人大附中 2019~2020 学年度高三 4 月质量检测试题
数学
2020 年 4 月 13 日
第一部分
一、选择题（本大题共 10 个小题，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个
是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）
1.集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算 ，再计算交集得到答案.
【 详 解 】 ， ， 故
.
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.
2.已知复数 是正实数，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】因为 为正实数，
所以 且 ，解得 .
故选：C
【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.
{ }2,A x x x R= > ∈ { }2 2 3 0B x x x= − − > A B =
(3, )+∞ ( , 1) (3, )−∞ − +∞ (2, )+∞ (2,3)
( ) ( ), 1 3,B = −∞ − +∞
{ } ( ) ( )2 2 3 0 , 1 3,B x x x= − − > = −∞ − ∪ +∞ { }2,A x x x R= > ∈
(3, )A B = +∞
A
2 2z a i a i= − − a
0 1 1− 1±
2 22 2 ( 1)z a i a i a a i= − − = − + −
2 0a− > 2 1 0a − = 1a = −3.下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ，值域为 ，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为 ，奇函数，排除；
C. ，值域为 ，奇函数，满足；
D. ，值域为 ，非奇非偶函数，排除；
故选： .
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意 ，解得 ， ，得到答案.
【 详 解 】 ， 解 得 ， ， 故
.
故选： .
【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
5.在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，设直线 与
轴正半轴所成的最小正角为 ，则 等于( )
A. B. C. D.
2y x= + y sinx= 3y x x= − 2xy =
2y x= + R
y sinx= [ ]1,1−
3y x x= − R
2xy = ( )0, ∞+
C
{ }na n nS 3 1 42 5a a a= + =， 6S =
3 1 4 11 52 2 2 3a a a a da d = + = += + =， 1 4a = 1d = −
3 1 4 11 52 2 2 3a a a a da d = + = += + =， 1 4a = 1d = −
6 16 15 9S a d= + =
B
xOy ( )1,2A O 90° B OB x
α cosα
2 5
5
− 5
5
− 5
5
2
5
−【答案】A
【解析】
【分析】
设直线直线 与 轴正半轴所成的最小正角为 ，由任意角的三角函数的定义可以求得
的值，依题有 ,则 ，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】如图，设直线直线 与 轴正半轴所成的最小正角为
因为点 在角 的终边上，所以
依题有 ,则 ，
所以 ，
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
6.设 为非零实数，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
取 ，计算知 错误，根据不等式性质知 正确，得到答案.
【详解】 ，故 ， ，故 正确；
取 ，计算知 错误；
【
OA x β
sin β OA OB⊥ 90α β = +
OA x β
( )1,2A β
2 2
2 2 5sin 51 2
β = =
+
OA OB⊥ 90α β = +
2 5cos cos( 90 ) sin 5
α β β= + =- =-
a b c， ， a c b c> >，
a b c+ > 2ab c> a b
2 c
+ >
1 1 2
a b c
+ >
1, 1, 2a b c= − = − = − ABD C
,a c b c> > 2a b c+ >
2
a b c
+ > C
1, 1, 2a b c= − = − = − ABD故选： .
【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
7.某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示：在边长为 正方体 中，四棱锥 满足条件，故
，得到答案.
【详解】如图所示：在边长为 的正方体 中，四棱锥 满足条件.
故 ， ， .
故 ，故 ， .
故选： .
的
C
2 2 2 3S S∉ ∉，且
2 2 2 3S S∉ ∈，且
2 2 2 3S S∈ ∉，且
2 2 2 3S S∈ ∈，且
2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1C ABCD−
{ }2, 2 2, 2 3S =
2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1C ABCD−
1 2AB BC CD AD CC= = = = = 1 1 2 2BC DC= = 1 2 3AC =
{ }2, 2 2, 2 3S = 2 2 S∈ 2 3 S∈
D【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8.已知点 ，点 在曲线 上运动，点 为抛物线的焦点，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示：过点 作 垂直准线于 ，交 轴于 ，则 ，设
， ，则 ，利用均值不等式得到答案.
【 详 解 】 如 图 所 示 ： 过 点 作 垂 直 准 线 于 ， 交 轴 于 ， 则
，
设 ， ，则 ，
当 ，即 时等号成立.
故选： .
(2,0)M P 2 4y x= F
2| |
| | 1
PM
PF −
3 2( 5 1)− 4 5
P PN N y Q 1 1PF PN PQ− = − =
( ),P x y 0x >
2| | 4
| | 1
PM xPF x
= +−
P PN N y Q
1 1PF PN PQ− = − =
( ),P x y 0x > ( ) ( )2 222 2 2 2 4| | | | 4 4| | 1
x y x xPM P
P
M xF xQP x x
− + − += = = = + ≥−
4x x
= 2x =
D【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9.已知函数 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的
图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着 轴上一点旋转 ;
②沿 轴正方向平移;
③以 轴为轴作轴对称;
④以 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，故函数是周期函数，轴对称图形，
故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
( ) sinx
1 2sinxf x = +
x 180°
x
x
x
( ) ( )2f x k f xπ+ =
2 2f x f x
π π − = + 【详解】 ， ， ，
当沿 轴正方向平移 个单位时，重合，故②正确；
， ，
故 ，函数关于 对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选： .
【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的
综合应用.
10.设函数 若关于 的方程 有四个实数解
，其中 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据图像知： ， ， ，计算得到答案.
【详解】 ，画出函数图像，如图所示：
根据图像知： ， ，故 ，且 .
故 .
故选： .
( ) sin
1 2sin
xf x x
= +
( ) ( )
( ) ( )sin 2 sin2 1 2sin 2 1 2sin
x k xf x k f xx k x
ππ π
++ = = =+ + + k Z∈
x 2 ,k k Zπ ∈
cosin 2
2 1 2cos
s
s1 2 in 2
x
f x x
x
x
π
π
π
− − = = + + −
cosin 2
2 1 2cos
s
s1 2 in 2
x
f x x
x
x
π
π
π
+ + = = + + +
2 2f x f x
π π − = + 2x
π=
D
( ) 2 10 1 0
0
x x xf x lgx x
+ + ≤= >
，
， x ( ) ( )f x a a R= ∈
( )1 2 3 4ix i = ，，， 1 2 3 4x x x x< < < ( )( )1 2 3 4x x x x+ −
( ]0101， ( ]0 99， ( ]0100， ( )0 + ∞，
1 2 10x x+ = − 3 4 1x x = 3
1 110 x≤ <
( ) 2 10 1 0
lg 0
x x xf x x x
+ + ≤= >
，
，
1 2 10x x+ = − 3 4lg lgx x= − 3 4 1x x = 3
1 110 x≤ <
( )( ) ( ]1 2 3 4 3
3
0110 ,99x x x x x x
∈
−
+ − = −
B【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题
的关键.
第二部分
二、填空题（本大题共 6 个小题）
11.在二项式 的展开式中， 的系数为________.
【答案】60
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案
【详解】二项式 的展开式通项为： ，
取 ，则 的系数为 .
( )62 2x + 8x
( )62 2x + ( )62 12 2
1 6 62 2rr r r r r
rT C x C x
− −
+ = ⋅ = ⋅
2r = 8x 2 2
6 2 60C ⋅ =故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.若向量 满足 ，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意计算 ，解得答案.
【详解】 ，故 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，
二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份
从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸
指定的空白处.
①_________________________________________________.
②_________________________________________________.
【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大
【解析】
【分析】
直接根据折线图得到答案.
【详解】根据折线图知：
60
( ) ( )2 2 1a x b x= = ， ， ， 3a b⋅ = −
( ) ( )2ln 2f x a x x a x= + − + ( ) ( )' 2 2af x x ax
= + − +
( ) ( )' 4 2 tan 12 42 af a
π= + − + = = 2a =
( ) ( ) ( )( )1 2' 2 2 0x x aaf x x ax x
− −= + − + = = ( )2 2,a x e= ∈
0x ( ) ( )0 0
0
' 2 2 0af x x ax
= + − + =
02a x=
( )f x ( )01, x ( )0 ,x e
( ) ( ) ( ) ( )0
2 2
0 0 0 0i 0 0 0 0m n ln 2 2 ln 2 2a x x a x x xf x f x x x x+ − + = + − += =，
设 ，则 ，
设 ，则 ， 单调递减，
，故 恒成立，故 单调递减.
，故当 时， .
【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关
键.
20.设椭圆 ，直线 经过点 ，直线 经过点 ，直线 直线 ，
且直线 分别与椭圆 相交于 两点和 两点.
(Ⅰ)若 分别为椭圆 的左、右焦点，且直线 轴，求四边形 的面积;
(Ⅱ)若直线 的斜率存在且不为 0，四边形 为平行四边形，求证: ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形 能否为矩形，说明理由.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)计算得到故 ， ， ， ，计算得到面积.
(Ⅱ) 设 为 ，联立方程得到 ，计算
，同理 ，根据
得到 ，得到证明.
(Ⅲ) 设 中点为 ，根据点差法得到 ，同理 ，故
2
0 0 0 02 ln 2x x x x= − −
( ) 22 ln 2g x x x x x= − − ( )' 2ln 2g x x x= −
( ) ( )' 2ln 2h x g x x x= = − ( ) 2' 2 0h x x
= − < ( )h x
( ) ( )1 ' 1 2h g= = − ( )' 2ln 2 0g x x x= − < ( )g x
( ) ( ) 2
ming x g e e> = − ( )1x e∈ ， ( ) 2f x e> −
2
2: 12
xE y+ = 1l ( )0M m， 2l ( )0N n， 1l 2l
1 2l l， E A B， C D，
M N， E 1l x⊥ ABCD
1l ABCD 0m n+ =
ABCD
2 2
21, 2A
−
21, 2B
− −
21, 2C
21, 2D
−
1l ( )y k x m= −
2
1 2 2
2 2
1 2 2
4
2 1
2 2
2 1
k mx x k
k mx x k
+ = + − = +
2 2 2
2
2
16 8 81 2 1
k k mAB k k
− += + +
2 2 2
2
2
16 8 81 2 1
k k nCD k k
− += + +
AB CD= 2 2m n=
AB ( ),P a b 2 0a kb+ = 2 0c kd+ =，得到结论.
【详解】(Ⅰ) ， ，故 ， ， ，
.
故四边形 的面积为 .
(Ⅱ)设 为 ，则 ，故 ，
设 ， ，故 ，
，
同理可得 ，
，故 ，
即 ， ，故 .
(Ⅲ)设 中点为 ，则 ， ，
相减得到 ，即 ，
同理可得： 的中点 ，满足 ，
故 ，故四边形 不能为矩形.
【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的
计算能力和综合应用能力.
21.对于正整数 ，如果 个整数 满足 ，
1 1
2PQk k k
= − ≠ −
( )1,0M − ( )1,0N 21, 2A
−
21, 2B
− −
21, 2C
21, 2D
−
ABCD 2 2S =
1l ( )y k x m= −
( )
2
2 12
x y
y k x m
+ =
= −
( )2 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k mx m k+ − + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
2 2
1 2 2
4
2 1
2 2
2 1
k mx x k
k mx x k
+ = + − = +
( ) 2 2 2
22 2 2
1 2 1 2 1 2 2
16 8 81 1 4 1 2 1
k k mAB k x x k x x x x k k
− += + − = + + − = + +
2 2 2
2
2
16 8 81 2 1
k k nCD k k
− += + +
AB CD= 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
16 8 8 16 8 81 12 1 2 1
k k m k k nk kk k
− + − ++ = ++ +
2 2m n= m n≠ 0m n+ =
AB ( ),P a b
2
21
1 12
x y+ =
2
22
2 12
x y+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2 02
x x x x y y y y
+ − + + − = 2 0a kb+ =
CD ( ),Q c d 2 0c kd+ =
1 1
2 2 2PQ
d b d bk c a kd kb k k
− −= = = − ≠ −− − + ABCD
n ( )*k k N∈ 1 2 ka a a…， ， ， 1 21 ka a a n≤ ≤ ≤…≤ ≤且 ，则称数组 为 的一个“正整数分拆”.记
均为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数 ，设 是 的一个“正整数分拆”，且 ，求
的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ，证明: ;并求出使得等号成立的 的值.
(注:对于 的两个“正整数分拆” 与 ，当且仅当 且
时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ， ， ， ， ；(Ⅱ) 为偶数时， ， 为奇数
时， ；(Ⅲ)证明见解析， ，
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当 为偶数时， 最大为 ，当 为奇数时， 最大为 ，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当 为奇数时， ，至少存在一个全为 1 的拆分，故 ，当 为偶数时，
根据对应关系得到 ，再计算 ， ，得到答案.
【详解】(Ⅰ)整数 4 的所有“正整数分拆”为： ， ， ， ， .
(Ⅱ)当 为偶数时， 时， 最大为 ；
当 为奇数时， 时， 最大为 ；
综上所述： 为偶数， 最大为 ， 为奇数时， 最大为 .
(Ⅲ)当 为奇数时， ，至少存在一个全为 1 的拆分，故 ；
当 为偶数时，设 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了 和 的均为奇数的“正整数分拆”，
1 2 ka a a n+ +…+ = ( )1 2 ka a a…， ， ， n 1 2 ka a a…， ， ，
1 2n kf a a a…， ， ， ， ng
( )4n n ≥ ( )1 2 ka a a…， ， ， n 1 2a = k
n n nf g≤ n
n ( )1 2 ka a a…， ， ， ( )1 2 mb b b…， ， ， k m=
1 1 2 2 k ma b a b a b= = … =， ， ，
( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2,2 ( )4 n
2
nk = n
1
2
nk
−= 2n = 4n =
n k 2
nk = n k 1
2
nk
−=
n 0nf = n nf g< n
n nf g≤ 2 2 1f g= = 4 4 2f g= =
( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2,2 ( )4
n 1 2 3 ... 2ka a a a= = = = = k 2
nk =
n 1 2 3 1... 2, 3k ka a a a a−= = = = = = k 1
2
nk
−=
n k 2
nk = n k 1
2
nk
−=
n 0nf = n nf g<
n ( )1 2, ,..., ka a a
( )1,1,...,1 ( )1 21,1,..., 1, 1,..., 1ka a a− − −故 .
综上所述： .
当 时，偶数“正整数分拆”为 ，奇数“正整数分拆”为 ， ；
当 时，偶数“正整数分拆”为 ， ，奇数“正整数分拆”为 ，
故 ；
当 时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为 的奇数拆分外，至少多出一项各项均
为 的“正整数分拆”，故 .
综上所述：使 成立的 为： 或 .
【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
n nf g≤
n nf g≤
2n = ( )2 ( )1,1 2 2 1f g= =
4n = ( )2,2 ( )4 ( )1,1,1,1 ( )1,3
4 4 2f g= =
6n ≥ 1
1 n nf g<
n nf g= n 2n = 4n =
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