四川省眉山市2020届高三数学（理）第三次诊断性试题（Word版附答案）

秘密★启用前[考试时间：2020 年 4 月 13 日 15：00～17：00] 眉山市高 2017 级第三次诊断性考试 数学(理工类) (考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|y＝ }，B＝{－2，－1，0，1，2，3}，则( A)∩B＝ A.{－2，－1，0，1，2} B.{0，1，2，3} C.{1，2，3} D.{2，3} 2.若 i 为虚数单位，则复数 z＝－sin ＋icos 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“φ＝－ ”是“函数 f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线 x＝－ 对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.幻方最早起源于我国，由正整数 1，2，3，……，n2 这 n2 个数填入 n×n 方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫 n 阶幻方。定义 f(n)为 n 阶幻方对角 线上所有数的和，如 f(3)＝15，则 f(10)＝ A.55 B.500 C.505 D.5050 5.已知 m，n 是两条不重合的直线，α，β 是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是 A.若 m//α，α//β，则 m//β 或 m β B.若 m//n，m//α，n α，则 n//α C.若 m⊥n，m⊥α，n⊥β，则 α⊥β D.若 m⊥n，m⊥α，则 n//α 1 2 x− R 2 3 π 2 3 π 8 π 8 π ⊂ ⊄6.(x2－2)(x＋2)5 的展开式中含 x4 的项的系数为 A.－20 B.60 C.70 D.80 7.若不相等的非零实数 x，y，z 成等差数列，且 x，z，y 成等比数列，则 A.－ B.－2 C.2 D. 8.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化。右图是一个八卦图，包含乾、 坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳爻， “ ”表示一个阴爻)。若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 A. B. C. D. 9.在△ABC 中，点 P 为 BC 中点，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线分别交于点 M，N，若 ， (λ>0，µ>0)，则 λ＋μ 的最小值为 A. B.2 C.3 D. 10.如图，平面四边形 ACBD 中，AB⊥BC，AB＝ ，BC＝2，△ABD 为等边三角形，现将 △ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PB⊥BC，则三棱锥 P－ABC 的外接球的表面积 为 A.8π B.6π C.4π D. x y z + = 5 2 7 2 3 56 3 28 3 14 1 4 AM ABλ=  AN ACµ=  5 4 7 2 3 8 2 3 π11.若函数 f(x)＝ex 的图象上两点 M，N 关于直线 y＝x 的对称点在 g(x)＝ax－2 的图象上，则 a 的取值范围是 A.(－∞， ) B.(－∞，e) C.(0， ) D.(0，e) 12.已知抛物线 C：y2＝4x 和点 D(2，0)，直线 x＝ty－2 与抛物线 C 交于不同两点 A，B，直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E。给出以下判断： ①以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为－2； ③设过点 A，B，E 的圆的圆心坐标为(a，b)，半径为 r，则 a2－r2＝4。 其中，所有正确判断的序号是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x＋y 的最大值为 。 14.某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所示 的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组 的频数是 80，则成绩在区间[80，100]的学生人数是 。 15.设双曲线 C： 的左焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双 曲线 C 的两条渐近线顺次交于 A，B 两点，若 ，则 C 的离心率为 。 16.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f'(x)。若 x>0 时，f'(x)3x2＋2x－1 的解集是 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 2 e 2 e 1 0 3 3 0 0 x y x y y − + ≥ − − ≤ ≥    2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3FB FA= 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 某商场为改进服务质量，随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查。调查后，就顾客 “购物体验”的满意度统计如下： (1)是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关? (2)为答谢顾客，该商场对某款价格为 100 元/件的商品开展促销活动。据统计，在此期间顾客 购买该商品的支付情况如下： 将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 X，求 X 的分布列和数学期望。 附表及公式： 。 18.(本小题满分 12 分) 已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ csinA＝b＋c。 (1)求 A； (2)若 a＝ ，b＋c＝3，求 b，c。 19.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2 的正 三角形，PC＝ ，E 为线段 AD 的中点。 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 3 3 10(1)求证：平面 PBC⊥平面 PBE； (2)若 F 为线段 PC 上一点，当二面角 P－DB－F 的余弦值为 时，求三棱锥 B－PDF 的体积。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为(1，0)，点 A 在椭圆 C 上， 点 B 在直线 y＝ 上，且 OA⊥OB。 (1)证明：直线 AB 与圆 x2＋y2＝1 相切； (2)设 AB 与椭圆 C 的另一个交点为 D，当△AOB 的面积最小时，求 OD 的长。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ex－xlnx＋ax，f'(x)为 f(x)的导数，函数 f'(x)在 x＝x0 处取得最小值。 (1)求证：lnx0＋x0＝0； (2)若 x≥x0 时，f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值范围。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，设点 A 在曲线 C2：ρsinθ＝1 上，点 B 在曲线 C3：θ＝－ (ρ>0)上，且△AOB 为正三角形。 (1)求点 A，B 的极坐标； (2)若点 P 为曲线 C1 上的动点，M 为线段 AP 的中点，求|BM|的最大值。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x＋1|。 (1)解不等式：f(x)＋f(x－2)≤6； 5 5 2 cos sin x y θ θ =  = 6 π(2)求证：f(x＋a2)－f(x－1)≤|x＋2a2＋3|＋|x＋2a－a2|。