高三数学（理科）三诊试题第 1 页（共 20 页）
遂宁市高中 2020 届三诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150
分。考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡
上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水
签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给
出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若复数 为纯虚数（ 为虚数单位, 为实数），则 的值为
A． B． C． D．1
3．某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策
答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90
分的具有复赛资格，某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成
,m n∈R nm ≥ 12
1 ≤
−nm
1 i
1 ia
+
+ i a 2a
4 9 4
1高三数学（理科）三诊试题第 2 页（共 20 页）
绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复
赛资格的人数为
A．650 B．660 C．680 D．700
4. 已知 满足 ，则
A． B． C． D．
5. 方程 表示的曲线的大致形状是（图中实
线部分）
A B C D
6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、
雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影
长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节
气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为
A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸
α
3
1)2cos( −=+απ
cos2 =α
7
9 12
7 7
9
− 7
18
−
02)4( 22 =−−−− yxyx高三数学（理科）三诊试题第 3 页（共 20 页）
7. 设 是定义在 上恒不为零的函数，对任意实数 ，都有
，若 ， ，则数列
的前 项和 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 2019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从
站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全
均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强
军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，
其中空中梯队编有 12 个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰
炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这 6 个梯队中，
某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选 3 个梯队了解其组成情
况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同
的选法种数为．
A．12 种 B．16 种 C．18 种 D．20 种
9. 设函数 ，若 ， ，
，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
10. 已知正三棱柱 的底面边长为 ，且该三棱柱外接球
( )f x R ,x y R∈
( ) ( ) ( )f x f y f x y= +
1
1
2a = ( )( )na f n n N+= ∈ { }na
n nS
2,3
1
1,3
1
2,2
1 1 ,12
=
−
0,3
0,3)(
x
xxf x
x
2
1log 5a f = − )2.4(log2fb =
)2( 7.0fc = , ,a b c
a b c< < b a c< <
c a b< < c b a< <
1 1 1ABC A B C− 6高三数学（理科）三诊试题第 4 页（共 20 页）
的表面积为 ，若 为底面 的中心，则 与平面
所成角的大小为
A． B． C． D．
11. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若
双曲线上存在点 满足 ，则双曲线离心率的最小
值为
A． B． C． D．
12. 已知函数 若存在 使
得 ，则实数 的最大值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分 90 分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每
个试题考生都作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ▲ 。
π14 P 1 1 1A B C PA ABC
π
3 4
π
6
π 5π
12
1F 2F ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
P 2
12 2aPFPF −=⋅
6 5 3 2
( ), ln(2 ) ln ,f x y x ax y x y= + − , (0, )x y∈ +∞
( ), 0f x y = a
1
e
1
2e
1
3e
2
e
2ln22 +−−= xxxy (1,1)高三数学（理科）三诊试题第 5 页（共 20 页）
14．已知两个单位向量 、 的夹角为 ，向量 ，则
▲ 。
15．已知点 ，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线
于 ， 两点，若 ，则点 的纵坐标为 ▲ 。
16. 如图，平行六面体 中，
， ， ，
， ，则
的长为
▲ 。
三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
17．（本小题满分 12 分）
函数 的部分图象
如图所示，又函数
（1）求函数 的单调增区间；
（2）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，又
，且锐角 满足 ，若 ， 为 边
的中点，求 的周长。
1e
2e 60
21 23 eem −=
m =
)2,0(M xy 42 = F AB
A B 0=⋅ FMAM B
1111 DCBAABCD −
5=AB 3=AD 71 =AA
3
π=∠BAD 411
π=∠=∠ DAABAA
1AC
( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < <
( ) 8g x f x
π = +
)(xg
ABC△ A B C a b c
3c = C 1)( −=Cg sin 2sinB A= M AC
BMC∆高三数学（理科）三诊试题第 6 页（共 20 页）
▲
18.（本小题满分 12 分）
如图，在长方体 中，底面 是边长为 的正
方形，对角线 与 相交于点 ，
点 在线段 上，且 ，
与底面 所成角为 。
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）设点 在线段 上，且 ∥平面 ，求 的长。
▲
19. （本小题满分 12 分）
某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、
二等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，其中一等奖代表队比三等奖
代表队多 10 人。该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁
奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 16
HKLEABCD − ABCD 3
AC BD O
F AH 02 =+ HFAF
BE ABCD 3
π
AC BE⊥
F BE D− −
M BD AM BEF DM高三数学（理科）三诊试题第 7 页（共 20 页）
人在前排就坐，其中二等奖代表队有 5 人（同队内男女生仍采用分层抽
样）
名次
性别
一等奖
代表队
二等奖
代表队
三等奖
代表队
男生 ？ 30 ◎
女生 30 20 30
（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取 人上台领奖，用 表
示女生上台领奖的人数，求 的分布列和数学期望 。
（2）抽奖活动中，代表队员
通过操作按键，使电脑自动产生
内的两个均匀随机数 ，
，随后电脑自动运行如图所示的
程序框图的相应程序。若电脑显
示“中奖”，则代表队员获相应奖
品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖。求代表队队员获得奖品的概率。
▲
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（1）判断函数 在区间 上零点的个数，并说明理由。
（2）当 时，
①比较 与 的大小关系，并说明理由；
3 X
X )(XE
[ ]2,2− x
y
xxxxf cossin)( −=
)(xf )2,0( π
π > )2
2,1( − ( )1,1 −
E
OMN∆
8
632 − N
l 0x my t− − =
E A B E
P OAPB
l
22 tm +高三数学（理科）三诊试题第 9 页（共 20 页）
22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，将曲线方程 ，
先向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到曲线 。
（1）点 为曲线 上任意一点，写出曲线 的参数方程，并
求出 的最大值；
（2）设直线 l 的参数方程为 ，（ 为参数），又直线 与曲
线 的交点为 ， ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程。
▲
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ，
（1）解不等式 ；
（2）当 ， 时，若 的值域为 ，
求证： 。
▲
xOy 14
)2(
16
)2( 22
=++− yx
2 2 C
),( yxM C C
yx 32
1 −
−=
=
ty
tx
2
2 t l
C E F x
EF l
32)( −= xxf baxxg ++= 2)(
2( )f x x<
0>a 0>b )()()( xgxfxF += [ )+∞,5
3
2
2
1
2
1 ≥+++ ba高三数学（理科）三诊试题第 10 页（共 20 页）
遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60 分）
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
C D A A B C D B A A C B
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 14. 15. 16. （选
修 2-1P98 第 3 题）
三、解答题：本大题共 70 分。
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由函数
的部分图象可得
, ,即 ,则 ，又函数图像过点
，
则 ，
即 ，又 ，即 ，（ 每个
值 1 分）
即 ，则
π
4
3 7 1− 25698 +
( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < <
2A = 5
2 8 8
T π π= − T π= 2 2T
πω = =
,28
π
2 28 2k
π πϕ π× + = +
2 ,4k k Z
πϕ π= + ∈ 0 ϕ π< <
4
πϕ = , ,A ω ϕ
( ) 2sin(2 )4f x x
π= +高三数学（理科）三诊试题第 11 页（共 20 页）
…………4 分
由 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调增区间为 ………6 分
（少 扣 1 分）
（2）由 ，得 ，因为 ，所以
，
所以 ， ，
又 ，由正弦定理得
①． ……………8 分
由余弦定理，得 ，即
②．
由①②解得 ，
． ……………10 分
又 ，所以 ，所以 为直角三角形，且
角 为直角。
故 ，所以 的周长为
。 ……
………12 分
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）因为在长方体 中，有 平面
，所以 ，
因为四边形 是正方形，所以 ，又
从而 平面 ．而 平面 ，所
以 。 ……………4 分
（2）因为在长方体 中，有 ， ， 两两垂直，
( ) 2sin[2( ) ] 2cos28 4g x x x
π π= + + =
πππ kxk 222 ≤≤− Zk ∈ πππ kxk ≤≤−
2 Zk ∈
)(xg Zkkk ∈
− ,,2
πππ
Zk ∈
1)( −=Cg
2
12cos −=C 20
πx 0)(/ >∴ xf )(xf
0 π（ ， ） 0)0()( => fxf )(xf∴ ( ]0 π，
( ],2x π π∈ 0sin )2
2,1( −
( )1,1 −
∴ 2)1(1 22 =−+=R
2== Ra
)2
2,1( − 12 2
22
=+
b
yx 1b =
∴ E
12
2
2
=+ yx
),( 00 yxN )0( 0
322 =+ tm
22 tm +
3
14
)2(
16
)2( 22
=++− yx 2
2 C
14
)22(
16
)22( 22
=−+++− yx 1416
22
=+ yx C
=
=
θ
θ
sin2
cos4
y
x (θ
),( yxM C
)3cos(4sin32cos232
1 πθθθ +=−=− yx
yx 32
1 −
4
1416
22
=+ yx高三数学（理科）三诊试题第 19 页（共 20 页）
数方程为 ，
（ 为参数），所以直线 的普通方程为 ，
所 以 有 解 得 或
， ……………8 分
所以线段 的中点坐标为 ，即线段 的中点坐
标为 ，直线 的斜率为 ，则与直线 垂直的直线的斜率为 ，
故所求直线的直角坐标方程为 ，即 ，将
代 入 ， 得 其 极 坐 标 方 程 为
……
………10 分
23．（本小题满分 10 分）
【解析】：（1）不等式 化为 ，即 ，
等价于 ①或 ②，
由 ① 解 得 ， 由 ② 解 得 或
232 2x x− <
2
3
2
2 3
x
x x
≥
−
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