2020 年兰州市高三诊断考试
数学（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将
自己的姓名、考号填写在答题纸上.
2.本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题
无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集定义求解．
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2.已知复数 ，则 （ ）
A. 5 B. C. 13 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
{ }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈ A B =
{ }0,2,4 { }2,4 { }1,3,5
{ }1,2,3,4,5
{ }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈
{2,4}A B∩ =
5i 22 iz = +− z =
5 13首先进行除法运算化简 ，再求模即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.
3.已知非零向量 ， 给定 ，使得 ， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分析各个命题中向量 ， 的关系，然后根据充分必要条件的定义确定．
【详解】 ，使得 ，则 ， 共线，
等价于 ， 同向，
因此 是 的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分
必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要
条件的定义判断即可．
4.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦和正切公式可求出 的值.
【详解】 ，
z
5i 5 (2 )2 2 1 2i2 i 5
i iz
+= + = + = +− 5z =
a b :p Rλ∃ ∈ λa b= :q a b a b+ = + p q
a b
:p Rλ∃ ∈ λa b= a b
:q a b a b+ = + a b
p q
21 tan5 7 22sin cos12 12 tan 2
α
π π
α
−
= tanα =
4 3 4− 3−
tanα
5 7 5 5 5 5 5 12sin cos 2sin cos 2sin cos sin12 12 12 12 12 12 6 2
π π π π π π ππ = − = − = − = − ，由题意可得 ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
5.已知双曲线 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上，得到 a＝2b，再根据 e 求
解.
【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上，
所以 a＝2b，即 a2＝4b2，
所以 e ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6.已知集合 ，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，列举出所有的基本事件，
22 2 1 tan1 tan 222
tantan 2tan2 2
αα
α α α
−− = = 2 1
tan 2α = − tan 4α = −
( )2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
− = ＞ ， ＞
5
2 3 5 2 3
b
a
= − 2 2 2
2 2
c a b
a a
+= =
b
a
= −
2 2 2
2 2
5
2
c a b
a a
+= = =
5 7 11 13, , , ,6 6 6 6 6A
π π π π π = A
1
10
2
5
3
5
3
10
5 13 1sin sin sin6 6 6 2
π π π= = = 7 11 1sin sin6 6 2
π π= = −并列举出事件“从 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概
率公式可求出所求事件的概率.
【详解】由题意可得 ， ，
从 中任选两个角，所有的基本事件有： 、 、 、 、
、 、 、 、 、 ，共
种情况.
其中，事件“从 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有： 、
、 、 ，共 个，
因此，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率为 .
故选：B
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.
7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如
图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
A
5 13 1sin sin sin6 6 6 2
π π π= = = 7 11 1sin sin6 6 2
π π= = −
A 5,6 6
π π
7,6 6
π π
11,6 6
π π
13,6 6
π π
5 7,6 6
π π
6
5
6
11,
π π
5 13,6 6
π π
7 11,6 6
π π
7 13,6 6
π π
11 13,6 6
π π
10
A 5,6 6
π π
13,6 6
π π
5 13,6 6
π π
7 11,6 6
π π
4
A 4 2
10 5
=根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据
得到的两变量间的相关系数为 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 ，则 ；③可
以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数；以上判断中正确
的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．
【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误；
对于②，用这五组数据得到 两变量间的相关系数为 ，∵第一组数据 是离群值，去
掉后得到的相关系数为 ，其相关性更强，∴ ，②正确；
对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数，只是
预测值，∴③错误；
综上可知正确命题个数是 1．
故选：B．
【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题．
8.已知函数 ，且 ， ， ，则 、
、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析出函数 是偶函数，且在 上为增函数，利用偶函数的性质可得 ，
利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较 、 、 的大小关系，利用函
数 在 上的单调性可得出 、 、 的大小关系.
的
1r 2r 1 2r r<
1r (1,4,1,1)
2r 1 2r r<
( ) ( )2ln 1f x x= + ( )0.20.2a f= ( )3log 4b f= 1
3
log 3c f
=
a
b c
a b c> > c a b> > c b a> > b c a> >
( )y f x= [ )0,+∞ ( )1c f=
0.20.2 1 3log 4
( )y f x= [ )0,+∞ a b c【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
，函数 为偶函数，
，
由于函数 在 上为增函数，函数 为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决
问题的能力，属于中等题.
9.已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为底面圆周上
的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥高和底面的半径相等，且点 D 为底面圆周上的一点，∠ABD＝60，可知 D 为 的
中点，则以底面中心为原点，分别以 OD，OE，OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，不
妨设底面半径为 1，求得向量 ， 的坐标，代入公式 cos ， 求
解.
【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面 DEB.
∵点 D 为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，
∴AB＝AD＝DB；
∴D 为 的中点
( ) ( )2ln 1f x x= + R ( ) ( ) ( )2 21ln 1 ln 12f x x x= + = +
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1ln 1 ln 12 2f x x x f x − = − + = + = ( )y f x=
( ) ( )1
3
log 3 1 1c f f f
∴ = = − =
2 1u x= + [ )0,+∞ lny u=
( ) ( )2ln 1f x x= + [ )0,+∞
0.2 0
3 30 0.2 0.2 1 log 3 log 4< < = = ω ( )f x 1y =
( )0,π ω
1 3,2 4
1 5,2 4
5 3,4 2
5 5,4 2
【分析】
利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程 在 上有
3 个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得 的范围.
【 详 解 】
，
的图象与直线 在 上有 3 个不同交点，
即方程 在 上有 3 个实根，
由 得 ，所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，
属于中档题.
11.已知点 ，抛物线 ， 为抛物线的焦点， 为抛物线的准线， 为抛物
线上一点，过 作 ，点 为垂足，过 作 的垂线 ， 与 交于点 ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出图形，推导出直线 为线段 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得 ，进
而可得出 ，利用 、 、 三点共线可求得 的最小值.
【详解】根据抛物线定义得 ， ，则 为 的垂直平分线，
， .
故选：D.
2sin 2 4 2x
πω − =
( )0,π
ω
( ) ( ) 1 cos2 1 2 1sin sin cos sin 2 sin 22 2 2 4 2
xf x x x x x x
ω πω ω ω ω ω− = + = + = − +
( )f x 1y = ( )0,π
2sin 2 4 2x
πω − =
( )0,π
( )0,x π∈ 2 ,24 4 4x
π π πω ωπ − ∈ − −
9 1124 4 4
π π πωπ< − ≤ 5 3
4 2
ω< ≤
( )4, 2M − − 2 4x y= F l P
P PQ l⊥ Q P FQ 1l 1l l R
QR MR+
1 2 5+ 2 5 17 5
1l FQ RQ FR=
QR MR FR MR+ = + F R M QR MR+
PF PQ= 1l FQ⊥ 1l FQ
FR RQ∴ = ( )224 1 2 5QR MR FR MR FM∴ + = + ≥ = + + =
【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数
形结合思想的应用，属于中等题.
12.已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将 题 干 中 的 等 式 变 形 为 ， 可 得 出 ， 并 构 造 函 数
，可得出 ，进而可得出 ，利用 求得
的值，可得出函数 的解析式，进而利用导数可求得函数 的最小值.
【详解】由 ，变形得 ，即 ，
（ 为常数），则 ， ，得 .
， ，
R ( )f x ( )f x′ ( )f x ( ) ( ) 2 xxf x f x x e′ − =
( )1f e= ( )f x
e− e 1
e
1
e
−
( ) ( )
2
xxf x f x ex
− =′ ( ) xf x ex
′ =
( ) ( )f xF x x
= ( ) xf x e cx
= + ( ) xf x xe cx= + ( )1f e= c
( )y f x= ( )y f x=
( ) ( ) 2 xxf x f x x e− =′ ( ) ( )
2
xxf x f x ex
− =′ ( ) xf x ex
′ =
( ) xf x e cx
∴ = + c ( ) xf x xe cx= + ( )1f e c e= + = 0c =
( ) xf x xe∴ = ( ) ( )1 xf x x e∴ = +′当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，则 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的
关键，考查计算能力，属于中等题.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答.第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 ，则 _____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据分段函数 的定义域，先求 ，再求 的值.
【详解】∵函数 ，且 ，
∴ ，
∴ f（ ）＝2 .
.故答案为：4.
【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.已知向量 ， 满足 ，向量 ， 夹角为 ，且 ，则向量
________．
1x < − ( ) 0f x′ < ( )y f x=
1x > − ( ) 0f x′ > ( )y f x=
( )y f x= 1x = − ( ) ( )min
11f x f e
= − = −
( ) 2 1
2 1 1
x xf x
x x
( )f x
( )y f x= 1x 2x ( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < −
2 3 1 0x y+ − − =
( )1f ( )1f ′
( ) 2 2 3x x af x x
− + −′ = 2 2 3 0x x a− + − = > 0∆ 0∆ ≤
( )f x′ ( )y f x=
( ) 0f x′ = 1x 2x 1 2 2 3x x+ =
1 2x x a= ( )0,3a∈ ln ln 2 0a a a a− − + >
( ) ln ln 2x xg x xx = − − + ( )0,3x∈ ( ) 0g x >
( )f x ( )0, ∞+
2 3a = ( ) 21 12 3 2 3 ln 2 2f x x x x= − − +
( ) 2 32 3f x xx
′ = − −
( )1 1f ′ = − ( )1 2 3f =
( )y f x= ( )( )1, 1f ( )2 3 1y x− = − −
2 3 1 0x y+ − − =
( ) 2 2 32 3 a x x af x xx x
− + −′ = − − = 2 2 3 0x x a− + − =①当 ， ，时，有 ， ，满足
，
和 时 ，
即函数 在 和 上为减函数；
时， ，即函数 在 上 增函数；
②当 时， ， 恒成立，所以函数 在 为减函数.
综上可知：
当 时，函数 在 和 上为减函数，
在 上为增函数；
当 时，函数 在 上为减函数；
（Ⅲ）因为 有两个极值点 、 ，
则 有两个正根 、 ，则有 ，且
， ，即 ，
所以
若要 ，即要 ，
构造函数 ，则 ，易知 在 上为增
函数，
且 ， ，
所以存在 使 即 ，
且当 时 ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
为
12 4 0a∆ = − > ( )0,3a∈
1 3 3x a= + − 2 3 3x a= − −
1 2 0x x> >
( )20,x x∈ ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )y f x= ( )0, 3 3 a− − ( )3 3 ,a+ − +∞
( )2 1,x x x∈ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )3 3 , 3 3a a− − + −
3a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+
0 < < 3a ( )y f x= ( )0, 3 3 a− − ( )3 3 ,a+ − +∞
( )3 3 , 3 3a a− − + −
3a ≥ ( )y f x= (0, )+∞
( )y f x= 1x 2x
( ) 2 2 3 0x x af x x
− + −′ = = 1x 2x 12 4 0a∆ = − >
1 2 2 3x x+ = 1 2 0x x a= > ( )0,3a∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
12 3 ln 1 ln 72f x f x x x a x x x x a a a+ = + − − + + = − + +
( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < − ln ln 2 0a a a a− − + >
( ) ln ln 2x xg x xx = − − + ( ) 1lng x x x
′ = − ( )y g x′= ( )0,3
( )1 1 0g′ = − < ( ) 12 ln 2 02g′ = − >
( )0 1,2x ∈ ( )0 0g x′ = 0
0
1ln x x
=
( )01,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )y g x=
( )0 ,2x x∈ ( ) 0g x′ > ( )y g x=所以函数 在 上有最小值为 ，
又因为 则 ，所以 在 上恒成立，
即 成立.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用
导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ，
曲线 C2 的直角坐标方程为 .
（1）若直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度；
（2）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2 上，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将直线 l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆 C1 的极坐标方程，转化为直角
坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长.
（2）将曲线 C2 的直角坐标方程转换为参数方程为 （0≤θ≤π），由 A（1，0），B
（0，1），P（2cosθ，2sinθ），得到 ， 的坐标，再利用数量积公式得到
，然后用正弦函数的性质求解.
( )y g x= ( )1,2 ( )0 0 0 0 0 0
0
1ln ln 2 3g x x x x x x x
= − + + = − +
( )0 1,2x ∈ 0
0
1 52, 2x x
+ ∈
( )0 0g x > ( )0 1,2x ∈
( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < −
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 4cos
πρ α = +
24y x= −
AB AP⋅
6 1 2 1AB AP ⋅ ∈ − +
，2
2
2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
AB AP AB AP⋅
2 2 14sin
πθ = − + 【详解】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数，
得直角坐标方程为 x+y﹣1＝0，
因为曲线 C1 的极坐标方程为 ，
所以
所以直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y＝0，
标准式方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，
所以圆心（1，﹣1）到直线 x+y﹣1＝0 的距离 d ，
所以弦长|MN|＝2 .
（2）因为曲线 C2 的直角坐标方程为 .
所以 x2+y2＝4 ，转换为参数方程为 （0≤θ≤π）.
因为 A（1，0），B（0，1），点 P 在曲线 C2 上，故 P（2cosθ，2sinθ），
所以 ， ，（0≤θ≤π），
所以 ，
因为
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系
以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
【选修 4-5：不等式选讲】
23.已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a.
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 4cos
πρ α = +
2 2 2 sincosρ ρ α ρ α= −
1 2
22
= =
2 22( 2) ( ) 62
− =
24y x= −
0y≥ 2
2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
( )11AB = − ， ( )2 1 2AP cos sinθ θ= − ，
AB AP⋅ = 1 2 2cos sinθ θ= − + 2 2 14sin
πθ = − +
30 , 4 4 4
π π πθ π θ≤ ≤ − ≤ − ≤
2 12 4sin
πθ − ≤ − ≤
1 2 1AB AP ⋅ ∈ − +
，2（1）求不等式 f（x）＞4 的解集；
（2）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1） （2）[﹣4，0]
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值 ，再分类解不等式 f（x）＞
4.
（2）根据对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，则 f（x）min≥g（x）min，由（1）知，
f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，解不等式 2≥|2a+2|+a
即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 f（x）＞4 即为 或 或 ，
解得 或 x＞1，
所以不等式的解集为 ；
（2）由（1）知，当 x＝﹣1 时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）
|+a＝|2a+2|+a，
由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，
故 f（x）min≥g（x）min，
即 2≥|2a+2|+a，
所以
解得﹣4≤a≤0，
所以实数 a 的取值范围为[﹣4，0].
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归
( )5 13
∞ ∞ − − ∪ + ， ，
( )
3 1 1
3 1 1
3 1 1
x x
f x x x
x x
− − ≤ −
= + − <
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