学校___________年级________班级_________姓名_______学号________考试序号___________
嘉定区 2019 学年高三第二次质量调研测试
数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果．
1．已知集合 ，则 ______．
2．线性方程组 的增广矩阵为_________．
3．已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆柱的侧面积等于_______．
4．在 的二项展开式中， 项的系数为_______．
5．若实数 满足 ，则 的最大值为_______．
6．已知球的主视图的面积是 ，则该球的体积等于_________．
7．设各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，则 ______．
8．已知函数 （ 且 ）的反函数为 ．若 ，则 _____．
9．设 ，则 ________．
10．从 4 对夫妇中随机抽取 3 人进行核酸检测，则所抽取的 3 人中任何两人都不是夫妻的概率是_______
（结果用数值表示）．
11．设 是双曲线 的动点，直线 （ 为参数）与圆 相交于
两点，则 的最小值是_________．
12．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则
______．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相
应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
{2,4,6,8}, {1,2,3}A B= = A B =∩
2 5
3 8
x y
x y
− =
+ =
5( 2)x − 3x
,x y
0
1
2 0
x
y
x y
≥
≤
− ≤
z x y= +
π
{ }na n 1 2 3, 1, 6nS a a a= + = 6S =
( ) 2 logaf x x= + 0a > 1a ≠ 1( )y f x−= 1(3) 2f − = a =
2, 9 0z z∈ + =C | 4 |z − =
P
2
2 18
yx − = 3 cos
sin
x t
y t
θ
θ
= +
= t 2 2( 3) 1x y− + = A B、
PA PB⋅
ABC A B C、 、 a b c、 、 2 2 2 2 3 sina b c bc A+ + = A =
x∈R 1x > | 2 | 1x −
x
x
a
2 2
2 2: 1( 0)x y a ba b
Γ + = > > (0,2)P 2 8y x= l
(1,0)Q Γ A B、
Γ（2）若直线 的一个方向向量为 ，求 的面积（其中 为坐标原点）；
（3）试问：在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标和定值；若不存
在，请说明理由．
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
已知 为正整数，各项均为正整数的数列 满足： ，记数列 的前 项
和为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 为奇数，求证：“ ”的充要条件是“ 为奇数”．
嘉定区 2019 学年第二学期高三年级质量检测卷检测
（2020.5.19）
一、填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．解析： ．
2．解析： ．
3．解析： ．
4．解析： ，故 的系数为 ．
5．解析： ．
6．解析： ．
7．解析：由 ．
8．解析： ．
9．解析：由 ，则 ．
l (1,2)d = OAB O
x M MA MB⋅ M
m { }na 1
, 2
,
n
n
n
n n
a aa
a m a
+
=
+
为偶数
为奇数
{ }na n
nS
1 8, 2a m= = 7S
35, 25m S= = 1a
1 1,a m= 1na m+ > na
{2}
1 2 5
3 1 8
−
2 1 2 4S π π= ⋅ ⋅ =
5
1 5 ( ) ( 2)r r r
rT C x −
+ = − 3x 2 2
5 ( 2) 40C − =
max 2 1 3Z = + =
3
2 4 41 3 3
rS r r V
π ππ π= = ⇒ = ⇒ = =
( )6
2
6
1 1 2
6( 0) 2 631 2q q q q S
−
+ = > ⇒ = ⇒ = =−
1(3) 2 (2) 3 3 2 log 2 2af f a− = ⇒ = ⇒ = + ⇒ =
2 9 0 3z z i+ = ⇒ = ± | 4 | | 3 4 | 5z i− = ± − =10．解析： ．
11．解析：设圆心为 ，并且直线过 ，则
．
12．解析：
，而
．
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．解析： ，故为必要非充分条件，此题选 B．
14．解析：D．
15．解析： 到棱 的距离即 到 的距离．即点 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）
轨迹为抛物线，故此题选 C．
16．解析：
即 ．若 为奇数， ；若 为偶数， ．
而 是 关 于 的 单 调 递 增 函 数 ， 并 且 ， ， 故 最 小 值 是
，故此题选 B．
三、解答题（本大题共 5 题，共 分）
17．解析：（1）易得四棱锥的高为 4，所以体积为 ．
（2） 即为所求角，且 ．
18．解析：（1）当 为奇函数时，必有 ．
（2） ，
3 3
4
3
8
2 4
7
CP C
⋅= =
(3,1)O O
2 2 2 2 2( ) ( ) 1 2 1 3PA PB PO OA PO OB PO OA PO⋅ = + ⋅ + = − = − ≥ − =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( )2 2 2 2 2 2 22 cos 2 3 sina b c b c bc A b c bc A+ + = + − + + = ⇒
2 22 sin 6bc A b c
π + = +
2 22 sin 2 sin 1 sin 16 6 6 3bc A b c bc A A A
π π π π + = + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + = ⇒ =
| 2 | 1 1 3x x− < ⇒ < <
P 1 1A B P 1B P
1 1 1
3 1 34 6 4 6 3 6 2 3 2n n n n n n n n nS a S S S S S S S− − −
= + ⇒ = + − ⇒ = − ⇒ − = − −
13 1 1
2 2 3
n
nS
− = + − n 3 ,22nS ∈ n 4 3,3 2nS ∈
13 n
n
f S S
= − nS 4 13
3 4f =
11(2) 2f = t s−
11 13 9
2 4 4
− =
14 14 14 16 18 76+ + + + =
21 3 4 123V = × × =
PBC∠ 5 5tan arctan3 3PBC PBC∠ = ⇒ ∠ =
( )f x (0) 0 0f a= ⇒ =
2 3 33sin cos 3 26 3 6 2 4
af a a
π π π = + = + = ⇒ = ，
由 或 ，
或 ，所以在区间 上的解为 ．
19．解析：（1） ．
（2）即 恒成立，其中 ，
即 恒成立，又因为 ，当且仅当 时等号成立，所以
．
20．解析：（1） ，故椭圆方程为 ．
（2） ，将直线与椭圆联立得 ， ，故
．
（3）当直线斜率不为 0 时，设： ， ， ， ，将 与椭圆联立得
，
，由于该式为定值，故 ，定值为 ．
当直线斜率为 0 时， ， ， ．
综上，定点 ，定值 ．
21．解析：（1） ， ，则前 7 项为 8，4，2，1，3，5，7，故 ．
2( ) 3sin 2 2cos 3sin 2 cos2 1 2sin 2 16f x x x x x x
π = + = + + = + +
1( ) 2 sin 2 2 26 2 6 6f x x x k
π π π π = ⇒ + = ⇒ + = +
52 26 6x k
π π π+ = +
x kπ⇒ = ( )3x k k Z
π π= + ∈ [0, ]π 0, ,3x
π π ∈
(100 ) 2(1 2 %) 200 0 50x x x− × + ≥ ⇒ ≤ ≤
92 (100 ) 2(1 2 %)50x a x x x − ≤ − × + 0 50x≤ ≤
100 4 125
xa x
≤ + + 100 4 4001 2 1 925 25
x x
x x
+ + ≥ + = 25x =
max 9a =
2 2 2b c a= = ⇒ =
2 2
18 4
x y+ =
: 2 2l y x= − 16 14,9 9A
(0, 2)B −
1 16 14 16( 2) 02 9 9 9ABCS = × − − × =V
: 1l x my= + ( ,0)M a ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l
( )2 22 2 7 0m y my+ + − = ( )( )1 2 1 2MA MB x a x a y y⋅ = − − +uuur uuur
( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
7 21 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 )2 2
mm y y a m y y a m a m am m
− −= + + − + + − = + ⋅ + − ⋅ + −+ +
( )2 2 2
2
8 2 4 5
2
m a a a
m
− + − −
= + ( )2 2 112 8 2 4 5 4a a a a− = − − ⇒ = 7
16
(2 2,0)A ( 2 2,0)B − 11 11 72 2 2 24 4 16MA MB ⋅ = − + =
uuur uuur
11,04M
7
16
1 8a = 2m = 7 30S =（2）设 是整数．
①若 ， ．则
此时 ．
②若 ， ， ，则 ，此时 不存在．
③若 ， ， ，则 ，此时 ．
故 或 ．
（3）充分性：若 为奇数，则 ；
必要性：先利用数学归纳法证： （ 为奇数）； （ 为偶数）．
① ， ， 成立；
②假设 时， （ 为奇数）； （ 为偶数）．
③当 时，当 是偶数， ；当 是奇数， ，此时 是偶数．
综上，由数学归纳法得 （ 为奇数）； （ 为偶数）．
从而若 时，必有 是偶数．进而若 是偶数，则 矛盾，故 只能为奇数．
k
1 2 1a k= − 2 32 4 2a k a k= + = + 1 2 3 5 5 25 4a a a k k+ + = + = ⇒ =
1 7a =
1 4a k= 2 2a k= 3a k= 1 2 3 7 25a a a k+ + = = k
1 4 2a k= − 2 2 1a k= − 3 2 4a k= + 1 2 3 8 1 25 3a a a k k+ + = + = ⇒ = 1 10a =
1 7a = 1 10a =
na 1n na a m m+ = + >
na m≤ na 2na m≤ na
1 1a m= ≤ 2 1 2a m m= + ≤ 3
1
2
ma m
+= ≤
n k= ka m≤ ka 2ka m≤ ka
1n k= + ka 1 2
k
k
aa m+ = ≤ ka 1 2k ka a m m+ = + ≤ 1ka +
na m≤ na 2na m≤ na
1na m+ > 1na + na 12 2n na a m+= > na
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