绝密★启用前
2020 年高考桂林贺州崇左市联合调研考试
数学(理科)
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.i 是虚数单位，复数 z＝1－i 在复平面上对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
2.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1，4)，P(X>2)＝0.3，P(Xmn
10.过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(在 x 轴上方)，l 为 C 的准
线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则点 M 到直线 NF 的距离为
(A)2 (B)3 (C) (D)2
11.在一个数列中，如果 n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，
k 叫做这个数列的公积。已知数列{an}是等积数 列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1＋a2
＋…＋a2020＝
(A)4711 (B)4712 (C)4713 (D)4715
12.已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝(2m＋3)x＋n，若对任意的 x∈(0，＋∞)，总有 f(x)≤g(x)恒成立，
记(2m＋3)n 的最小值为 F(m，n)，则 F(m，n)最大值为
(A)1 (B) (C) (D)
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作
3
3 3 5 2
∀
1
e 2
1
e
1
e答，第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13.已知向量 a＝(2，－6)，b＝(3，m)，若|a＋b|＝|a－b|，则 m＝ 。
14.某校为了解学生学习的情况。采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n
人中，抽取 90 人进行问卷调查。已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人数为 。
15.点 P 在双曲线 的右支上，其左、右焦点分别为 F1、F2，直线 PF1
与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2，则该
双曲线的离心率为 。
16.某校 13 名学生参加军事冬令营活动。活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级
别从小到大共 9 种，分别为士兵、排长连长、营长团长、旅长、师长、军长和司令。游戏分
组有两种方式，可以 2 人一组或者 3 人一组。如果 2 人一组，则必须角色相同；如果 3 人一
组，则 3 人角色相同或者 3 人为级别连续的 3 个不同角色。已知这 13 名学生扮演的角色有 3
名士兵和 3 名司令，其余角色各 1 人， 现在新加入 1 名学生，将这 14 名学生分成 5 组进
行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获
得了煤气开关旋钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据
处理(如下表)，得到了散点图(如右图)。
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >表中 。
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋ 哪一个更适宜作烧开一壶水时间 y 关于开关旋钮
旋转的弧度数 x 的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
(3)若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时烧开一壶水最省煤气?
附：对于一组数据(u1，v1)( u2，v2)( u3，v3)，…，(un，vn)，其回归直线 v＝βu＋α 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为 。
18.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的内角 A、 B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b＝4c，
B＝2C。
(1)求 cosB 的值；
(2)若 c＝5，点 D 为边 BC 上一点，且 BD＝6，求△ADC 的面积。
19.(本小题满分 12 分)底面 ABCD 为菱形且侧棱 AE⊥底面 ABCD 的四棱柱被一平面截取后
得到如图所示的几何体。若 DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3。
(1)求证：EG⊥DF；
(2)求二面角 A－HF－C 的正弦值。
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： ，与 x 轴负半轴交于 A(－2，0)，
离心率 e＝ 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，连接 AM，AN 并延长交直
10
2
1
1 1, 10i i
iix
ω ω ω
=
= = ∑
2
d
x
1
2
1
( )( )
,
( )
n
i i
i
n
i
i
v v u u
v u
u u
β α β=
=
− −
= = −
−
∑
∑
5
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1
2线 x＝4 于 E(x3，y3)，F(x4，y4)两点，已知 。
求证：直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标。
21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝ (x>0)。
(1)若 f(x)> 恒成立，求整数 k 的最大值；
(2)求证：(1＋1×2)·(1＋2×3)…[1＋n×(n＋1)]>e2n－3。
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写
清题号。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
已知曲线 C，的参数方程为 ，(θ 为参数)。 以直角坐标系的原点 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin2θ＝4cosθ。
(1)求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2)若过点 F(1，0)的直线 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 交于 M，N 两点，求： 的
取值范围。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知 f(x)＝|x－1|＋1，F(x)＝ 。
(1)解不等式 f(x)≤2x＋3；
(2)若方程 F(x)＝a 有三个不同的解，求实数 a 的取值范围。
1 2 3 4
1 1 1 1
y y y y
+ = +
( )1 ln 1x
x
+ +
1
k
x +
2 cos
sin
x
y
θ
θ
= =
FA FB
FM FN
( ) 3
12 3 3
f x x
x x
≤
− >
，
，
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