2019届高三数学（理）5月月考试卷（Word版附解析）

高三 2019 年 5 月月考试卷 数学（理） 一、选择题：（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解一元二次不等式化简 的表示，运用集合交集的定义直接求解即可. 【详解】因为 ， ， 所以 . 故选：D 【点睛】本题考查了集合交集的运算定义，属于基础题. 2.设 为 的共轭复数，则其虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 运用复数除法的运算法则化简复数 ，利用共轭复数的定义求出 ，最后求出它的虚部. 【详解】因为 ，所以由题意可知： ，该复数的虚部为： . 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数虚部的定义， 考查了数学运算能力. { }2, 1,0,1A = − − ( ){ }| 2 0B x x x= + < A B = { }| 2 0x x− < < { } { }| 2 0 1x x− < <  { }2, 1,0− − { }1− B ( ){ } { }| 2 0 | 2 0B x x x x x= + < = − < < { }2, 1,0,1A = − − A B = { }1− z 1 i i+ 1 2 1 2 − 2 i 1 i i+ z (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 2 i i i i i i i ⋅ − += =+ + ⋅ − 1 2 iz −= 1 2 − 3.执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ） A. 95 B. 47 C. 23 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】 按照程序框图运行框图，直至 时，退出循环体，输出 值. 【详解】初始条件为： ，因为 成立，所以 ； 因为 成立，所以 ； 因为 成立，所以 ； 因为 成立，所以 ，因为 不成立，所以退出 循环体，输出 . 故选：B 【点睛】本题考查了根据程序框图求输出变量的值，考查了当型循环结构，属于基础题. 4.已知等比数列 满足 ，则 （ ） A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 【答案】A 【解析】 x 3n > x 2, 0x n= = 0 3n = ≤ 2 2 1 5, 0 1 1x n= × + = = + = 1 3n = ≤ 2 5 1 11, 1 1 2x n= × + = = + = 2 3n = ≤ 2 11 1 23, 2 1 3x n= × + = = + = 3 3n = ≤ 2 23 1 47, 3 1 4x n= × + = = + = 4 3n = ≤ 47x = { }na 1 2 2 33 6a a a a+ = + =， 7a = 试题分析：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ． 考点：等比数列的通项公式． 【此处有视频，请去附件查看】 5.已知 ， ， 是三个向量，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据充分性、必要性的定义，结合平面向量模的性质、平面向量的数量积定义直接判断即可. 【详解】当 成立时，例如当 时， ，显然两个平面向量的模相等， 这两个平面向量不一定相等，因此由 成立时，不一定能得到 ； 当 时，显然 成立，所以“ ”是“ ”的必要而不充分 条件. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了平面向量的定义及加法的运算性质，属 于基础题. 6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） 1 2 2 3 3{ 6 a a a a + = + = 1 1{ 2 a q = = 6 6 7 1 2 64a a q= = = a b c a b a c+ = +    b c=  a b a c+ = +    0a =  b c=  a b a c+ = +    b c=  b c=  a b a c+ = +    a b a c+ = +    b c=  A. 27 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示， 其中底面 是边长为 的正方形， 平面 平面 平面 ，∴ ， ．∴四棱锥的侧面积 ． 考点：由三视图求面积、体积． 7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记 载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹 的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位 的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示， 十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是 ，则 8335 用算筹可表示为（  ） A. B. ABCD 3 DA ⊥ PAB AP ⊥， 4ABCD AP CD= ∴ ⊥， ， 5PAD PB PD= =， 1 1 1 156 62 2 2 2ADP ABP CDPS AD AP S AB AP S CD PD= ⋅ = = ⋅ = = ⋅ =    ， ， 1 15 2 2CBPS BC BP= ⋅ =  15 156 6 272 2S = + + + = C. D. 【答案】B 【解析】 千位 8 用横式表示为 , 百位 3 用纵式表示为 ,十位 3 用横式表示为 , 个位 5 用纵式 表示为 ,因此选 B. 8.2016 年“一带一路”沿线64 个国家 GDP 之和约为 12.0 万亿美元，占全球 GDP 的 ； 人口总数约为 32.1 亿，占全球总人口的 ；对外贸易总额（进口额＋出口额）约为 71885.6 亿美元，占全球贸易总额的 . 2016 年“一带一路”沿线国家情况 人口（万人） GDP（亿美元） 进口额（亿美元） 出口额（亿美元） 蒙古 301.4 116.5 38.7 45.0 东南亚 11 国 63852.5 25802.2 11267.2 11798.6 南亚 8 国 174499.0 29146.6 4724.1 33085 中亚 5 国 6946.7 2254.7 422.7 590.7 西亚、北非 19 国 43504.6 36467.5 9675.5 8850.7 东欧 20 国 321619 26352.1 9775.5 113884 关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况，能够从上述资料中推出的是（ ） A. 超过六成人口集中在南亚地区 B. 东南亚和南亚国家 GDP 之和占全球的 以上 C. 平均每个南亚国家对外贸易额超过 1000 亿美元 D. 平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额 【答案】C 【解析】 【分析】 利用表中所给的数据对四个选项逐一判断即可. 16.0% 43.4% 21.7% 8% 【详解】A ：南亚地区人口总数为 174499.0 万人，“ 一带一路” 沿线国家人口总数为： 321266.1 万人，所以 ，故本选项说法不正确的； B：东南亚和南亚国家 GDP 之和 54948.8 亿美元，“一带一路”沿线国家GDP 之和 120139.6 亿美元，所以 ，所以东南亚和南亚国家 GDP 之和占“一带一路”沿线国家 GDP 之和的 ，因此东南亚和南亚国家 GDP 之和占全球的 ，故本选 项说法是不正确的； C：南亚国家对外贸易额的平均值为： ，故本选项说法是正确的； D：平均每个东欧国家的进口额为： ，平均每个西亚、北非国家的进口额 为： ，故本选项说法是不正确的. 故选：C 【点睛】本题考查了根据数据对一些说法进行判断，考查了平均数的求法，考查了数学阅读 能力. 二、填空题：（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9.在极坐标系中，圆 被直线 所截得的弦长为____． 【答案】 【解析】 由题意得圆 ，直线 ，所以交点为 ，弦长 为 10.已知椭圆 的离心率是 ，则双曲线 的两条渐近线方程 为______. 【答案】 174499.0 321266.1 54%≈ 54948.8 120139.6 46%≈ 46% (46%) (16%) 7%× ≈ 4724.1 3308. 10008 5 .075 + = 488.77520 9775.5 = 509.2419 9675.5 ≈ 2cosρ θ= 1cos 2 ρ θ = 3 2 2 2 22 ( 1) 1x y x x y+ = ⇒ − + = 1 2x = 1 3( , )2 2 ± 3 3( ) 3.2 2 − − = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1 3 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 3y x= ± 【解析】 【分析】 设椭圆的焦距为 ，根据椭圆的离心率公式可得椭圆中 之间的关系，再利用椭圆中 的关系求出 之间的关系，最后根据双曲线的渐近线方程求出双曲线 的两条渐 近线方程. 【详解】设椭圆的焦距为 ，由题意可知： ，所以双曲线 的 两条渐近线方程为： . 故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力. 11.已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【解析】 若 ，则 在 上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则 在 上为减函数,所以 ，解得 ，所以 . 考点：指数函数的性质. 【此处有视频，请去附件查看】 12.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为__________． 2c ,a c , ,a b c ,a b 2 2 2 2 1x y a b − = 2c 2 2 2 2 2 2 21 2 29 8 93 3 c ba c c a b a ba a = ⇒ = = − ∴ = ⇒ = ± 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 3y x= ± 2 2 3y x= ± ( ) ( 0, 1)xf x a b a a= + > ≠ [ ]1,0− a b+ = 3 2 − 1a > ( )f x [ ]1,0− 1 1{ 1 0 a b b − + = − + = 0 1a< < ( )f x [ ]1,0− 1 0{ 1 1 a b b − + = + = − 1 { 2 2 a b = = − 3 2a b+ = − x y， 2 0 1 x y x y y + ≤  − ≥  ≥ − 2z x y= + 【答案】5 【解析】 作出可行域如图： 由 解得 ，由 得 ，平移直线 ，结合图 象知，直线过点 A 时， ，故填 5. 13.在 中， ， ， ，则 ______. 【答案】1 或 2 【解析】 【分析】 利用余弦直接求解即可. 【详解】由余弦定理可知： ，解得 或 2. 故答案为：1 或 2 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 14.对于各数互不相等的整数数组 （其中 是不小于 3 的正整数），若 ，当 时，有 ，则称 ， 为该数组的一个“逆序”，一个数组 中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组 的逆序数等于2. （1）数组 的逆序数等于______. （2）若数组 的逆序数为 ，则数组 的逆序数为______. 2 0 1 x y y + − =  = − 3 1A −（ ， ） 2z x y= + 2y x z= − + 2y x= − max 5z = ABC∆ 60A = ° 7a = 3b = c = 2 2 2 22 cos 3 2 0a b c bc A c c= + − ⋅ ⇒ − + = 1c = ( )1 2, , , ni i i n { }, 1,2, ,p q n∀ ∈ ⋅⋅⋅ p q< p qi i> pi qi ( )2,3,1 ( )5,2,4,3,1 ( )1 2, , , ni i i n ( )1 1, , ,n ni i i−  【答案】 (1). 8 (2). 【解析】 【分析】 （1）根据逆序数的定义直接求解即可； （2）对于含有 个数字的数组中，首先考虑任意两个数可以组成一对数对，送到逆序的个数 即可. 【详解】（1）根据逆序数的定义可知：数组 的逆序有： ，一共 8 个，故数组 的逆序数等于 8； （2）数组 可以组成 个数列，而数组 的逆序数为 ，所 以数组 的逆序数为 . 故答案为：8； 【点睛】本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，考查了组合的应用，考查了数学运算 能力. 三、解答题：（共 6 小题，共 80 分） 15.已知 . （1）求函数 在 上 最大值和最小值； （2）若曲线 的对称轴只有一条落在区间 上，求 的取值范围. 【答案】（1） ； .（2） 【解析】 【分析】 （1）运用降幂公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式，把函数解析式化为正弦型函数解析式 形式，由正弦函数的单调性求出函数的最值； （2）根据正弦型函数的解析式求出对称轴，根据题意求出 的取值范围. 的 ( )2 23 2 n n n C n − − n ( )5,2,4,3,1 5,2;5,4;5,3;5,1;2,1;4,3;4,1;3,1 ( )5,2,4,3,1 ( )1 2, , , ni i i 2 ( 1) 2n n nC −= ( )1 2, , , ni i i n ( )1 1, , ,n ni i i−  2 2 3 2n n nC n −− = ( )2 23 2 n n n C n − − ( ) ( )2sin sin 3 cosx x xf x += ( )f x 0, 2 π     ( )y f x= [ ]0,m m ( )min 0f x = ( )max 3f x = 5,3 6m π π ∈   m 【详解】（1） ， 当 时， ， 由正弦函数的性质知： 当 ，即 时， ， 当 ，即 时， . （2）由 ， ， 得 ， ， 时， ， 时， ， 时， . 又 对称轴只有一条在 上， ∴ . 【点睛】本题考查了正弦型函数的最值问题，考查了降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角 公式，考查了正弦型函数的单调性和对称性，考查了数学运算能力. 16.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有 5 名专家评委给每位参 赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分 和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分， 将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E ( ) 22sin 2 3sin cosf x x x x= + 1 cos2 3sin 2x x= − + 2sin 2 16x π = − +   0, 2x π ∈   52 ,6 6 6x x π π − ∈ −   2 6 6x π π− = − 0x = ( )min 0f x = 2 26x ππ− = 3x π= ( )max 3f x = 2 6 2x k π π π− = + k Z∈ 3 2 kx π π= + k Z∈ 1k = − 6x π= − 0k = 3x π= 1k = 5 6x π= ( )f x [ ]0,m 5,3 6m π π ∈   评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 （1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于 9 的概率； （2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均 数 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数 和观众评分的平均数 ，用 作为该选手最终得分．请直接写出 与 的大小关系． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） . 【解析】 【分析】 （1）由频率和为 1 可得 a 的值，用某场外观众评分不小于 9 的频率可估计概率； （2）计算概率可得分布列和期望． （3）由两组数据的比重可直接作出判断.． 【详解】（1）由图知 ，某场外观众评分不小于 9 的概率是 ． （2）X 的可能取值为 2，3．P（X=2）= ；P（X=3）= ． 所以 X 的分布列为 X 2 3 x 1x 2x 1 2 2 x x+ x 1 2 2 x x+ 10.3, 2 1 2 2 x xx +＜ 1 0.2 0.5 0.3a = − − = 1 2 2 1 4 1 3 5 3 5 C C C = 3 4 3 5 2 5 C C = P 所以 E（X）=2× ． 由题意可知， ，所以 E（Y）=np= ． （3） ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题． 17.如图，直四棱柱 的底面 是边长为 2 的菱形， ， . 、 分别为 和 的中点.平面 与棱 所在直线交于点 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）判断点 是否与点 重合. 3 5 2 5 3 2 1235 5 5 + × = 13 2Y B    ～ ， 3 2 1 2 2 x xx +＜ 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 3BAD π∠ = 1 2AA = E F BC 1CC AEF 1DD G DEF ⊥ 1 1BCC B 1AC AEF 1D G 【答案】（1）证明见解析（2） （3） 与 重合. 【解析】 【分析】 （1）在平面 中，利用菱形的性质可以证明出 ，结合直棱柱的性质、线面垂 直的性质定理可以证明出 ，这样利用线面垂直、面面垂直的判定定理证明出平面 平面 ； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出直线 与平面 所成角的正弦 值； （3）通过空间向量数量积公式可得 ，利用线面的相交关系，可以证明出点 与点 重合.或者通过设点 的坐标，通过空间向量数量积公式，由 ，可以求出 的坐标， 这样就可以证明出点 与点 重合. 【详解】证明：（1）如图所示，连结 ， ， ∵四边形 为菱形， 且 ，∴ ， 又 为等边 的边 的中点， ∴ . 又直四棱柱中， 平面 ， 平面 ， ∴ . 又 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又 平面 ，∴平面 平面 . （2）法 1： ∵ ， ， 三线垂直， 3 30 40 G 1D ABCD DE BC⊥ 1DE BB⊥ DEF ⊥ 1 1BCC B 1AC AEF 1D F n⊥  1D G G 0GF n⋅ =  G 1D G DB DE ABCD 3BAD π∠ = DB DC CB= = E BCD∆ BC DE BC⊥ 1B B ⊥ ABCD DE ⊂ ABCD 1DE BB⊥ 1BB BC B= 1,BB BC ⊂ 1 1B BCC DE ⊥ 1 1BCC B DE ⊂ DEF DEF ⊥ 1 1BCC B 1DD DA DE ∴以 为原点， ， ， 所在的直线为 ， ， 轴建系，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 得 . 设直线 与平面 所成角为 ， 则 . ∴直线 与平面所成角正弦值为 . D DA DE 1DD x y z ( )2,0,0A ( )1 2,0,2A ( )1, 3,0C − ( )0, 3,0E ( )1, 3,1F − ( )2, 3,0AE = − ( )1,0,1EF = − ( )1 3, 3, 2AC = − − AEF ( )0 0 0, ,n x y z= 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 n AE x y n AF x z  ⋅ = − + = ⇒ ⋅ = − + =    0 3=x ( )3,2, 3n = 1AC AEF θ 1 1 1 sin cos , n AC n AC n AC θ ⋅ = =       3 3 2 3 2 3 3 30 4016 10 − + − = = × 1AC 3 30 40 法 2： 如图所示，连结 ， 交于点 .连接 ， 交于 ， ∵四边形 为菱形，∴ ， 又 ， 底面 ，∴ 平面 . 易得 ， ， 三线垂直，如图所示. 以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 得 ， ∴ ， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 . AC BD O 1 1AC 1 1B D O ABCD AC BD⊥ 1 1/ /OO BB 1BB ⊥ ABCD 1OO ⊥ ABCD OB OC 1OO O OB OC 1OO x y z ( )0, 3,0A − ( )1,0,0B ( )0, 3,0C 1 3, ,02 2E       ( )0, 3,1F ( )1 0, 3,2A − ( )1 0,2 3, 2AC = − 1 3, 3,02 2AE  =     ( )0,2 3,1AF = AEF ( )0 0 0, ,n x y z= 0 0 n AE n AF  ⋅ =  ⋅ =   0 0 0 0 1 3 3 02 2 2 3 0 x y y z  + =  + = 0 1y = − ( )3 3, 1,2 3n = − 1 1 1 cos , n ACn AC n AC ⋅=      2 3 4 3 3 30 404 2 10 − − −= = × 1AC AEF θ 1 3 30sin cos , 40AC nθ = =  （3）法 1： ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 又 平面 ，∴ 平面 ， 即 平面 ， 由已知 平面 ， 且 平面 ， ∴ 与 点重合. 法 2：设 . 则 ， ( )1 0,0,2D ( )1, 3,1F − ( )1 1, 3, 1D F = − − 1 3 2 3 3 0D F n⋅ = − + − =  1D F n⊥  F ∈ AEF 1D ∈ AEF 1D = 1AEF DD G = 1AEF DD 1DD ⊄ AEF 1D G ( )0,0,G λ ( )1, 3,1GF λ= − − ∴ ，即 ， ∴ ，又 ， 即 与 重合. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求线面角，考查了推理论证 能力和数学运算能力. 18.已知抛物线 ： 经过点 ，过点 作直线 交 于 ， 两点， 、 分别交直线 于 ， 两点. （1）求 的方程和焦点坐标； （2）设 ，求证： 为定值. 【答案】（1）抛物线 ： ，焦点 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）把 的坐标代入抛物线方程中求出 的方程，写出焦点坐标即可； （2）设出直线 的方程，与抛物线方程联立，根据判别式求出直线 方程中的参数取值范围， 设出直线 的方程，与 联立，求出 点坐标，同理求出 点坐标，求出 的表达式，结合根与系数的关系，最后计算 的结果是常数即可. 【详解】解：（1）∵抛物线 经过点 ， ∴ ，∴ ， 抛物线 ： ，焦点 . 证明：（2）∵ 过点 且与抛物线交于两点， ∴ 的斜率存在且不为 0. 设 ： ， ， 0GF n⋅ =  ( )3 2 3 3 1 0 2λ λ− + + × − = ⇒ = ( )0,0,2G ( )1 0,0,2D G 1D E 2 2y px= ( )4,4P ( )0,2Q l E A B PA PB 4 3x = − M N E 4 ,03D −   DM DN⋅ E 2 4y x= ( )1,0F ( )4,4P E l l PA 4 3x = − M N DM DN⋅ DM DN⋅ 2 2y px= ( )4,4P 24 8p= 2p = E 2 4y x= ( )1,0F l ( )0,2Q l l ( )2x m y= − ( ) 2 2 2 4 8 0 4 x m y y my m y x  = − ⇒ − + = = 由 得 ，即 或 ， 设 ， ， 则 ， ， ： ， 令 得 ， ∴ ， 同理得 ， ∴ ， 其中 ， ， ， 将以上 3 式代入上式得 为定值. （ 或 时， ） 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标，考查了直线与抛物线的位置关系，考查 了抛物线中定值问题，考查了数学运算能力. > 0∆ 2 2 0m m− > 0m < 2m > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y m+ = 1 2 8y y m= PAl ( )( )1 1 1 44 4 44 yy x xx −− = − ≠− 4 3x = − ( )1 1 1 12 16 16 3 4 x yy x − += − ( )1 1 1 12 16 164 ,3 3 4 x yM x  − +−  −  ( )2 2 212 16 164 ,3 3 4 x yN x  − +−  −  ( ) ( )1 1 2 2 1 2 12 16 6 12 16 16 3 4 3 4D x y x y xD xM N⋅ − + − += − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 16 9 12 16 16 12 16 9 4 16 x x x x y y y y x y x y x x x x + + + − + − + +  = − + +   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 44 4 16x x y y y y m= × = = ( ) ( )1 2 1 2 4 4 1x x m y y m m+ = + − = − 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 4 4x y x y y y y y+ = + ( ) 2 1 2 1 2 1 84 y y y y m= + = ( ) ( ) 2 2 2 16 36 48 1 128 64 96 16 9 4 16 1 16 m m m m m m DM DN m m m  + − + − − + = − + ⋅  −  ( ) ( ) 2 2 16 12 16 16 16 99 12 16 16 m m m m × − + + = = − + + 0m < 2m > 212 16 16 0m m− + + ≠ 19.已知函数 ，其中 . （1）当 时，求 函数图像在点 处的切线； （2）求函数 的单调递减区间； （3）若函数 的在区间 的最大值为 ，求 的值. 【答案】（1） （2）①当 时，无减区间； ②当 时， 减区间为 . ③当 时， 减区间为 . ④当 时， 减区间为 ； （3） 【解析】 【分析】 （1）对函数进行求导，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后求出切线方程即可； （2）对函数进行求导，让导函数为零，根据导函数为零的根的正负性、两根之间的大小关系 进行分类讨论求出函数的单调区间； （3）根据（2）中的结论，结合已知求出 的值. 【详解】解：（1） 时， ， ， ， ， 切线： . （2） ， ①当 即 时， 恒成立， ( ) ( )2 2 2 1 lnf x x ax a x= − + − a R∈ 0a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x ( )f x [ ]1,e 4a− a 1y = 2a = 2a > ( )f x ( )1, 1−a 1 2a< < ( )f x ( )1,1a − 1a ≤ ( )f x ( )0,1 2 2 2 6 ea e −= − a 0a = ( ) ( )2 2ln 0f x x x x= − > ( ) 2' 2f x x x = − ( )' 1 2 2 0f = − = ( )1 1f = 1y = ( ) ( ) ( )2 1' 2 2 0af x x a xx −= − + > ( ) ( ) ( )2 2 1 12 2 2 1 x x ax ax a x x − − − − + −  = = 1 1a − = 2a = ( ) ( )22 1' 0xf x x −= ≥ ∴ 在 递增，无减区间； ②当 即 时， 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ∴ 减区间 . ③当 ，即 时， 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ∴ 减区间为 . ④当 即 时， 1 - 0 + 极小值 ∴ 减区间为 . 为 ( )f x ( )0, ∞+ 1 1a − > 2a > x ( )0,1 ( )1, 1−a 1a − ( )1,a − +∞ ( )'f x ( )f x    ( )f x ( )1, 1−a 0 1 1a< − < 1 2a< < x ( )0, 1a − 1a − ( )1,1a − ( )1,+∞ ( )'f x ( )f x    ( )f x ( )1,1a − 1 0a − ≤ 1a ≤ x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )'f x ( )f x   ( )f x ( )0,1 综上所述： ①当 时，无减区间； ②当 时， 减区间为 . ③当 时， 减区间为 . ④当 时， 减区间为 ； （3）由（2）问结论知， 时， 在 上单调递增，∴ 合题意， 由（2）知，当 时， 在 处或 处取到， 又 时， 且 最大也不成立. ∴ . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，考查了利用导数求函数的减区间，考查了数学运算能 力. 20.无穷数列 满足： ，且对任意正整数 ， 为前 项 ， ，…， 中等于 的项的个数. （1）直接写出 ， ， ， ； （2）求证：该数列中存在无穷项的值为 1； （3）已知 ，求 . 【答案】（1） ；（2）证明见解析过程； 2a = 2a > ( )f x ( )1, 1−a 1 2a< < ( )f x ( )1,1a − 1a ≤ ( )f x ( )0,1 ( ],2a∈ −∞ ( )f x [ ]1,e ( ) ( )maxf x f e= 2 2 2 2 4e ae a a= − + − = − ( ]2 2 ,22 6 ea e −⇒ = ∈ −∞− 2a > ( )maxf x ( )1f ( )f e ( )1 1 2 4f a a= − = − ( )1 2,2a = − ∉ +∞ ( )f e 2 2 2 6 ea e −= − { }na 1 3a = n 1na + n 1a 2a na na 2a 3a 4a 5a 1, 3 0, 3 n n n ab a ≤=  > 1 2 nb b b+ +⋅⋅⋅+ 2 3 4 51, 1, 2, 1a a a a= = = = （3） 【解析】 【分析】 （1）根据题意直接求解即可； （2）运用反证法证明即可； （3）先求出前若干项发现规律，分类讨论求亲解即可. 【详解】（1）因为 ，所以由题意可得： ； （2）假设 中只出现有限个 1，当妨设最后出现 1 的项是第 项，即 . 当 时，显然 ，若 是数列 中，最大的项，所以数列中存在 无数项是相等的，不妨设下标由小及大的这些项为： ， 设数列 中，等于 的项共有 项，到 ，所以有 ，这与 相矛盾，故假设 中只出现有限个 1 不成立， 即该数列中存在无穷项的值为 1； （3）通过计算可求出数列前 30 项值如下： 通过上表可知：从第 11 项起有以下规律： ， 当 时， ； 当 时， ( 10) 10 ( 6 6 2 6 4, 2)2 9 ( 6 1 6 3, 2)2 n n n nS n k n k n k k n n k n k k   ≤  += = = + = + ≥  + = ± = + ≥ 或 或 或 1 3a = 2 3 4 51, 1, 2, 1a a a a= = = = { }na k 1ka = 1n k≥ + 0 2 n ka a≤ ≤ 0ka 1 2, , , ka a a ( ) 1 2 1 1ji i ia a a i k= = = = ≥ +  1 2, , , ka a a 1ia ( 0)λ λ ≥ 0 1kj a= + 0 01 1 1ji k ka a aλ+ = + + ≥ + 0 2 n ka a≤ ≤ { }na { } { } { } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5 3 6 1 6 2 6 3 7 1 n n n a a a n n n 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 42, 1, 2, 2, 2, 3( 2)k k k k k ka k a a k a a k a k− + + + += + = = + = = + = ≥ 10n ≤ 1n nb S n= ⇒ = 6 4( 2)n k k= + ≥ ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 当 时， 综上所述： 【点睛】本题考查数学阅读能力，考查了分类讨论思想，考查了反证法 ( )10 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 2 2 10 3 3 7 k k n i i i i i i i i S S b b b b b b k− + + + + = = = + + + + + + = + = +∑ ∑ 6 3( 2)n k k= + ≥ ( )10 6 4 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 2 3 6 k n k i i i i i i i S S b b b b b b b k+ − + + + + = = − + + + + + + = +∑ 6 2( 2)n k k= + ≥ ( )10 6 4 6 3 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 2 3 6 k n k k i i i i i i i S S b b b b b b b b k+ + − + + + + = = − − + + + + + + = +∑ 6 1( 2)n k k= + ≥ ( )10 6 4 6 3 6 2 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 2 3 5 k n k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b k+ + + − + + + + = = − − − + + + + + + = +∑ 6 ( 2)n k k= ≥ ( )10 6 4 6 3 6 2 6 1 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 2 3 5 k n k k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b b k+ + + + − + + + + = = − − − − + + + + + + = +∑ 6 1( 2)n k k= − ≥ ( )10 6 4 6 3 6 2 6 1 6 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 2 3 4 k n k k k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b b b k+ + + + − + + + + = = − − − − − + + + + + + = +∑ ( 10) 10 ( 6 6 2 6 4, 2)2 9 ( 6 1 6 3, 2)2 n n n nS n k n k n k k n n k n k k   ≤  += = = + = + ≥  + = ± = + ≥ 或 或 或