理科2010-2018高考数学真题分类训练专题8立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系 2019 年 1.（2019 全国Ⅲ理 8）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 A．BM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 2.（2019 全国Ⅱ理 7）设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 3.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABC－A 1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点， AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 4.（2019 北京理 12）已知 l，m 是平面 a 外的两条不同直线.给出下列三个论断: ① ； ② ； ③ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______. 2010-2018 年 一、选择题 1．(2018 全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 l m⊥ m a l a⊥ α α 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 截此正方体所得截面面积的最大值为 A． B． C． D． 2．(2018 全国卷Ⅱ)在长方体 中， ， ，则异面直 线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 3．(2018 浙江)已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2018 浙江)已知四棱锥 的底面是正方形，侧棱长均相等， 是线段 上的 点（不含端点），设 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面 角 的平面角为 ，则 A． B． C． D． 5．(2017 新课标Ⅱ)已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 6．（2017 浙江）如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥）， ， ， 分 别 为 ， ， 上 的 点 ， ， ， 分 别 记 二 面 角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 1 1 1 1 −ABCD A B C D 1= =AB BC 1 3=AA 1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 α m n m α⊄ n α⊂ m n m α S ABCD− E AB SE BC 1 θ SE ABCD 2 θ S AB C− − 3 θ 1 2 3 θ θ θ≤ ≤ 3 2 1 θ θ θ≤ ≤ 1 3 2 θ θ θ≤ ≤ 2 3 1 θ θ θ≤ ≤ 1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ =  2AB = 1 1BC CC= = 1AB 1BC 3 2 15 5 10 5 3 3 D ABC− P Q R AB BC CA AP PB= 2BQ CR QC RA = = D PR Q− − D PQ R− − D QR P− − α β γ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A． < < B． < < C． < < D． < < 7．（2016 年全国 I）平面 过正方体 的顶点 ， ∥平面 ， 平面 = ， 平面 = ，则 ， 所成角的正弦值为 A． B． C． D． 8．（2015 福建）若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ∥ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2015 浙江）如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 翻折成 ， 所成二面角 的平面角为 ，则 10．（2014 广东）若空间中四条两两不同的直线 ，满足 ，则 下面结论一定正确的是 A． B． C． 既不垂直也不平行 D． 的位置关系不确定 11．（2014 浙江）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面 R Q P A B C D 1 2 3 4, , ,l l l l 1 2 2 3 3 4, ,l l l l l l⊥ ⊥ ⊥ 1 4l l⊥ 1 4/ /l l 1 4,l l 1 4,l l γ α β α γ β α β γ β γ α α 1 1 1 1ABCD A B C D− A α 1 1CB D α  ABCD m α  1 1ABB A n m n 3 2 2 2 3 3 1 3 ,l m m α l m⊥ l α ABC∆ D AB CD ACD∆ A CD′∆ A CD B′− − α ,m n ,α β 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A．若 ， ，则 B．若 ， 则 C．若 则 D．若 ， ， ，则 12．（2014 辽宁）已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 A．若 则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 13．（2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已 知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄 准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角 为直线 与平面 所成角）．若 ， ， 则 的最大值 A． B． C． D． 14．（2014 四川）如图，在正方体 中，点 为线段 的中点．设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 15．（2013 新课标Ⅱ）已知 为异面直线， 平面 ， 平面 ．直线 满足 ， ，则 A． 且 B． 且 M C A B P O A1 A B B1 C C1D1 D ,m n m α n β l ,l m l n⊥ ⊥ ,l lα β⊄ ⊄ α β l α α β l β m n⊥ //n α m α⊥ //m β β α⊥ m α⊥ , ,m n nβ β α⊥ ⊥ ⊥ m α⊥ m n⊥ n β⊥ β α⊥ m α⊥ m n α / / , / / ,m nα α / /m n m α⊥ n α⊂ m n⊥ m α⊥ m n⊥ / /n α / /m α m n⊥ n α⊥ ABC A A AB P CM P A P θ θ AP ABC 15AB m= 25AC m= 30BCM∠ = ° tanθ 30 5 30 10 4 3 9 5 3 9 1 1 1 1ABCD A B C D− O BD P 1CC OP 1A BD α sinα 3[ ,1]3 6[ ,1]3 6 2 2[ , ]3 3 2 2[ ,1]3 ⊥ ⊥ ∥ ∥ ⊥ ⊥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C． 与 相交，且交线垂直于 D． 与 相交，且交线平行于 16．（2013 广东）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面,下列命题中正确 的是 A．若 , , ,则 B．若 , , ,则 C．若 , , ,则 D．若 , , ,则 17．（2012 浙江）设 是直线， 是两个不同的平面 A．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ B．若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ C．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D．若 ⊥ , ∥ ，则 ⊥ 18．（2012 浙江）已知矩形 ， ， ．将 沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折过程中， A．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直 B．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直 C．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直 D．对任意位置，三对直线“ 与 ”，“ 与 ”，“ 与 ”均不垂直 19．（2011 浙江）下列命题中错误的是 A．如果平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B．如果平面α不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面 ，平面 ， ，那么 D．如果平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 20．（2010 山东）在空间，下列命题正确的是 A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 二、填空题 α β l α β l α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ //α β m α⊂ n β⊂ //m n m n⊥ m α⊂ n β⊂ α β⊥ m α⊥ //m n //n β α β⊥ l l l l l l l l l m n α β ,α β α β α β α β α β α β α β α β α β ABCD 1AB = 2BC = ABD∆ BD AC BD AB CD AD BC AC BD AB CD AD BC α β⊥ 平面 α β β α β α γ⊥ 平面 β γ⊥ 平面 =lα β l γ⊥ 平面 α β⊥ 平面 α β 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 21．(2018 全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆 锥底面所成角为 45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_____． 22．（2016 年全国 II） ， 是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果 ， ， ，那么 ． ②如果 ， ，那么 ． ③如果 ， ，那么 ． ④如果 ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号） 23．（2015 浙江）如图，三棱锥 中， ， ， 点 分别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是 ． 24．（2015 四川）如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面互相垂直， 动点 在线段 上， 分别为 的中点．设异面直线 与 所成的角 为 ，则 的最大值为_________． 25．（2017 新课标Ⅲ） ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角 边 所在直线与 ， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 与 成 60°角时， 与 成 30°角； ②当直线 与 成 60°角时， 与 成 60°角； ③直线 与 所成角的最小值为 45°； S SA SB 7 8 SA △SAB 5 15 α β m n⊥ m α⊥ n β∥ α β⊥ m α⊥ n α∥ m n⊥ a β∥ m α⊂ m β∥ m n∥ α β∥ α β A BCD− 3AB AC BD CD= = = = 2AD BC= = ,M N ,AD BC ,AN CM ABCD ADPQ M PQ ,E F ,AB BC EM AF θ θcos a b ABC AC a b AB AC AB a AB b AB a AB b AB a 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ④直线 与 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 三、解答题 26．（2018 江苏）在平行六面体 中， ， ． 求证：(1) 平面 ； (2)平面 平面 ． 27．（2018 浙江）如图，已知多面体 ， ， ， 均垂直于平面 ， ， ， ， ． (1)证明： ⊥平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的正弦值． 28．（2017 浙江）如图，已知四棱锥 ， 是以 为斜边的等腰直角三角 形， ， ， ， 为 的中点． （Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． D1 C1 B1 A1 D C BA C1 B1 A1 C B A AB a 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA AB= 1 1 1AB B C⊥ AB∥ 1 1A B C 1 1ABB A ⊥ 1A BC 1 1 1ABCA B C 1A A 1B B 1C C ABC 120ABC∠ =  1 4A A = 1 1C C = 1 2AB BC B B= = = 1AB 1 1 1A B C 1AC 1ABB P ABCD− PAD∆ AD BC AD∥ CD AD⊥ 2 2PC AD DC CB= = = E PD CE PAB CE PBC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 29．（2017 江苏）如图，在三棱锥 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面 ABC； （2）AD⊥AC． 30．（2017 山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内部）以 边所在直线为旋转轴旋转 得到的， 是 的中点． （Ⅰ）设 是 上的一点，且 ，求 的大小； （Ⅱ）当 ， ，求二面角 的大小． E D CB A P F A B C D E ABCD AB 120° G DF P CE AP BE⊥ CBP∠ 3AB = 2AD = E AG C− − A BCD− 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 31．（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均 为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 ， 的长分别为 14cm 和 62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm． 现 有一根玻璃棒 ，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将 放在容器Ⅰ中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中 部分的长度； （2）将 放在容器Ⅱ中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中 部分的长度． 32．（2016 全国 I）如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的五面体中，面 为 正方形， ， ，且二面角 与二面角 都 是 ． AC 7 EG 1 1E G l l l A 1CC l l l E 1GG l A B C D E F ABEF 2AF FD= 90AFD∠ =  D AF E− − C BE F− − 60 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （I）证明：平面 平面 ； （II）求二面角 的余弦值． 33．（2016 全国 II）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， ， ， 点 E，F 分别在 AD，CD 上， ，EF 交 BD 于点 H．将 沿 折到 的位置， ． （I）证明： 平面 ABCD； （II）求二面角 的正弦值． 34．（2016 全国 III）如图，四棱锥 中， ⊥底面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点． （Ⅰ）证明 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． ABEF ⊥ EFDC E BC A− − 5AB = 6AC = 5 4AE CF= = ΔDEF EF ΔD EF′ 10OD′ = D H′ ⊥ B D A C′− − P ABCD− PA ABCD AD BC = 3AB AD AC= = 4PA BC= = M AD 2AM MD= N PC MN  PAB AN PMN 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 35．（2014 山东）如图，四棱锥 中， ， ， 分别为线段 的中点. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： . 36．(2014 江苏)如图，在三棱锥 中， ，E，F 分别为棱 的中点．已知 ， 求证：（Ⅰ）直线 平面 ； （Ⅱ）平面 平面 ． 37．（2014 新课标Ⅱ）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为 的中点． P A B D C N M ABCP − D ABACPC ,, ACPA ⊥ ,6=PA .5,8 == DFBC P A B C F D E DEF ABC P ABCD− AP PCD⊥ 平面 AD BC∥ 1 , ,2AB BC AD E F= = ,AD PC AP BEF∥平面 BE PAC⊥ 平面 PA ∥ BDE ⊥ P ABCD− ABCD PA ABCD E PD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）设二面角 为 60°， =1， = ，求三棱锥 的体 积． 38．（2014 天津）如图四棱锥 的底面 是平行四边形， ， , , , 分别是棱 , 的中点． （Ⅰ）证明: 平面 ； （Ⅱ）若二面角 为 60°， （ⅰ）证明：平面 ⊥平面 （ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 39．（2013 浙江）如图，在四棱锥 中， ⊥面 ， ， ， ， ， 为线段 上的点． P C D A B E F P C D A B G PB AEC D AE C− − AP AD 3 E ACD− P ABCD− ABCD 2BA BD= = 2AD = 5PA PD= = E F AD PC EF ∥ PAB P AD B− − PBC ABCD EF PBC P ABCD− PA ABCD 2AB BC= = 7AD CD= = 3PA = 120ABC∠ =  G PC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）证明： ⊥面 ； （Ⅱ）若 是 的中点，求 与 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 满足 ⊥面 ，求 的值． 40．（2013 辽宁）如图， 是圆 的直径， 垂直圆 所在的平面， 是圆 上的点． （Ⅰ）求证： （Ⅱ）设 为 的中点， 为 的重心，求证： 平面 ． 41．（2012 江苏）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 上的点（点 D 不同于点 C），且 为 的中点． 求证：（Ⅰ）平面 平面 ； （Ⅱ）直线 平面 ． 42 ． (2012 广 东 ) 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， 是 中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高． E D F A1 A B C C1 B1 P ABCD− AB ⊥ PAD / / ,AB CD PD AD= E PB F DC 1 2DF AB= PH PAD∆ AD BD APC G PC DG APC G PC BGD PG GC AB O PA O C O BC PAC⊥ 平面 ； Q PA G AOC∆ QG∥ PBC 1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1A B AC= D E， 1BC CC， AD DE F⊥ ， 1 1B C ADE ⊥ 1 1BCC B 1 //A F ADE 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积； （Ⅲ）证明： 平面 ． 43．（2011 江苏）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ， =60°， 、 分别是 、 的中点． 求证：（Ⅰ）直线 ∥平面 ； （Ⅱ）平面 ⊥平面 ． 44．（2011 广东）如图在椎体 中， 是边长为 1 的棱形，且 =60 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 45．（2010 天津）如图，在五面体 中，四边形 是正方形， ⊥平面 ， P A B CD H F E PH ⊥ ABCD E BCF− EF ⊥ PAB A B C DF E ° 2PA PD= = P A B CD F E ⊥ 1, 2, 1PH AD FC= = = ABCDP − PAD ABCD AB AD= BAD∠ E F AP AD EF PCD BEF PAD P ABCD− ABCD DAB∠ 2PB = E F BC PC AD DEF P AD B− − ABCDEF ADEF FA ABCD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∥ ， =1， = ，∠ ＝∠ ＝45°． （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明 ⊥平面 ； （Ⅲ）求二面角 的正切值． 46．（2010 浙江）如图，在平行四边形 中， =2 ，∠ =120°． 为线段 的中点，将△ 沿直线 翻折成△ ，使平面 ⊥平面 ， 为线段 的中点． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）设 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的余弦值． 2 2 F B C D E A M F D A B C A' E BC AD CD AD BAD CDA CE AF CD ABF B EF A− − ABCD AB BC ABC E AB ADE DE A DE′ A DE′ BCD F A C′ BF A DE′ M DE FM A DE′