绝密★启用前
广西 2020 年 4 月份高三教学质量诊断性联合考试
数学(理科)
(试卷总分：150 分 考试时间：120 分钟)
●注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷(选择题，共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题所给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.设集合 A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{y|y＝x3，x∈R}，则 A∩B＝
A.{0，1，2，3} B.{1，2，3} C.[1，3] D.{－1，0，3}
2.若复数 z＝4－i，则 z· ＝
A.15 B.16 C.17 D.18
3.总体由编号为 01，02，…，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，
选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选
出的第 4 个个体的编号为
附：第 6 行至第 9 行的随机数表
A.3 B.19 C.38 D.20
4.执行如下所示程序框图，若输出的 y＝0，则输入的 x 为
zA.－3 或 0 B.－3 或－5 C.－5 或 0 D.－5 或－3 或 0
5.计算 的值为
A. B. C. D.
6.双曲线 －y2＝1 的离心率等于
A. B. C. D.
7.函数 y＝ 在区间[－2π，2π]上的图象大致是
8.设 α，β 表示平面，l 表示直线，A，B，C 表示三个不同的点，给出下列命题：
①若 A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则 l α； ②若 A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则 α∩β＝AB；
③若 l α，A∈l，则 A α； ④若 A，B，C∈α，A，B，C∈β，则 α 与 β 重合。
其中，正确的有
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
9. 的展开式中，含 x2 的项的系数是
A.－40 B.－25 C.25 D.55
10.设函数 f(x)＝alnx＋bx2(a>0，b>0)，若函数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线与直线 x＋y－2e＝0
2 2 2 2
1 1 1 1
2 1 3 1 4 1 ( 1) 1n
+ + +⋅⋅⋅+− − − + −
1
2( 2)
n
n
+
+
3 1
4 2( 2)
n
n
+− +
3 1 1 1( )4 2 1 2n n
− ++ +
3 1 1
2 1 2n n
− ++ +
2
4
x
5
2 5 3
2 3
sin cosx x
x
+
⊂
⊄ ∉
6
2 1(1 2 )x x x
−
+垂直，则 的最小值为
A.1 B. C.3－2 D.3＋2
11.下列叙述中正确的是
①集合 A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋y2＝9}，则 A∩B＝ ；
②若函数 f(x)＝ 的定义域为 R，则实数 a< ；
③函数 f(x)＝ 是偶函数；
④函数 f(x)＝x－xsin2x，x∈(－2π，2π)有 5 个零点。
A.①③ B.②④ C.②③④ D.①②④
12.已知函数 ，点 P，Q，R 是直线 y＝m(m>0)与函数 f(x)的
图象自左至右的某三个相邻交点，且 2|PQ|＝|QR|＝ ，则 ω＋m＝
A. B. C.3 D.
第 II 卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知向量 a＝(－1，－2)，b＝(－3，m)，其中 m∈R。若 a，b 共线，则|b|＝ 。
14.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2＋an，Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sn＝36，则 n＝ 。
15.已知椭圆 C： 的右焦点为 F，点 M 在 C 上，点 N 为线段 MF 的中点，
点 O 为坐标原点，若|MF|＝2|ON|＝4，则 C 的离心率为 。
16.在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝3，点 E 在侧棱 B1B 上，且 BE＝1。
设三棱锥 D1－DEC1 的体积为 V1，四棱锥 E－ABCD 的体积为 V2，则 的值为 。
三、解答题(共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频
1 1
a b
+
1
2 2 2
∅
2
4
3
x
ax x
−
+ −
1
12
29
4 4
x
x
−
− −
( ) ( )1 06 2f x sin x
πω ω
+
= + >
2
3
π
5
2
32 2
+ 5 3
2
+
2 2
2 1( 0)9
x y aa
+ = >
2
1V
V率分布直方图(如图)。已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，
40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]。
(1)求直方图中 x 的值；
(2)如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校 800 名新生中有多少
名学生可以申请住宿。
18.(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB＝2a＋b。
(1)求 C；
(2)若△ABC 的面积 S＝ c，求 ab 的最小值。
19.(12 分)如图 1，在△MBC 中，MA 是 BC 边上的高，MA＝3，AC＝4。如图 2，将△MBC
沿 MA 进行翻折，使得二面角 B－MA－C 为 90°，再过点 B 作 BD//AC，连接 AD，CD，
MD，且 AD＝2 ，∠CAD＝30°。
(1)求证：CD⊥平面 MAD；
(2)在线段 MD 上取一点 E 使 ，求直线 AE 与平面 MBD 所成角的正弦值。
20.(12 分)已知函数 f(x)＝lnx－a(x＋1)，a∈R，在(1，f(1))处的切线与 x 轴平行。
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)若存在 x0>1，当 x∈(1，x0)时，f(x)－ ＋2x＋ >k(x－1)恒成立，求 k 的取值范围。
21.(12 分)已知过点 P(0，2)的直线与抛物线 C：x2＝4y 相交于 A，B 两点。
3
2
3
1
3
ME
MD
=
2
2
x 1
2(1)若 ，且点 A 在第一象限，求直线 AB 的方程；
(2)若点 A，B 在直线 y＝－2。上的射影分别为 A 1，B1，线段 A1B1 的中点为 Q，求证
BQ//PA1。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)，以坐标原点 O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ＋ )＝ 。
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标(ρ>0，0≤θ
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