绝密★启用前 试卷类型:A
高三数学试题
2020.5
本试卷共 4 页,共 22 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效。
3 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1.已知角 α 的终边经过点 则 sinα+cosα=
2.已知集合 则
3.设复数 z 满足 在复平面内对应的点为 则
4.设 则 a,b,c 的大小关系是
5.已知正方形 ABCD 的边长为
A.3 B.-3 C.6 D.-6
6.函数 的图象大致是
( )-4,3 ,P
7. 5A − 1 1 7. . .5 5 5B C D−
1{1 2 3 4) { 2 },| xA B y y x A−= = ∈= ，，，， A B =
.{1,2} .{2,4} .{1,2,4} .A B C D ∅
| 3 4i | 2,z z− + = ( ),,yx
( ) ( )2 2 4+. 3 4A x y− + = 2 2.( 3) ( 4) 4B x y+ + − =
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2. 3 4 2 . 3 4 2C x y D x y− + = −+ + + =
3
0.
1
1
5
10.3 , 26,, 5log c lb ogα = = =
.A a b c> > . .B c a bD c b a> > > >c
3 2 ,DE EC AE BD⋅ = ⋅ =
2 ln | |
| |
x xy x
=7.已知 O,A,B,C 为平面 α 内的四点,其中 A,B,C 三点共线,点 O 在直线 AB 外,且满足
其中 x>0.y>0,则 的最小值为
A.21B.25C.27D.34
8.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平
面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相
等,那么这两个几何体的体积相等。椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体,如图,将底面半径
都为 b.高都为 a(a>b)的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底
面,下底面的圆心为顶点)放置于同一平面 β 上,用平行于平面 β 且与平面 β 任意距离 d 处的
平面截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环,可以证明 S 圆=S 圆环总成立。据此,椭圆的短半
轴长为 2,长半轴长为 4 的椭球的体积是
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程, 右图描述了甲、乙、丙三辆汽车
在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中错误的是
A.消耗 1 升汽油乙车最多可行驶 5 千米.
B 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多。
C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油。
D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油。
1 2 .OA OB OCx y
= + +8x y
16 32 64 128. . . .3 3 3 3A B C D
π π π π10.设 F1,F2 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在
点 P,满足 ,且 F2 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则关于该双曲线的下
列结论正确的是
A. 渐近线方程为 B.渐近线方程为
C.离心率为5
3 D.离心率为5
4
11.已知函数 的图象的一条对称轴为 则下列结论中
正确的是
是最小正周期为 π 的奇函数
是 图象的一个对称中心
上单调递增
D.先将函数 y=2sin2x 图象上各点的纵坐标缩短为原来的1
2,然后把所得函数图象再向左平移
个单位长度,即可得到函数 f(x)的图象。
12.如图,点 M 是正方体 中的侧面 上的一个动点,则下列结论正确
的是
A.点 M 存在无数个位置满足
B.若正方体的棱长为 1,三棱锥 的体积最大值为1
3
在线段 AD1 上存在点 M,使异面直线 B1M 与 CD 所成的角是 30°
D.点 M 存在无数个位置满足到直线 AD 和直线 C1D1 的距离相等.
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
2 1 2PF F F= 1PF
4 3 0x y± = 3 4 0x y± =
( ) ( ) 1
2f x asinx cosx cosx= + − ,6x
π=
( ).A f x
7. ,012B
π −
( )f x
( ). 3 3C f x
π π − ⋅ 在
12
π
1 1 1 1ABC BD A C D− 1 1ADD A
1CM AD⊥
1B C DM−
.C三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分.
13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系,如图所示,现从五种
不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰是相克关系的概率为▲
14.已知点 A,B,C,D 均在球 O 的球面上 若三棱锥 D-ABC 体积的
最大值是1
3,则球 O 的表面积为▲
15.动圆 E 与圆 M 外切,并与直线 相切,则动圆圆心 E 的轨迹方程为
▲，过点 作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心 E 的轨迹相交于 A,B 两点,则直线 AB
的斜，率为▲。(本小题第一空 2 分，第二空 3 分)
16.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 6 的周期函数,若函数 的图象关于点(1,0)对称，
函数 在区间[-π,π](其中 )上的零点的个数的最小值为 an,则 ▲
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17.(10 分)已知 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=4,▲，求 的周长 L 和面
积 S.
这三个
条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答。
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
, 1,AB BC= = 2,AC =
( )1x − 2 1
4y+ = 1
2x = −
( )1,2P
( )1y f x= −
( )y f x= *n N∈ na =
ABC∆ ABC∆
3 5 1cos ,cos ,sin sin sin , 60 , 2,cos5 5 4A C C A b B B c A°= = = + = = = −在① ③18.(12 分)已知{an}为等差数列， {bn}为等比数列
:
(1)求 的通项公式;
(2)记 ,求数列{cn)的前 n 项和 Tn
19.(12 分)
如图所示,在等腰梯形 直角梯形 ADFE 所在的平面垂直
于平面
(1)证明:平面 ECD⊥平面 ACE;
(2)点 M 在线段 EF 上,试确定点 M 的位置,使平面 MCD 与平面 EAB 所成的二面角的余弦值
为
20.(12 分)
已知椭圆 C: 经过点(2,1),离心率为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设直线 l: 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 OA,OB 为邻边的平行四边形
OAPB 的顶点 P 在椭圆 C 上,求证:平行四边形 OAPB 的面积为定值.
21.(12 分)
在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始
呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区 200 名患
者的相关信息,得到如下表格:
潜伏期
61 825, 23,aα α+ = =
1 1 2 5 11, 2 ,a b b b a= =且
{ },{ }n na b
n n nc a b= ⋅
, 60ABCD AD BC ADC °∠ =中，
, 90 , 2 2 2ABCD EAD AE AD DF CD°∠ = = = = =且
3
4
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2
2
( )0y kx t t= + ≠
[ ]0,2 (2,4] ( ]4 6， ( ]6 8， ( ]8 10， ( ]10 12， ( ]12 14，(单位:
天)
人数 17 41 62 50 26 3 1
(1)求这 200 名患者的潜伏期的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超
过 6 天为标准进行分层抽样,从上述 200 名患者中抽取 40 人,得到如下列联表.请将列联表补
充完整,并根据列联表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
潜伏期≤6 天 潜伏期>6 天 总计
50 岁以上(含 50 岁) 20
50 岁以下 9
总计 40
(3)以这 200 名患者的潜伏期超过 6 天的频率,代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概
率,每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立.为了深入研究,该研究团队在该地区随机调查
了 10 名患者,其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能(即概率最大)是多少?
附:
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
22.(12 分)
已知函数
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时,证明曲线 分别在点 和点 处的切线为不同的直线;
x
2
0( )P K k≥
0k
( )2
2 ,( )( )( )( )
nK n a b c da
ad b
a b c d c b d
c= = + + ++ + +
−
+ 其中
( ) ( )2 31ln ,2f x x x g x x x= + = −
( )( ) ( )h x f x g x= −
1t ≠ ( )y g x= (1, (1))g ( , ( ))t g t(3)已知过点(m,n)能作曲线 的三条切线,求 m,n 所满足的条件。( )y g x=
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