北京四中 2019-2020 学年度第二学期开学考试高三数学测试
2.13 试题
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：集合 ，所以 ，故选 C.
考点：交集的运算，容易题.
2.在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得 z，代入（1+i）z，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由已知得，z＝2﹣i，
∴（1+i）z＝（1+i）（2﹣i）＝3+i．
故选 A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础
题．
3.已知数列 , , ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将 n=1 和 n=2 代入递推关系式，求解即可．
2{ | 2 0}A x x x= − = { }0,1,2B = A B∩ =
{ }0 { }0,1 { }0,2 { }0,1,2
z (2, 1)− (1 i)z+
3 i+ 2 i+ 1 i+ 1 i−
{ }na 2 1a = *
1 2 ,n na a n n++ = ∈N 1 3a a+
4 5 6 8【详解】数列{an}，a2＝1， ，
可得 a1+a2＝2，a2+a3＝4，
解得 a1＝1，a3＝3，
a1+a3＝4．
故选 A．
【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.
4.已知 ,则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若 ，则 0 ( ) ln 0f x x= = 1x = ( )f x
1a = ( )f x
( )2y x x= + lny x=
( )f x [ )1,− +∞ a 1 ,e
+∞ 故答案为：①2；② .
【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题,同时也考查了根据分段函数的值域求解参数的
问题,需要根据题意画出图像,再分析随 的变化函数图像的变化求解范围.属于中档题.
15.已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，当
时，则称有序实数对 为点 的广义坐标，若点 、 的广义坐标分别
为 、 ，对于下列命题：
① 线段 、 的中点的广义坐标为 ；
② A、 两点间的距离为 ；
③ 向量 平行于向量 的充要条件是 ；
④ 向量 垂直于向量 的充要条件是 .
其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】
根 据 点 、 的 广 义 坐 标 分 别 为 、 ， ，
，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.
【 详 解 】 点 、 的 广 义 坐 标 分 别 为 、 ， ，
，
对于①，线段 、 的中点设为 M，根据 = （ ）=
中点的广义坐标为 ,故①正确.
对于②，∵ （x2﹣x1） ，
A、 两点间的距离为 ，
1 ,e
+∞
a
1e
2e α O α α P
1 2OP xe ye= + ( ),x y P A B
( )1 1,x y ( )2 2,x y
A B 1 2 1 2,2 2
x x y y+ +
B ( ) ( )2 2
1 2 1 2x x y y− + −
OA OB 1 2 2 1x y x y=
OA OB 1 2 1 2 0x x y y+ =
A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 1 1 2OA x e y e∴ = +
2 1 2 2OB x e y e= +
A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 1 1 2OA x e y e∴ = +
2 1 2 2OB x e y e= +
A B OM 1
2 OA OB+
1 2 1 1 2 2
1 1( ) ( )2 2x x e y y e+ + +
∴ 1 2 1 2,2 2
x x y y+ +
AB = ( )1 2 1 2e y y e+ −
∴ B ( )( )2 22 2
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 2x x e y y e x x y y e e− + − + − − 故②不一定正确.
对于③，向量 平行于向量 ，则 ，即（ ）=t , ，
故③正确.
对于④，向量 垂直于向量 ，则 =0，
，故④不一定正确.
故答案为①③.
【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
三、解答题（本大题共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）已知 ， ， 求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
试题分析：
(1)以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，可得：直线 的
方向向量为： ，平面 的一个法向量为 ，
结合 可得： 平面 .
(2)结合(1)的结论结合题意可得平面 的一个法向量为 .
OA OB tOA OB= 1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 2 1x y x y∴ =
OA OB OA OB
2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 0x x e x y x y e e y y e∴ + + + = （ ）
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD E PD
//PB AEC
1AP = 3AD = 2AB = D AE C− −
66
11
, ,AB a AD b AP c= = = PB
( ),0,PB a c= − AEC ( ), ,m bc ac ab= −
0PB m abc abc⋅ = − = //PB AEC
AEC ( ) ( ), , 3, 2, 6m bc ac ab= − = −平面 的一个法向量为： ，据此计算可得二面角 的余弦
值为 .
试题解析：
(1)以点 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
由几何关系有： ，
则直线 的方向向量为： ， ，
设平面 的法向量 ，则： ，
据此可得：平面 的一个法向量为 ，
结合 可知： ，据此可得： 平面 .
(2)结合(1)的结论可知： ，
则平面 的一个法向量为 .
由 平面 可知平面 的一个法向量为： ，
据此可得： ，
DAE ( )0,0, 2n AB= = D AE C− −
66
11
, ,AB a AD b AP c= = =
( ) ( ) ( ) ( )0,0, , ,0,0 , 0,0,0 , 0, , , , ,02 2
b cP c B a A E C a b
PB ( ),0,PB a c= − ( )0, , , , ,02 2
b cAE AC a b = =
AEC ( ), ,m x y z= 02 2
0
b cm AE y z
m AC ax by
⋅ = + =
⋅ = + =
AEC ( ), ,m bc ac ab= −
0PB m abc abc⋅ = − = PB m⊥ //PB AEC
2, 3, 1a b c= = =
AEC ( ) ( ), , 3, 2, 6m bc ac ab= − = −
AB ⊥ DAE DAE ( )0,0, 2n AB= =
2 3, 3 2 6 11, 2m n m n⋅ = = + + = = 则 ，
观察可知二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 .
17.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现
从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机
抽取 10 天的数据，制表如图：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定
每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元.
（1）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的
劳务费记为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望；
（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
【答案】（1）平均数为 ，众数为 33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入
元，乙公司被抽取员工该月收入 元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工 A 投递快递件数的平均数和众数.
（2）由题意能求出 X 的可能取值为 136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由
此能求出 X 的分布列和数学期望.
（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
【详解】（1）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为：
，
众数为 33.
（2）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则
当 时， 元，
2 3 66cos , 1111 2
m nm n m n
⋅= = =× ×
D AE C− −
D AE C− − 66
11
36 4860
4965
( )1 32 33 33 38 35 36 39 33 41 40 3610x = + + + + + + + + + =
34a = 136X =当 时， 元，
X 的可能取值为 136，147，154，189，203，
， ，
， ，
，
X 的分布列为：
X 136 147 154 189 203
P
（元）.
（3）根据图中数据，由（2）可估算：
甲公司被抽取员工该月收入 元，
乙公司被抽取员工该月收入 元.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考
查学生的数学运算能力，是一道容易题.
18.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中.已知：数列 的前 项和为 ，且 ， .求：对大于 1
的自然数 ，是否存在大于 2 的自然数 ，使得 ， ， 成等比数列.若存在，求 的最
小值；若不存在，说明理由.
【答案】答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】
因为要使得 , , 成等比数列,不妨选择 ,分析可知数列 是首项为 1,公
差为 3 的等差数列,进而得到 ,从而计算 ,再根据二次函数的最值分析 的
35a > ( )35 4 35 7X a= × + − ×
∴
( ) 1136 10P X = = ( ) 3147 10P X = =
( ) 2154 10P X = = ( ) 3189 10P X = =
( ) 1203 10P X = =
1
10
3
10
2
10
3
10
1
10
( ) 1 3 2 3 1 1655136 147 154 189 203 165.510 10 10 10 10 10E X = × + × + × + × + × = =
36 4.5 30 4860= × × =
165.5 30 4965= × =
2
1 13 9 0n n n na a a a− −− − − = 2 2
1 3n na a −= + 2 2 2nS n n= − +
{ }na n nS 1 1a =
n m 1a na ma m
1a na ma 2 2
1 3n na a −= + { }2
na
2 3 2na n= − 2
1n ma a a= m最小值即可.
【详解】由 , ,即 ,
可得数列 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,
则 ,
假设对大于 1 的自然数 ,存在大于 2 的自然数 ,使得 , , 成等比数列,
可得 ,即 ,
两边平方可得
由 ,且 递增,可得 时, 取得最小值 6,
可得此时 取得最小值 6,
故存在大于 2 的自然数 ,使得 , , 成等比数列,且 的最小值为 6.
【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式,并分析存在性的问题,属于开放性
问题,需要选择合适的条件进行通项公式求解分析.属于中档题.
19.已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若 且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)代入 ,再根据导数的几何意义求解即可.
(2)易得 ,因为 ,故分 与 两种情况分析导数的正负,从而得出单调
区间即可.
(3)根据(2)中的单调性,分 与 两种情况讨论 的单调性,并求出最值,再根据
的值域满足的关系结合题意求解即可.
在
1 1a = 2 2
1 3n na a −= + 2 2
1 3n na a −− =
{ }2
na
( )2 1 3 1 3 2na n n= + − = −
n m 1a na ma
2
1n ma a a= 3 2 3 2n m− = −
( ) 2
2 2 2 23 2 (3 2) 3 3 4 2 3 3 3 3m n n n n
= + − = − + = − +
( ) 23 4 2f n n n= − + 1n > *n N∈ 2n = ( )f n
m
m 1a na ma m
( ) ( )1ln 0f x a x ax
= + ≠
1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x
( ){ }| 0x f x ≤ ≠ ∅ ( ){ } ( )| 0 0,1x f x ≤ ⊆ a
1y = [ ),e +∞
1a =
( ) 2
1' axf x x
−= 0a ≠ 0a < 0a >
0a < 0a > ( )f x
( )f x【详解】（1）若 ,则 ,故 , , ,
∴所求切线方程为 ；
（2）函数的定义域为 , ,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时,令 得 ,令 得 ,故函数 在 单调递
减,在 单调递增；
（3）当 时,函数 在 上单调递减,
又 ,而 ,不合题意；
当 时,由（2）可知, ,
（i）当 ,即 时, ,不合题意；
（ii）当 ,即 时, ,满足题意；
（iii）当 ,即 时,则 ,
∵ ,函数 在 单调递增,
∴当 时, ,
又∵函数的定义域为 ,
∴ ,满足题意.
综上,实数 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及分类讨论分析含参函数的单调性问题,同时也考
1a = ( ) 1lnf x x x
= + ( ) 2
1 1'f x x x
= − ( )1 1f = ( )' 1 0f =
1y =
( )0, ∞+ ( ) 2 2
1 1' a axf x x x x
−= − =
0a < ( )' 0f x < ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )' 0f x > 1x a
> ( )' 0f x < 10 x a
< < ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a < ( )f x ( )0, ∞+
1 1 1
1
1ln 1 0a a a
a
f e a e e
e
− −
−
= ⋅ + = − ( ) ( )min
1 1 lnf x f a aa
= = −
( )1 1 ln 0f a aa
= − > 0 a e< < ( ){ }| 0x f x ≤ = ∅
( )1 1 ln 0f a aa
= − = a e= ( ){ } ( )1| 0 0,1x f x e
≤ = ⊆
( )1 1 ln 0f a aa
= − 10 1a
< <
( )1 1 0f = > ( )f x 1 ,a
+∞
1x ≥ ( ) 0f x >
( )0, ∞+
( ){ } ( )| 0 0,1x f x ≤ ⊆
a [ ),e +∞查了利用导数求解函数的单调性与值域求解参数的问题.属于中档题.
20.已知椭圆 过点 ，且离心率为 .设 为椭圆 的左、
右顶点，P 为椭圆上异于 的一点，直线 分别与直线 相交于 两点，
且直线 与椭圆 交于另一点 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线 与 的斜率之积为定值；
（Ⅲ）判断三点 是否共线，并证明你的结论.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）三点共线
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据已知条件列 a、b、c 的方程组，求 a、b、c 的值，可得椭圆标准方程（Ⅱ）设点 P
坐标为（x0，y0），将点 P 的坐标代入椭圆方程可得 x0 与 y0 的等量关系，然后利用斜率公式，
结合等量关系可证出结论；（Ⅲ）设直线 AP 的方程为 y＝k（x﹣2）（k≠0），得直线 BP 方程，
与直线 x＝2 联立，分别求点 M、N 坐标，然后求直线 MN 斜率，写直线 HM 的方程，并与椭圆
方程联立，利用韦达定理可求点 H 坐标，计算 AH 和 AN 的斜率，利用这两直线斜率相等来证
明结论成立．
【详解】解：（Ⅰ）根据题意可知 解得
所以椭圆 的方程 .
（Ⅱ）根据题意，直线 的斜率都存在且不为零.
设 ，则 .
则 .
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (0, 3) 1
2
,A B C
,A B ,AP BP : 4l x = ,M N
MB C H
C
AP BP
, ,A H N
2 2
14 3
x y+ = 3
4
−
2 2 2
3,
1 ,2
,
b
c
a
a b c
=
=
= +
2,
3,
1.
a
b
c
=
=
=
C
2 2
14 3
x y+ =
,AP BP
( ) ( )2,0 , 2,0 ,A B− ( )0 0,P x y
2 2
0 0 14 3
x y+ = 0( 2 2)x− < <
2
0 0 0
2
0 0 02 2 4AP BP
y y yk k x x x
⋅ = ⋅ =+ − −因为 ，所以 .
所以
所以直线 与 的斜率之积为定值 .
(III)三点 共线.证明如下：
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 .
所以 ， , .
设直线 ，
联立方程组 消去 整理得， .
设 ，则 所以 , .
所以 .
因为 ， ,
, .
所以 ，所以三点 共线.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法和椭圆性质的应用，考查韦达定理在椭圆综合的应用，考
查计算能力与推理能力，综合性较强．
21.若数列 满足 ，数列 为 数列，
记 .
（1）写出一个满足 ，且 的 数列 ；
2 2
0 0 14 3
x y+ = ( )2
2 20
0 0
33 1 44 4
xy x
= − = −
( )
( )
22
00
2 2
0 0
3 4 3
4 44 4AP BP
xyk k x x
−
⋅ = = = −− −
AP BP 3
4
−
, ,A H N
AP ( )( )2 0y k x k= + ≠ BP ( )3 24y xk
= − −
( )4,6M k 34, 2N k
−
6 34 2BM
kk k= =−
( ): 3 2HM y k x= −
( )
2 2
1,4 3
3 2 ,
x y
y k x
+ =
= −
y ( )2 2 2 21 12 48 48 4 0k x k x k+ − + − =
( )1 1,H x y
2
1 2
48 42 ,12 1
kx k
−= +
2
1 2
24 2
12 1
kx k
−= +
( )1 1 2
123 2 12 1
ky k x k
−= − = +
2
2 2
24 2 12,1 12 1 12
k kH k k
− −
+ +
( )2,0A − 34, 2N k
−
3
12
6 4AN
kk k
−
= = −
2
2
2
12
11 12
24 2 421 12
AH
k
kk k k
k
−
+= = −− ++
AN AHk k= , ,A H N
( )1 2, , , 2n nA a a a n= ⋅⋅⋅ ≥ ( )1 1 1,2, , 1k ka a k n+ − = = ⋅⋅⋅ − nA E
( ) 1 2n nS A a a a= + +⋅⋅⋅+
1 5 0a a= = ( )5 0S A > E 5A（2）若 ， ，证明： 数列 是递增数列的充要条件是 ；
（3）对任意给定的整数 ，是否存在首项为 0 的 数列 ，使得 ？如果
存在，写出一个满足条件的 数列 ；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）0，1，0，1，0；（2）证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据 与 和 可考虑写出 交替的数
列.
(2)先证明必要性,根据 数列 是递增数列,可得 ,进而求得
.再证明充分性,因为 ,故
,再累加可得 证明即可.
(3) 设 ,则 ,再累加求得
,再分析 的奇偶,
根据整除的性质,先假设存在再证明矛盾即可.
【详解】（1）0,1,0,1,0 是一个满足条件的 数列 .
（2）必要性：因为 数列 是递增数列,
所以 ,
所以 是首项为 13,公差为 1 的等差数列.
所以 ,
充分性：由于 ,故 ,
,
……
,
1 13a = 2008n = E nA 2020na =
( )2n n ≥ E nA ( ) 0nS A =
E nA
( )1 1 1,2, , 1k ka a k n+ − = = ⋅⋅⋅ − 1 5 0a a= = ( )5 0S A > 0,1
E nA ( )1 1 1,2, ,2007k ka a k+ − = = ⋅⋅⋅
2008 2020a = ( )1 1 1,2, , 1k ka a k n+ − = = ⋅⋅⋅ −
( )1 1 1,2, , 1k ka a k n+ − ≤ = ⋅⋅⋅ − 2008 1 2003a a≤ +
( )1 1,2, , 1k k kc a a k n+= − = ⋅⋅⋅ − 1kc = ±
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1
1 1 1 1 2 12 nn
n n c n c nA cS −
−= − − − + − − +⋅⋅⋅+ − ( )nS A
E 5A
E nA
( )1 1 1,2, ,2007k ka a k+ − = = ⋅⋅⋅
nA
( )2008 13 2008 1 1 2020a = + − × =
( )1 1 1,2, , 1k ka a k n+ − = = ⋅⋅⋅ − 2008 2007 1a a− ≤
2007 2006 1a a− ≤
2 1 1a a− ≤所以 ,即 ,
又因为 , ,
所以 ,
故 ,即 是递增数列.
综上所述,结论成立.
（3）设 ,则 ,
因为 ,
,
……
,
所以
,
因为 ,所以 为偶数（ ）
所以 为偶数,
所以要使 ,必须使 为偶数,
即 4 整除 ,亦即 或 ,
当 时, 数列 的项满足 , ,
,
此时,有 且 成立,
当 时, 数列 的项满足 , ,
, 时,亦有 且 成立,
2008 1 2003a a− ≤ 2008 1 2003a a≤ +
1 13a = 2008 2020a =
2008 1 2003a a= +
( )1 1 0 1,2, ,2007k ka a k+ − = > = ⋅⋅⋅ nA
( )1 1,2, , 1k k kc a a k n+= − = ⋅⋅⋅ − 1kc = ±
2 1 1a a c= +
3 1 1 2a a c c= + +
1 1 2 1n na a c c c −= + + +⋅⋅⋅+
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 11 2 3n nS A na n c n c n c c −= + − + − + − +⋅⋅⋅+
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 11 2 1 1 1 1 2 1 nn n c n c n c −= − + − +⋅⋅⋅+ − − − + − − +⋅⋅⋅+ −
( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1
1 1 1 1 2 12 n
n n c n c n c −
−= − − − + − − +⋅⋅⋅+ −
1kc = ± 1 kc− 1,2, , 1k n= ⋅⋅⋅ −
( )( ) ( )( ) ( )1 2 11 1 1 2 1 nc n c n c −− − + − − +⋅⋅⋅+ −
( ) 0nS A = ( )1
2
n n −
( )1n n − 4n m= ( )*4 1n m m N= + ∈
( )*4n m m N= ∈ E nA 4 1 4 1 0k ka a+ −= = 4 2 1ka − = −
( )4 1 1,2, , 1ka k n= = ⋅⋅⋅ −
1 0a = ( ) 0nS A =
( )*4 1n m m N= + ∈ E nA 4 1 4 1 0k ka a+ −= = 4 2 1ka − = −
( )4 1 1,2, , 1ka k n= = ⋅⋅⋅ − 4 1 0ma + = 1 0a = ( ) 0nS A =当 或 时, 不能被 4 整除,此时不存在数列 ,使得
且 成立.
【点睛】本题主要考查了数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推
理证明.属于难题.
4 2n m= + ( )*4 3n m m N= + ∈ ( )1n n − nA
1 0a = ( ) 0nS A =
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