人大附中 2019-2020 学年度高三数学复习质量检测试题
一、选择题
1.设 为虚数单位，则复数 的模 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据复数模的定义求解.
详解： ， ．故选 ．
点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如
复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
2.已知全集 ，若集合 ，则 （ ）．
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先解一元二次不等式得集合 A，再根据补集定义得结果.
详解：∵集合 ，
∴ 或 ，故选 ．
点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.命题 p： x>0， ，则 是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
i 1 iz = − z =
1 2 2 2 2
1 iz = − 2 21 ( 1) 2z = + − = B
( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R
( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .−a bi
U = R { }2| 0= −
{ }1| 0x x< < { }| 1x x ≥
{ } { }2| 0 | 0 1A x x x x x= − < = < <
{ | 0U xA x= ≤ 1}x ≥ A
∀ 1xe > p¬
∃ 0 0x ≤ 0 1xe ≤ ∃ 0 0x > 0 1xe ≤
∀ 0x > 1xe ≤ ∀ 0x ≤ 1xe ≤试题分析： 是
考点：本题考查命题的否定
点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论
4.若 ， 是两个非零的平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
，得 ，所以是充要条件，故选 C.
5.已知 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可
【 详 解 】 ， ， ，
，故 ，
故选：A
【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象
特点是关键，属于基础题
6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）
p¬
0 0, 1xx e∃ > ≤
a b | |a b = ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =
( ) ( ) 22 0a b a b a b+ ⋅ − = − = a b=
1
21 1ln , sin , 22 2a b c
−= = =
a b c< < a c b< <
b a c< < b c a< <
1ln 02a = < 1 1sin sin ,2 6 2b
π= < = 10, 2b ∴ ∈
1
2 1 2 1
2 2 22c
− = = >=
1 ,12c ∴ ∈ a b c< 0，故选 C.
8.已知抛物线 ，点 ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点 ，使得
，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设 ，由 得 ，即 ，显然
，因此 ，所以 ，即 ．选 B．
考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题．
二、填空题
9.双曲线 的离心率是 ；渐近线方程是 ．
【答案】
【解析】
1
e
2: 4C y x= ( ,0)P m Q
90OQP∠ =
(4,8) (4, )+∞ (0,4) (8, )+∞
2
0
0( , )4
yQ y 90OQP∠ = 0OQ PQ⋅ = 2 2
20 0
0( ) 04 4
y ym y− ⋅ + =
0 0y ≠ 2
0 44
y m= − 4 0m − > 4m >
2
2: 14
xC y− =
5 1,2 2y x= ±试 题 分 析 ： ， 所 以 离 心 率 e= ， 渐 近 线 方 程 为
,
考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线
点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程
10.若等比数列 满足 ，且公比 ，则 _____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【详解】 ，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容
易题．
11.在△ 中， ， ， ，则 ；△ 的面积为_______．
【答案】 ，
【解析】
由余弦定理，得 ，解得 ；由三角形的面积公式，得
.
考点：余弦定理、三角形的面积公式.
12.已知圆 的圆心位于第二象限且在直线 上，若圆 与两个坐标轴都相切，则圆
的标准方程是 ______.
【答案】
【解析】
试题分析： 设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以 a=-(2a+1), ，所以圆
心为 ，半径 ，所以圆的标准方程为 ,
2 2 2 2 24, 1 5a b c a b= = ∴ = + = 5
2
c
a
=
1
2
by x xa
= ± = ±
{ }na 1 3 5a a+ = 2q = 3 5a a+ =
20
2 2
3 5 1 3( ) 2 5 20a a q a a+ = + = × =
ABC 3a = 13b = 60B = c = ABC
C 2 1y x= + C C
2 21 1 1( ) ( )3 3 9x y+ + − =
1
3a∴ = −
1 1( , )3 3
− 1
3
2 21 1 1( ) ( )3 3 9x y+ + − =考点：本题考查圆 标准方程
点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为
相反数，半径为圆心坐标的绝对值
13.已知函数 的一条对称轴为 ， ，且函
数 在 上具有单调性，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分 析 式 子 特 点 可 知 ， 当 时 ， 函 数 应 该 取 到 最 值 ， 将 代 入
再结合辅助角公式可先求得 ，结合 分析可知，
两点关于对称中心对称，求出 的通式，即可求解
【详解】 ，由题可知
，化简可得 ，则
， 且函数 在 上具有单调性，
关于对称中心对称，故有 ，解得
，当 时， 的最小值为 ，
故答案 ：
【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中
档题
14.函数 （ ），已知 的最小值为 4，则点 到直线
距离的最小值为______.
的
为
( ) sin 2 3 cosa x xf x = −
6x
π= − ( ) ( )1 2 0f x f x+ =
( )f x ( )1 2,x x 1 2x x+
2
3
π
6x
π= −
6x
π= −
( ) sin 2 3 cosa x xf x = − a ( ) ( )1 2 0f x f x+ =
( ) ( )21 1 2, , ,xy yx 1 2x x+
( ) ( )2 2 3sin 2 3 cos 12 sin ,tanf aa x x a xx ϕ ϕ= − = + + = −
2sin 2 3 cos 6 26 6 1f a a
π π π − − − = ±
=
−
+
2a =
( ) 4sin 3f x x
π = −
( ) ( )1 2 0,f x f x+ = ( )f x ( )1 2,x x
( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y∴ 1 23 3 ,2
x x
k k Z
π π
π
− + −
= ∈
1 2
2 2 ,3x x k k Z
π π+ = + ∈ 0k = 1 2x x+ 2
3
π
2
3
π
( ) x xf ae ex b −= + ,a R b R+ +∈ ∈ ( )f x ( ),a b
2 2 0x y+ − =【答案】
【解析】
分析】
可采用基本不等式求得 ，再结合点到直线距离公式即可求解
【详解】由题知 ，则 ，当且仅当 时
取到，则 ，点 到直线 距离
，
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题
三、解答题
15.设函数 （ ）的图象上相邻最高
点与最低点的距离为 .
（1）求函数 周期及 的值；
（2）求函数 的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离
为 可求得参数 及周期；
（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；
【详解】（1）
，则 ， ，图象上相邻最高点与最
【
的
3 10
5
ab
,a R b R+ +∈ ∈ ( ) 2 4x xae bef x ab−= ≥ =+ x xae be−=
4ab = ( ),a b 2 2 0x y+ − =
2 2 2 2 2 2 8 2 3 2 3 10
55 5 5 5
a b ab
d
+ − − −
= ≥ = = = min
3 10
5d∴ =
3 10
5
( ) ( ) ( ) ( )22sin cos 2 3 cos 3f x x x xω ω ω= ⋅ − + 0>ω
2 16π +
( )f x ω
( )f x
12 , 2T π ω= = 52 , 2 ,6 6x k k k Z
π ππ π ∈ − + + ∈
2 16π + ω
( ) ( ) ( ) ( )22sin cos 2 3 cos 3f x x xx ω ω ω= ⋅ − + =
sin 2 3 cos2 2sin 2 3x x x
πω ω ω − = − 2A = 2
2T
π π
ω ω= =低点的距离为 ，即 ，解得 ；
（2） ，令 ，
解得
【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的
单调区间，属于中档题
16.某校高三 1 班共有 48 人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史
地政其中，选择理化生的共有 24 人，选择理化历的共有 16 人，其余人选择了史地政，现采
用分层抽样的方法从中抽出 6 人，调查他们每天完成作业的时间.
（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？
（2）若抽出的 6 人中有 4 人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在 3 小时以上，2 人在 3
小时以内.现从这 6 人中随机抽取 3 人进行座谈.
用 X 表示抽取的 3 人中每天完成作业所需时间在 3 小时以上的人数，求随机变量 X 的分布列
和数学期望.
【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2
【解析】
【分析】
（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；
（2）可明确 X 的取值有 1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解
数学期望即可；
【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为： 人，故选择理化生、理化历、
史地政的人数比为： ，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为： 人；
抽取理化历的人数为： 人；抽取理化历的人数为： 人；
（2）由题可知 X 的取值有 1，2，3，
；
2 16π + ( ) 2
22 62 2 1TA π =
++
12 , 2T π ω= =
( ) 2sin 2 2sin3 3f xx x
π πω − = −
=
2 , 2 ,3 2 2x k k k Z
π π ππ π − ∈ − + + ∈
52 , 2 ,6 6x k k k Z
π ππ π ∈ − + + ∈
48 24 16 8− − =
3: 2:1 36 36
× =
26 26
× = 16 16
× =
( ) 1 2
4 2
3
6
11 5
C CP X C
= = =；
；
故随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3
P
【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的
求法，属于中档题
17.在四棱锥 中，平面 平面 PCD，底面 ABCD 为梯形， ，
，M 为 PD 的中点，过 A，B，M 的平面与 PC 交于 N. ，
， ， .
（1）求证：N 为 PC 中点；
（2）求证： 平面 PCD；
（3）T 为 PB 中点，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的性质可得 ，又由 M 为 PD 的中点，即可求证 N 为 PC 中点；
( ) 2 1
4 2
3
6
32 5
C CP X C
= = =
( ) 3 0
4 2
3
6
13 5
C CP X C
= = =
1
5
3
5
1
5
1 3 11 2 3 25 5 5EX = × + × + × =
P ABCD− ABCD ⊥ / /AB CD
AD PC⊥ 2 3DC =
2DA PD= = 1AB = 120PDC∠ =
AD ⊥
T AC B− −
AB MN∥（2）利用面面垂直的性质，可过点 作 ,可证 ，再结合线面垂直的判
定定理即可求证；
（3）采用建系法以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法
即可求出二面角 的大小
【详解】（1） ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
由线面平行的性质可得， ，
又 ， ，
M 为 PD 的中点， 为 PC 的中点；
（2）过点 作 交 与点 ，
又 平面 平面 PCD，交线为 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，
又 ， ， 平面 PCD；
（3）由（2）可知 平面 PCD， ，故以 为 轴， 为 轴， 为
轴建立空间直角坐标系，如图：
求得 ，
为 的中点，故 ， ， ，
可设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，故有
D DH DC⊥ DH AD⊥
DA x DC y DH z
T AC B− −
/ /AB CD CD ⊂ PCD AB ⊄ PCD / /AB∴ PCD
/ /AB MN
/ /AB CD / /MN CD∴
N∴
D DH DC⊥ PC H
ABCD ⊥ CD DH ⊥ ABCD
AD ⊂ ABCD DH AD∴ ⊥
AD PC⊥ PC DH H= ∴ AD ⊥
AD ⊥ AD CD∴ ⊥ DA x DC y DH z
( ) ( ) ( ) ( )0, 1, 3 , 2,0,0 , 0,2 3,0 , 2,1,0P A C B−
T PB 31,0, 2T
31,0, 2AT
= −
( )2 2 3,0AC = − ，
ABC ( )1 0,0,1n = TAC ( )2 , ,n x y z=，取 得 ，则 ，故
，故二面角 的大小为 45°
【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解
二面角的大小，属于中档题
18.已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 在 上的单调区间；
（Ⅱ）求证：当 时，函数 既有极大值又有极小值．
【答案】（1）单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，解二次不等式即可得到单调区间；
（2）当 时，对 x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.
【详解】（1）当 时，
所以 ，
令 得 ，或 .
当 变化时， 的变化情况如下表：
所以 在 上的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .
(2)当 时，
若 ，则 ，
2
2
2 2 3 0
3 02
n AC x y
n AT x z
⋅ = − + =
⋅ = − + =
3x = 1, 2y z= = ( )2 3,1,2n =
1 2
1 2
1 2
2 2cos , 21 2 2
n n
n n
n n
⋅
= = =
×⋅
T AC B− −
( ) 3 21 5 13 2f x x x a x= − + −
6a = ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( )f x
(0,2) (3, )+∞ (2,3)
( ) 2' 5 6f x x x= − +
0a <
6, 0a x= > ( ) 3 21 5 6 13 2f x x x x= − + −
( ) ( )( )2' 5 6 2 3f x x x x x= − + = − −
( )' 0,f x = 2x = 3x =
x ( ) ( )' ,f x f x
( )f x ( )0,+∞ ( )0,2 ( )3,+∞ ( )2,3
0a <
0x < ( ) 3 21 5 13 2f x x x ax= − − −所以
因为 ，所以
若 ，则 ，
所以
令 ，
所以有两个不相等的实根 ，且
不妨设 ，所以当 变化时， 的变化情况如下表：
因为函数 图象是连续不断的，
所以当 时， 即存在极大值又有极小值.
【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此
类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．
19.已知椭圆 C： （ ）的左、右顶点分别为 A，B，左焦点为 F，O 为原
点，点 P 为椭圆 C 上不同于 A、B 的任一点，若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 ，且椭圆 C
经过点 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 P 点不在坐标轴上，直线 PA，PB 交 y 轴于 M，N 两点，若直线 OT 与过点 M，N 的
圆 G 相切.切点为 T，问切线长 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为 3
【解析】
( ) ( )2' 5 5f x x x a x x a= − − = − −
0, 0x a< < ( )' 0f x >
0x > ( ) 3 21 5 13 2f x x x ax= − + −
( ) 2' 5f x x x a= − +
( )' 0,f x = 25 4 0a∆ = − >
1 2,x x 1 2 0x x <
2 0x > x ( ) ( )' ,f x f x
( )f x
0a < ( )f x
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
3
4
−
31, 2
OT
2 2
14 3
x y+ =【分析】
（1）由斜率之积可求得 ， 的关系，将 代入可再得 ， 的关系，解出 ， 的值，
即可求出椭圆的方程；
（2）由（1）得 ， 的坐标，设 ，满足椭圆的方程，得直线 ， ，求出 ，
的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．
【详解】（1）设 ，由题意得 ， ， ，
而 得： ①，
又过 ②，所以由①②得： ， ；
所以椭圆 的方程： ；
（2）由（1）得： ， 设 ， ，则直线的方程
，令 ，则 ，所以 的坐标 ，
直线 的方程： ，令 ， ，所以坐标 ，
（圆的切割线定理），再联立 ，
【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论
作为记忆：两对称点为 椭圆上一点为 ，则有
a b 31, 2
a b a b
A B ( , )P m n AP BP M
N
( , )P x y ( ,0)A a− ( ,0)B a
2
2 2AP BP
y y yk k x a x a x a
∴ ⋅ = ⋅ =+ − −
∴ 2
2 2
3
4
y
x a
= −−
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2 23
4b a=
2 2
3 1 9(1, ) 12 4a b
∴ + = 2 4a = 2 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
( 2,0)A − (2,0)B ( , )P m n
2 2
14 3
m n+ =
: ( 2)2
nPA y xm
= ++ 0x = 2
2
ny m
= + M 2(0, )2
n
m+
PB ( 2)2
ny xm
= −− 0x =
2
ny m
−= −
2(0, )2
nN m
−
−
OT ONOTN OMT OM OT
∆ ∆ ∴ = ∽
2 2
14 3
m n+ =
2
2
2
4| | | | | | 34
nOT ON OM m
∴ = = =−
( ) ( )1 1 1 1, , , ,A x y B x y− − ( ),P x y；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，
利用几何关系转化至关重要，属于难题
20.定义：给定整数 i，如果非空集合满足如下 3 个条件：
① ；② ；③ ，若 ，则 .
则称集合 A 为“减 i 集”
（1） 是否为“减 0 集”？是否为“减 1 集”？
（2）证明：不存在“减 2 集”；
（3）是否存在“减 1 集”？如果存在，求出所有“减 1 集”；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）是“减 0 集”；不是“减1 集”（2）证明见解析；（3）存在； ， ， ，3，
， ，3，5， ， ，3，5， ， ， ，
【解析】
【分析】
（1） ， ， ， ，即可得出 “减 0 集”，同理可得 不
是“减 1 集”．
（2）假设存在 是“减 2 集”，则若 ，那么 ，当 时，有
，对 ， 分类讨论即可得出．
（3）存在“减 1 集” ． ．假设 ，则 中除了元素 1 以外，必然还含有其它元
素．假设 ， ，而 ，因此 ．假设 ， ，而
，因此 ．因此可以有 ， ．假设 ， ，而 ，因
此 ．假设 ， ， ， ， ，因此 ．
因此可以有 ，3， ．以此类推可得所有的 ．
【详解】（1） ， ， ， ， 是“减 0 集”
同理， ， ， ， ， 不是“减 1 集”．
（2）假设存在 是“减 2 集”，则若 ，
那么 ，当 时，有 ，
是
2
2PA PB
bk k a
⋅ = −
A N ∗⊆ { }1A ≠ ,x y N ∗∀ ∈ x y A+ ∈ xy i A− ∈
{ }1,2P =
{1 3} {1
5} {1 7} ……{1 …… 2 1n − }…… *( )n N∈
*P N⊆ {1}P ≠ 1 1 2 P+ = ∈ 1 1 0 P× − ∈ P P
A x y A+ ∈ 2xy A− ∈ 2x y xy+ = −
( 1)( 1) 3x y− − = x y
A {1}A ≠ 1 A∈ A
2 A∈ 1 1 A+ ∈ 1 1 1 A× − ∉ 2 A∉ 3 A∈ 1 2 A+ ∈
1 2 1 A× − ∈ 3 A∈ {1A = 3} 4 A∈ 1 3 A+ ∈ 1 3 1 A× − ∉
4 A∉ 5 A∈ 1 4 A+ ∈ 1 4 1 A× − ∈ 2 3 5+ = 2 3 1 A× − ∈ 5 A∈
{1A = 5} A
*P N⊆ {1}P ≠ 1 1 2 P+ = ∈ 1 1 0 P× − ∈ P∴
*P N⊆ {1}P ≠ 1 1 2 P+ = ∈ 1 1 1 P× − ∉ P∴
A x y A+ ∈
2xy A− ∈ 2x y xy+ = − ( 1)( 1) 3x y− − =则 ， 一个为 2，一个为 4，所以集合 中有元素 6，
但是 ， ，与 是“减 2 集”，矛盾，故不存在“减2 集”
（3）存在“减 1 集” ． ．
①假设 ，则 中除了元素 1 以外，必然还含有其它元素．
假设 ， ，而 ，因此 ．
假设 ， ，而 ，因此 ．
因此可以有 ， ．
假设 ， ，而 ，因此 ．
假设 ， ， ， ， ，因此 ．
因此可以有 ，3， ．
以此类推可得： ，3，5， ， ， ， ，
以及 的满足以下条件的非空子集： ， ， ，3， ， ，3，5， ，
【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题
x y A
3 3 A+ ∈ 3 3 2 A× − ∉ A
A {1}A ≠
1 A∈ A
2 A∈ 1 1 A+ ∈ 1 1 1 A× − ∉ 2 A∉
3 A∈ 1 2 A+ ∈ 1 2 1 A× − ∈ 3 A∈
{1A = 3}
4 A∈ 1 3 A+ ∈ 1 3 1 A× − ∉ 4 A∉
5 A∈ 1 4 A+ ∈ 1 4 1 A× − ∈ 2 3 5+ = 2 3 1 A× − ∈ 5 A∈
{1A = 5}
{1A = …… 2 1n − }…… *( )n N∈
A {1 3} {1 5} {1 7} ……
微信/支付宝扫码支付