > ( ) 0F x ≥18．（本小题满分 15 分）如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形 组成，交通部门拟在 隧道顶部安装通风设备（视作点 ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点 处使用钢管垂 直向下吊装以外，再在两侧自 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽 ，设备要求 安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为 . （1）①设 ，将 表示为关于 的函数； ②设 ，将 表示为关于 的函数； （2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？ 19.（本小题满分 16 分） 在数列 中，已知 ， ． （1）若 （k 为常数）， ，求 k； （2）若 ．①求证：数列 为等比数列；②记 ，且 数列 的前 n 项和为 ，若 为数列 中的最小项，求 的取值范围． ABCD P Q ,A B 8AB cm= L PQ x= L x PAB θ∠ = L θ { }na 1 2a = 1 3 ( )n na a f n+ = + ( )f n k= 3 14a = ( ) 2 1f n n= − { }na n+ (1 )n nb a nλ= + − { }nb nT 3T { }nT λ20. (本小题满分 16 分) 已知函数 (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)设函数 若 ，且 在 上恒成立，求 的取值 范围； (3)设函数 ，若 ，且 在 上存在零点， 求 的取值范围. 2( ) ( 1) , ( ) ln ( , )f x x a x a g x x b x a b R= + + − = − ∈ 2b = ( )g x ( ), 1( ) ( ), 1 f x xh x g x x ≤=  > 0a b+ = ( ) 0h x ≥ R b ( ) ( ) ( )u x f x g x a= − + 2a b+ ≥ ( )u x (0, )+∞ b高三数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.2.充分不必要条件 3. 4. 5.1010.16.27.=3-2n8. 9.10.[1,2) 11. 12.44013.14. 二、解答题：本大题共 6 小题, 共计 70 分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解　由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S⊆P. （1）当 S= （2）当 S 则Error! ∴当 m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取值范围是[,3]． 16.解：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 ED∥AB. 在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB∥A1B1， 所以 A1B1∥ED. 又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1， 所以 A1B1∥平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC−A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 1 4 a c b< < 1 ,4  − +∞   ⊄因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E. 17.1） ………2 分 ， ……………………………4 分 ， ……………………………6 分 所以 的值域为 ……………………………7 分 （2） ……………………………9 分 ， ， ，令 ①当 时， ，所以 或 ，即： 或 ②当 时， ，所以 或 ，即： ， ， 得： 或 ……………………13 分 综上：当 时不等式 的解为： 或 或 当 时不等式 的解为： 或 ……………………15 分 18．解（1）延长 交 于点 ，则 ，且 为 的中点， 所以 ，由对称性可知， . ①若 ，则 ， ， 在 中， ， 所以 ， ②若 ，则 ， 在 中， ， ， 所以 ， 2 2 2 2 1(1 3)( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3(0 1) x x xF x f x g x x x x x x  − + ≤ ≤= − = − − − =  + − ≤ 1x a≤ − − 1x ≥ 1x a⇒ ≤ − − 2a ≥ ( ) 0F x ≥ 1x a≤ − − 1x = 1x a≥ − 0 2a< < ( ) 0F x ≥ 1x a≤ − − 1x ≥ QP AB E ⊥QE AB E AB 1 42EA EB EQ AB= = = = PA PB= PQ x= 0 4x< < 4EP x= − Rt PAE∆ ( )22 2 4 16PA PE AE x= + = − + ( ) ( )22 2 4 16 0 4L PQ PA x x x= + = + − + < < PAB θ∠ = 0 4 πθ< < Rt PAE∆ 4 cos cos AEPA θ θ= = tan 4tanPE AE θ θ= = 4 4tanPQ QE PE θ= − = −所以 . （2）选取②中的函数关系式， ， 记 ， 则由 及 可得， ， 当 时 ，此时 单调递减， 当 时 ，此时 单调递增， 所以当 时， 取得最小值， 从而钢管总长度为 取得最小值，即所用的钢管材料最省. 19.解： （1）k 的值为﹣1； （2）① ② 4 2 sin2 4 4tan 2 4 4 0cos cos 4L PQ PA θ πθ θθ θ −  = + = − + × = + × <