数学试题
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求）
1.设集合 P＝{x|x+2≥x2}，Q＝{x∈N||x|≤3}，则 P∩Q＝（ ）
A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2}
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式 x+2≥x2 求出集合 P，再求出集合 Q，再利用集合的交集运算即可算出结果.
【详解】解不等式 x+2≥x2，得 ，∴集合 P＝{x|x+2≥x2}＝ ，
又∵集合 Q＝{x∈N||x|≤3}＝{0，1，2，3}，
∴P∩Q＝{0，1，2}，
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.
2.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算计算出 ，再由模的坐标表示求模．
【详解】∵ ，∴ ， ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．
3.复数 z1＝2+i，若复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z1z2＝（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣3+4i D. 3﹣4i
【答案】A
【解析】
【分析】
.
1 2x− ≤ ≤ { }1 2x x− ≤ ≤
( )1,2a = ( )1,b x= − / /a b b =
5
2
5
2 5
x
/ /a b 1 2 ( 1) 0x× − × − = 2x = − 2 2( 1) ( 2) 5b = − + − =
由题意可知 ，再利用复数的运算法则即可得出.
【详解】由题意可知 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于容易题.
4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科
目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全
确定的是（ ）
A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀
C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.
【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语
没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，
丙有一科达到优秀，故 B 错误，C 正确；
至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定
故选：C
【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
5.2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支
援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点
支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为（ ）
A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3
【答案】C
【解析】
【分析】
现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院， 名护士分别记为 、 ， 名医生分别记为 、 、 ，列
举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.
【详解】重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院，
名护士记为 、 ， 名医生分别记为 、 、 ，
2 2z i= − +
2 2z i= − + ( )( )1 2 2 2 4 1 5z z i i= + − + = − − = −
2 A B 3 a b c
2 A B 3 a b c
所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，共 种，
其中事件“恰有 1 名医生和 1 名护士被选中”所包含的基本事件有： 、 、 、 、
、 ，共 种，
因此，所求事件的概率为 .
故选：C.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
6.一组数据的平均数为 ，方差为 ，将这组数据的每个数都乘以 得到一组新数据，则下列说法
正确的是（ ）
A. 这组新数据的平均数为 B. 这组新数据的平均数为
C. 这组新数据的方差为 D. 这组新数据的标准差为
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到新数据的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ，结合选项得到答案.
【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为 ，方差为 ，标准差为 .
故选：
【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.
7.已知 表示的平面区域为 ，若 ， 为真命题，则实数 的取值范围
是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
( ),A B ( ),A a ( ),A b ( ),A c ( ),B a ( ),B b ( ),B c ( ),a b ( ),a c
( ),b c 10
( ),A a ( ),A b ( ),A c ( ),B a
( ),B b ( ),B c 6
6 0.610P = =
m n ( )0a a >
m a m+
an a n
am 2a n a n
am 2a n a n
D
1 0
7 7 0
0, 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ ≥
D ( )x y D∀ ∈, 2x y a+ ≤ a
[ )5,+∞ [ )2,+∞
[ )1,+∞ [ )0,+∞
本题可先通过线性规划得出平面区域 ，在解出 的取值范围，最后得出 的取值范围．
【详解】绘制不等式组 表示的可行域如图所示，
令 ，结合目标函数 的几何意义可得 在点 处取得最大值，
联立直线方程可得 ，解得 ，即 ，则 .
结合恒成立的条件可知 ，即实数 的取值范围是 ，本题选择 A 选项．
【点睛】求线性目标函数 的最值，当 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，
在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距
最小时，z 值最大.解本题时，由线性规划知识确定 的最值，然后结合恒成立的条件确定实数 的取
值范围即可．
8.将表面积为 36π 的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为
（ ）
A. 18 B. 18 C. 12 D. 24
D 2x y+ a
1 0
7 7 0
0, 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ ≥
2z x y= + 2z x y= + 2z x y= + B
1 0
7 7 0
x y
x y
− + =
− − =
4
3
7
3
x
y
=
=
4 7,3 3B
max
4 72 53 3z = × + =
5a ≥ a [ )5,+∞
z ax by= + b 0>
b 0<
2x y+ a
2
3
π
3 2 3 3
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，设此圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l.可得 πr2+πrl＝36π，2πr＝l• ，联立解得：r，
l，h . 即可得出该圆锥的轴截面的面积 S •2r•h＝rh.
详解】如图所示，
设此圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l.
则 πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l• ，可得 l＝3r.
解得：r＝3，l＝9，h 6 .
该圆锥的轴截面的面积 S •2r•h＝rh＝3×6 18 .
故选：B.
【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9.若函数 f（x）＝alnx（a∈R）与函数 g（x） 在公共点处有共同的切线，则实数 a 的值为（ ）
A. 4 B. C. D. e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出 a 的值和切点坐标，问题可解.
【详解】由已知得 ，
设切点横坐标为 t，∴ ，解得 .
【
2
3
π
2 2l r= − 1
2
=
2
3
π
2 2l r= − = 2
1
2
= 2 = 2
x=
1
2 2
e
( ) ( ) 1
2
af x g xx x
′ ′= =，
1
2
alnt t
a
t t
= =
2
2
et e a= =，
故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.
10.已知 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点， 是线段
的中点， 是坐标原点，若 周长为 （ 为双曲线的半焦距）， ，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从 周长为 ， 是线段 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中
与 关系，求出 ，用余弦定理求出 关系，即可求解.
【详解】连接 ，因为 是线段 的中点，
由三角形中位线定理知 ，
由双曲线定义知 ，
因为 周长为 ，
所以 ，解得 ，在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，整理得， ，
所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属
于中档题.
11.已知函数 的图象经过点 ，在区间 上为单调函数，
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > P E M
1F P O 1OF M△ 3c a+ c 1 3F MO
π∠ = E
2y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ± 2
2y x= ±
1OF M 3c a+ M 1F P
1 2| |,| |PF PF a 1 2 3F PF
π∠ = ,a c
2PF M 1F P
2
1 ,2OM PF= 2/ /OM PF
1 2 2PF PF a− =
1OF M 1 1 1 2
1 1 32 2OF OM F M c PF PF c a+ + = + + = +
1 2 6PF PF a+ = 1 24 , 2PF a PF a= = 1 2PF F
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2 cosF F PF PF PF PF F PF= + − ∠
( ) ( ) ( )2 2 22 4 2 2 4 2 cos 3c a a a a
π= + − × × 2 23c a=
2 2 2 22b c a a= − = E 2y x= ±
( )( ) 2sin ( 0, )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < (0, 1)B − ( , )18 3
π π
且 的图象向左平移 个单位后与原来的图象重合，当 ，且 时，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意，求得 的值，写出函数 的解析式，求函数的对称轴，得到 的值，再求解
的值即可.
详解：由函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ，即 ，
由 的图象向左平移 个单位后得 ，
由两函数的图象完全重合，知 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
则其图象的对称轴为 ，
当 ，其对称轴为 ，
所以 ，
所以 ，
故选 B.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设
条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得 的值是解答的关键，着重考查了分析问题
和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
12.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，
则函数 的零点个数为（ ）
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
【答案】C
( )f x π 1 2
17 2, ( , )12 3t t
π π∈ − − 1 2t t≠
1 2( ) ( )f t f t= 1 2( )f t t+ =
3− 1− 1 3
,wϕ ( )f x 1 2t t+ ( )1 2f t t+
( )( ) 2sin ( 0, )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < (0, 1)B −
2sin 1ϕ = − 1sin 2
ϕ = −
6
πϕ = − ( ) 2sin( )6f x x
πω= −
( )f x π ( ) 2sin[ ( ) ] 2sin( )6 6g x x wx w
π πω π π= + − = + −
2w kπ = 2 ,w k k Zπ = ∈
3 18 2
T
w
π π π− ≤ = 18
5w ≤ 2w = ( ) 2sin(2 )6f x x
π= −
,2 3
kx k Z
π π= + ∈
1 2
17 2, ( , )12 3t t
π π∈ − − 73 2 3 6x
π π π= − × + = −
1 2
7 72 ( )6 3t t
π π+ = × − = −
( )1 2
7 7 29 5( ) 2sin[2 ( ) ] 2sin 2sin 13 3 6 6 6f t t f
π π π π π+ = − = × − − = − = − = −
1 2t t+
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ (0, )x∈ +∞
2( 1) ,0 2
( ) 1 ( 2), 22
x x
f x
f x x
− < ≤= − >
2( ) 8 ( ) 6 ( ) 1g x f x f x= − +
【解析】
【分析】
先解 ，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.
【详解】 或
根据函数解析式以及偶函数性质作 图象，零点个数为 ,
故选：C
【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ______.
【答案】7
【解析】
【分析】
结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进
而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ， ，
两式相除可得 ，解将 ， ，
故答案为：7
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 项和公式的应用，考查了数学运算能力.
.
( ) 0g x =
2 1( ) 8 ( ) 6 ( ) 1 0 ( ) 2g x f x f x f x= − + = ∴ =
1( ) 4f x =
( )f x 6 10 16+ =
{ }na n nS 1 3
5
2a a+ = 2 4
5
4a a+ = 3
3
S
a
n
{ }na q 2
1 1
5
2a a q+ = 3
1 1
5
4a q a q+ =
2
3
1 2q
q q
+ =+
1
2q = 1 2a = 1 23 3
3 3
12 1 2 71
2
S a a a
a a
+ +
=+ += =
n
14.已知抛物线 y2＝12x 的焦点为 F，过点 P（2，1）的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点，且点 P 恰好为线
段 AB 的中点，则|AF|+|BF|＝_____.
【答案】10
【解析】
【分析】
因为 P（1，2）是 A（x1，y1），B（x2，y2）中点，则由中点坐标公式得 x1+x2＝4，再利用抛物线焦半径公式
得|AF|＝x1+3，|BF|＝x2+3，进而求出|AF|+|BF|.
【详解】设 A（x1，y1），B（x2，y2），
∵P（2，1）是 AB 中点，
∴ 2，即 x1+x2＝4.
∵F（3，0）是抛物线 y2＝12x 的焦点，
∴|AF|＝x1+3，|BF|＝x2+3，
则|AF|+|BF|＝x1+x2+3+3＝10，
故答案为：10.
【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF|＝x ，及其运算能力，属于基础题.
15.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 an＞0，a1＝1，且 2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），则 S100＝_____.
【答案】5050
【解析】
【分析】
先由题设条件求出 t，再由 2Sn＝an（an+1）得 2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1），进而得出 Sn，代入求 S100
【详解】∵an＞0，a1＝1，且 2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），
∴当 n＝1，有 2S1＝a1（a1+t），即 2＝1+t，
解得：t＝1.
∴2Sn＝an（an+1）①，
又当 n≥2 时，有 2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1）②，
∴①﹣②可得：2（Sn﹣Sn﹣1）＝an（an+1）﹣an﹣1（an﹣1+1），
整理得：an+an﹣1＝an2﹣an﹣12，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1＝1.
所以数列{an}是以 a1＝1 为首项，公差 d＝1 的等差数列，
.
1 2
2
x x+ =
2
p+
∴其前 n 项和 Sn ，
∴S100 5050.
故答案为：5050.
【点睛】本题主要考查由数列的前 n 项和与第 n 项的关系式求其通项公式及等差数列前 n 项和公式，属于
中档题.
16.在三棱锥 中， ， ， ，若 PA 与底面 ABC 所成的角为
，则点 P 到底面 ABC 的距离是______；三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
首先补全三棱锥为长方体，即可求出点 P 到底面 ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球
的直径，然后即可求出外接球的表面积.
【详解】将三棱锥 置于长方体中，其中 平面 ，
由 与底面 ABC 所成的角为 ，可得 ，
即为点 P 到底面 ABC 的距离，
由 ，得 ，如图，
PB 就是长方体（三条棱长分别为 1，1， ）外接球的直径，
也是三棱锥 外接球的直径，即 ，
所以球的表面积为 .
故答案为： ； .
( )1
2
n n +=
( )100 1 100
2
+= =
P ABC− 2PA PC= = 1BA BC= = 90ABC∠ = °
60°
3 5π
P ABC− 1PP ⊥ ABC
PA 60° 1 3PP =
11 PPP A P C ≌ 1 1 1P A PC= =
3
P ABC− 5PB =
2
54π 5π2
=
3 5π
【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.
17.如图， 是等边三角形， 是 边上的动点（含端点），记 , .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】(1)当 α＝ ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 ;(2) .
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 β=α+ ，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值．
（2）根据三角函数差角公式求得 sinα，再由正弦定理，求得 AB 的长度；进而求得三角形面积．
【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得 β＝α＋ ，
0≤α≤ ，故 2cos －cos =2cos －cos ＝ sin ，
故当 α＝ ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值
（2）由 cos β＝ ，得 sin β＝ ，
故 sin α＝sin ＝sin βcos －cos βsin ＝ ，
由正弦定理 ，
故 AB＝ BD＝ ×1＝ ，故 S△ABD＝ AB·BD·sin B ＝
ABC∆ D BC BAD∠ =α ADC β∠ =
2cos cosα β−
11,cos 7BD β= = ABD∆
6
π
3 2 33
3
π
3
π
3
π α β α + 3
πα
3 + 3
πα
6
π
3
1
7
4 3
7
3
πβ − 3
π
3
π 3 3
14
sin sin
AB BD
ADB BAD
=∠ ∠
sin
sin
β
α
4 3
7
3 3
14
8
3
1
2
1 8 3 2 312 3 2 3
× × × =
【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中
档题．
18.如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，A1B1⊥A1C1，D 是 B1C1 的中点，A1A＝A1B1＝2.
（1）求证：AB1∥平面 A1CD；
（2）若异面直线 AB1 和 BC 所成角为 60°，求四棱锥 A1﹣CDB1B 的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】
【分析】
（1）连 AC1 交 A1C 于点 E，连 DE.证明 DE∥AB1，然后证明 AB1∥平面 A1CD；
（2）∠C1DE 或其补角为异面直线 AB1 和 BC 所成角，可得 A1D⊥平面 CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，
即可求解体积.
【详解】（1）证明：如图，连 AC1 交 A1C 于点 E，连 DE.
因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，四边形 AA1C1C 是矩形，故点 E 是 AC1 中点，
又 D 是 B1C1 的中点，故 DE∥AB1，
又 AB1⊄平面 A1CD，DE⊂平面 A1CD，故 AB1∥平面 A1CD.
（2）由（1）知 DE∥AB1，又 C1D∥BC，故∠C1DE 或其补角为异面直线 AB1 和 BC 所成角.
设 AC＝2m，则 ，
故△C1DE 为等腰三角形，故∠C1DE＝60°，故△C1DE 为等边三角形，则有 ，得到 m＝1.
故△A1B1C1 为等腰直角三角形，故 A1D⊥C1B1，
2 2
1 11 1 2C E m C D m DE= + = + =， ，
2 1 2m + =
又 B1B⊥平面 A1B1C1，A1D⊂平面 A1B1C1，故 A1D⊥B1B，
又 B1B∩C1B1＝B1，故 A1D⊥平面 CDB1B，
又梯形 CDB1B 的面积 ，
则四棱锥 A1﹣CDB1B 的体积 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算
能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续六个月的利润进行
了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 （单位：百万元）与月份代码 之间 关系，求
关于 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 两种型号的新型材料可供选择，按规定
每种新型材料最多可使用 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对 两种型号的
新型材料对应的产品各 件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
使用寿命/材料
类型
1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
的
( )
1 1
1 2 2 2 2 3 2 22CDB BS A D= × + × = =梯形 ，
1 1
1 1 3 2 2 23 3CDB BV S A D= ⋅ = × × =梯形
y x
y x
,A B
4 ,A B
100
6
1
96i
i
y
=
=∑ 6
1
371i i
i
x y
=
=∑
参考公式：回归直线方程 ，其中
【答案】(1) , 百万元；(2) 型新材料.
【解析】
【分析】
(1)根据所给的数据，做出变量 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数 ,
再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 的值，写出线性回归方程；将 代入所求线性回归
方程，求出对应的 的值即可得结果； (2)求出 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与 型新材料对应
产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.
【详解】（1）由折线图可知统计数据 共有 组，
即 ， ， ， ， ， ，
计算可得 ，
所以 ，
，
所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 .
当 时， .
故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 百万元.
（2） 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为 ， 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数
为 ， 应该采购 型新材料.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据
确定两个变量具有线性相关关系；②计算 的值；③计算回归系数 ；④写出回归直线方程为
； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们
分析两个变量的变化趋势.
ˆˆ ˆy bx a= +
( )( )
( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
ˆ =
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
=
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆ 2 9y x= + 31 B
,x y b
a 11x =
y A B
( ),x y 6
(1,11) (2,13) (3,16) (4,15) (5,20) (6,21)
1 2 3 4 5 6 3.56x
+ + + + += =
6
1
1 1 9 166 6i
i
y
=
= × =∑
( )
1
22
1
ˆ
n
i ii
n
ii
x y nxy
b
x n x
=
=
−
= =
−
∑
∑
371 6 3.5 16 217.5
− ⋅ ⋅ =
1ˆˆ 6 2 3.5 9ˆa y bx= − = − × =
y x ˆ 2 9y x= +
11x = 2 11 9 31ˆy = × + =
31
A 1 2.35x = B
2 2.7x = 1 2x x > 22, 2P
l 1
2 A B P P APB∠
Q PQ
2
2 14
x y+ =
PQ APB∠ PQ PQ 2x = 2
2y =
PA PB 0PA PBk k+ = l
2a = 22, 2P
( )
2
2
2
2
2 2 14 b
+ =
1b =
2
2 14
x y+ =
PQ APB∠
PQ PQ 2x = 2
2y =
PA PB 0PA PBk k+ =
PA PB A B
22, 2
−
l PA PB
l 1
2y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2
2 2
14 2 2 2 0
1
2
x y
x mx m
y x m
+ = ⇒ + + − =
= +
，∴ ，
由韦达定理得 ， ，
得证.
【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题.
21.已知函数 （ R）．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若对任意实数 ，当 时，函数 的最大值为 ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式 得增区间，解不等式 得减区
间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中 ，其单
调性要对 进行分类， 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，不合题意，故有
，按极值点 与 0 的大小分类研究单调性有最大值．
试题解析：（1）当 时， ，
则 ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
24 8 0m∆ = − + > 2 2m <
1 2 2x x m+ = − 2
1 2 2 2x x m= −
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2PA PB
y y
k k
x x
− −
+ = +
− −
( ) ( )
( )( )
1 2 2 1
1 2
2 22 22 2
2 2
y x y x
x x
− − + − −
=
− −
( ) ( )1 2 2 1
2 22 22 2y x y x
− − + − −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1
22 22 x x y y x y x y= − + − + + +
( )1 2 1 2 1 2 2 1
2 1 1 1 12 22 2 2 2 2x x x m x m x x m x x m = − + − + + + + + + +
( )( )1 2 1 22 2 2 2m m x x x x= − + − + + ( )( ) 22 2 2 2 2 2 2 0m m m m= − + − − + − =
1
4a = ( )y f x=
(1,2)b∈ ( 1, ]x b∈ − ( )f x ( )f b a
( )f x ( 1,0)− (1, )+∞ (0,1) [1 ln 2, )− +∞
'( ) 0f x > '( ) 0f x <
[2 (1 2 )]'( ) ( 1)( 1)
x ax af x xx
− −= > −+
a 0a ≤ ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞
0a > 1 12a
−
1
4a = 21( ) ln( 1) 4f x x x x= + + −
1 1 ( 1)( ) 1 ( 1)1 2 2( 1)
x xf x x xx x
−= + − = > −+ +
′
( ) 0f x′ > 1 0x− < < 1x > ( ) 0f x′ < 0 1x< <
( )f x ( 1,0)− (1, )+∞ (0,1)
（2）由题意 ，
（1）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，此时，不存在实
数 ，使得当 时，函数 的最大值为 ．
（2）当 时，令 ，有 ， ，
①当 时，函数 在 上单调递增，显然符合题意．
②当 即 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减， 在 处取得极大值，且 ，
要使对任意实数 ，当 时，函数 的最大值为 ，
只需 ，解得 ，又 ，
所以此时实数 的取值范围是 ．
③当 即 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，要存在实数 ，使得当 时，
函数 的最大值为 ，需 ，
代入化简得 ，①
令 ，因为 恒成立，
故恒有 ，所以 时，①式恒成立，
综上，实数 的取值范围是 ．
考点：函数的单调性与最值．
【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类
问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究
函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确
定，函数的最值与函数极值的区别与联系．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
[2 (1 2 )]( ) ( 1)( 1)
x ax af x xx
− − > −+
′ =
0a ≤ ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞
(1,2)b∈ ( 1, ]x b∈ − ( )f x ( )f b
0a > ( ) 0f x′ = 1 0x = 2
1 12x a
= −
1
2a = ( )f x ( 1, )− +∞
1 1 02a
− > 10 2a< < ( )f x ( 1,0)− 1( 1, )2a
− +∞
1(0, 1)2a
− ( )f x 0x = (0) 0f =
(1,2)b∈ ( 1, ]x b∈ − ( )f x ( )f b
(1) 0f ≥ 1 ln 2a ≥ − 10 2a< <
a 11 ln 2 2a− ≤ <
1 1 02a
− < 1
2a > ( )f x 1( 1, 1)2a
− − (0, )+∞
1( 1,0)2a
− (1,2)b∈ ( 1, ]x b∈ −
( )f x ( )f b 1( 1) (1)2f fa
− ≤
1ln 2 ln 2 1 04a a
+ + − ≥
1 1( ) ln 2 ln 2 1 ( )4 2g a a aa
= + + − > 1 1( ) (1 ) 04g a a a
= −′ >
1 1( ) ( ) ln 2 02 2g a g> = − > 1
2a >
a [1 ln 2, )− +∞
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出 的极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，射线 分别交 ， 于 ， 两点（异于极点），当
时，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用 ，消去 的参数将 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转
换公式，转化为极坐标方程.
（2）将射线 分别于 的极坐标方程联立，求得 两点对应的 ，由此求得 的表达式，
求得 的表达式，根据 列方程，由此求得 的值.
【详解】（1）∵ （ 为参数）
∴曲线 的普通方程为 ，即
∵ ， ，∴
∴曲线 的极坐标方程为
（2）依题意设 ， ，
∴由 得 .由 得 .
∵ ，∴ .
∴ .
∵ 是圆 的直径，∴ .
∴在直角 中，
xOy 1C 2 2cos ,
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ x
2C 4sinρ θ=
1C
M (4,0) 0 4
πθ α α = <
1 2| | | | | | 4cos 4sinAB OA OB ρ ρ α α= − = − = −
OM 1C
2OAM
π∠ =
Rt OAM∆ | | 4sinAM α=
∵在直角 中，
∴ ，即
∴ ，即 .
【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、
函数与方程思想.
[选修 4-5：不等式选讲]
23.已知 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得 ，可得 ，解不等式可得证明；
（2）由 ，所以 ，要证 ，只需证 ，利用基本不等
式可得证明；
【详解】证明：（1）由条件，有 ，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
要证 ，
Rt BAM∆
4AMB
π∠ =
| | | |AB AM= 4cos 4sin 4sinα α α− =
4cos 8sinα α= 1tan 2
α =
0a > 0b > 2 2 14 3a b ab
+ = +
1ab ≤
b a> 3 3
1 1 1 13 − ≥ − a b a b
2 210, 3 4 4> + = ≥+ab a b abab
( )21 3 4+ ≥ab ab
0b a> > 1 1 0− >
a b 3 3
1 1 1 13 − ≥ − a b a b 2 2
1 1 1 3+ + ≥
a ab b
2 210, 3 4 4> + = ≥+ab a b abab
( )21 3 4+ ≥ab ab ( )24 3 1 0− − ≤ab ab
1ab ≤
0b a> > 1 1 0− >
a b
3 3
1 1 1 13 − ≥ − a b a b
只需证 （*），
只需证
因为 ，所以 ，即（*）式成立，
故原不等式成立.
【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.
2 2
1 1 1 1 1 1 13 − + + ≥ − a b a ab b a b
2 2
1 1 1 3+ + ≥
a ab b
0 1ab< ≤ 2 2
1 1 1 2 1 3 3+ + ≥ + = ≥
a ab b ab ab ab
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