高三考试数学试卷(文科)
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 M＝{x|3－x≤0}，N＝{1，3，5，7}，则 M∩N＝
A.{1} B.{1，3} C.(3.5} D.{3，5，7}
2.若(1＋z)(1－i)＝2i，则 z＝
A.－2－i B.－2＋i C.2＋i D.2－i
3.已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)的准线 l 平分圆 M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4 的周长，则 p＝
A.2 B.3 C.4 D.3
4.已知向量 a＝(3，1)，b＝(m，m＋2)，c＝(m，3)，若 a//b，则 b·c＝
A.－12 B.－6 C.6 D.3
5.已知动点 P(x，y)在由直线 l1：2x－y＋1＝0，l2：2x＋y＋5＝0 和 x－y＋1＝0 围成的封闭区
域(含边界)内，则 的取值范围为
A.(－∞，－1]∪[3，＋∞) B.(－∞，1]∪[7，＋∞)
C.(－∞，－ ]∪[3，＋∞) D.(－∞，－ ]∪[－1，＋∞)
6.若函数 f(x)＝x＋log2(x－a)的定义域为(1，＋∞)，则 f(3a)＝
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知 a>0，b>0，3a＋2b＝ab，则 2a＋3b 的最小值为
A.20 B.24 C.25 D.28
8.已知直线 a//平面 α，则“平面 α⊥平面 β”是“直线 a 上平面 β”的
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知函数 f(x)＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)过定点 P。且角 α 的始边与 x 轴正半轴重合，终边过点 P，
2
1
y
x
−
+
8
5
8
5则 ＝
A. B.－ C. D.－
10.已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列。令 bn＝ ，
则数列{bn}的前 50 项和 T50＝
A. B. C. D.
11.在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥BD，AB＝BD＝2，E 为 CD 的中点，若异面直
线 AC 与 BE 所成的角为 60°，则 BC＝
A.2 B. C.2 D.4
12.若对函数 f(x)＝2x－sinx 的图象上任意一点处的切线 l1，函数 g(x)＝mex＋(m－2)x 的图象上
总存在一点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则 m 的取值范围是
A.(－ ，0) B.(0， ) C.(－1，0) D.(0，1)
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.已知等比数列{an}的公比为 q，且 a4，a5 的等差中项为 3a3，则 q＝ 。
14.某公司对 2019 年 1 至 4 月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示。
根据上表可得回归方程为 ，其中 ＝4，则预测 2019 年 10 月份的利润为 万元。
15.从－1，0，1，2 这四个数字中任意取出两个不同的数字，记为有序数对(a，b)，则( )3a≤
( )4b 成立的概率是 。
16.已知菱形 ABCD 的边长为 2 ，∠BAD＝60°，沿对角线 BD 将菱形 ABCD 折起，使得
二面角 A－BD－C 为钝二面角，该四面体 ABCD 外接球的表面积为 36π，则四面体 ABCD 的
体积为 。
( )
11 9cos sin sin 22 2
cos sin2
π πα α α
π α π α
− + +
+
− −
2
3
2
3
3
2
3
2
1
1
n na a +
50
51
49
50
100
101
50
101
2 2
2
e
2
e
y bx a= + a
1
3
1
3
3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a＝3，b＝2，sinA＋sinB＝ 。
(1)求 sinB 的值；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积。
18.(12 分)
某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理
作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”现准备对该“方案”
进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”。调查人员分别在各个年级随机抽取若干
学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[30，40)，[40，50)，……，[90，100]七组，绘制
成如图所示的频率分布直方图。
相关规则为①采用百分制评分，[60，80)内认定为对该“方案”满意，不低于 80 分认定为对
该“方案”非常满意，60 分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不
低于 80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率。
(1)从该校学生中随机抽取 1 人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频
率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数。
(2)根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由。
19.(12 分)
5 21
14如图，在三梭柱 ABC－A1B1C1 中，已知△ABC 是直角三角形，侧面 ABB1A1 是矩形，AB＝BC
＝1，BB1＝2，BC1＝ 。
(1)证明：BC1⊥AC。
(2)E 是棱 CC1 的中点，求点 C 到平面 ABE 的距离。
20.(12 分)
已知椭圆 E： ，圆 F：(x－1)2＋y2＝1，一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，
同时与圆 F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 C，椭圆 E 与曲线 C 有相同的焦点。
(1)求曲线 C 的方程；
(2)设曲线 C 与椭圆 E 相交于第一象限点 K，且|KF|＝ ，求椭圆 E 的标准方程；
(3)在(2)的条件下，如果椭圆 E 的左顶点为 A，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 E 交于 P，Q
两点，直线 AP，AQ 与直线 l： 分别交于 N，M 两点。证明：四边形 MNPQ
的对角线的交点是椭圆 E 的右顶点。
21.(12 分)
已知函数 f(x)＝ 。
(1)若不等式 f(x)≥ ＋1 在 x∈[a，2a](0x2，证明：f(x1)－f(x2)< 。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)。以坐标原点 O
3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
5
3
2
2 2( )ax c a bc
= = −
ln x
x
ln
2
a
a
2 2
1 2
1 1
3 3x x−
4 2 2 cos
1 2 2 sin
x
y
α
α
= +
= − +
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 L 的极坐标方程为 θ＝ (ρ≥0)。
(1)求曲线 C 的极坐标方程与射线 L 的直角坐标方程；
(2)若射线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|2·|OB|＋|OB|2·|OA|。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知 a≠0，函数 f(x)＝|ax－1|，g(x)＝|ax＋2|。
(1)若 f(x)
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