理科2010-2018高考数学真题分类训练专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题七 不等式 第二十一讲 不等式的综合应用 答案部分 2019 年 1.解析 ， ， ， 则 ； 由基本不等式， （当且仅当 时，即 ，且 时，即 或 时，等号成立）. 故 的最小值为 . 2010-2018 年 1．D【解析】点 在直线 上， 表示过定点 ，斜率为 的直线， 当 时， 表示过定点 ，斜率为 的直线，不等式 表示 的区域包含原点，不等式 表示的区域不包含原点．直线 与直线 互相垂直，显然当直线 的斜率 时，不等式 表示 的区域不包含点 ，故排除 A；点 与点 连线的斜率为 ， 当 ，即 时， 表示的区域包含点 ，此时 表示 的区域也包含点 ，故排除 B；当直线 的斜率 ，即 时， 表示的区域不包含点 ，故排除 C，故选 D． 0x > 0y > 2 5x y+ = ( )( )1 2 1 2 2 1 2 6 62x y xy x y xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = + 6 62 2 2 4 3xy xy xy xy + ⋅ = 62 xy xy = 3xy = 2 5x y+ = 3 1 x y =  = 2 3 2 x y = = ( )( )1 2 1x y xy + + 4 3 (2,1) 1x y− = 4ax y+ = (0,4) a− 0a ≠ 2x ay− = (2,0) 1 a 2x ay− ≤ 4ax y+ > 4ax y+ = 2x ay− = 4ax y+ = 0a− > 4ax y+ > (2,1) (2,1) (0,4) 3 2 − 3 2a− < − 3 2a > 4ax y+ > (2,1) 2x ay− < (2,1) 4ax y+ = 3 2a− = − 3 2a = 4ax y+ > (2,1) 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解 法 二 若 ， 则 ， 解 得 ， 所 以 当 且 仅 当 时 ， ．故选 D． 2．A【解析】解法一 函数 的图象如图所示，当 的图象经过点 时，可 知 ．当 的图象与 的图象相切时，由 ，得 ，由 ，并结合图象可得 ，要使 恒成立，当 时 ， 需 满 足 ， 即 ， 当 时 ， 需 满 足 ， 所 以 ． 解法二 由题意 时， 的最小值 2，所以不等式 等价于 在 上恒成立． 当 时，令 ，得 ，不符合题意，排除 C、D； 当 时，令 ，得 ，不符合题意，排除 B； 选 A． 3．C 【解析】若 是递减的等差数列，则选项 都不一定正确．若 为公差为 0 的等差数列，则选项 D 不正确．对于 C 选项，由条件可知 为公差不为 0 的正确 数列，由等差中项的性质得 ，由基本不等式得 ，所以 C 正确． 4．B【解析】∵ ，∴ ，又 在 上单调递增， 故 ，即 ， x y –1–2–3–4 1 2 3 4 –1 1 2 3 4 5 6 O (2,1) A∈ 2 1 4 2 2 a a + >  − ≤ 3 2a > 3 2a ≤ (2,1) A∉ ( )f x | |2 xy a= + (0,2) 2a = ± 2 xy a= + 2y x x = + 2 2 x a x x + = + 2 2 4 0x ax− + = 0∆ = 2a = ( ) | |2 xf x a+≥ 0a ≤ 2a− ≤ 2 0a− ≤ ≤ 0a > 2a ≤ 2 2a− ≤ ≤ 0x = ( )f x ( ) | |2 xf x a+≥ | | 22 x a+ ≤ R 2 3a = 0x = | 2 3 | 22 x + > 2 3a = − 0x = | 2 3 | 22 x − > { }na ,A B { }na { }na 1 3 2 2 a aa += 1 3 1 32 a a a a+ > 0 a b< < 2 a b ab+ > ( ) lnf x x= (0, )+¥ ( ) ( )2 a bf ab f +< q p> 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵ ， ∴ ． 5．D【解析】由已知得 ，且 ，可知 ， 所以 ( )， ． 当且仅当 时取等号． 6．D【解析】本题考查的是均值不等式．因为 ，即 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时取等号． 7．B【解析】由 ，得 ． 所以 ，当且仅当 ， 即 时取等号此时 ， . ， 故选 B. 8．C【解析】由 得 ， ， 当且仅当 即 时， 有最小值 1， 将 代入原式得 ， 所以 ， 当 时有最大值 2．故选 C． 9．C【解析】 ， ， . yxyx 222221 ⋅≥+= 222 −+ ≤yx 2−≤+ yx yx 22 = yx = 2 23 4 0x xy y z− + − = 2 23 4z x xy y= − + 2 2 1 43 4 3 xy xy x yz x xy y y x = =− + + − 1 1 42 3x y y x ≤ = ⋅ − 4x y y x = 2x y= 22yz = 1)( max = z xy xyyyzyx 21 2 2212 −+=−+ )2 11(2)11(2 yyxy −=−= 1)2 2 112 1 (4 2 = −+ ≤ yy  1 3 5y x + = 1 1 3 1 3 12 13(3 4 ) ( ) ( )5 5 5 x yx y y x y x + ⋅ + = + + ≥ 1 132 36 55 5 × × + = 1 1( ( ) ( )) (ln ln ) ln ( )2 2r f a f b a b ab f ab p= + = + = = = p r q= < 3 4a b ab+ = 0ab > 0, 0a b> > 4 3 1a b + = 0, 0a b> > 4 3 4 3( )( ) 7 7 4 3b aa b a b a b a b + = + + = + + +≥ 4 3b a a b = 2 23 4 0x xy y z− + − = 2 24 3x y xy z+ − = 2 22 2 2 44 43 3 3 1x yz x y xy xy xy xy xy ⋅+= − ≥ − = − = 2 24x y= 2x y= z xy 2x y= 22z y= 2 22 2 2 2 2 4x y z y y y y y+ − = + − = − + 1y = 3 5x y xy+ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 10．C【解析】 ， ， . 11．A【解析】设从甲地到乙地所走路程为 ， 则 ． ∵ ,∴ ,∴ ．选 A． 12．B【解析】在同一坐标系中作出 ， ( )， 图像 如下图， 由 = m，得 ， = ，得 ． 依题意得 ． ， ． 13．B【解】（方法一）已知 和 ，比较 与 ， 因为 ，所以 ，同理由 得 ；作差法： ，  1 3 5y x + = 1 1 3 1 3 12 13(3 4 ) ( ) ( )5 5 5 x yx y y x y x + ⋅ + = + + ≥ 1 132 36 55 5 × × + = 8 2 1m + 2logy x= 2log x 1 22 , 2m mx x−= = 2log x 8 2 1m + 8 2 1 8 2 1 3 42 , 2 mmx x +− += = 8 2 1 8 2 1 8 2 1 8 2 1 2 2 2 2 , 2 2 , 2 2 m m m m mm m m ba b a + +−− + −− + − = − = − = − 8 2 1 8 2 12 2 2m mm m+ + += = 8 1 4 1 1 14 312 1 2 2 2 2 2 m mm m + = + + − ≥ − =+ + min( ) 8 2b a ∴ = 3 5x y xy+ = S 2 2 2 2 1 1 2 S ab abv abS S a b ab a b a b = = = < =++ + a b< 22 2 2 ab av aa b a = > =+ a v ab< < y m= y = 0m > a b< 2 a bab +< a ab 2 2( ) ( ) 0a ab a a b− = − < a ab< 2 2( ) ( ) 0b ab b b a− = − > ab b< 02 2 a b b ab + −− = > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ，综上可得 ；故选 B． （方法二）取 ， ， 则 ， ，所以 ． 14．D【解析】对于 A 取 ，此时 ，因此 A 不正确；对于 B 取 ，此时 ，因此 B 不正确；对于 C 取 ， 此时 ，因此 C 不正确；对于 D，∵ ， ∴ ， ∴ ，D 正确． 15． 【解析】由 ，得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立． 16 ． ； 【 解 析 】 若 ， 则 当 时 ， 令 ， 得 ；当 时，令 ，得 ．综上可知 ，所以 不等式 的解集为 ．令 ，解得 ；令 ，解得 或 ．因为函数 恰有 2 个零点，结合函数的图象（图略）可知 或 ． 17． 【解析】由题意， ，且 ，又 时， ， 时， ，当 时， ，所以 取值范围为 ． 18．4【解析】 ， 2 a b b + < 2 a ba ab b +< < < 2a = 8b = 4ab = 52 a b+ = 2 a ba ab b +< < < 1a b= = 2 2 2 2a b ab+ = = 1a b= = − 2 2 2a b ab+ = − < = 1a b= = − 1 1 22 2a b ab + = − < = 0ab > 0b a > 0b a > 2 2b a b a a b a b + ⋅ =≥ 1 4 3 6 0a b− + = 3 6a b= − 3 6 3 6 3 3 3 1 1 1 12 2 2 2 2 28 2 2 4 a b b b b b − − −+ = + × = × =≥ 3 6 3 12 2 b b − = 1b = (1,4) (1,3] (4, )+∞ 2λ = 2x≥ 4 0x − < 2 4x 1[ ,1]2 2 2 2 2 2 21 1(1 ) 2 2 1 2( )2 2u x y x x x x x= + = + − = − + = − + [0,1]x∈ 0x = 2 2 1u x y= + = 1 2x = 2 2 min 1 2u x y= + = 1x = 2 2 1u x y= + = 2 2x y+ 1[ ,1]2 4 4 2 24 1 4 1 14 4a b a b abab ab ab + + + = +≥ ≥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当且仅当 ，且 ，即 时取等号． 19．30【解析】总费用为 ，当且仅当 ，即 时等号成立． 20． 【解析】∵ ，∴ ①当 时， ， 所以 的最大值 ，即 （舍去） ②当 时， ，此时命题成立． ③当 时， ，则 或 ， 解得 或 ， 综上可得，实数 的取值范围是 ． 21． 【解析】由 得， ，则 ，又 ，所以 ， 解得 ，故 的最大值为 ． 22．－1【解析】设 最大，则必须 同号， 因为 ， 故有 ， ，当且仅当 时取等号，此时 ， 所以 = ． 23．－2 【解析】 设 ，则 ，因为 ， 所以将 代入整理可得 ①， 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x + × = + ≥ × = 900x x = 30x = 2 22a b= 1 2ab = 2 2 2a = 9( , ]2 −∞ [1,4]x∈ 4 [4,5]x x + ∈ 5a≥ 4 4 4( ) 2 2 2 2 4f x a x a a x a x ax x x = − − + = − − − × = −≤ ( )f x 2 4 5a − = 9 2a = 4a ≤ 4 4( ) 5f x x a a xx x = + − + = + ≤ 4 5a< < max( ) max{| 4 | ,| 5 | }f x a a a a= − + − + | 4 | | 5 | | 4 | 5 a a a a a a − + − +  − + = ≥ | 4 | | 5 | | 5 | 5 a a a a a a − + < − + − + = 9 2a = 9 2a < a 9( , ]2 −∞ 6 3 0a b c+ + = a b c= − − 2 2 2 2( ) 2a b c b c bc= − − = + + ( )2 2 2 2 2 22b c b c b c+ + + = +≤ 2 2 2 1a b c+ + = 23 2a ≤ 6 6 3 3a− ≤ ≤ a 6 3 | 2 |a b+ ,a b 2 2 224 4 6 3( )2 a ba b ab c ab c ++ + = + +≤ 2(2 ) 4a b c+ ≤ 22( )2 a bc +≥ 2a b= 2c b= 1 2 4 a b c + + 2 2 4 4 1 14( ) 1 12b b b + = + − −≥ 2a b t+ = 2a t b= − 2 24 2 4 0a ab b c− + − = 2a t b= − 2 26 3 0b tb t c− + − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由 解得 ，当 取得最大值时， ， 代入①式得 ，再由 得 ， 所以 ． 当且仅当 时等号成立． 24．1900 100【解析】（Ⅰ） ， 当且仅当 时等号成立． （Ⅱ） ，当且仅当 时等号成立． ． 25．－2【解析】∵ = 当且仅当 ，即 时取等号 故 取得最小值时， ． 26． 【解析】因为 ， ， 当且仅当 ，即 ，解得 ． 27． 【解析】∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ． 1 | | 2 | | a a b + | | | | 4 | | 4 | | 4 | | a b a a b a a b a a b + + = + + | | 1 32 1 14 | | 4 | | 4 | | 4 4 a b a a a a b a + ⋅ = + − + =≥ ≥ | |, 04 | | b a aa b = < 2, 4a b= − = 1 | | 2 | | a a b + 2a = − 0∆≥ 8 8 5 5c t c− ≤ ≤ 2a b+ 8 5t c= 10 cb = 2a t b= − 3 2 10 ca = 3 4 5 a b c − + = 2 10 4 10 5 5 2 10 c cc c c − + = − 25( 2) 2 2 c = − − −≥ 5 2c = 76000 76000 190020 6.05 2 121 1818 F v v = =× ++ + ≤ 11v = 76000 76000 200020 5 2 100 1818 F v v = =× ++ + ≤ 10v = 2000 1900 100− = 36 0, 0x a> > ( ) 4 2 4 4a af x x x ax x = + ≥ = 4 ax x = 34 ax = = 36a = 2 3 3 2 2 1x y xy+ + = 2( ) 1x y xy+ − = 2 2( ) ( ) 12 x yx y ++ − ≤ 2 4( ) 3x y+ ≤ 2 3 3x y+ ≤ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 28．9【解析】由柯西不等式可知 ． 29．①③⑤【解析】令 ，排除②④；由 ， 命题①正确； ， 命题③正确； ，命题⑤正确． 2 2 2 2 2 1 1( )( 4 ) (1 2) 9x yy x + + ≥ + = 1a b= = 2 2 1a b ab ab= + ≥ ⇒ ≤ 2 2 2( ) 2 4 2 2a b a b ab ab+ = + − = − ≥ 1 1 2 2a b a b ab ab ++ = = ≥