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专题七 不等式
第十九讲 不等式的性质与一元二次不等式
答案部分
2019 年
1.解析：取 ， ，则
，排除 A；
，排除 B；
，排除 D．
函数 在 单调递增，由 可得 ，所以 ，C 正确.
故选 C．
2010-2018 年
1.解析：作出 表示的平面区域，如图所示.
分别联立其中两个方程，得A（2，2），B（－1，1），C（1，－1），则
.故选C.
2.解析：画出不等式组所表示的可行域如图所示：
0a = 1b = −
ln( ) ln1 0a b− = =
0 1 13 3 1 3 3 3
a b −= = > = =
0 1 1a b= < − = = 3( )f x x= R a b> 3 3a b> 3 3 0a b− >
3 4 0
3 4 0
0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ ≥
max 3 2 2 2 10z = × + × =
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联立 ，解得 ，即 .
令 ，化为 .
求 z 的最大值就是求截距的最大值
由图可知，当直线 过点 时，z 有最大值为 ．
故选 C．
3.解析 由约束条件 作出可行域如图：
化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时， 有最大值.
联立 ，解得 . 所以 的最大值为 ．
故选 C．
2010-2018 年
1 0
1
x y
y
+ − =
= −
2
1
x
y
=
= −
2 1A −（ ， ）
3z x y= + 3y x z= − +
3y x z= − + 2 1A −（ ， ） 3 2 1 5× − =
2 0
2 0
1
1
x y
x y
x
y
+ −
− + −
−
4z x y= − + 4y x z= + 4y x z= + A z
1
2 0
x
x y
= −
− + =
( )1,1A − z ( ) ( )4 1 1 5− × − + =
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1．B【解析】因为 ，所以
，故选 B．
2．D【解析】因为 ， ， ．
所以 ，故选 D．
3．B【解析】由 得 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，得 ．
又 ， ，所以 ，所以 ．故选 B．
4．A【解析】∵ ，∴ ，选 A．
5．D【解析】由 得 ，由 得 ，故
，选 D.
6．B【解析】解法一 取 ， ，则 ， ，
，所以 ， 选 B．
解法二 由题意 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故 ， 选 B．
7．C【解析】因为 ，选项 A，取 ，则 ，
排除 A；选项 B，取 ，则 ，
排除 B；选项 D， ，则 ，排除 D，
故选 C．
( )2
1log2a
b a b a b
< + < + ( )2 1log2a b a b a b < + < + 2{ 2 0}= − − >A x x x 2{ | 2 0}= − −R ≤A x x x
{ | 1 2}= − ≤ ≤x x
2log e >1a = ln 2 (0,1)b = ∈ 1 2 2
2
1log log 3 log 13c e= = > >
c a b> >
0.2log 0.3a = 0.3
1 log 0.2a
= 2log 0.3b = 0.3
1 log 2b
=
0.3 0.3 0.3
1 1 log 0.2 log 2 log 0.4a b
+ = + = 1 10 1a b
< + < 0 1a b ab +< < 0a > 0b < 0ab < 0ab a b< + < { | 0}B x x= < { | 0}A B x x= 1x < A B={ | 2 2} { | 1} { | 2 1}x x x x x x− < = − 0 1b< < 12a b < 1 2 2a a a ab + = + = >
1a b+ > 2( ) ( )a b a b+ > +
2
2 2 22 log ( ) log ( ) log 2 1a b a b ab> + > + > =
0x y> > 11, 2x y= = 1 1 1 2 1 0x y
− = − = − < , 2x y ππ= = sin sin sin sin 1 02x y ππ− = − = − < 12, 2x y= = ln ln ln( ) ln1 0x y xy+ = = =
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8．C【解析】 ．
9．C 【解析】取满足题意得函数 ，若取 ，
则 ，所以排除 A．若取 ，
则 ，
所以排除 D；取满足题意的函数 ，若取 ，
则 ，所以排除 B，故结论一定错误的是 C．
10．B 【解析】由 ，得 ，由 ，得 ．由 ，
得 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，与 矛盾，故正整数 的最大值是 4．
11．A【解析】 ，故 =[ 2, 1]．
12．D【解析】由 ，又
，由不等式性质知： ，所以
13．D【解析】由已知得 ，此时 大小不定，排除 A,B；由正弦函数的性质，可
知 C 不成立；故选 D．
14．B【解析】不妨设 ，当 时，
；
当 时，
，∴ ．
15．C【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为 ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ，
2{ | 4 3 0} { |1 3}, (2,3)A x x x x x A B= − + < = < < = ( ) 2 1f x x= − 3 2k = 1 2 1( ) ( )3 3f fk = = 2 1 3 k < = 11 10k = 11 1 1 10( ) ( ) (10) 19 1111 111 11 110 10 kf f fk k = = = > = =− −− −
( ) 10 1f x x= − 2k =
1 1 1 1( ) ( ) 4 12 2 1 1f fk k
= = > = =− −
[ ] 1t = 1 2t
( ) ( )f x a f x+ < ( )| | 1 | | | |a x x a a x a ax x+ + + + < ① 0a≥ ⇔ ( )| | 1 | | | |x x a a x a x x+ + + + < A = Φ 1 2a = − ⇔ 1 1 1| | 1 | | | |2 2 2x x x x x− + − − >
1 1,2 2 A − ⊆
( ) ( )1 | |f x x a x= +
1a = ( ) ( )1 | |f x x x= + ( ) ( )1f x f x+ < y x y =f(x+1) y = f(x) 图1 f(m+1) f(m) mO y x y = f(x) 图2 1 2 - 1 2y=f(x- 1 2) O 1 2a = − ( ) 11 | |2f x x x = − ( ) 1 2y f x a f x = + = − 1 1,2 2 A − ⊆ 0 A∈ ( ) ( )0 0f a f< = ( )1 | | 0a a a+ < 0a > 0a < 21 0a− < 1 0a− < < 1 5 1 1 3 2 2 2 − −< − < 1 2a = − ⇔ 1 1 1| | 1 | | | |2 2 2x x x x x− + − − >
1 1,2 2 A − ⊆
10 30x≤ ≤
( 4 )( 2 ) 0x a x a− + < 2 4a x a− < < 1 22 , 4x a x a= − = 2 1 4 ( 2 ) 6 15x x a a a− = − − = = 15 5 6 2a = =
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18．C【解析】验证 A，当 ，故排除 A；验证 B，
当 ，而 ，
故排除 B；验证 C，
令 ，显然 恒成立，
所以当 ， ，所以 ， 为
增函数，所以 ，恒成立，故选 C；验证 D，
令 ，令 ，
解得 ，所以当 时， ，显然不恒成立，故选 C.
19．B【解析】由题可知 ， ，
若有 则 ，即 ，
解得 ．
20． 【解析】当 时，不等式为 恒成立；
当 ，不等式 恒成立；
当 时，不等式为 ，解得 ，即 ；
综上， 的取值范围为 ．
21． 【解析】由 ，解得 ，根据几何概型的计算公式得概率为
．
22． 1， 2， 3（答案不唯一）【解析】因为“设 ， ， 是任意实数．若 ，
则 ”是假命题，则它的否定“设 ， ， 是任意实数．若 ，则
”是真命题，
由于 ，所以 ，又 ，所以 ，
3 3 2=3 >2.7 =19.68>1+3+3 =13x e时，
1= 2x 时， 1 6= 311+ 2
1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 61- + = = = < =2 2 4 4 16 48 48 48 48 × × ( ) ( ) ( )21=cos -1+ , ' =-sin + , '' =1-cos2g x x x g x x x g x x ( )'' >0g x
[ )0,+x∈ ∞ ( ) ( )' ' 0 =0g x g≥ [ )0,+x∈ ∞ ( ) 21=cos -1+ 2g x x x
( ) ( )0 =0g x g≥
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 -31 1=ln 1+ - + , ' = -1+ =8 +1 4 4 +1
x xxh x x x x h x x x
( )'
1
22 2 1xx −+ >
10 2x< ≤ 12 1 12 x x+ − + >
0x≤ 11 1 12x x+ + − + > 1
4x > − 1 04 x− < ≤ x 1( , )4 − +∞ 5 9 26 0x x+ − ≥ 2 3x− ≤ ≤ 3 ( 2) 5 5 ( 4) 9 − − =− − − − − a b c a b c> >
a b c+ > a b c a b c> >
a b c+ ≤
a b c> > 2a b c+ > a b c+ ≤ 0c − > − − + − = − > −
5[0, ] [ , ]6 6
π π π
28 (8sin ) cos2 0x xα α− + ≥ x R∈
0 α π≤ ≤
a b c − − − a b c+ ≤
2( ,0)2
− ( ) 0f x < [ , 1]x m m∈ + 2 2 ( ) 2 1 0 ( 1) 2 3 0 f m m f m m m = − < + = + > ( ) 4 2 4 4a af x x x ax x
= + ≥ =
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当且仅当 ，即 ，解得 ．
27． 【解析】易得不等式 的解集为 .
28．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出 ( )的图像，如下图所示．由
于 是定义在 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像．不
等式 ，表示函数 y＝ 的图像在 y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣
5，0) ∪(5，﹢∞)．
29．(－7,3)【解析】当 ≥0 时，令 ，解得， ．又因为 为定义域
为 R 的偶函数，则不等式 等价于 ，即－7＜ ＜3；故解集
为(－7,3)．
30．(0，8)【解析】因为不等式 x2﹣ax+2a＞0 在 R 上恒成立．∴△= ，
解得 0＜ ＜8．
31．9【解析】因为 的值域为[0,+∞），所以 即 ,
所以 的两根，由一元二次方程根与系数的关系得
解得 =9.
32． 【解析】不等式可化为 采用穿针引线法解不
等式即可．
33． 【解析】 ．
( )2,1− 2 2 0x x+ − < ( )2,1− xxxf 4)( 2 −= 0>x
)(xf R
xxf >)( )(xf
( 3,2) (3, )− ∪ +∞ ( 3)( 2)( 3) 0x x x+ − − >
4 ax x
= 34
ax = = 36a =
x 2 4 5x x− < 0 5x ⇒ ∈ − − − >
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34．27【解析】 ， ， ， 的最大
值是 27．
35． 【解析】已知 为增函数且 ≠0，
若 >0，由复合函数的单调性可知 和 均为增函数，此时不符合题意．
1，
解得 ．
36．D【解析】依据题意得 在 上
恒定成立，即 在 上恒成立．
当 时函数 取得最小值 ，所以 ，
即 ，解得 或 ．
37．20【解析】七月份的销售额为 ，八月份的销售额为 ，则一月
份到十月份的销售总额是 ，根据题意有
，
即 ，令 ．则 ，
解得 或 （舍去），故 ，解得 ．
38．【解析】（1）可知 ，
，
或 ，
或 ，
或 ，
2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 3 0x x k x x k+ + + + + − >
2 2[( 2 ) 3] [( 2 ) 1] 0x x k x x k∴ + + + ⋅ + + − >
2 2 3x x k∴ + + < − 2 2 1x x k+ + >
2( 1) 2x k∴ + < − − ( 2 0)k− − > 2( 1) 2x k+ > − (2 0)k− >
| 1| 2x k∴ + < − − | 1| 2x k+ > −
2
2( ) [16,81]x
y
∈
2
1 1 1[ , ]8 3xy
∈
3 2
2
4 2
1( ) [2,27]x x
y y xy
= ⋅ ∈ 4
3
y
x
1m < − ( )f x m m ( )f mx ( )mf x m 2 2 1 1 1 10 2 ( ) 0 1 2mmx mx mx m xmx x m x m − + − < ⇒ − − • < ⇒ + < 22y x= [1, )x∈ +∞ 2 1 2m < 2m 1m < − 2 2 2 2 2 2 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)x m x x mm − − − ≤ − − + − 3[ , )2x∈ +∞ 2 2 2 1 3 24 1mm x x − ≤ − − + 3[ , )2x∈ +∞ 3 2x = 2 3 2 1y x x = − − + 5 3 − 2 2 1 54 3mm − ≤ − 2 2(3 1)(4 3) 0m m+ − ≥ 3 2m ≤ − 3 2m ≥ 500(1 %)x+ 2500(1 %)x+ 23860 500 2[500(1 %) 500(1 %) ]x x+ + + + + 23860 500 2[500(1 %) 500(1 %) ] 7000x x+ + + + + ≥ 225(1 %) 25(1 %) 66x x+ + + ≥ 1 %t x= + 225 25 66 0t t+ − ≥ 6 5t ≥ 11 5t −≤ 61 % 5x+ ≥ 20x≥
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或 或 ，
所以函数 的定义域 D 为
；
（2）
，
由 得 ，即 ，
或 ，结合定义域知
或 ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，
同理递减区间为 ， ；
（3）由 得 ，
，
，
，
或 或 或 ，
， ， ，
， ，
结合函数 的单调性知 的解集为
．
39．【解析】：（I）由 得，
1 2 k∴− − − − < 1 2x k< − + − − 1 2x k< − − − 1 2x k> − + −
( )f x
( , 1 2 )k−∞ − − − ( 1 2 ,k− − − − 1 2 )k− + − − ( 1 2 , )k− + − + ∞
2
32 2 2
2( 2 )(2 2) 2(2 2)'( )
2 ( 2 ) 2( 2 ) 3
x x k x xf x
x x k x x k
+ + + + += −
+ + + + + −
2
32 2 2
( 2 1)(2 2)
( 2 ) 2( 2 ) 3
x x k x
x x k x x k
+ + + += −
+ + + + + −
'( ) 0f x > 2( 2 1)(2 2) 0x x k x+ + + + < ( 1 )( 1 )( 1) 0x k x k x+ + + − + < 1x k∴ < − − − 1 1x k− < < − + − 1 2x k< − − − 1 1 2x k− < < − + − − ( )f x ( , 1 2 )k−∞ − − − ( 1, 1 2 )k− − + − − ( 1 2 , 1)k− − − − − ( 1 2 , )k− + − + ∞ ( ) (1)f x f= 2 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 3 (3 ) 2(3 ) 3x x k x x k k k+ + + + + − = + + + − 2 2 2 2[( 2 ) (3 ) ] 2[( 2 ) (3 )] 0x x k k x x k k∴ + + − + + + + − + = 2 2( 2 2 5) ( 2 3) 0x x k x x∴ + + + ⋅ + − = ( 1 2 4)( 1 2 4) ( 3)( 1) 0x k x k x x∴ + + − − + − − − ⋅ + − = 1 2 4x k∴ = − − − − 1 2 4x k= − + − − 3x = − 1x = 6k < − 1 ( 1, 1 2 )k∴ ∈ − − + − − 3 ( 1 2 , 1)k− ∈ − − − − − 1 2 4 1 2k k− − − − < − − − 1 2 4 1 2k k− + − − > − + −
( )f x ( ) (1)f x f>
( 1 2 4, 1 2 )k k− − − − − − − ( 1 2 , 3)k− − − − − (1, 1 2 )k− + − −
( 1 2 , 1 2 4)k k− + − − + − −
( ) cos sinf x x x x= −
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．
因为在区间 上 ，所以 在区间 上单调递减．
从而 ．
（Ⅱ）当 时，“ ”等价于“ ”，
“ ”等价于“ ”．
令 ，则 ，
当 时， 对任意 恒成立．
当 时，因为对任意 ， ，
所以 在区间 上单调递减．
从而 对任意 恒成立．
当 时，存在唯一的 使得 ．
与 在区间 上的情况如下：
＋ 0 －
↗ ↘
因为 在区间 上是增函数，所以 ．进一步，“
对任意 恒成立”当且仅当 ，即 ，
综上所述，当且仅当 时， 对任意 恒成立；
当且仅当 时， 对任意 恒成立．
所以，若 对任意 恒成立，则 最大值为 ， 的最小值为
1．
'( ) cos sin cos sinf x x x x x x x= − − = −
(0, )2
π
'( )f x sin 0x x= − < ( )f x 0, 2 π ( )f x (0) 0f≤ = 0x > sin x ax
> sin 0x ax− >
sin x bx
< sin 0x bx− < ( )g x sin x cx= − '( )g x cos x c= − 0c ≤ ( ) 0g x > (0, )2x
π∈
1c ≥ (0, )2x
π∈ '( )g x cos x c= − 0< ( )g x 0, 2 π ( )g x (0) 0g< = (0, )2x π∈ 0 1c< < 0 (0, )2x π∈ 0'( )g x 0cos x c= − 0= ( )g x '( )g x (0, )2 π x 0(0, )x 0x 0( , )2x π '( )g x ( )g x ( )g x [ ]00, x 0( ) (0) 0g x g> = ( ) 0g x >
(0, )2x
π∈ ( ) 1 02 2g c
π π= − ≥ 20 c π< ≤ 2c π≤ ( ) 0g x > (0, )2x
π∈
1c ≥ ( ) 0g x < (0, )2x π∈ sin xa bx < < (0, )2x π∈ a 2 π b
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