秘密★启用前[考试时间:2020 年 4 月 13 日 15:00~17:00]
眉山市高 2017 级第三次诊断性考试
数 学(文史类)
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={x|y= },B={-2,-1,0,1,2,3},则 A∩B=
A.{-2,-1,0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{2,3}
2.若 i 为虚数单位,则复数 z=-sin -icos ,则 z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.“实数 x>1”是“log2x>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|< )的图象如图,则此函数表达式为
A.f(x)=3sin(2x+ ) B.f(x)=3sin( x+ )
C.f(x)=3sin(2x- ) D.f(x)=3sin( x- )
5.已知 m,n 是两条不重合的直线,α 是一个平面,则下列命题中正确的是
1
1x −
2
3
π 2
3
π
2
π
4
π 1
2 4
π
4
π 1
2 4
πA.若 m//α,n//α,则 m//n B.若 m//α,n α,则 m//n
C.若 m⊥n,m⊥α,则 n//α D.若 m⊥α,n//α,则 m⊥n
6.已知实数 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为
A.-1 B.2 C.7 D.8
7.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+ csinA=b+c,则 A=
A. B. C. D.
8.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化。右图是一个八卦图,包含乾、
坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“ ”表示一个阳爻,
“ ”表示一个阴爻)。若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰
有两个阴爻的概率为
A. B. C. D.
9.如图,平面四边形 ACBD 中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC= ,现将△ABD
沿 AB 翻折,使点 D 移动至点 P,且 PA⊥AC,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为
A.8π B.6π C.4π D.
⊂
1 0
3 3 0
0
x y
x y
y
− + ≥
− − ≤
≥
3
6
π
4
π
3
π 2
3
π
1
3
1
2
2
3
3
4
2
8 2
3
π10.设 F1,F2 是双曲线 C: 的左,右焦点,O 是坐标原点,过点 F2
作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P。若|PF1|= |OP|,则 C 的离心率为
A. B. C.2 D.3
11.函数 f(x)=ax-2 与 g(x)=ex 的图象上存在关于直线 y=x 对称的点,则 a 的取值范围是
A.(-∞, ] B.(-∞, ] C.(-∞,e] D.(-∞,e2]
12.已知抛物线 C:y2=4x 和点 D(2,0),直线 x=ty-2 与抛物线 C 交于不同两点 A,B,直线
BD 与抛物线 C 交于另一点 E。给出以下判断:
①直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为-2;
②AE//y 轴;
③以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切
其中,所有正确判断的序号是
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知平面向量 a=(m,2),b=(1,3),且 b⊥(a-b),则向量 a 与 b 的夹角的大小为 。
14.某中学举行了一次消防知识竞赛,将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组,绘制如图所示
的频率分布直方图,记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组,已知第二组
的频数是 80,则成绩在区间[80,100]的学生人数是 。
15.已知 sin(α+ )= ,且 >
6
2 3
4
e
2
e
4
π 3
5 4
π 3
4
π每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
某商场为改进服务质量,随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查。调查后,就顾客
“购物体验”的满意度统计如下:
(1)是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?
(2)若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 6 人发放价值 100 元的购物券。若在
获得了 100 元购物券的 6 人中随机抽取 2 人赠其纪念品,求获得纪念品的 2 人中仅有 1 人是
女顾客的概率。
附表及公式: 。
18.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}满足 a1=1,公差 d>0,等比数列{bn}满足 b1=a1,b2=a2,b3=a5。
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足 =an+1,求{cn}的前 n 项和 Sn。
19.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,△PAD 是边长为 2 的正
三角形,PC= ,E 为线段 AD 的中点。
(1)求证:平面 PBC⊥平面 PBE;
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
31 2
1 2 3
n
n
c cc c
b b b b
+ + +⋅⋅⋅+
10(2)是否存在满足 (λ>0)的点 F,使得 VB-PAE= VD-PFB?若存在,求出 λ 的值;若
不存在,请说明理由。
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其短半轴长为 1,一个焦点坐标为(1,0),点 A 在椭圆 C 上,
点 B 在直线 y= 上,且 OA⊥OB。
(1)证明:直线 AB 与圆 x2+y2=1 相切;
(2)求△AOB 面积的最小值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=ex-xlnx+ax,f'(x)为 f(x)的导数,函数 f'(x)在 x=x0 处取得最小值。
(1)求证:lnx0+x0=0;
(2)若 x≥x0 时,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值范围。
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
记分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系,设点 A 在曲线 C2:ρsinθ=1 上,点 B 在曲线 C3:θ=- (ρ>0)上,且△AOB
为正三角形。
(1)求点 A,B 的极坐标;
(2)若点 P 为曲线 C1 上的动点,M 为线段 AP 的中点,求|BM|的最大值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f(x)=|2x+1|。
(1)解不等式:f(x)+f(x-2)≤6;
(2)求证:f(x+a2)-f(x-1)≤|x+2a2+3|+|x+2a-a2|。
PF FCλ= 3
4
2
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
6
π