2020 届高三下学期第三次（5 月）模拟检测卷
理科数学
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.已知集合 ， ，则
A. B. C.
D.
2.欧拉公式 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论
里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复
平面中的
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
3.一次考试中，某班学生的数学成绩 近似服从正态分布 ，则该班数学成
绩的及格率可估计为（成绩达到 分为及格）（参考数据： ）
A. B. C.
D.
4.已知圈 经过原点 且圆心在 轴正半轴上，经过点 且倾斜角为 的直线 与
圆 相切于点 ，点 在 轴上的射影为点 ，设点 为圆 上的任意一点，则
A. B. C.
D.
5.若 ，其中 ，则
A. B.
C. D. 6.《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略
矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近
似表示 ，当内方的边长为 5 时， 外方的边长为 ， 略大于 7．如图所示，在
外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一
丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三
个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小
正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为
A. 40 B. 43 C. 46 D. 47
8.若 的展开式中 的系数为 80，其中 为正整数，则 的展开式中
各项系数的绝对值之和为
A. 32 B. 81 C. 243
D. 256
9.已知实数 x，y 满足 ，如果目标函数 的最小值为 ，则实数
A. 7 B. 5 C. 4
D. 1
10.关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和
查理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计 的值 如图 若电脑输出的
( )1 2 nx
x
− 3x n
( )1 2 nx
x
−的值为 29，那么可以估计 的值约为
A. B. C.
D.
11.函数 的图象大致为
A. B. C. D. 12.已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ，以线段 为直径
的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，该双曲线的离
心率为 ，则
A. 2 B. 3 C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
14. 数 列 满 足 ： ， ， ， 令
，数列 的前 项和为 ，则 __________．
15.已知三棱柱 的底面是正三角形，侧棱 底面 ABC，若有一半径
为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则 的长度为______．
16.已知函 是奇函数， ，且 与 的图象的交点为 ，
， ， ，则 ______．
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
{ }na ( ) ( )2 11 2 1 1n n nna n a n a+ ++ + = + − 1 1a = 2 6a =
•cos 2n n
nc a
π= { }nc n nS 4nS =17. （本小题满分 12 分）
已知 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 .
18. （本小题满分 12 分）
已知四棱锥中 ，底面 为菱形， ， 平面 ， 、 分
别是 、 上的中点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 在 上移动.
（Ⅰ）证明：无论点 在 上如何移动，都有平面 平面 ；
（Ⅱ）求点 恰为 的中点时，二面角 的余弦值.
19. （本小题满分 12 分）
已知 是抛物线 上不同两点.
（1）设直线 与 轴交于点 ，若 两点所在的直线方程为 ，且
直线 恰好平分 ，求抛物线 的标准方程.
（2）若直线 与 轴交于点 ，与 轴的正半轴交于点 ，且 ，是否
存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，
请说明理由.
20. （本小题满分 12 分）
某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 实验地分别用甲、
乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 株，对每
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin 3 cos 3a B b A C+ =
B
ABC∆ 7 3 , 43,4 b a c= > ,a c
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2: 2 ( 0)C x py p= >
: 4
pl y = y M ,A B 1y x= −
: 4
pl y = AFB∠ C
AB x P y Q
2
1 2 4
py y =
AB 1 1 3
PA PB PQ
+ = AB株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合
评分为 及以上的花苗为优质花苗.
求图中 的值，并求综合评分的中位数.
用样本估计总体，以频率作为概率，若在 两块试验地随机抽取 棵花苗，求
所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
填写下面的列联表，并判断是否有 的把握认为优质花苗与培育方法有关.
附：下面的临界值表仅供参考.
（参考公式： ，其中 .）
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 在 处取得极小值.
（1）求实数 的值；
（2）设 ，其导函数为 ，若 的图象交 轴于
两 点 且 ， 设 线 段 的 中 点 为 ， 试 问 是 否 为
的根？说明理由.
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
( ) lnf x ax x x= + 2x e−=
a
( ) ( ) ( )2 2 lnF x x x x f x= + − − ( )F x′ ( )F x x
( ) ( )1 2,0 , ,0C x D x 1 2x x< CD ( ),0N s s
( ) 0F x′ =在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立
极坐标系，曲线 的参数方程为 为参数).
(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 得到曲线 ，设
为曲线 上任一点，求 的最小值，并求相应点 M 的直角坐标.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 （ ）.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
xOy O x
C 1{ (x cos
y sin
θ θθ
= +
=
C
C 2{x x
y y
=′
′ = C′ ( ),M x y
C′ 2
234
x xy y− −
( ) 1
1f x x a x a
= − + + + 1a > −
( ) 1f x ≥
( )1 2f < a参考答案
1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8.C 9.B 10.A
11.A 12.D
13.
14.
15.
16.
17.（1） （2） .
解析：（1）由已知 ，
结合正弦定理得> ，
所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）由 ，得 ，即 ，
又 ，得 ，
所以 ，又 ，∴ .
18.（Ⅰ）连接
∵底面 为菱形， ，
∴ 是正三角形，
∵ 是 中点，∴
又 ，∴
∵ 平面 ， 平面 ，
3
π
216 6n n+
3B
π= 7{ 1
a
c
=
=
3 3asinB bcosA sinC+ =
3 3sinAsinB sinBcosA sinC+ =
( ) ( )3 3 3sinAsinB sinBcosA sin A B sinAcosB sinBcosA+ = + = +
3sinAsinB sinAcosB= 3tanB =
( )0,B π∈
3B
π=
1 ,2 3ABCS acsinB B
π
∆ = = 3 7 3
4 4ac = 7ac =
( )22 2 2b a c ac accosB= + − − ( ) ( )2 243 2a c ac ac= + − −
7{ 8
ac
a c
=
+ = a c> 7{ 1
a
c
=
=∴ ，又
∴ 平面 ，又 平面
∴平面 平面 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ， ， 两两垂直，以 ， ， 所在直线分别为 轴，
轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ 平面 ，
∴ 就是 与平面 所成的角，
在 中， ，即 ，
设 ，则 ，得 ，
又 ，设 ，则 ，
所以 ，
从而 ，∴ ，
则 ， ， ， ， ，
， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 一个法向量，则
取 ，得
又 平面 ，∴ 是平面 的一个法向量，
∴
∴二面角 的余弦值为 .
19.（1） （2） 方程为 ．
（1）设 ，由 ，消去 整理得 ，
2 8x y= AB 1
2 2
py x= ± +
( ) ( )1 1 2 2
pA x , y ,B x , y ,M 0, 4
2x 2{
1
py
y x
=
= − y 2x 2px 2p 0− + =则 ， ∵直线 平分 ， ∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，满足 ，∴抛物线 标准方程为 ．
（2）由题意知，直线 的斜率存在，且不为零，
设直线 的方程为： ，
由 ，得 ， ∴ ，
∴ ，
∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ．
∴直线 的方程为： ．
假设存在直线 ，使得 ，即 ，
作 轴， 轴，垂足为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，由 ，得 ，
故存在直线 ，使得 ，直线 方程为 ．
2
1 2
1 2
4p 8 0
{ x x 2
x x 2
p
p
p
∆ = − >
+ =
=
py 4
= AFB∠ AF BFk k 0+ =
1 2
1 2
p py y4 4 0x x
− −
+ = 1 2
1 2
1 2 1 2
p px 1 x 1 x xp4 4 2 1 0x x 4 x x
− − − − + + = − + =
p 4= Δ 0> C 2x 8y=
AB
AB y kx b(k 0 b 0)= + ≠ >，
2{x 2
y kx b
py
= +
=
2x 2pkx 2pb 0− − =
2 2
1 2
1 2
4p k 8 0
{ x x 2
x x 2
pb
pk
pb
∆ = + >
+ =
= −
( )22 2
21 2
1 2 2
2pbx xy y · b2p 2p 4p
−= = =
2
1 2
py y 4
=
2
2 pb 4
= b 0> pb 2
=
AB py kx 2
= +
AB 1 1 3
PA PB PQ
+ = PQ PQ 3PA PB
+ =
AA x′ ⊥ BB x′ ⊥ A B′ ′、
1 2
1 2 1 2
p p
PQ PQ OQ OQ y yp2 2 ·PA PB AA BB y y 2 y y
++ = +′ = + =′
( ) 2
1 2 1 2y y k x x p 2pk p+ = + + = +
2
1 2
py y 4
=
2
2
2
PQ PQ p 2pk p· 4k 2pPA PB 2
4
++ = = + 24k 2 3+ = 1k 2
= ±
AB 1 1 3
PA PB PQ
+ = AB 1 py x2 2
= ± +20. 由 ，
解得
令得分中位数为 ，由 解得
故综合评分的中位数为
由 与频率分布直，优质花苗的频率为 ，即概率为 ，
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为 ，则 ，于是，
其分布列为：
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
结合 与频率分布直方图，优质花苗的频率为 ，则样本种，
优质花苗的颗数为 棵，列联表如下表所示：
可得
所以，有 的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
21.（1）∵
∴
由已知得 .
∴
∴ 在 上单调递减，在上 单调递增
( ) lnf x ax x x= +
( ) ln 1f x a x= + +′
( )2 20, ln 1 0, 1f e a e a− −= + + = =′
( ) ln 2f x x=′ +
( )f x ( )20,e− ( )2 ,e− +∞∴ 在 处取得极小值，符合题意，故 .
（2）由（1）知函数 .
∵函数 图象与 轴交于 ， 两个不同点
∴ ， 两 式 相 减 整 理 得 ：
.
∵
∴
令 ，即 .
∵
∴
令 .
∵
∴
∴
设 则
∵
∴
∴ 在 上是增函数
( )f x 2x e−= 1a =
( ) 2 2lnF x x x x= − −
( )F x x C D
2 2
1 1 1 2 2 22ln 0, 2ln 0x x x x x x− − = − − =
( )1 2
1 2
1 2
2 ln ln 1x xx x x x
−+ = +−
( ) 22 1F x x x
−′ = −
( ) ( )1 2 1 21 2 1
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
2 ln ln 24 4 21 ln2
x x x xx x xF x x x x x x x x x x x x x
− −+ = + − − = − = − + − + − +
′
1 2 02
x xF
+ =
′ ( ) 0F s′ =
1 2
2 0x x
≠−
( )1 21
2 1 2
2ln 0x xx
x x x
−− =+
1
2
xt x
=
1 20 x x< <
0 1t< <
( )2 1ln 01
tt t
−− =+
( ) ( )2 1ln ,1
tu t t t
−= − + ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
11 4 .
1 1
tu t t t t t
−= − =
+
′
+
0 1t< <
( ) 0u t′ >
( )u t ( )0,1∴
∴ 无解，即 .
∴ 不是 的根
22.（I） ;（Ⅱ） ， 的坐标为 或 .
（I）由 （ 为参数）得曲线 的普通方程为
得曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅱ） ，向左平移一个单位再经过伸缩变换 得到曲线 的
直 角 坐 标 方 程 为 ， 设 ， 则
当 时， 的最小值为 ，
此时点 的坐标为 或 .
23.（1）证明：因为 ，
又 ，所以
所以 .
（2） 可化为 ，
因为 ，所以 （*）
( ) ( )1 0u t u< =
( ) 0u t = ( ) 0F s′ ≠
s ( ) 0F x′ =
2cosρ θ= 2− M 31, 2
31, 2
− −
1{x cos
y sin
θ
θ
= +
= θ C ( )2 21 1x y− + =
C 2cosρ θ=
( )2 21 1x y− + = 2{x x
y y
=′
′ = C′
2
2 14
x y+ = ( )2cos ,sinM α α
2
2 2 23 cos 2 3sin cos sin4
x xy y a aα α− − = − −
cos2 3sin2 2cos 2 3a
πα α = − = +
3k
πα π= +
2
234
x xy y− − 2−
M 31, 2
31, 2
− −
( ) 1 1 11 11 1 1f x x a x a x x aa a a
= − + + ≥ − + + = + + −+ + +
1a > − 11 1 2 1 11a a
+ + − ≥ − =+
( ) 1f x ≥
( )1 2f < 11 1 21a a
− + + 1 1
aa a
− < +①当 时，不等式（*）无解.
②当 时，不等式（*）可化为 ，
即 ，解得 ，
综上所述，
1 0a− < ≤
0a > 11 1
a aaa a
− < −
5 1 5 1
2 2a
− +< <
5 1 5 1
2 2a
− +<
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