2020届高三数学（理）5月模拟试题（PDF版带解析）

理科数学试卷第 1页 共 6页 湖南师范大学附属学校2020届高三5月模拟 理科数学试题卷 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合 2{( ) | 2} {( ) | }A x y x y B x y y x    ， ， ， ，则 A B  A．   1,1 B．   2,4 C．      1,1 , 2,4 D．  2．已知  21 i z  = 1 i （i 为虚数单位），则复数 z  A. 1 i B. 1 i C. 1 i  D. 1 i  3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、 丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中 只有一位是真话，则获奖的人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知直线 ,a b 表示不同的直线,则 / /a b 的充要条件是 A．存在平面  ,使 / / , / /a b  B．存在平面  ,使 ,a b   C．存在直线 c ,使 ,a c b c  D．存在直线 c ,使 ,a b 与直线 c 所成的角都是60 5．函数 ( ) 2 4sinf x x x  ， π π[ , ]2 2x  的图像大致是 A. B.理科数学试卷第 2页 共 6页 C. D. 6． 3 62( 1)( )x x x   的展开式中的常数项为 A. 240 B. 180 C. -60 D.-80 7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽 为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽 弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再 加上中间的一个小正方形组成的，如图 1，类比“赵爽弦图”，可 类似地构造如图 2 所示的图形，它是由 6 个全等的三角形与中间 的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设 2A F F A   ,若在大正六边形中随机取一点，则此 点取自小正六边形的概率为 A. 2 13 13 B. 4 13 C. 2 7 7 D. 4 7 8．关于函数 ( ) sin cos2 2 x xf x   有下述三个结论： ①函数 ( )f x 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称； ②函数 ( )f x 的最小正周期为 π ； ③ 0 Rx  ，  0 2 1f x   ． 其中正确结论的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 9．设 , ,a b c 分别是 ABC 的内角 A B C, , 的对边，已知      sin sin sinb c A C a c A C     ，设 D 是 BC 边的中点，且 ABC 的面积为 3 ，则  AB DA DB    等于 A．2 B．4 C．-4 D．-2 10．已知椭圆 C )20(14 2 22  bb yx ，作倾斜角为 4 3 的直线交椭圆 于 ,B 两点,线段 B 的 中点为 ,O 为坐标原点OM 与 MA 的夹角为 ,且 tan =3，则b = A．1 B． 2 C． 3 D． 2 6 A B C DE F A B C D E F 图1 图2理科数学试卷第 3页 共 6页 是 否 0 , 1  Sn开始 结束?2019n 输 S 出  3tan nSS  1 nn 11．在四面体 t 中， t ， t ， 底面 t ， 为 t 的重心，且直 线 与平面 t 所成的角是 t ，若该四面体 t 的顶点均在球 的表面上，则球 的表 面积是 A. π B. π C. π D. π12．已知函数 f(x)＝m x －1－nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n＋2 m＋1 的取值范围为 A.       12,1 2 2 e ee e B.       1,1 2 2 eee e C.      1,1 2 ee D．     12,1 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是 14．在锐角三角形 ABC 中，sin 2 3 cos 2 3, cos cos 2 2C C c B b C    ，则 ABC△ 的面积的取值 范围为_______________。 15．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     ,O 是坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条 渐近线的交点分别为 ,A B ,且 OAB 为直角,记 OAF△ 和 OBF△ 的面积分别为 ,OAF OBFS S△ △ ,若 3 5 OAF OBF S S △ △ ,则双曲线 C 的离心率为_______________。 16．已知数列 na 的前 n 项和 12 2n n nS a   ，若不等式  22 3 5 nn n a    对 * n N  恒成立，则 整数  的最大值为________________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．已知数列{ }na 的前 n 项和为 * 1, ( 0, N )nS a a a a   , 1( 0n nS pa p  且 *1, N )p n   (1)求数列{ }na 的通项公式; (2)在① 1 3 2, ,k k ka a a   ,② 2 1 3, ,k k ka a a   这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立, 对任意的正整数k,若将 1 2 3, ,k k ka a a   按_______的顺序排列后构成等差数列,且公差为 kd ,求p的值理科数学试卷第 4页 共 6页 及对应的 kd . 18．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形， AB AC ，且 3PA AB  ， 2AC  ， E 是棱 PD 的中点． (1)求证： / /PB 平面 AEC ； (2)求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值； (3)在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M ，使得二面角 M AC E  的余弦值为 10 10 ？若存 在，确定 M 的位置；若不存在，说明理由． 19．已知圆 2 2 1 : 2C x y  ，圆 2 2 2 : 4C x y  ，如图， 1C ， 2C 分别交 x 轴正半轴于点 E ， A ．射线 OD 分别交 1C ， 2C 于点 B ， D ，动点 P 满足直线 BP 与 y 轴垂直，直线 DP 与 x 轴垂直． （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 E 作直线 l 交曲线 C 与点 M ， N ，射线 OH l 与点 H ，且交曲线 C 于点 Q ．问： 2 1 1 | | | |MN OQ  的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 20．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治， 二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：理科数学试卷第 5页 共 6页 （1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论； （2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地区的 B 项 目投入研发资金，经过评估，对于 A 项目，每投资十万元，一年后利润是 1.38 万元、1.18 万 元、1.14 万元的概率分别为 1 6 、1 2 、1 3 ；对于 B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知 B ．项 目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是 (0 1)p p  ，记 B 项目一年内产品价格的下调次数为 ，每投资十万元， 取 0、1、2 时，一年 后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6 万元．记对 A 项目投资十万元，一年后利润的随机变 量为 1 ，记对 B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为 2 ． ( )i 求 1 ， 2 的概率分布列和数学期望 1E ， 2E ； ( )ii 如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由． 21．设函数 ( ) xf x xlnx ae  ， 21( ) 2x mx x   ，其中 a R ， e 是自然对数的底数． （Ⅰ）若 ( )f x 在 (0, ) 上存在两个极值点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）当 1( ) 0f e   ，设 ( ) ( ) ( )F x f x x  ，m R ，若 ( )F x 在 (0, ) 上存在两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2x x ， 求证： 2 1 2x x e ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 2cos 2sin x y       ( 为参数，以原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4sin  .理科数学试卷第 6页 共 6页 （1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线 3C 的极坐标方程为  0 , R        ，点 A 是曲线 3C 与 1C 的交点，点 B 是曲 线 3C 与 2C 的交点，且 ,A B 均异于原点O ，且 4 2AB  ，求 a 的值. 23． [选修 4–5：不等式选讲] 已知函数 f(x)＝|x－2a|－|x－a|，a∈R. （1）若 f(1)>1，求 a 的取值范围； （2）若 a1.1 分 若 a≤1 2 ，则 1－2a－1＋a>1，得 a1，得 a>1, 4 分 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).5 分 (Ⅱ)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max≤[|y＋2020|＋|y－a|]min，6 分 当 x∈(－∞，a]时，|x－2a|－|x－a|≤－a，[f(x)]max＝－a，7 分 因为|y＋2020|＋|y－a|≥|a＋2020|， 所以当(y＋2020)(y－a)≤0 时，[|y＋2020|＋|y－a|]min＝|a＋2020|，9 分 即－a≤|a＋2020|，解得 a≥－1010，结合 a