高三数学（文科）三诊试题第 1 页（共 19 页）
遂宁市高中 2020 届三诊考试
数学（文科）试题
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150
分。考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡
上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水
签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．已知 为实数， 为虚数单位，且 （ 为实数集），则
A ． B ． C ．
D．
{ }10 2 axxaxf 4ln6)( 2 += bxxg −= 2)(
b
2
1
e 22
1
e
23
1
e 2
3
e
xxxy ln22 −−= )1,1( −
),12( kkm −= )1,4(=n nm ⋅
)2,0(M xy 42 = F AB
A B 0=⋅ FMAM B高三数学（文科）三诊试题第 5 页（共 19 页）
16．已知 均为正实数，则 的最小值为
▲ .
三、解答题（本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。）
17．（本小题满分 12 分）
函数 的部分图象
如图所示，又函数
（1）求函数 的单调减区间；
（2）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，又
，且锐角 满足 ，若 ，求 的值。
▲
18.（本小题满分 12 分）
某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等
奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪
ayx ,, 225 2 43
y x a ax x y
+ + − ++
( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < <
( ) 8g x f x
π = +
)(xg
ABC△ A B C a b c
3c = C 1)( −=Cg sin 2sinB A= ba +高三数学（文科）三诊试题第 6 页（共 19 页）
式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽样的
方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中一等奖代表队有 6
人。
名次
性别
一等奖
代表队
二等奖
代表队
三等奖
代表队
男生 30 ？ 20
女生 30 20 30
（1）求二等奖代表队的男生人数；
（2）从前排就坐的三等奖代表队员 5 人（2 男 3 女）中随机抽取
人上台领奖，请求出只有一个男生上台领奖的概率；
（3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生
内的两个均匀随机数 ， ，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的
相应程序。若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示
“谢谢”，则不中奖。求代表队队员获得奖品的概率。
3
[ ]2,2−
x y高三数学（文科）三诊试题第 7 页（共 19 页）
▲
19.（本小题满分 12 分）
如图，在长方体 中，底面 是边长为 的正
方 形 ， 对 角 线 与 相 交 于 点 ， 点 在 线 段 上 且
， 与底面 所成角为 。
（1）求证： ；
（2） 为线段 上一点，且 ，求异面直线 与
所成角的余弦值。
▲
20.（本小题满分 12 分）
已知函数
（1）当 时， 恒成立，求正实数 的取值范围；
（2）当 时，探索函数 在 上
的零点个数，并说明理由。
▲
HKLEABCD − ABCD 3
AC BD O F AH
02 =+ HFAF BE ABCD
3
π
BEAC ⊥
M BD 2=BM AM BF
xaxxf sin)( −= )( Ra ∈
)6,0(
π∈x 0)( > )2
2,1( − ( )1,1 −
OMN∆
8
632 − N
l 0x my t− − = E A B
E P OP OA OB= + l高三数学（文科）三诊试题第 9 页（共 19 页）
22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，将曲线方程 ，
先向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到曲线 。
（1）点 为曲线 上任意一点，写出曲线 的参数方程，并
求出 的最大值；
（2）设直线 l 的参数方程为 ，（ 为参数），又直线 与曲
线 的交点为 ， ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程。
▲
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ，
（1）解不等式 ；
（2）当 ， 时，若 的值域为 ，
求证： 。
▲
xOy 14
)2(
16
)2( 22
=++− yx
2 2 C
),( yxM C C
yx 32
1 −
−=
=
ty
tx
2
2 t l
C E F x
EF l
32)( −= xxf baxxg ++= 2)(
2( )f x x<
0>a 0>b )()()( xgxfxF += [ )+∞,5
3
2
2
1
2
1 ≥+++ ba高三数学（文科）三诊试题第 10 页（共 19 页）
遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试
数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60 分）
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 D D B A A B C C A D C C
二、填空题（4 5=20 分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由函数
的部分图象可得
, ,即 ,则 ，又函数图像过点
，
则 ，
即 ，又 ，即 ，（ 每
值 1 分）
×
1−
2
17−
4
1 10
( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < <
2A = 5
2 8 8
T π π= − T π= 2 2T
πω = =
,28
π
2 28 2k
π πϕ π× + = +
2 ,4k k Z
πϕ π= + ∈ 0 ϕ π< <
4
πϕ = , ,A ω ϕ高三数学（文科）三诊试题第 11 页（共 19 页）
即 ，则
…………4 分
由 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调减区间为 ………6 分
（少 扣 1 分）
（2）由 ，得 ，因为 ，
所以 ，所以 ， ，
又 ，由正弦定理得
①． ……………8 分
由余弦定理，得 ，即
②．
由 ①② 解 得 ，
． ……………11 分
所 以
……………
12 分
18．（本小题满分 12 分）
【解析】(1)设代表队共有 人，则 ，所以 ，则三等奖
代表队的男生人数为 ，故所
求二等奖代表队的男生人数为 人。
…
…………3 分
（2）设男生为 ， ，女生为 ， ， ，随机抽取 3 人，包括
( ) 2sin(2 )4f x x
π= +
( ) 2sin[2( ) ] 2cos28 4g x x x
π π= + + =
πππ +≤≤ kxk 222 Zk ∈
2
πππ +≤≤ kxk Zk ∈
)(xg Zkkk ∈
+ ,2,
πππ
Zk ∈
1)( −=Cg
2
12cos −=C 20
π
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