2020 届高三下学期第三次（5 月）模拟检测卷
文科数学
全卷满分 150 分，考试用时 150 分钟。
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.设集合 ， ， ，则 的取值范
围为
A. 或 B. C.
D. 或
2.已知复数 （其中 为虚数单位），则 的值为
A. 1 B. C. 2 D.
3.已知函数 ， 的图像与 的图像关于 轴对称，
函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
范围为
A. B. C.
D.
4.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多
边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周
率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的
{ }| 1 2 5 S x x x= − + + > { }| 4 T x x a= − ≤ S T R∪ = a
2a ≤ − 1a ≥ 2 1a− ≤ ≤ 2 1a− < <
2a < − 1a >
( ) 3 22f x x x x= − + ( )y g x= ( )y f x= x
( ) ( ), 1{
, 1
g x xh x
lnx x
1b > 1ab >
,a b R∈ 2 2 1a b+ ≥ 1a b+ ≥
P 0x R∃ ∈ 0
0 1xe x≥ + 0 0ln 1x x≤ − p¬ x R∀ ∈
1xe x< + ln 1x x> −17. （本小题满分 12 分）
已知 中，角 所对的边分别为 ，且 ， .
（1）若 ，求 的大小；
（2）若 为三个连续正整数，求 的面积.
18. （本小题满分 12 分）
艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒 病毒 引起，它把
人体免疫系统中最重要的 CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功
能 下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8
感染者人
数 单位：
万人
85
请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；
请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；
建立 y 关于 x 的回归方程 系数精确到 ，预测 2019 年我国艾滋病病毒感染
人数．
参考数据： ； ， ， ，
参考公式：相关系数 ，
ABC∆ , ,A B C , ,a b c A B C< < 2C A=
3c a= A
, ,a b c ABC∆回归方程 中， ， ．
19. （本小题满分 12 分）
已知数列 满足 ， ，设 ， .
（1）判断数列 是否为等比数列，说明理由并求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
20. （本小题满分 12 分）
已知点 是抛物线 的焦点，点 是抛物线 上
一点，且 ， 的方程为 ，过点 作直线 ，与抛物线
和 依次交于 .（如图所示）
（1）求抛物线 的方程；
（2）求 的最小值.
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 ， ．
（1）若 是 的极值点， 求 并讨论 的单调性；
（2）若 时， ，求 的取值范围．
22. （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 为参数)，直
线 的参数方程是 （ 为参数）．
（1）分别求曲线 、直线 的普通方程；
（2）直线 与 交于 两点，则求 的值.
F 2: 2 ( 0)C x py p= > 0 0(3, )( 1)P y y > C
13| | 4PF = Q
2 2( 3) 6x y+ − = F l C
Q M A B N， ， ，
C
(| | | |) | |MB NA AB+
xOy C 3:{ (x cosC y sin
α αα
=
=
l 2{ x t
y t
= − +
= t
C l
l C ,A B AB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
定义在 上的函数 ，若 ，有 ，则称函数
为定义在 上的非严格单增函数；若 ，有 ，则称函数
为定义在 上的非严格单减函数.已知： .
（1）若函数 为定义在 上的非严格单增函数，求实数 的取值范围.
（2）若函数 为定义在 上的非严格单减函数，试解不等式 .
A ( ) 1 2, ,f x x x A∀ ∈ 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x≥
( )f x A 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x≤
( )f x A ( ) 2g x x a x= − − −
( )g x R a
( )g x R ( ) 2g x >参考答案
1-10.BDCC DBDABA 11.D 12.D
13. 14. 15.
16.③
17.（1） （2） 的面积为
解析：（1）∵ ，∴由正弦定理有 ，
又 ，即 ，于是 ，
在 中， ，于是 ， .
（2）因为 ，故 ，故设 ， ， ， ；
由 ，得 ，
∴ .
由余弦定理得： ，代入 可得：
，解得： ，∴ ， ， ，
故 ，故 ，
故 的面积为 .
18.解：（1）我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示
30
6A
π= ABC∆ 1 15 7sin2 4bc A =
3c a= sin 3sinC A=
2C A= sin2 3sinA A= 2sin cos 3sinA A A=
ABC∆ sin 0A ≠ 3cos 2A =
6A
π=
A B C< < a b c< < a n= 1b n= + 2c n= + *n N∈
2C A= sin sin2 2sin cosC A A A= =
sincos 2sin 2
C cA A a
= =
2 2 2
2 2
b c a c
bc a
+ − = , ,a b c
( ) ( )
( )( )
2 2 21 2 2
2 1 2 2
n n n n
n n n
+ + + − +=+ + 4n = 4a = 5b = 6c =
3cos 2 4
cA a
= = 7sin 4A =
ABC∆ 1 1 7 15 7sin 5 62 2 4 4bc A = × × × =， ，
，
．
故具有强线性相关关系．
， ，
．
当 时， ．
故预测 2019 年我国艾滋病感染累积人数为 万人．
19.解：（1）{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列.由条件可得 ，即 bn+1=2bn，
又 b1=1，所以 ，所以 ，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列.
所以 ，即 ，所以 .
（2）由（1）可 ，所以 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 .
20.（1） ；（2） ． yx 42 = 828 +解析 由 在抛物线 上得 ，
又由 得 ，
解得 ， ，又 ，故 .
所以抛物线 的方程为 .………………4 分
由题知直线的斜率 一定存在，设直线 的方程为 .
则圆心 到直线 的距离为 ，
.………………6 分
设 ， ，
由 得 ，
则 ，由抛物线定义知 ，………………8 分
.………………10 分
设 ， 则
， ，
函数 在 上都是单调递增函数，
当 时即 时， 有最小值 .………………12 分
）（1 ( )0y3，P C 9p2 0 =y
4
13|PF| =
4
13
2y0 =+ p
=
=
2
9
1y0
p
=
=
2
4
9
0
p
y 10 >y
=
=
2
4
9
0
p
y
C yx 42 =
）（2 l l 1+= kxy
( )3,0Q l
1
2
2 +
=
k
d
∴
1
4622|| 2
22
+−=−=
kdrAB
( )11, yxM ( )22 , yxN
+=
=
1
42
kxy
yx ( ) 0142 22 =++− yky
24 2
21 +=+ kyy )1(42|| 2
21 kyyMN +=++=
∴ |||)|(| ABNAMB ⋅+ |||)||(| ABABMN ⋅+= 2|||||| ABABMN +⋅=
）
1
46(4)1
46()1(8 22
2
+−++−+=
kkk
241
16)1(41k68 2
22 ++−+−+=
kk）（
12 += kt ）（ 1t ≥ |||)||(| ABNAMB ⋅+ 24164t68 2 +−−=
tt
2416
3
2)3
1-t(68 2 +−−=
t
）（ 1t ≥
∴
ty 16y3
2)3
1-t(6 2 −=−= 和 [ )+∞,1
∴ 1t = 0=k |||)||(| ABMAMB ⋅+ 828 +21.（1） ， .
因为 是 的极值点，
所以 ，可得 ．
所以 ， .
因为 在 上单调递增，且 时， ，
所以 时， ， ， 单调递减；
时， ， ， 单调递增．
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由 得 ，
因为 ，所以 .
设 ，
则 .
令 ，
则 ，
显然 在 内单调递减，且 ，
所以 时， ， 单调递减， 则 ，即 ，
所以 在 内单减，从而 .
所以 .
22.（1） ；（2） .
解析：（1） ： ； ：
2
2: 1, : 2 09
xC y l x y+ = + − = 6 3
5
l（2）直线 的标准参数方程为 ，（ 为参数）
将 的标准参数方程代入 的直角坐标方程得： ，所以 ，
23.（1） ；（2）当 时，不等式 的解集为：∅；当 时，不等式
的解集为： .
解析：（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
因为 为定义在 上的非严格单增函数，根据定义，可得： .
（ 2 ） 函 数 为 定 义 在 上 的 非 严 格 单 减 函 数 ， 由 （ 1 ） 知 ， 且
.
所以，当 时， 不等式 的解集为：∅；
当 时，不等式 ,即 或 或 解得
或 即 所以 的解集为： .
l
2a ≤ 2 4a≤ ≤ ( ) 2g x > 4a >
( ) 2g x > { | }2
ax x <
2a > ( )
2, 2
| | 2 { 2 2,2
2 ,
a x
g x x a x x a x a
a x a
− ≤
= − − − = − + + < ≤
− >
2a < ( )
2,
| | 2 {2 2, 2
2 , 2
a x a
g x x a x x a a x
a x
− ≤
= − − − = − − < ≤
− >
2a = ( ) 0g x =
( )g x R 2a ≤
( )g x R 2a ≥
( ) [ ]2 , 2g x a a∈ − −
2 4a≤ ≤ 2 2,a − < ( ) 2g x >
4a > ( ) 2g x > 2{ 2 2
x
a
≤
− >
2{ 2 2 2
x a
x a
< ≤
− + + > { 2 2
x a
a
>
− > 2x ≤
2 2
ax< <
2
ax < ( ) 2g x > { | }2
ax x
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