2020 年兰州市高三诊断考试
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项
中，只有项是符合题目要求的
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集定义求解．
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2.已知复数 ，则 （ ）
A. 5 B. C. 13 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先进行除法运算化简 ，再求模即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.
{ }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈ A B =
{ }0,2,4 { }2,4 { }1,3,5
{ }1,2,3,4,5
{ }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈
{2,4}A B∩ =
5i 22 iz = +− z =
5 13
z
5i 5 (2 )2 2 1 2i2 i 5
i iz
+= + = + = +− 5z =3.已知非零向量 ， 给定 ，使得 ， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分析各个命题中向量 ， 的关系，然后根据充分必要条件的定义确定．
【详解】 ，使得 ，则 ， 共线，
等价于 ， 同向，
因此 是 的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分
必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要
条件的定义判断即可．
4.若 ，则 （ ）
A 4 B. 3 C. -4 D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】
对等式两边分别化简，然后可求值．
【详解】 ，
，
∴ ， ．
a b :p Rλ∃ ∈ λa b= :q a b a b+ = + p q
a b
:p Rλ∃ ∈ λa b= a b
:q a b a b+ = + a b
p q
21 tan5 7 22sin cos12 12 tan 2
α
π π
α
−
= tanα =
5 7 12sin cos 2sin( )cos( ) 2cos sin sin12 12 2 12 2 12 12 12 6 2
π π π π π π π π π= − + = − = − = −
2
2
1 tan 2 22
tantan 2tan2 2
1 tan 2
α
α α α
α
−
= =
−
2 1
tan 2α = − tan 4α = −故选：C．
【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，掌握二倍角公式是解题关键．
5.已知双曲线 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上，得到 a＝2b，再根据 e 求
解.
【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上，
所以 a＝2b，即 a2＝4b2，
所以 e ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6.已知集合 ，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据诱导公式确定正弦值相等的角有几对，然后可计算出概率．
【详解】 ， ， ， ，因此
这一对正弦值相等， 这三个中任取 2 个共有三对，它们正弦值相等，
共有 4 对正弦值相等，而从 5 个角中任取 2 个有 10 种取法，
( )2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
− = ＞ ， ＞
5
2 3 5 2 3
b
a
= − 2 2 2
2 2
c a b
a a
+= =
b
a
= −
2 2 2
2 2
5
2
c a b
a a
+= = =
4 6 9 11, , , ,5 5 5 5 5A
π π π π π = A
1
10
2
5
3
5
3
10
4
5 5
π ππ= − 6
5 5
π ππ= + 9 25 5
π ππ= − 11 25 5
π ππ= +
6 9,5 5
π π 4 11, ,5 5 5
π π π∴概率为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，可用列举法写出基本事件．
7.已知函数 ，且 ， ， ，则 、
、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值 0 和 1 比较幂和对数的的大小，最后可得结
论．
【详解】由题意知 是偶函数，由复合函数单调性知在 上，函数单调递增，
， ， ， ，
又 ，∴ ．
故选：D
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数
与对数函数的性质，属于中档题．
8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如
图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
【
4 2
10 5P = =
2( ) ln( 1)f x x= + ( )0.20.2a f= ( )3log 4b f= 1
3
log 3c f
=
a
b c
a b c> > c a b< < c b a> > b c a> >
( )f x [0, )+∞
0.20 0.2 1< < 3log 4 1> 1
3
log 3 1= − 1
3
(log 3) ( 1) (1)c f f f= = − =
0.2
30 0.2 1 log 4< < < a c b< ω ( )f x 1y =
( )0,π ω
1 3,2 4
1 5,2 4
5 3,4 2
5 5,4 2
2sin 2 4 2x
πω − =
( )0,π
ω
( ) ( ) 1 cos2 1 2 1sin sin cos sin 2 sin 22 2 2 4 2
xf x x x x x x
ω πω ω ω ω ω− = + = + = − +
( )f x 1y = ( )0,π
2sin 2 4 2x
πω − =
( )0,π
( )0,x π∈ 2 ,24 4 4x
π π πω ωπ − ∈ − −
9 1124 4 4
π π πωπ< − ≤ 5 3
4 2
ω< ≤
( )4, 2M − − 2 4x y= F l P
P PQ l⊥ Q P 1l 1l x R的最小值为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
求出焦点坐标 ，设 ，由导数知识得出切线斜率，计算 斜率，结合抛物
线定义得 为 的垂直平分线．这样 ，问题可转化为求抛物线上点到焦点和抛
物线外一定点距离和的最小值．
【详解】由已知 ，设 ， ， ，则过 的切线斜率为 ，
点坐标为 ， ， ，根据抛物线定义有 ， 为
的垂直平分线． ，
∴ ，当且仅当 共线时
等号成立．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的切线，抛物线上的点到焦点与定点距离和的
最小值问题．解题关键是得出切线 是线段 的垂直平分线，从而进行问题的转化．
12.对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 满足 是 上
的单调函数，且 在区间 上的值域也为 ，则称函数 为区间 上的“保
值函数”， 为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数 是
上的“保值函数”；②若函数 是 上的“保值函数”，则 ；③对于
函数 存在区间 ，且 ，使函数 为 上的“保值函
数”．其中所有真命题的序号为（ ）
QR MR+
1 2 5+ 2 5 17
(0,1)F
2
0
0 , 4
xP x
QF
1l FQ RF RQ=
(0,1)F
2
0
0 , 4
xP x
2
4
xy =
2
xy′ = P 0
2
xk =
Q ( )0 , 1x −
0
2
FQk x
= − 1FQk k× = − PF PQ= 1l FQ
RF RQ=
2 2( 4 0) ( 2 1) 5QR MR FR MR FM+ = + ≥ = − − + − − = , ,F R M
1l PQ
D ( )y f x= [ ] ( ),a b D a b⊆ < ( )f x [ ],a b
( )f x [ ],a b [ ],a b ( )f x [ ],a b
[ ],a b ( ) 2 2f x x x= − [ ]0,1
( ) 2 1xg x = − [ ],a b 1a b+ =
( ) 2exh x x= [ ]0,m 1 ,12m ∈
( )h x [ ]0,mA. ② B. ③ C. ①③ D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据函数单调性定义和“保值函数”的概念判断即可，②结合函数 的图象可得结论，
③由导数确定函数在 是单调递增的，而方程 有两个解 （ ），
构造新函数 ，由零点存在定理确定 的零点 即可．
【详解】由“保值函数”定义可知 为区间 上的“保值函数”则 在 上是
单调函数且在区间 时其值域也为 ，那么当函数 为增函数时满足条件
在 上有两个不同的实数解 ， 的函数 就是“保值函数”，
命题①中 ，虽满足在 上单调但值域为 ，不是 ，故①为假命
题；
②中由 的图象可知，函数在 上单调且值域为 ，其为区间 上的“保
值函数”故②为真命题；
③中 ，则由 在 成立，所以 为 上的增函
数，再由 解得有两个根 ， ，构造函数 ， 是减函数，
( )g x
[0, )+∞ 2 xx e x= 1 20,x x= 2
2
1 xex
=
1( ) xk x ex
= − ( )k x 2
1( ,1)2x ∈
( )f x [ ],a b ( )f x [ ],a b
[ ],a b [ ],a b ( )f x
( )x f x= [ ],a b a b ( )f x
( ) 2 2f x x x= − [ ]0,1 [ ]1,0− [ ]0,1
( ) 2 1xg x = − [ ]0,1 [ ]0,1 [ ]0,1
( ) 2 xh x x e= ( ) ( )2 2 0xh x e x x′ = + ≥ [ ]0,m ( )h x [ ]0,m
2 xx e x= 1 0x = 2
2
1 xex
= ( ) 1 xk x ex
= − ( )k x， ，由零点存在性定理知存在 ，使 成立，故③
为真命题．综上所有真命题的序号为②③，
故选：D．
【点睛】本题考查函数新定义“保值函数”，围绕 在 上单调，且在区间 上，
其值域也是 是解题关键，考查转化与化归思想，属于难题．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知函数 ，则 _____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据分段函数 的定义域，先求 ，再求 的值.
【详解】∵函数 ，且 ，
∴ ，
∴ f（ ）＝2 .
.故答案为：4.
【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.已知向量 ， 满足 ，向量 ， 夹角为 ，且 ，则向量
________．
【答案】
【解析】
【分析】
1 02k >
( )1 0k < 2
1 ,12x m = ∈
2 xx e x=
( )f x [ , ]a b [ , ]a b
[ , ]a b
( ) 2 1
2 1 1
x xf x
x x
× × ×
95%
( )1 0.08 5 0.16 15 0.36 25 0.24 35 0.12 45 0.04 55 27.8 cmx = × + × + × + × + × + × =
( )2 0.04 5 0.12 15 0.24 25 0.32 35 0.20 45 0.08 55 32.6 cmx = × + × + × + × + × + × =
1 2 20x x− <
2 2
2 2 1x y
a b
+ =（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM∥直线 BN，直线 AN、BM 的斜率分别为
k1 和 k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e 为椭圆的离心率）.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1，则有 求解.
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0， ），分别设直线 AM 的方程为 y＝k（x﹣2），直线
BN 的方程为 y＝kx ，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点 M，N 的坐标，再利用斜率公
式代入 k1•k2 求解.
【详解】（1）由题意可知， ，解得 ，
∴b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆 标准方程为： ；
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0， ），
设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN 的斜率也为 k，
故直线 AM 的方程为 y＝k（x﹣2），直线 BN 的方程为 y＝kx ，
由 得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
的
2 2
14 3
x y+ =
3
1
a c
a c
+ =
− =
3−
3−
3
1
a c
a c
+ =
− =
2
1
a
c
=
=
2 2
14 3
x y+ =
3−
3−
( )
2 23 4 12
2
x y
y k x
+ = = −
2
2
16 122 3 4M
kx k
−= +
2
2
8 6
3 4M
kx k
−= + 2
12
3 4M
ky k
−= +
2
2 2
8 6 12
3 4 3 4
kM k k
− −
+ +
，由 得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴k1k2 • ，
又∵ ，
∴k1•k2＝e2﹣1.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，
属于中档题.
21.已知函数 （a∈R 且 a≠0）.
（1）当 a 时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间；
（3）若 y＝f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna.
【答案】（1）x+y﹣2 1＝0.（2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 a ，得到 求导，再利用导数的几何意义求切
线方程.
2 23 4 12
3
x y
y kx
+ = = −
( )2 23 4 8 3 0k x kx+ − =
2
8 3
3 4N
kx k
= +
2
2
4 3 3 3
3 4N
ky k
−= +
2
2 2
8 3 4 3 3 3
3 4 3 4
k kN k k
− + +
，
( )
( )
2
2
2
1 2
2
4 3 3 3
3 4 33 4
8 3 2 4 4 3 323 4
k
kkk
k k k
k
−
−+= =
− − +−+
( )
( )
2
2
2 2 2
2
12 3 3 4 4 3 33 4
8 6 2 4 3
3 4
k
k kkk k k
k
− + − ++= =− −
+
( )
( )
2
2
3 4 3
2 4 4 3 3
k
k k
−
=
− − +
( )
( )
2
2
3 4 4 3 3 3
42 4 3
k k
k
− +
= −
−
1
2
ce a
= =
( ) 21 12 3 2 2f x x alnx x= − − +
2 3=
3 −
2 3= ( ) 21 12 3 2 2f x x alnx x= − − +（2）根据 f′（x）＝2 ，由﹣x2+2 x﹣a＝0，根据定义域，分△
＝12﹣4a＞0 且 ，a＜0，△≤0，三种情况讨论求解.
（3）根据 y＝f（x）有两个极值点 x1，x2，由（2）知，﹣x2+2 x﹣a＝0 有两个正根 x1，x2，
△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2 ，x1•x2＝a＞0，然后将 f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，转化为
alna﹣lna﹣a+2＞0，a∈（0，3）成立，构造函数 g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，利用导数法求其
最小值即可.
【详解】（1）因为 a 时， ，
所以 f′（x）＝2 x，f′（1）＝﹣1，f（1）＝2 ，
所以曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2 （x﹣1），
即 x+y﹣2 1＝0.
（2）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+∞），
因为 f′（x）＝2 ，由﹣x2+2 x﹣a＝0 可得：△＝12﹣4a＞0，
即 a＜3 时，有 x1 ，x2 ，x1＞x2，
当 a∈（0，3）时，满足 x1＞x2＞0，
所以有 x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，
即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数.
又 x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数.
当 a＜0 时，有 x1＞0，x2＜0，则 x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，
+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当 a≥3 时，△≤0，f′（x）≤0 恒成立，所以 f（x）在（0，+∞）为减函数，
综上所述，当 a＜0 时，在（0，3 ），f（x）为增函数；在（3 ，+∞），f（x）
为减函数；
当 0＜a＜3 时，f（x）在区间（0，3 ）和（3 ，+∞）上为减函数，在
2 2 33 a x axx x
− + −− − = 3
0a >
3
3
2 3= ( ) 21 12 3 2 3 2 2f x x lnx x= − − +
2 33 x
− − 3
3 = −
3 −
2 2 33 a x axx x
− + −− − = 3
3 3 a= + − 3 3 a= − −
3 a+ − 3 a+ −
3 a− − 3 a+ −（3 ，3 ），f（x）为增函数；
当 a≥3 时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数.
（3）因为 y＝f（x）有两个极值点 x1，x2，
则 f′（x） 0 有两个正根 x1，x2，即﹣x2+2 x﹣a＝0 有两个正根 x1，x2，
可得：△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2 ，x1•x2＝a＞0，
即 a∈（0，3），所以 f（x1）+f（x2）＝2 （x1+x2）﹣aln（x1x2） （ ）+1＝
﹣alna+a+7，
若要 f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要 alna﹣lna﹣a+2＞0，
构造函数 g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则 g′（x）＝1+lnx 1＝lnx ，且在（0，3）上为增
函数，
又 g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2 0，
所以存在 x0∈（1，2），使得 g（x0）＝0，
即 lnx0 ，且 x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞
0，g（x）单调递增，
所以 g（x）在（1，2）上有最小值 g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0 ），
又因为 x0∈（1，2），则 x0 ∈（2， ），
所以 g（x0）＞0 在 x0∈（1，2）上恒成立，即 f（x1）+f（x2）＜9﹣lna 成立.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式证明等，还考
查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O
3 a− − 3 a+ −
2 2 3x a
x
− + −= = 3
3
3 1
2
− 2 2
1 2x x+
1
x
− − 1
x
−
1
2
− ＞
0
1
x
=
0
1
x
+
0
1
x
+ 5
2
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ，
曲线 C2 的直角坐标方程为 .
（1）若直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度；
（2）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2 上，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将直线 l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆 C1 的极坐标方程，转化为直角
坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长.
（2）将曲线 C2 的直角坐标方程转换为参数方程为 （0≤θ≤π），由 A（1，0），B
（0，1），P（2cosθ，2sinθ），得到 ， 的坐标，再利用数量积公式得到
，然后用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数，
得直角坐标方程为 x+y﹣1＝0，
因为曲线 C1 的极坐标方程为 ，
所以
所以直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y＝0，
标准式方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，
所以圆心（1，﹣1）到直线 x+y﹣1＝0 的距离 d ，
2 2 4cos
πρ α = +
24y x= −
AB AP⋅
6 1 2 1AB AP ⋅ ∈ − +
，2
2
2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
AB AP AB AP⋅
2 2 14sin
πθ = − +
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 4cos
πρ α = +
2 2 2 sincosρ ρ α ρ α= −
1 2
22
= =所以弦长|MN|＝2 .
（2）因为曲线 C2 的直角坐标方程为 .
所以 x2+y2＝4 ，转换为参数方程为 （0≤θ≤π）.
因为 A（1，0），B（0，1），点 P 在曲线 C2 上，故 P（2cosθ，2sinθ），
所以 ， ，（0≤θ≤π），
所以 ，
因为
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系
以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23.已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a.
（1）求不等式 f（x）＞4 解集；
（2）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1） （2）[﹣4，0]
【解析】
分析】
（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值 ，再分类解不等式 f（x）＞
4.
（2）根据对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，则 f（x）min≥g（x）min，由（1）知，
f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，解不等式 2≥|2a+2|+a
即可.
的
【
2 22( 2) ( ) 62
− =
24y x= −
0y≥ 2
2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
( )11AB = − ， ( )2 1 2AP cos sinθ θ= − ，
AB AP⋅ = 1 2 2cos sinθ θ= − + 2 2 14sin
πθ = − +
30 , 4 4 4
π π πθ π θ≤ ≤ − ≤ − ≤
2 12 4sin
πθ − ≤ − ≤
1 2 1AB AP ⋅ ∈ − +
，2
( )5 13
∞ ∞ − − ∪ + ， ，
( )
3 1 1
3 1 1
3 1 1
x x
f x x x
x x
− − ≤ −
= + − <
微信/支付宝扫码支付