北京四中 2020 届高三第二学期统练数学试卷
一．选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.tan570°=（ ）
A. B. - C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°= ．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.
2.已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由 a1+a3+a5=21 得 a3+a5+a7=
，选 B.
3.下列选项中，说法正确的是（ ）
A. “ ”的否定是“ ”
B. 若向量 满足 ，则 与 夹角为钝角
C. 若 ，则
D. “ ”是“ ”的必要条件
的
3
3
3
3 3 3
2
3
3
{ }na 1 3a = 1 3 5 21a a a+ + = 3 5 7a a a+ + =
21 42 63 84
2 4 2 4 2
1(1 ) 21 1 7 2a q q q q q+ + = ∴ + + = ∴ = ∴
2
1 3 5( ) 2 21 42q a a a+ + = × =
2
0 0 0 0x R x x∃ ∈ − ≤， 2
0 0 0x R x x∃ ∈ − >，
a b ， 0a b⋅ 0，b>0，a+b =1，若 α= ，则 的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，将 a、b 代入 ，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，
∴ ，
当且仅当 时取“＝”号．
答案：C
【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确
a b ， 0a b⋅ x = −ｐ
２
2 2
2
2 21 =4c be a a
= = +
3b
a
= 3y x= ± 3( , )2 2
p pA − 3( , )2 2
p pB − −
1 32AOBS p∆ = × ×
23 32 4
p p= = 2p =
ABC∆ , ,a b c , ,A B C∠ ∠ ∠
( ) ( )3 2 2 21
3f x x bx a c ac x= + + + −
1+ BÐ
0, 3
π
0, 3
π
,3
π π
,3
π π
( ) ( )2 2 2' 2 0f x x bx a c ac= + + + − =
( ) 2 2 2
2 2 2 2 2 2 14 4 0 cos 2 2
a c bb a c ac a c b ac B Bac
+ −⇒ ∆ = − + − > ⇒ + − < ⇒ = < ⇒ ∈
,3
π π 转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难
题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为 有两个不
等实根，从而可得
.
10.单位正方体 ABCD- ，黑、白两蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为
“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是 AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是 AB→BB1→‥，它们
都遵循如下规则：所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线（i N*）.设白、黑蚂
蚁都走完 2020 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A. 1 B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬 6 步回到起点，周期为
6．计算黑蚂蚁爬完 2020 段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完 2020 段后实质是到达哪
个点，即可计算出它们的距离．
【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为 AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过 6 段后又回到起点，
可以看作以 6 为周期，
由 ，
白蚂蚁爬完 2020 段后到回到 C 点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为 AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，
黑蚂蚁爬完 2020 段后回到 D1 点，
( ) ( )2 2 2' 2 0f x x bx a c ac= + + + − =
( ) 2 2 2
2 2 2 2 2 2 14 4 0 cos 2 2
a c bb a c ac a c b ac B Bac
+ −∆ = − + − > ⇒ + − < ⇒ = < ⇒ ∈
,3
π π
1111 DCBA
∈
2 3
2020 6 336 4÷ = 所以它们此时 距离为 .
故选 B.
【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于
中等题.
二．填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11.某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组
成绩的茎叶图如图所示，若甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成绩的中位
数为 73，则 x- y 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出 x、y 的值.
【详解】根据茎叶图中的数据，得：
甲班 5 名同学成绩的平均数为 ，
解得 ；
又乙班 5 名同学的中位数为 73，则 ；
.
故答案为： .
【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单
的 2
3−
1 (72 77 80 86 90) 815 x× + + + + + =
0x =
3y =
0 3 3x y− = − = −
3−题.
12.在 的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答）
【答案】-40
【解析】
【分析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项 ，再令 10-3r=1，得 r=3
即可得出 x 项的系数
【 详 解 】 的 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为
，
r=0，1，2，3，4，5，
令 ，
所以 的二项展开式中 x 项的系数为 .
故答案为：-40.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于
基础题.
13.直线 xsinα＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
因为 sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是
．
5
2 12x x
−
( )5 10 3
1 5 2 1 rr r r
rT C x− −
+ = −
5
2 12x x
−
( ) ( )52 5 10 3
1 5 5
12 2 1
r
r rr r r r
rT C x C xx
− − −
+
= ⋅ − = −
10 3 1, 3r r− = =
5
2 12x x
−
( )33 2
5 = 42 1 0C ⋅ − −
π 30, ,π4 4
π ∪
π 30, ,π4 4
π ∪ 答案：
14.已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是
____．
【答案】（-4，2）
【解析】
试题分析：因为 当且仅当
时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
15.已知函数 的最大值为 3， 的
图象与 y 轴的交点坐标为 ，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则
【答案】
【解析】
， 由 题 意 ， 得
,
解得 ，则 的周期为 4，且
，所以
π 30, ,π4 4
π ∪
0x > 0y > 2 1 1x y
+ = 22 2x y m m+ > + m
2 1 4 42 ( 2 )( ) 4+ 4 2 8y x y xx y x y x y x y x y
+ = + + = + ≥ + × = 2x y=
2 2 8 4 2m m m+ < ⇒ − < <
( ) ( )2cos 1 0, 0,0 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + + > > < ω | | 2
ϕ π
MF NF⋅【答案】(Ⅰ)C 的方程为 ,焦点 F 的坐标为(1,0)；（Ⅱ）2
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出 p，即可求 C 的方程及焦点 F 的坐标；
（Ⅱ）设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得 Q(−1,−2)，由题意直线 AB 斜率存在且不为 0，设直线 AB
的方程为 y=k(x+1)−2(k≠0)，与抛物线联立可得 ky2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，
转化求解|MF|•|NF|的值．
【详解】
(Ⅰ)由已知得 ，所以 p=2.
所以抛物线 C 的方程为 ,焦点 F 的坐标为(1,0)；
(II)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得 Q(−1,−2)，
由题意直线 AB 斜率存在且不为 0.
设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)−2(k≠0).
由 得 ，
则 , .
因为点 A,B 在抛物线 C 上,所以
2 4y x=
1 22
p+ =
2 4y x=
( )
2 4
1 2
y x
y k x
= = + −
2 4 4 8 0ky y k− + − =
1 2
4y y k
+ = 1 2
84y y k
= −
2 2
1 1 2 24 , 4 ,y x y x= =, .
因为 PF⊥x 轴，
所以
，
所以|MF|⋅|NF|的值为 2.
【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设
而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.
20.设函数 f（x）=ax2–a–lnx，g（x）= ，其中 a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当 x＞1 时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
【答案】（Ⅰ）当 时， 当 时， ( )f x′ 1
2
x
a
=当 时， ( )s x′ 1ex x− > ( )g x 1
1 1
exx −−
1x > ( )g x
0a ≤ 1x > ( )f x 2( 1) ln 0a x x− − <
( )f x ( )g x 1 + )∞（， 0a >
10 2a< < 1
2a
1( ) (1) 0
2
f f
a
< = 1( ) 0
2
g
a
>
( )f x ( )g x 1 + )∞（，
1
2a ≥ ( )h x ( )f x − ( )g x 1x ≥
1x > ( )h x′ 1
2 2
1 1 1 1 12 e xax xx x x x x
−− + − > − + − = 3 2
2 2
2 1 2 1 0x x x x
x x
− + − +> >
( )h x 1 + )∞（，
( )h 1 1x > ( )h x ( )f x − ( )g x ( )f x ( )g x
a∈ 1[ + )2
∞，
'( )f x
'( ) 0f x = '( )f x ( )f x ( ) ( )f x g x>
( ) ( )f x g x− ( ) ( ) ( )h x f x g x= −于函数 的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，
学生不易想到，有一定的难度．
21.如图，设 A 是由 个实数组成的 n 行 n 列的数表，其中 aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位
于第 i 行第 j 列的实数，且 aij {1，-1}.记 S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于
，记 ri (A)为 A 的第 i 行各数之积，cj (A)为 A 的第 j 列各数之积．令
a11 a12 … a1n
a21 a22 a2n
… … … …
an1 an2 … ann
（Ⅰ）请写出一个 A S(4，4)，使得 l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在 A S(9，9)，使得 l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数 n，对于所有的 A S(n，n)，求 l(A)的取值集合．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取 1，即满足题意；
（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出 l(A)的表达式，以及从 A0 如何得到 A1，A2……，以此类推可得到
Ak．
【详解】（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.
( )h x
n n×
∈
( )A n n∈ ，
( ) ( ) ( )
1 1
n n
i j
i j
l A r A c A
= =
= +∑ ∑
∈
∈
∈
{2( 2 ) | 0,1,2, , }n k k n− = …（Ⅱ）不存在 A S(9，9)，使得 l(A)=0，证明如下:
假如存在 ，使得 .
因为 ， ，
所以 ， ，...， ， ， ，...， 这 18 个数中有 9 个 1，9 个-1.
令 .
一方面，由于这 18 个数中有 9 个 1，9 个-1，从而 ①，
另一方面， 表示数表中所有元素之积（记这 81 个实数之积为 m）；
也表示 m，从而 ②，
①，②相矛盾，从而不存在 ，使得 .
（Ⅲ）记这 个实数之积为 p.
一方面，从“行”的角度看，有 ；
另一方面，从“列”的角度看，有 ；
从而有 ③，
注意到 ， ，
下面考虑 ， ，...， ， ， ，...， 中-1 的个数，
由③知，上述 2n 个实数中，-1 的个数一定为偶数，该偶数记为 ，则 1 的个数为
2n-2k，
所以 ，
对数表 ，显然 .
将数表 中的 由 1 变为-1，得到数表 ，显然 ，
∈
(9,9)A S∈ ( ) 0l A =
( ) {1, 1}ir A ∈ − ( ) {1, 1} 1 2 9)3(jc A i j∈ − = …， , , , ,
1( )r A 2 ( )r A 9 ( )r A 1( )c A 2 ( )c A 9 ( )c A
1 2 9 1 2 9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M r A r A r A c A c A c A= ⋅ … ⋅ ⋅ …
9( 1) 1M = − = −
1 2 9( ) ( ) ( )r A r A r A⋅ …
1 2 9( ) ( ) ( )c A c A c A⋅ … 2 1M m= =
(9,9)A S∈ ( ) 0l A =
2n
1 2( ) ( ) ( )np r A r A r A= ⋅ …
1 2( ) ( ) ( )np c A c A c A= ⋅ …
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nr A r A r A c A c A c A⋅ … = ⋅ …
( ) {1, 1}ir A ∈ − ( ) {1, 1}(1 ,1 )jc A i n j n∈ − ≤ ≤ ≤ ≤
1( )r A 2 ( )r A ( )nr A 1( )c A 2 ( )c A ( )nc A
2 (0 )k k n≤ ≤
( ) ( 1) 2 1 (2 2 ) 2( 2 )l A k n k n k= − × + × − = −
0 : 1( , 1,2,3, , )ijA a i j n= = … ( )0 2l A n=
0A 11a 1A ( )1 2 4l A n= −将数表 中的 由 1 变为-1，得到数表 ，显然 ，
依此类推，将数表 中的 由 1 变为-1，得到数表 ，
即数表 满足： ，其余 ，
所以 ， ，
所以 ，
由 k 的任意性知，l（A）的取值集合为 .
【点睛】本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是
读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.
1A 22a 2A ( )2 2 8l A n= −
1kA − kka kA
kA 11 22 1(1 )kka a a k n= =…= = − ≤ ≤ 1ija =
1 2( ) ( ) ( ) 1kr A r A r A= =…= = − 1 2( ) ( ) ( ) 1kc A c A c A= =…= = −
( ) 2[( 1) ( )] 2 4kl A k n k n k= − × + − = −
{2( 2 ) | 0,1,2, , }n k k n− = …
微信/支付宝扫码支付