2020 年高考数学三模试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）
1．设集合 A＝{x|3x﹣1＜m}，若 1∈A 且 2∉A，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．2＜m＜5 B．2≤m＜5 C．2＜m≤5 D．2≤m≤5
2．下面关于复数 z＝﹣1+i（其中 i 为虚数单位）的结论正确的是（ ）
A．1
푧对应的点在第一象限 B．|z|＜|z+1|
C．z 的虚部为 i D．풛 + 풛＜ퟎ
3．如图所示，给出了样本容量均为 7 的 A，B 两组样本数据的散点图，已知 A 组样本数据
的相关系数为 r1，B 组数据的相关系数为 r2，则（ ）
A．r1＝r2 B．r1＜r2 C．r1＞r2 D．无法判定
4．已知数列{an}为等差数列，且 a3＝4，a5＝8，则该数列的前 10 项之和 S10＝（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
5．已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ 是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的
是（ ）
A．若 m∥α，m∥β，则 α∥β B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
C．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β
6．设 x1，x2，x3 均为实数，且풆―풙ퟏ = 풍풏풙ퟏ，풆―풙ퟐ = 풍풏(풙ퟐ + ퟏ)，풆―풙ퟑ = 풍품풙ퟑ，则（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3
7．已知向量 →
푨푩与 →
푨푪的夹角为 120°，且| →
푨푩| = ퟑ，| →
푨푪| = ퟐ，若 →
푨푷 = 흀 →
푨푩 + →
푨푪且 →
푨푷 ⊥
→
푩푪，则实数 λ 的值为（ ）
A．3
7 B．7
3 C． 7
12 D．12
7
8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：
任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC
的顶点 A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为 x﹣y+2＝0，则顶点 C 的坐标可以是
（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
9．我们把离心率为黄金比 5 ― 1
2
的椭圆称为“优美椭圆”．设 푥2
푎2 +
푦2
푏2 = ퟏ（a＞b＞0）为
“优美椭圆”，F，A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF
等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
10．若函数 f（x） = ퟑsin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（휋
2，0）对称，
则函数 f（x）在[ ―
휋
4，휋
6]上的最小值是（ ）
A．﹣1 B． ― ퟑ C． ―
1
2 D． ―
3
2
11．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PB＝2，푪푨 = 푪푩 = ퟕ，푨푩 = ퟐ ퟑ，푷푪 = ퟑ．有以下
结论：①三棱锥 P﹣ABC 的表面积为ퟓ ퟑ；②三棱锥 P﹣ABC 的内切球的半径풓 =
3
5 ；③
点 P 到平面 ABC 的距离为 3
2 ．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
12．抛物线 y2＝8x 的焦点 F 是双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）
（n＞0）为抛物线上一点，直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲
线的离心率为（ ）
A． ퟐ B． ퟑ C．2 D． ퟓ
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设 x，y 满足约束条件{풙 + 풚 ≥ ퟐ
풙 ≤ ퟏ
풚 ≤ ퟐ
，则目标函数 z＝﹣2x+y 的取值范围为 ．
14． 若 曲 线풚 = ퟐ 풙与 函 数 f（x） ＝aex 在 公 共 点 处 有 相 同 的 切 线 ， 则 实 数 a 的 值
为 ．
15．已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn，对任意的 n∈N*，都有 3Sn＝an+16．若풃풏 = 풂ퟏ풂ퟐ⋯풂풏
，풏 ∈ 푵∗，则数列{an}的通项公式 a5＝ ；数列{bn}的最大项为 ．
16．定义在 R 上的偶函数 y＝f（x）满足 f（x+2）＝﹣f（x），当 x∈[0，1）时，f（x）＝1
﹣x2，有以下 4 个结论：①2 是 y＝f（x）的一个周期；②f（1）＝0；③函数 y＝f（x﹣
1）是奇函数；④若函数 y＝f（x+1）在（1，2）上递增．则这 4 个结论中正确的
是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题～第 21 题为
必考题，每个考题考生必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考
题：共 60 分．
17．已知△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（sinB+sinC）2＝
sin2A+sinBsinC．
（1）求 A；
（2）若 b+c＝6，△ABC 的面积为ퟐ ퟑ，求 a．
18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量
x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请计算相关系
数并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求 y 关于 x 的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产
量的增加量约为多少？
附：相关系数 r =
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)2 푛
푖 = 1
(푦푖 ― 푦)2
=
푛
푖 = 1
푥푖푦푖 ― 푛푥푦
푛
푖 = 1
푥푖
2 ― 푛푥2 푛
푖 = 1
푦푖
2 ― 푛푦2
，
回归直线풚 = 풃풙 + 풂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：풃 =
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)2
=
푛
푖 = 1
푥푖푦푖 ― 푛푥푦
푛
푖 = 1
푥푖
2 ― 푛푥2
，풂 = 풚 ― 풃풙．
19．如图，在几何体中，四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC 与 BD 相交
于点 O，四边形 BDEF 为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面 BDEF⊥平面
ABCD．
（1）证明：平面 AEF⊥平面 AFC；
（2）求三棱锥 E﹣AFD 的体积．
20．已知函数풇(풙) =
푎푥
푒푥．
（1）当 a＜0 时，求 f（x）的最小值；
（2）若对存在 x0∈R，使得풇(풙ퟎ)＜ ―
1
3푒，求实数 a 的取值范围．
21．已知椭圆푬：
푥2
푎2 + 푦2
3 = ퟏ(풂＞ ퟑ)的离心率풆 =
1
2．直线 x＝t（t＞0）与曲线 E 交于不同
的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，求△ABC 的面积的最大值．
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
得曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝8sinθ．若过点 P（5，﹣3），倾斜角为 α，且풄풐풔휶 = ―
3
5
的直线交曲线 C 于 P1、P2 两点．
（1）求|PP1|•|PP2|的值；
（2）求 P1P2 的中点 M 的坐标．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．对∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|的最小值为 M．
（1）若三个正数 x，y，z 满足 x+y+z＝M，证明：푥2
푦 + 푦2
푧 + 푧2
푥 ≥ ퟐ；
（2）若三个正数 x，y，z 满足 x+y+z＝M，且(풙 ― ퟐ)ퟐ +(풚 ― ퟏ)ퟐ +(풛 + 풎)ퟐ ≥
1
3恒成立，
求实数 m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设集合 A＝{x|3x﹣1＜m}，若 1∈A 且 2∉A，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．2＜m＜5 B．2≤m＜5 C．2＜m≤5 D．2≤m≤5
【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可．
解：因为集合 A＝{x|3x﹣1＜m}，若 1∈A 且 2∉A，
∴3×1﹣1＜m 且 3×2﹣1≥m；解得 2＜m≤5；
故选：C．
2．下面关于复数 z＝﹣1+i（其中 i 为虚数单位）的结论正确的是（ ）
A．1
푧对应的点在第一象限 B．|z|＜|z+1|
C．z 的虚部为 i D．풛 + 풛＜ퟎ
【分析】由已知求得1
푧判断 A；求解两复数的模判断 B；由虚部的概念判断 C；由풛 + 풛 = ―
ퟐ＜0 判断 D．
解：∵z＝﹣1+i，∴1
푧 =
1
―1 + 푖 =
―1 ― 푖
( ― 1 + 푖)( ― 1 ― 푖) = ―
1
2 ―
1
2풊，
则1
푧对应的点在第三象限，故 A 错误；
|z| = ퟐ，|z+1|＝1，故 B 错误；
z 的虚部为 1，故 C 错误；
풛 + 풛 = ― ퟐ＜0，故 D 正确．
故选：D．
3．如图所示，给出了样本容量均为 7 的 A，B 两组样本数据的散点图，已知 A 组样本数据
的相关系数为 r1，B 组数据的相关系数为 r2，则（ ）
A．r1＝r2 B．r1＜r2 C．r1＞r2 D．无法判定
【分析】根据 A、B 两组样本数据的散点图分布特征，即可得出 r1、r2 的大小关系．
解：根据 A、B 两组样本数据的散点图知，
A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
∴相关系数为 r1 应最接近 1，
B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
∴相关系数为 r2 满足 r2＜r1，
即 r1＞r2．
故选：C．
4．已知数列{an}为等差数列，且 a3＝4，a5＝8，则该数列的前 10 项之和 S10＝（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
【分析】设等差数列{an}的公差为 d，由 a3＝4，a5＝8，可得 a1+2d＝4，a1+4d＝8，联立
解得：a1，d，再利用求和公式即可得出．
解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3＝4，a5＝8，∴a1+2d＝4，a1+4d＝8，
联立解得：a1＝0，d＝2，
则该数列的前 10 项之和 S10＝0 +
10 × 9
2 × 2＝90．
故选：B．
5．已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ 是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的
是（ ）
A．若 m∥α，m∥β，则 α∥β B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
C．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β
【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断选
项中的命题是否正确即可．
解：对于 A，若 α∩β＝n，m∥n，则 m∥α，m∥β，所以 A 错误；
对于 B，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平
行直线，所以 B 错误；
对于 C，若 m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知 m∥n，所以 C 正确；
对于 D，若 α⊥γ，α⊥β，则 γ 与 β 可能相交，也可能平行，所以 D 错误．
故选：C．
6．设 x1，x2，x3 均为实数，且풆―풙ퟏ = 풍풏풙ퟏ，풆―풙ퟐ = 풍풏(풙ퟐ + ퟏ)，풆―풙ퟑ = 풍품풙ퟑ，则（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3
【分析】画出函数 y＝（1
푒）x，y＝lnx，y＝ln（x+1），y＝lgx，3 个函数的函数图象，
利用函数图象的交点的大小即可判断 x1，x2，x3 的大小关系，是中档题．
解：画出函数 y＝（1
푒）x，y＝lnx，y＝ln（x+1），y＝lgx，3 个函数的函数图象，如图
所示：
，
由图象可知：x2＜x1＜x3，
故选：D．
7．已知向量 →
푨푩与 →
푨푪的夹角为 120°，且| →
푨푩| = ퟑ，| →
푨푪| = ퟐ，若 →
푨푷 = 흀 →
푨푩 + →
푨푪且 →
푨푷 ⊥
→
푩푪，则实数 λ 的值为（ ）
A．3
7 B．7
3 C． 7
12 D．12
7
【分析】运用向量数量积的定义，可得 →
푨푩• →
푨푪 = ― 3，再由向量垂直的条件：向量的数
量积为 0，以及向量平方即为模的平方，解方程即可得到所求值．
解：向量 →
푨푩与 →
푨푪的夹角为 120°，且| →
푨푩| = ퟑ，| →
푨푪| = ퟐ，
可得 →
푨푩• →
푨푪 = 3×2×cos120°＝﹣3，
若 →
푨푷 = 흀 →
푨푩 + →
푨푪且 →
푨푷 ⊥ →
푩푪，
则 →
푨푷• →
푩푪 = （λ →
푨푩 + →
푨푪）•（ →
푨푪 ― →
푨푩） = →
푨푪2﹣λ →
푨푩2+（λ﹣1） →
푨푩• →
푨푪
＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，
解得 λ =
7
12．
故选：C．
8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：
任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC
的顶点 A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为 x﹣y+2＝0，则顶点 C 的坐标可以是
（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
【分析】由已知求出 AB 的垂直平分线方程，由欧拉线联立求得外心坐标，得到圆的方
程，设 C（x，y），则三角形 ABC 的重心（푥 ― 4
3 ，
푦 + 4
3 ）在欧拉线上，整理后与圆的
方程联立求解 C 的坐标．
解：∵A（﹣4，0），B（0，4），∴AB 的垂直平分线方程为 x+y＝0，
又外心在欧拉线 x﹣y+2＝0 上，
联立{풙 + 풚 = ퟎ
풙 ― 풚 + ퟐ = ퟎ，解得三角形 ABC 的外心 G（﹣1，1），
又 r＝|GA| = ( ― ퟏ + ퟒ)ퟐ + (ퟏ ― ퟎ)ퟐ = ퟏퟎ，
∴△ABC 外接圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝10．
设 C（x，y），则三角形 ABC 的重心（푥 ― 4
3 ，
푦 + 4
3 ）在欧拉线上，即푥 ― 4
3 ―
푦 + 4
3 + ퟐ =
ퟎ．
整理得 x﹣y﹣2＝0．
联立{(풙 + ퟏ)ퟐ + (풚 ― ퟏ)ퟐ = ퟏퟎ
풙 ― 풚 ― ퟐ = ퟎ ，解得{풙 = ퟎ
풚 = ―ퟐ或{풙 = ퟐ
풚 = ퟎ．
∴顶点 C 的坐标可以是（0，﹣2）．
故选：D．
9．我们把离心率为黄金比 5 ― 1
2
的椭圆称为“优美椭圆”．设 푥2
푎2 +
푦2
푏2 = ퟏ（a＞b＞0）为
“优美椭圆”，F，A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF
等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】由푐
푎 =
5 ― 1
2
可得ퟐ풄ퟐ = (ퟑ ― ퟓ)풂ퟐ验证|FA|2＝|FB|2+|AB|2 成立所以所以∠FBA
等于 90°．
解：∵푐
푎 =
5 ― 1
2
，∴ퟐ풄ퟐ = (ퟑ ― ퟓ)풂ퟐ
在椭圆中有 b2+c2＝a2，|FA|＝a+c，|FB|＝a，|AB| = 풂ퟐ + 풃ퟐ，
∴|FA|2＝（a+c）2＝a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2＝2a2+b2＝3a2﹣c2，
∴|FA|2＝|FB|2+|AB|2 = 3 + 5
2 풂ퟐ，
所以∠FBA 等于 90°．
故选：C．
10．若函数 f（x） = ퟑsin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（휋
2，0）对称，
则函数 f（x）在[ ―
휋
4，휋
6]上的最小值是（ ）
A．﹣1 B． ― ퟑ C． ―
1
2 D． ―
3
2
【分析】利用三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域
求得函数 f（x）在[ ―
휋
4，휋
6]上的最小值．
解：∵函数 f（x） = ퟑsin（2x+θ）+cos（2x+θ）＝2sin（2x+θ +
휋
6）（0＜θ＜π）的图
象关于（휋
2，0）对称，
∴2 ×
휋
2 + θ +
휋
6 = kπ，k∈Z，即 θ＝kπ ―
7휋
6 ，∴θ =
5휋
6 ，f（x）＝2sin（2x +
5휋
6 +
휋
6）＝﹣
2sin2x，
在[ ―
휋
4，휋
6]上，2x∈[ ―
휋
2，휋
3]，故当 2x =
휋
3时，函数 f（x）取得最小值为 ― ퟑ，
故选：B．
11．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PB＝2，푪푨 = 푪푩 = ퟕ，푨푩 = ퟐ ퟑ，푷푪 = ퟑ．有以下
结论：①三棱锥 P﹣ABC 的表面积为ퟓ ퟑ；②三棱锥 P﹣ABC 的内切球的半径풓 =
3
5 ；③
点 P 到平面 ABC 的距离为 3
2 ．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】①取 AB 的中点 D，连接 PD、CD，根据已知线段的长度，逐一计算四个面的
面积，相加即可得解；
②采用分割法，将三棱锥 P﹣ABC 分割成以四个面为底面，内切球的半径为高的四个三
棱锥，于是 V =
1
3Sr，从而求得内切球的半径；
③利用面面垂直的判定定理可证平面 ABC⊥平面 PCD，于是点 P 到平面 ABC 的距离即
为点 P 到 CD 的距离，再利用三角形的等面积法即可得解．
解：如图所示，取 AB 的中点 D，连接 PD、CD，则 AB⊥CD，AB⊥PD，
∵PA＝PB＝2，CA＝CB = ퟕ，AB＝2 ퟑ，PC = ퟑ，
∴三棱锥 P﹣ABC 的表面积为 ퟑ + ퟑ + ퟑ + ퟐ ퟑ = ퟓ ퟑ，即①正确；
∵푽푷―푨푩푪 =
1
3 × ퟑ × ퟑ =
1
3 × ퟓ ퟑ풓，∴풓 =
3
5 ，即②正确；
∵AB⊥CD，AB⊥PD，CD、PD⊂平面 PCD，∴AB⊥平面 PCD，
又 AB⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 PCD，
∴点 P 到平面 ABC 的距离即为点 P 到 CD 的距离，
由三角形等面积法可知，在 Rt△PCD 中，点 P 到 CD 的距离为 3
2 ，即③正确．
故选：D．
12．抛物线 y2＝8x 的焦点 F 是双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）
（n＞0）为抛物线上一点，直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲
线的离心率为（ ）
A． ퟐ B． ퟑ C．2 D． ퟓ
【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定
义可得 A 的坐标，由直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，可得直线 AF 与渐近线 bx﹣ay
＝0 平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值．
解：抛物线 y2＝8x 的焦点 F（2，0），即双曲线的右焦点为（2，0），
双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1 的渐近线方程分别为 bx﹣ay＝0，bx+ay＝0，
抛物线的准线方程为 x＝﹣2，
由 A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，可得 m＞0，且|AF|＝m+2＝8，
解得 m＝6，n＝4 ퟑ，
即 A（6，4 ퟑ），由直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，可得直线 AF 与渐近线 bx﹣ay
＝0 平行，
可得 kAF = 4 3 ― 0
6 ― 2 = ퟑ =
푏
푎，
则双曲线的离心率为 e =
푐
푎 = ퟏ +
푏2
푎2 = ퟏ + ퟑ = 2．
故选：C．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设 x，y 满足约束条件{풙 + 풚 ≥ ퟐ
풙 ≤ ퟏ
풚 ≤ ퟐ
，则目标函数 z＝﹣2x+y 的取值范围为 [﹣1，
2] ．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．
解：x，y 满足约束条件{풙 + 풚 ≥ ퟐ
풙 ≤ ퟏ
풚 ≤ ퟐ
的可行域如图：
作直线﹣2x+y＝0 的平行线，
当目标函数经过可行域的 A（0，2）时，目标函数 z＝﹣2x+y 取得最大值 2，
目标函数经过 B（1，1）时，目标函数取得最小值：﹣1．
目标函数 z＝﹣2x+y 的取值范围为[﹣1，2]．
故答案为：[﹣1，2]．
14．若曲线풚 = ퟐ 풙与函数 f（x）＝aex 在公共点处有相同的切线，则实数 a 的值为
2푒
푒 ．
【分析】设公共点横坐标为 x，然后利用“函数值相等、切点处的导数相等”，列出关
于 x，a 的方程组求解即可．
解：由已知得풚′ =
1
푥，f′（x）＝aex．
再设两曲线的公共点为（x，y），则{ 1
푥 = 풂풆풙
ퟐ 풙 = 풂풆풙
，
解得풂 =
2푒
푒 ．
故答案为： 2푒
푒 ．
15．已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn，对任意的 n∈N*，都有 3Sn＝an+16．若풃풏 = 풂ퟏ풂ퟐ⋯풂풏
，풏 ∈ 푵∗，则数列{an}的通项公式 a5＝ 1
2 ；数列{bn}的最大项为 64 ．
【分析】利用 3Sn＝an+16．利用 n﹣1 代换表达式的 n，两式相减，可得数列{an}是以 8
为首项， ―
1
2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式和各项乘积的大小可得结
论．
解：∵3Sn＝an+16，
∴n≥2 时，3Sn﹣1＝an﹣1+16，
两式相减可得，2an＝﹣an﹣1，
n＝1 时，a1＝8，
∴数列{an}是以 8 为首项， ―
1
2为公比的等比数列，
∴a5＝8×（ ―
1
2）4 =
1
2，a1＝8，a2＝﹣4，a3＝2，a4＝﹣1，n＞4 时，|an|＜1，
풃풏 = 풂ퟏ풂ퟐ⋯풂풏，풏 ∈ 푵∗，所以 b4 最大，最大值为 64．
故答案为：1
2；64．
16．定义在 R 上的偶函数 y＝f（x）满足 f（x+2）＝﹣f（x），当 x∈[0，1）时，f（x）＝1
﹣x2，有以下 4 个结论：①2 是 y＝f（x）的一个周期；②f（1）＝0；③函数 y＝f（x﹣
1）是奇函数；④若函数y＝f（x+1）在（1，2）上递增．则这4个结论中正确的是 ②③④ ．
【分析】由 f（x+2）＝﹣f（x）可知，f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），因此 4 是函数 y
＝f（x）的一个周期，结合函数是偶函数，又可得 y＝f（x）关于点（1，0）对称，于是
作出函数的大致图象，根据图象可逐一判断每个选项的正误．
解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴4 是函数 y＝f（x）
的一个周期，
∵y＝f（x）是偶函数，∴f（x+2）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），∴函数 y＝f（x）关于点
（1，0）对称，
由于当 x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，于是可作出如下的函数图象，
由图可知，①错误，②③④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题～第 21 题为
必考题，每个考题考生必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考
题：共 60 分．
17．已知△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（sinB+sinC）2＝
sin2A+sinBsinC．
（1）求 A；
（2）若 b+c＝6，△ABC 的面积为ퟐ ퟑ，求 a．
【分析】（1）利用正弦定理，将给的条件角化边，然后利用余弦定理求出 A；
（2）利用面积公式求出 bc，然后套用余弦定理求出 a 的值．
解：（1）∵（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．
由正弦定理得（b+c）2＝a2+bc，即 b2+c2﹣a2＝﹣bc，
∴풄풐풔푨 = ―
1
2，∴푨 =
2휋
3 ．
（2）∵푺△푨푩푪 =
1
2풃풄풔풊풏푨 =
3
4 풃풄 = ퟐ ퟑ，
∴bc＝8，结合 b+c＝6，（b+c）2＝a2+bc，∴a2＝28．
∴풂 = ퟐ ퟕ．
18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量
x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请计算相关系
数并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求 y 关于 x 的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产
量的增加量约为多少？
附：相关系数 r =
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)2 푛
푖 = 1
(푦푖 ― 푦)2
=
푛
푖 = 1
푥푖푦푖 ― 푛푥푦
푛
푖 = 1
푥푖
2 ― 푛푥2 푛
푖 = 1
푦푖
2 ― 푛푦2
，
回归直线풚 = 풃풙 + 풂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：풃 =
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖 = 1
(푥푖 ― 푥)2
=
푛
푖 = 1
푥푖푦푖 ― 푛푥푦
푛
푖 = 1
푥푖
2 ― 푛푥2
，풂 = 풚 ― 풃풙．
【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数 r，由 r＞0.75 可得可用
线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；
（2）求出풃与풂的值，得到线性回归方程，取 x＝12 求得 y 值得答案．
解：（1）풙 =
2 + 4 + 5 + 6 + 8
5 = ퟓ，풚 =
3 + 4 + 5 + 6 + 7
5 = ퟓ．
ퟓ
풊=ퟏ
(풙풊 ― 풙)(풚풊 ― 풚) = （﹣3）×（﹣2）+（﹣1）×（﹣1）+0×0+1×1+3×2＝14，
ퟓ
풊=ퟏ
(풙풊 ― 풙)ퟐ = ( ― ퟑ)ퟐ +( ― ퟏ)ퟐ + ퟎퟐ + ퟏퟐ + ퟑퟐ = ퟐퟎ，
ퟓ
풊=ퟏ
(풚풊 ― 풚)ퟐ = ( ― ퟐ)ퟐ +( ― ퟏ)ퟐ + ퟎퟐ + ퟏퟐ + ퟐퟐ = ퟏퟎ．
∵r =
5
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
5
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 5
푖=1 (푦푖 ― 푦)2
=
14
20 × 10 = 7 2
10 ＞0.75．
∴可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；
（2）풃 =
5
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
5
푖=1 (푥푖 ― 푥)2
=
14
20 = ퟎ.ퟕ，
풂 = 풚 ― 풃풙 = 5﹣0.7×5＝1.5．
∴풚 = ퟎ.ퟕ풙 + ퟏ.ퟓ．
当 x＝12 时，풚 = ퟎ.ퟕ × ퟏퟐ + ퟏ.ퟓ = ퟗ.ퟗ．
∴预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 9.9 百千克．
19．如图，在几何体中，四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC 与 BD 相交
于点 O，四边形 BDEF 为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面 BDEF⊥平面
ABCD．
（1）证明：平面 AEF⊥平面 AFC；
（2）求三棱锥 E﹣AFD 的体积．
【分析】（1）连接 OE，OF，由已知可得 AC⊥BD，再由已知结合平面与平面垂直的性
质可得 AC⊥平面 BDEF，得到 AC⊥EF．求解三角形证明 EF⊥OF，由线面垂直的判定
可得 EF⊥平面 AFC，从而得到平面 AEF⊥平面 AFC；
（2）由 DE∥BF，得 BF∥平面 ADE，然后利用等体积法求解三棱锥 E﹣AFD 的体
积．
【解答】（1）证明：连接 OE，OF，
∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，
∵平面 BDEF⊥平面 ABCD，∴AC⊥平面 BDEF，则 AC⊥EF．
∵四边形 BDEF 为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，OA＝OB＝1，
∴OE = ퟏퟎ，OF = ퟐ，EF＝2 ퟐ，则 OE2＝OF2+EF2，得 EF⊥OF，
∵AC、OF⊂平面 AFC，且 AC∩OF＝O，
∴EF⊥平面 AFC，
∵EF⊂平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 AFC；
（2）解：∵DE∥BF，∴BF∥平面 ADE，
∴VE﹣AFD＝VF﹣ADE＝VB﹣ADE＝VE﹣ABD =
1
3푺△푨푩푫 ⋅ 푫푬 =
1
3 ×
1
2 × ퟐ × ퟑ × ퟑ = ퟑ．
20．已知函数풇(풙) =
푎푥
푒푥．
（1）当 a＜0 时，求 f（x）的最小值；
（2）若对存在 x0∈一、选择题，使得풇(풙ퟎ)＜ ―
1
3푒，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）f′（x） =
푎(1 ― 푥)
푒푥 ，由 a＜0，可得 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈
（0，1）时，f′（x）＜0．即可得出单调性．
（2）对 a 分类讨论：若 a＝0，则 f（x）＝0，容易判断出结论．若 a＞0，k 可得 f（ ―
1
푎） = ―
1
푒
―
1
푎
＜ ― 1＜ ―
1
3푒．若 a＜0，由（1）可知：函数 f（x）的最小值为 f（1） =
푎
푒，
只要푎
푒＜ ―
1
3푒，解得 a 范围即可得出．
解：（1）f′（x） =
푎(1 ― 푥)
푒푥 ，∵a＜0，∴x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）
时，f′（x）＜0．
∴函数 f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴x＝1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值 f（1） =
푎
푒．
（2）对 a 分类讨论：若 a＝0，则 f（x）＝0，不存在 x0∈R，使得풇(풙ퟎ)＜ ―
1
3푒成立．
若 a＞0，则 f（ ―
1
푎） = ―
1
푒
―
1
푎
＜ ― 1＜ ―
1
3푒，满足题意．
若 a＜0，由（1）可知：函数 f（x）的最小值为 f（1） =
푎
푒，∴푎
푒＜ ―
1
3푒，解得 a＜ ―
1
3．
综上可得：实数 a 的取值范围是（﹣∞， ―
1
3）∪（0，+∞）．
21．已知椭圆푬：
푥2
푎2 + 푦2
3 = ퟏ(풂＞ ퟑ)的离心率풆 =
1
2．直线 x＝t（t＞0）与曲线 E 交于不同
的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，求△ABC 的面积的最大值．
【分析】（1）由椭圆푬：
푥2
푎2 + 푦2
3 = ퟏ(풂＞ ퟑ)的离心率풆 =
1
2，知 푎2 ― 3
푎
=
1
2．由此能求
出椭圆 E 的方程．
（2）依题意，圆心为 C（t，0），（0＜t＜2）．由{풙 = 풕
푥2
4 +
푦2
3 = ퟏ得풚ퟐ = 12 ― 3푡2
4
．所以圆
C 的半径为풓 = 12 ― 3푡2
2
．由圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，且圆心 C 到 y 轴的距
离 d ＝ t ， 知 ퟎ＜풕＜ 12 ― 3푡2
2
， 所 以 弦 长 |푨푩| = ퟐ 풓ퟐ ― 풅ퟐ = ퟐ 12 ― 3푡2
4 ― 풕ퟐ =
ퟏퟐ ― ퟕ풕ퟐ，由此能求出 ABC 的面积的最大值．
【解答】（1）解：∵椭圆푬：
푥2
푎2 + 푦2
3 = ퟏ(풂＞ ퟑ)的离心率풆 =
1
2，
∴ 푎2 ― 3
푎
=
1
2．
解得 a＝2．
∴椭圆 E 的方程为푥2
4 + 푦2
3 = ퟏ．
（2）解：依题意，圆心为 C（t，0），（0＜t＜2）．
由{풙 = 풕
푥2
4 +
푦2
3 = ퟏ得풚ퟐ = 12 ― 3푡2
4
．
∴圆 C 的半径为풓 = 12 ― 3푡2
2
．
∵圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，且圆心 C 到 y 轴的距离 d＝t，
∴ퟎ＜풕＜ 12 ― 3푡2
2
，即ퟎ＜풕＜2 21
7
．
∴弦长|푨푩| = ퟐ 풓ퟐ ― 풅ퟐ = ퟐ 12 ― 3푡2
4 ― 풕ퟐ = ퟏퟐ ― ퟕ풕ퟐ．
∴△ABC 的面积푺 =
1
2 ⋅ 풕 ퟏퟐ ― ퟕ풕ퟐ =
1
2 7 × ( ퟕ풕) ⋅ ퟏퟐ ― ퟕ풕ퟐ ≤
1
2 7 × ( 7푡)2 + 12 ― 7푡2
2
= 3 7
7
．
当且仅当 ퟕ풕 = ퟏퟐ ― ퟕ풕ퟐ，即풕 =
42
7 时，等号成立．
∴△ABC 的面积的最大值为3 7
7
．
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
得曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝8sinθ．若过点 P（5，﹣3），倾斜角为 α，且풄풐풔휶 = ―
3
5
的直线交曲线 C 于 P1、P2 两点．
（1）求|PP1|•|PP2|的值；
（2）求 P1P2 的中点 M 的坐标．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，
进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．
解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝8sinθ．转换为直角坐标方程为 x2+y2＝8y，
点 P（5，﹣3），倾斜角为 α，且풄풐풔휶 = ―
3
5，则直线的参数方程为{ 풙 = ퟓ ―
3
5풕
풚 = ―ퟑ +
4
5풕
（t
为参数），
把直线的参数方程代入圆的方程为풕ퟐ ―
86
5 풕 + ퟓퟖ = ퟎ，
所以|PP1|•|PP2|＝|t1t2|＝58．
（2）由（1）知：풕ퟏ + 풕ퟐ =
86
5 ，
所以풕푴 =
푡1 + 푡2
2 =
43
5 ，
代入{ 풙 = ퟓ ―
3
5풕
풚 = ―ퟑ +
4
5풕
得到 M（ ―
4
25，
97
25）．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．对∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|的最小值为 M．
（1）若三个正数 x，y，z 满足 x+y+z＝M，证明：푥2
푦 + 푦2
푧 + 푧2
푥 ≥ ퟐ；
（2）若三个正数 x，y，z 满足 x+y+z＝M，且(풙 ― ퟐ)ퟐ +(풚 ― ퟏ)ퟐ +(풛 + 풎)ퟐ ≥
1
3恒成立，
求实数 m 的取值范围．
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得 M＝2，再由基本不等式和累加法，即可得证；
（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可
得所求范围．
解：（1）证明：由∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|≥|a+1﹣a+1|＝2，
当且仅当﹣1≤a≤1 时取得等号，可得 x+y+z＝2，
又 x，y，z＞0，푥2
푦 + y≥2 푥2
푦 ⋅ 풚 = 2x，
同理可得푦2
푧 + z≥2y，푧2
푥 + x≥2z，
三式相加可得，푥2
푦 + 푦2
푧 + 푧2
푥 ≥ x+y+z＝2，
当且仅当 x＝y＝z =
2
3时，取得等号，
则푥2
푦 + 푦2
푧 + 푧2
푥 ≥ ퟐ；
（2）(풙 ― ퟐ)ퟐ +(풚 ― ퟏ)ퟐ +(풛 + 풎)ퟐ ≥
1
3恒成立，等价为1
3 ≤ [（x﹣2）2+（y﹣1）2+
（z+m）2]min，
由（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z+m）2]≥（x﹣2+y﹣1+z+m）2＝（m﹣1）2，
当且仅当 x﹣2＝y﹣1＝z+m 可取得等号．
则1
3 ≤
1
3（m﹣1）2，即|m﹣1|≥1，解得 m≥2 或 m≤0，
即 m 的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
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