2020届高三数学（文）5月模拟试题（PDF版带解析）

文科数学试卷第 1页 共 6页 湖南师范大学附属学校2020届高三5月模拟 文科数学试题卷 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合 2{( ) | 2} {( ) | }A x y x y B x y y x    ， ， ， ，则 A B  A．   1,1 B．   2,4 C．      1,1 , 2,4 D．  2．已知  21 i z  = 1 i （i 为虚数单位），则复数 z  A. 1 i B. 1 i C. 1 i  D. 1 i  3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、 丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中 只有一位是真话，则获奖的人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知直线 ,a b 表示不同的直线,则 / /a b 的充要条件是 A．存在平面  ,使 / / , / /a b  B．存在平面  ,使 ,a b   C．存在直线 c ,使 ,a c b c  D．存在直线 c ,使 ,a b 与直线 c 所成的角都是60 5．函数 ( ) 2 4sinf x x x  ， π π[ , ]2 2x  的图像大致是 A. B.文科数学试卷第 2页 共 6页 C. D. 6．某几何体三视图如图，则该几何体体积是 A．4 B． 4 3 C． 8 3 D．2 7．“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法．在公元 263 年左右，由魏 晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆 的面积，进而求 ．当时刘微就是利用这种方法，把 的近似值计算到 3.1415 和 3.1416 之间，这是当时世界上对圆周率 的计算最精确的数据．这种方法 的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近 无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影 响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率 ， 则 的近似值是 （精确到 0.01) （参考数据 sin15 0.2588)  A．3.05 B．3.10 C．3.11 D．3.14 8．关于函数 ( ) sin cos2 2 x xf x   有下述三个结论： ①函数 ( )f x 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称； ②函数 ( )f x 的最小正周期为 π ； ③ 0 Rx  ，  0 2 1f x   ． 其中正确结论的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 9．设 , , (0, )2A B C  ，且 cos cos cosA B C  ， sin sin sinA B C  ，则 C-A＝文科数学试卷第 3页 共 6页 是 否 0 , 1  Sn开始 结束?2019n 输 S 出  3tan nSS  1 nn A． 6  B． 3  C． 3  D． 3 3  或 10．已知椭圆 C )20(14 2 22  bb yx ，作倾斜角为 4 3 的直线交椭圆 于 ,B 两点,线段 B 的 中点为 ,O 为坐标原点OM 与 MA 的夹角为 ,且 tan =3，则b = A．1 B． 2 C． 3 D． 2 6 11．在四面体 t 中， t ， t ， 底面 t ， 为 t 的重心，且直 线 与平面 t 所成的角是 t ，若该四面体 t 的顶点均在球 的表面上，则球 的表 面积是 A. π B. π C. π D. tπ12．已知函数 f(x)＝m x －1－nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n＋2 m＋1 的取值范围为 A.       12,1 2 2 e ee e B.       1,1 2 2 eee e C.      1,1 2 ee D．     12,1 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是 14．在锐角三角形 ABC 中，sin 2 3 cos 2 3, cos cos 2 2C C c B b C    ，则 ABC△ 的面积的取值 范围为_______________。 15．已知 P 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上任意一点，点 M ， N 分别在直线 1 1: 3l y x 与 2 1: 3l y x  上，且 2/ /PM l ， 1/ /PN l ，若 2 2PM PN 为定值，则椭圆的离心率为 ． 16．已知数列 na 的前 n 项和 12 2n n nS a   ，若不等式  22 3 5 nn n a    对 * n N  恒成立，则 整数  的最大值为________________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。文科数学试卷第 4页 共 6页 17．已知数列{ }na 的前 n 项和为 * 1, ( 0, N )nS a a a a   , 1( 0n nS pa p  且 *1, N )p n   (1)求数列{ }na 的通项公式; (2)在① 1 3 2, ,k k ka a a   ,② 2 1 3, ,k k ka a a   这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立, 对任意的正整数k,若将 1 2 3, ,k k ka a a   按_______的顺序排列后构成等差数列,且公差为 kd ,求p的值 及对应的 kd . 18．如图，在三棱锥 A BCD 中， ABD 是等边三角形，平面 ABD  平面 BCD ，BC CD ， 2BC CD  ， E 为三棱锥 A BCD 外一点，且 CDE 为等边三角形． （Ⅰ）证明： AC BD ； （Ⅱ）若 AE  平面CDE ，求点 E 到平面 BCD 的距离． 19．已知 M 过点 ( 3A ， 0) ，且与 2 2:( 3) 16N x y   内切，设 M 的圆心 M 的估轨迹为 C ， （1）求轨迹 C 的方程； （2）设直线l 不经过点 (2,0)B 且与曲线 C 交于点 P ，Q 两点，若直线 PB 与直线 QB 的斜率之积为 1 2  ，判 断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 20．2019 年，中国的国内生产总值 ( )GDP 已经达到约 100 万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济 的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料 成本组成，每件产品的非原料成本 y （元 ) 与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了如下的散点图． 现考虑用反比例函数模型 by a x   和指数函数模型 dxy ce 分别对两个变量的关系进行拟合．为此变换如下： 令 1u x  ，则 y a bu  ，即 y 与 u 满足线性关系；令 v lny ，则 v lnc dx  ，即 v 与 x 也满足线性关系．这文科数学试卷第 5页 共 6页 样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ˆ 96.54 dxy e ，v 与 x 的相关系数 1 0.94r   ，其他参考数据如表（其中 1 ) :i i i i u v lnyx   8 1 i i i u y   u 2u 8 2 1 i i u   8 1 i i y   8 2 1 i i y   0.61 6185.5 2e 96.54ln v 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 4.6 3.7 （Ⅰ）求指数函数模型和反比例函数模型中 y 关于 x 的回归方程； （Ⅱ）试计算 y 与 u 的相关系数 2r ，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟 合效果更好（计算精确到 0.01) ？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）．根 据市场调研数据，该产品单价定为 100 元时得到签订订单的情况如表： 订单数（千件） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 概率 101( )2 91( )2 81( )2 71( )2 61( )2 51( )2 41( )2 31( )2 21( )2 1 2 101( )2 已知每件产品的原料成本为 10 元，试估算企业的利润是多少？（精确到 1 千元） 参考公式： 对于一组数据 1(u ， 1)v ， 2(u ， 2 )v ，，( nu ， )nv ，其回归直线 v u   的斜率和截距的最小二乘估计分 别为： 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i u v nuv u nu         ， ˆˆ v u   ，相关系数 1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i u v nuv r u nu v nv           ． 21．已知函数 ( ) ( )f x lnx ax a R   ． （Ⅰ）讨论 ( )f x 的单调性；文科数学试卷第 6页 共 6页 （Ⅱ）当 1a  时，设 ( )( ) 1(f xg x xe x e   为自然对数的底）．若正实数 1 ， 2 满足 1 2 1   ， 1x ， 2 (0x  ， 1 2)( )x x  ，证明： 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )g x x g x g x      ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 2cos 2sin x y       ( 为参数，以原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4sin  . （1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线 3C 的极坐标方程为  0 , R        ，点 A 是曲线 3C 与 1C 的交点，点 B 是曲 线 3C 与 2C 的交点，且 ,A B 均异于原点O ，且 4 2AB  ，求 a 的值. 23． [选修 4–5：不等式选讲] 已知函数 f(x)＝|x－2a|－|x－a|，a∈R. （1）若 f(1)>1，求 a 的取值范围； （2）若 a1.1 分 若 a≤1 2 ，则 1－2a－1＋a>1，得 a1，得 a>1, 4 分 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).5 分 (Ⅱ)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max≤[|y＋2020|＋|y－a|]min，6 分 当 x∈(－∞，a]时，|x－2a|－|x－a|≤－a，[f(x)]max＝－a，7 分 因为|y＋2020|＋|y－a|≥|a＋2020|， 所以当(y＋2020)(y－a)≤0 时，[|y＋2020|＋|y－a|]min＝|a＋2020|，9 分 即－a≤|a＋2020|，解得 a≥－1010，结合 a