2020年山东省新高考预测卷·数学 word版带答案及解析

共 8 页 第 1 页 2020 年山东省新高考预测卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第 I 卷选择题的正确答案选项填涂 在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回.考试时间 120 分钟，满分 150 分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求 作答的答案无效. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.设复数 z＝(2＋i)(3－2i)，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(　　) A.(4，1) B.(8，1) C.(4，－1) D.(8，－1) 2.已知集合 A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x2－4≤0}，则 A∩B＝(　　) A.{x|x≥－2} B.{x|1＜x＜2} C.{x|1＜x≤2} D.{x|x≥2} 3.“直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数 f(x)＝2sin|x|在[－π，π]上的图象大致是(　　)共 8 页 第 2 页 5.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E 是 BC 的中点，则 AB → ·(AC → ＋AE → )＝(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 6.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、 坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴 线).从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为(　　) A. 5 14 B. 3 14 C. 3 28 D. 5 28 7.已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 A(p 4，a )(a＞0)在 C 上，|AF|＝3.若直线 AF 与 C 交于另一点 B，则|AB|＝(　　) A.12 B.10 C.9 D.4.5 8.三棱锥 P－ABC 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上.若△PAC 是等边三角形，平面 PAC⊥平面 ABC，AB⊥BC，则三棱锥 P－ABC 体积的最大值为(　　) A.2 B.3 C.2 3 D.3 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 0 分. 9.已知等比数列{an}的公比为 q，前 4 项的和为 a1＋14，且 a2，a3＋1，a4 成等差数列，则 q 的值可能为(　　) A.1 2 B.1 C.2 D.3共 8 页 第 3 页 10.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式 主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式.并将收集的数据整理绘 制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是(　　) A.扇形统计图中 D 的占比最小 B.条形统计图中 A 和 C 一样高 C.无法计算扇形统计图中 A 的占比 D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 11.若将函数 f(x)＝cos (2x＋ π 12)的图象向左平移π 8个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则下列说 法正确的是(　　) A.g(x)的最小正周期为 π B.g(x)在区间[0，π 2 ]上单调递减 C.x＝ π 12不是函数 g(x)图象的对称轴 D.g(x)在[－π 6，π 6]上的最小值为－1 2 12.已知 f(x)＝2m（x2＋1） ex －1，g(x)＝(m＋2)(x2＋1)2.若 φ(x)＝ex·f(x)－g（x） ex 有唯一的零点， 则 m 的值可能为(　　) A.2 B.3 C.－3 D.－4 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 f(x)＝{x2，x < 0， 2x－2，x ≥ 0，则 f(f(－2))＝________. 14.已知 a＋2b＝1(a>0，b>0)，则2b a ＋1 b的最小值等于________. 15.已知(2－x2)(1＋ax)3 的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 a＝________，展开式中含 x2 的项的系数是________.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16.已知圆 M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点 T(－2，4)，从坐标原点 O 向圆 M 作两条切线 OP，共 8 页 第 4 页 OQ，切点分别为 P，Q，若切线 OP，OQ 的斜率分别为 k 1，k2，且 k1·k2＝－1，则|TM|的取 值范围为________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)在等差数列{an}中，已知 a6＝12，a18＝36. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)若________，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 在①bn＝ 4 anan＋1，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并 对其求解. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(cos C，2b－ 3c)，n＝ (cos A， 3a)，m∥n. (1)求角 A 的大小； (2)若△ABC 的面积为3 3 2 ，且 b2－a2＝1 2c2，求 b 的值.共 8 页 第 5 页 19.(12 分)如图①，在等腰梯形 ABCD 中，BC∥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，将△ABP 沿 BP 折起，使平面 ABP⊥平面 PBCD，得到如图②所示的四棱锥 A－BCDP，其中 M 为 AD 的中点. (1)试分别在 PB，CD 上确定点 E，F，使平面 MEF∥平面 ABC； (2)求二面角 M－PC－A 的余弦值. 20.(12 分)某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长.该企业记录了从 2014 年到 2019 年 的年利润 y(单位：百万)的相关数据，如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 年利润 y/百万 3 5 8 11 13 14共 8 页 第 6 页 (1)根据表中数据，以年份代号 t 为横坐标，年利润 y 为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所 给数据作出散点图； (2)利用最小二乘法求出 y 关于 t 的线性回归方程(保留 2 位小数)； (3)用 y ^ i 表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号 t 对应的年利润的估计值，yi 为与年份 代号 t 对应的年利润数据，当 y ^ i－yib>0)经过点 M(－2，1)，且右焦点 F( 3，0). (1)求椭圆 Γ 的标准方程； (2)过 N(1，0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆 Γ 于 A，B 两点，记 t＝MA → ·MB → ，若 t 的最大值和 最小值分别为 t1，t2，求 t1＋t2 的值.共 8 页 第 8 页 22.(12 分)已知函数 f(x)＝ex＋a－ln x(其中 e＝2.718 28…，是自然对数的底数). (1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：当 a>1－1 e时，f(x)>e＋1.共 8 页 第 9 页 2020 年山东省新高考预测卷 数学 参考答案及解析 参考答案： 1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：2 2＋2 15：2 23 16：[2 5－4，2 5＋4] 解析： 1、z＝(2＋i)(3－2i)＝8－i，所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选 D. 2、由题意得，A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，B＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，所以 A∩B ＝{x|10，符合题意. ④当 m＝－4 时，方程(*)为 2t2－8t－1＝0，得 t＝ 4 ± 3 2 2 ，只有 4＋3 2 2 >0，符合题意. 故选 A，C，D. 13、根据题意得：f(－2)＝(－2)2＝4， 则 f(f(－2))＝f(4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得 2b a ＋ 1 b＝ 2b a ＋ a＋2b b ＝ 2b a ＋ a b＋2≥2 2b a · a b＋2＝2 2＋2，当且仅当 a＝ 2b＝ 2－1 时，等号成立，所以 2b a ＋ 1 b的最小值为 2 2＋2. 15、由已知可得(2－12)(1＋a)3＝27，则 a＝2，∴(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋2x)3＝(2－ x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)，∴展开式中含 x2 的项的系数是 2×12－1＝23. 16、由题意可知，直线 OP 的方程为 y＝k1x，OQ 的方程为 y＝k2x，因为 OP，OQ 与圆 M 相切， 所以 |k1x0－y0| 1＋k ＝2 2， |k2x0－y0| 1＋k ＝2 2， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得 k21(8－ x20)＋2k1x0y0＋8－y20＝0，k22(8－x20)＋2k2x0y0＋8－y20＝0，所以 k1，k2 是方程 k2(8－x20)＋2kx0y0 ＋8－y20＝0 的两个不相等的实数根，所以 k1k2＝ 8－y 8－x.又 k1·k2＝－1，所以 8－y 8－x＝－1，即 x 20＋y20＝16.又|TO|＝ 4＋16＝2 5，所以|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，所以 2 5－4≤|TM|≤2 5＋4. 答案　[2 5－4，2 5＋4]共 8 页 第 12 页 17.　(1)由题意，{a1＋5d＝12， a1＋17d＝36， 解得 d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. (2)选条件①：bn＝ 4 2n·2（n＋1）＝ 1 n（n＋1）， Sn＝ 1 1 × 2＋ 1 2 × 3＋…＋ 1 n（n＋1） ＝(1 1－ 1 2 )＋(1 2－ 1 3 )＋…＋(1 n－ 1 n＋1) ＝1－ 1 n＋1＝ n n＋1. 选条件②：∵an＝2n，bn＝(－1)nan， ∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n， 当 n 为偶数时， Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n] ＝ n 2×2＝n；当 n 为奇数时，n－1 为偶数， Sn＝(n－1)－2n＝－n－1. ∴Sn＝{n，n为偶数， －n－1，n为奇数. 选条件③：∵an＝2n，bn＝2an·an，∴bn＝22n·2n＝2n·4n， ∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，① 4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)×4n＋2n×4n＋1，② 由①－②得， －3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n＋1 ＝ 8（1－4n） 1－4 －2n×4n＋1 ＝ 8（1－4n） －3 －2n×4n＋1， ∴Sn＝ 8 9(1－4n)＋ 2n 3 ·4n＋1. 18.　(1)法一　因为 m∥n，所以 3acos C＝(2b－ 3c)cos A， 由正弦定理得 3sin Acos C＝2sin Bcos A－ 3cos Asin C， 得 3sin(A＋C)＝2sin Bcos A， 所以 3sin B＝2sin Bcos A，因为 sin B>0，所以 cos A＝ 3 2 ，又 A∈(0，π)，所以 A＝ π 6 .共 8 页 第 13 页 法二　因为 m∥n，所以 3acos C＝(2b－ 3c)cos A， 易知 cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ，cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ，代入上式得， 3a× a2＋b2－c2 2ab ＝(2b－ 3c)× b2＋c2－a2 2bc ， 整理得， 3bc＝b2＋c2－a2，所以 cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ＝ 3 2 ， 又 A∈(0，π)，所以 A＝ π 6 . (2)由(1)得 3bc＝b2＋c2－a2，又 b2－a2＝ 1 2c2，所以 c＝ 2 3b，又 S△ABC＝ 1 2bcsin A＝ 1 2b× 2 3 b× 1 2＝ 3 3 2 ，得 b2＝9，所以 b＝3. 19.　(1)E，F 分别为 BP，CD 的中点，证明如下： 连接 ME，MF，EF，∵M，F 分别为 AD，CD 的中点， ∴MF∥AC.又 E 为 BP 的中点，且四边形 PBCD 为梯形，∴BC∥EF.∵MF⊄平面 ABC，AC⊂平面 ABC， ∴MF∥平面 ABC，同理 EF∥平面 ABC， 又∵MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面 MEF， ∴平面 MEF∥平面 ABC. (2)由题意知 AP，BP，DP 两两垂直，以 P 为坐标原点，PB，PD，PA 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∵在等腰梯形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，∴AP＝1，BP＝1，PD＝2， ∴M(0，1， 1 2)，P(0，0，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)， PC→ ＝(1，1，0)，PM→ ＝(0，1， 1 2). 设平面 MPC 的法向量为 n1＝(x，y，z)， 则{n1·PC→ ＝0， n1·PM→ ＝0， 即{x＋y＝0， y＋ 1 2z＝0，共 8 页 第 14 页 令 z＝－2，则 y＝1，x＝－1，∴n1＝(－1，1，－2)为平面 MPC 的一个法向量. 同理可得平面 PAC 的一个法向量为 n2＝(－1，1，0). 设二面角 M－PC－A 的平面角为 θ， 由图可知 θ∈(0， π 2 )， 则 cos θ＝| n1·n2 |n1|·|n2||＝ 2 6 × 2＝ 3 3 . ∴二面角 M－PC－A 的余弦值为 3 3 . 20.　(1)根据表中数据，描点如图： (2)由已知数据得t － ＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6 6 ＝3.5， y － ＝ 3＋5＋8＋11＋13＋14 6 ＝9， ∑ 6 i＝1tiyi＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230， ∑ 6 i＝1t2i＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^ ＝ ∑ 6 i＝1tiyi－6t － y － ∑ 6 i＝1t－6t － 2 ＝ 230－6 × 3.5 × 9 91－6 × 3.52 ≈2.34，a ^ ＝y － －b ^ t － ＝9－2.34×3.5＝0.81， 所以 y 关于 t 的线性回归方程为y ^ ＝2.34t＋0.81. (3)由(2)可知，当 t＝1 时，y ^ 1＝3.15；当 t＝2 时，y ^ 2＝5.49；当 t＝3 时，y ^ 3＝7.83；当 t ＝4 时，y ^ 4＝10.17；当 t＝5 时，y ^ 5＝12.51；当 t＝6 时，y ^ 6＝14.85. 与年利润数据 yi 对比可知，满足 y ^ i－yi3. 又椭圆过点 M(－2，1)，∴ 4 a2＋ 1 a2－3＝1，又 a2>3，∴a2＝6.∴椭圆 Γ 的标准方程为 x2 6 ＋ y2 3 ＝ 1. (2)设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由{x2 6 ＋ y2 3 ＝1， y＝k（x－1） 得 x2＋2k2(x－ 1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，∵点 N(1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴{x1＋x2＝ 4k2 1＋2k2，　① x1x2＝ 2k2－6 2k2＋1，　② 则 t＝MA→ ·MB→ ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)·(kx2－k－1) ＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5　③， 将①②代入③得， t＝(1＋k2)· 2k2－6 2k2＋1＋(2－k2－k)· 4k2 2k2＋1＋k2＋2k＋5， ∴t＝ 15k2＋2k－1 2k2＋1 ，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R， 则 Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0， ∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即 2t2－13t－16≤0， 由题意知 t1，t2 是 2t2－13t－16＝0 的两根， ∴t1＋t2＝ 13 2 . 22.(1)　∵a＝0 时，∴f(x)＝ex－ln x，f′(x)＝ex－ 1 x(x>0)，∴f(1)＝e，f′(1)＝e－1， ∴函数 f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为：y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝ 0.共 8 页 第 16 页 (2)证明　∵f′(x)＝ex＋a－ 1 x(x>0)， 设 g(x)＝f′(x)，则 g′(x)＝ex＋a＋ 1 x2>0， ∴g(x)是增函数， ∵ex＋a>ea，∴由 ea> 1 x⇒x>e－a， ∴当 x>e－a 时，f′(x)>0； 若 0