2020 年高三质量调查试卷
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120
分钟.
参考公式:
如果事件 互斥,那么 .
如果事件 相互独立,那么 .
柱体的体积公式 ,其中 表示柱体的底面面积, 表示柱体的高.
锥体的体积公式 ,其中 表示锥体的底面面积, 表示锥体的高.
第 I 卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号.
2.本卷共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 ,若 (i 是虚数单位),则复数 是
A. B. C. D.
2.设 ,则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知函数 .若曲线 在点 处的切线与直线
平行,则实数
A. B. C.
D.1
4.在 中, , , ,以边 所在的直线为轴,将 旋转
BA, )()()( BPAPBAP +=
BA, )()()( BPAPABP =
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
,a b∈ R i2i i
ba
+− = ia b+
1 2i− 1 2i+ 2 i− 2 i+
∈θ R 2 2
π πθ − < sin 0θ >
( ) 2ln= + −f x x x ax ( )y f x= ( )( )1, 1f
y = 2x =a
7
2 2 3
2
∆ABC 90∠ = °B 3=AB 4=BC BC ∆ABC一周,所成的曲面围成的几何体的体积为
A. B. C. D.
5.为普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取
部分学生参加环保知识测试,这些学生的成绩(分)
的频率分布直方图如图所示,数据(分数)的分组
依次为 , , , .
若分数在区间 的频数为 ,则大于等于 分的人数为
A. B. C. D.
6.已知函数 .若 , , ,则 ,
, 的大小关系为
A. B. C. D.
7.已知函数 ( )的最小正周期为 ,其图象关于直线
对称.给出下面四个结论:①将 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数
图象关于原点对称;②点 为 图象的一个对称中心;③ ;④
在区间 上单调递增.其中正确的结论为
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
8.设双曲线 的两条渐近线与圆 相交于 , , ,
四点,若四边形 的面积为 ,则双曲线的离心率是
A. B.
C. 或 D.
9.在等腰梯形 中, , , , .若 为线段
36π 12π 36 12
[ )20,40 [ )40,60 [ )60,80 [ ]80,100
[ )20,40 5 60
15 20 35 45
( ) 2 5= +xf x x 1
3
1log 2a f
=
( )3log 5b f= ( )0.26c f= a
b c
> >a b c > >a c b > >c a b > >c b a
( ) ( )sin= +f x xω ϕ 0, 2
> < πω ϕ π
6
=x
π ( )f x 6
π
5 012
,π ( )f x 1
4 2
= f
π
( )f x 0 6
,π
2 2
2 2 1− =x y
a b
( )0> >a b 2 2 10+ =x y A B C D
ABCD 12
10
3
10
10 10
3
2 10
ABCD AB // CD 60∠ = °BAD 8=AB 4=CD M BC
o 40 60 80 20
0.02
100
0.015
0.01
a
分成绩/
频率
组距的中点, 为线段 上一点,且 ,则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上.
2.本卷共 11 个小题,共 105 分.
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分;答题直接填写结果,不必写计算或推证
过程.
10.已知集合 , ( ),且 ,则 ▲ .
11.在 的展开式中, 项的系数为 ▲ (用数字作答).
12.设 ,若 与 的等差中项是 ,则 的最大值是 ▲ .
13.已知圆 ,过点 的直线 L 与 相交于 , 两点,且
,则 L 的方程为 ▲ .
14.天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答 个问
题,且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对 1 个问题,得 1 分;答
错,得 分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给
出的 个问题,教师甲答对的概率分别为 .若教师甲恰好答对 个问题的概率是 ,
则 ▲ ;在前述条件下,设随机变量 表示教师甲答对题目的个数,则 的数学
期望为 ▲ .
15.已知函数 若存在 使得关于 的不等式 成立,
则实数 的取值范围是 ▲ .
三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分;解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.
16.(本小题满分 14 分)
在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 ,
E CD 27⋅ = AM AE ⋅ = DM DE
15 10 20
3 5
{ }2,2= mA { },=B m n ,m n∈ R 1
4
= A B =A B
5
21 2
− x
x
5x
0, 0> >a b a 2b 2 2 2log 2log+a b
:C ( ) ( )2 21 1 16x y+ + − = ( )2,3P − C A B
2 11AB =
3
0
3 3 1, ,4 2 p 3 1
4
p = X X
( ) 2 0,
2 0.
x x xf x
x x
− ≤= >
,
,
x∈ R x ( ) 1f x ax≤ −
a
∆ABC A B C a b c sin sin2
+ =A Ba c A, .
(1)求角 的大小; (2)求 的值.
17.(本小题满分 15 分)
如图,在三棱柱 中,四边形 , 均为正方形,且 ,
为 的中点, 为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的正弦值;
(3)设 是棱 上一点,若直线 与平面
所成角的正弦值为 ,求 的值.
18.(本小题满分 15 分)
已知抛物线 的焦点为椭圆 ( )的右焦点, 的
准线与 交于 , 两点,且 .
(1)求 的方程;
(2)过 的左顶点 作直线 L 交 于另一点 ,且 ( 为坐标原点)的延长线交 于
点 ,若直线 的斜率为 1,求 L 的方程.
19.(本小题满分 15 分)
设 是等比数列, 是等差数列.已知 , , , .
(1)求 和 的通项公式;
(2)设 其中 ,求数列 的前 项和.
20.(本小题满分 16 分)
已知函数 在 处取得极值 ,函数
7=c 2 3=a b
C ( )sin −C B
1 1 1
−ABC A B C 1 1ABB A 1 1BB C C 1 1 1 1
⊥A B B C
M 1CC N 1A B
MN // ABC
1
− −B MN B
P 1 1B C PM
1MNB 2
15
1
1 1
B P
B C
:C 2 4 2=y x :E
2 2
2 2 1+ =x y
a b
0> >a b C
E P Q 2=PQ
E
E A E B BO O E
M AM
{ }na { }nb 4 8a = 3 2 2a a= + 1 2b a= 2 6 5b b a+ =
{ }na { }nb
2 1 2 1
2
2 1,
+1 2 ,
m m
n
m
a b n mc b n m
− − = −= =
,
, m∈ N∗ { }nc 2n
( ) ln 1( )f x x m x m= − − ∈R 1x = A ( ) ( )g x f x= +
A1
A
B C
M
C1
1
B1
1
N
P,其中 是自然对数的底数.
(1)求 的值,并判断 是 的最大值还是最小值;
(2)求 的单调区间;
(3)证明:对于任意正整数 ,不等式 成立.
数学试卷参考答案
一、选择题:(本大题共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D B C D C A D
二、填空题:(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
10. 11. 12.
13. 14. ; 15.
三、解答题:(本大题共 5 个小题,共 75 分)
16.解:(1)由题设及正弦定理,得 .…………………1 分
在 中,因为 ,所以 .………………………2 分
由于 ,从而 ,
1xe x− − 2.71828e =
m A ( )f x
( )g x
n 2
1 1 11 1 12 2 2n e + + +
2, Bx−
2
2
8 42 = 2 1B
kx k
−− × +
2
2
2 4
2 1B
kx k
−= +
( ) 2
2 2
2 4 42 22 1 2 1B B
k ky k x k k k
−= + = + = + +
,B M E ,B M O
( ),B BM x y− −
2
2 2
2 4 4,2 1 2 1
k kM k k
−− − + +
1AMk = 2
2
2
4
2 1 12 42+ 2 1
k
k
k
k
+ =−− +
1
2k = −
( )1 22y x= − + 2 2 0x y+ + =
E ( )2,0A − AM
AM 2y x= +
2 2
2,
1.4 2
y x
x y
= + + =
y 23 8 4 0x x+ + =
2x = − 2
3x = −
M 2
3Mx = − 2− A
M 4
3My = 2 4,3 3M −
,B M E ,B M O所以点 的坐标为 ,所以 .………………………………14 分
所以直线 的方程为 ,
即所求直线 L 的方程为 .…………………………………………15 分
19.解:(1)设等比数列 公比为 ,由 ,
得 消去 并整理,得 ,………………………2 分
解得 ,从而 .
所以 ; ……………………………………………………………………3 分
设等差数列 的公差为 ,由 , ,
得 …………………………………………………………………5 分
解得 .
所以 . …………………………………………………6 分
(2)由(1)及题意,得 其中 . ………………8 分
①当 为奇数时,不妨设数列 的前 项和为 ,
所以 ,
即 , …………………………9 分
所以 .
上述两式相减,得
, …………11 分
B 2 4,3 3
−
1
2ABk = −
AB ( )1 22y x= − +
2 2 0x y+ + =
{ }na q 4 3 28, 2a a a= = +
3
1
2
1 1
8,
2
a q
a q a q
= = + , 1a 2 4 4 0q q− + =
2q = 1 1a =
12n
na −=
{ }nb d 1 2b a= 2 6 5b b a+ =
1 2,
4 6 16
b
d
=
+ = ,
1 2, 2b d= =
( )2 1 2 2nb n n= + − × =
2 2 1,
2 1 2 ,
n
n
n n mc
n n m
⋅ = −= + =
,
, m N ∗∈
n { }2nn⋅ n S奇
1 3 5 2 1nS c c c c −= + + + +奇
( )3 5 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 nS n −= × + × + × + + − ×奇
( ) ( )3 5 7 2 1 2 14 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n nS n n− += × + × + × + + − × + − ×奇
( )3 5 2 1 2 13 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n nS n− +− = + × + × + + × − − ×奇
( ) ( )
4 1
2 1 2 12 1 4 5 6 102 2 1 2 21 4 3 3
n
n nnn
−
+ +
− −= + − − × = × −−所以 . ………………………………………………12 分
②当 为偶数时,易得,数列 前 项和为
.………………14 分
设{Cn}的前 2n 项和为 T2n
则
.………………………………………15 分
20.解:(1)因为 ( ),
所以 ( ). ……………………………………………1 分
因为 是 的极值点,所以 ,
即 ,所以 . …………………………………………………………2 分
此时 , ,( ).
易得,当 时, ;当 时, ,
所以函数 在区间 上单调递减;在区间 上单调递增,………4 分
所以函数 在 处的极值 是最小值.…………………………………5 分
(2)由(1)知, ,所以 ,且 .
所以 . ……………………………………………………………6 分
设 ( ),则 . ……………………7 分
显然,当 时, 恒成立,
S =奇
2 16 5 1029 9
nn +− × +
n { }2 +1n n
( ) ( ) 25 4 1=5 9 13 4 1 2 32
n nS n n n
+ + + + + + + = = +偶
2nT S S= +奇 偶
2 1 26 5 102 2 39 9
nn n n+−= × + + +
( ) ln 1f x x m x= − − ( )0,x∈ +∞
( ) 1 mf x x
′ = − ( )0,x∈ +∞
1x = ( )f x ( )1 0f ′ =
1 01
m− = 1m =
( ) ln 1f x x x= − − ( ) 1 11 xf x x x
−′ = − = ( )0,x∈ +∞
0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
( )f x 1x = A
1m = ( ) 1 ln 1xg x e x−= − − ( )0,x∈ +∞
( ) 1 1xg x e x
−′ = −
( ) 1 1xh x e x
−= − ( )0,x∈ +∞ ( ) 1
2
1xh x e x
−′ = +
0x > ( ) 0h x′ >所以函数 在 上单调递增,且 .………………………9 分
所以,当 时, ,即 ;
当 时, ,即 .
所以,函数 的单调递减区间为 ;单调递增区间为 . ………11 分
(3)证明:由(1)可知,
当 时, ,即 .………………………………12 分
不妨令 ( ),
则有 ( ).……………………………………………13 分
所以 ,
即 .…………………………………15 分
因为函数 在区间 上单调递增,
所以 (得证). …………………………………16 分
( )h x ( )0,x∈ +∞ ( )1 0h =
0 1x< < ( ) 0h x < ( ) 0g x′ <
1x > ( ) 0h x > ( ) 0g x′ >
( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
1x > ( ) ( )1 0f x f> = 1 lnx x− >
11 2nx = + n∈ N∗
1 1ln 1 2 2
+