数学二模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 1～6 题每题 4 满分 54 分，第 7-12 题每
题 5 满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．若集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则 A∩B＝ ．[来源:学#科#网]
2．函数 y＝2cos2x+2 的最小正周期为 ．
3．某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家
庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户．
4．若直线 l1：ax+3y﹣5＝0 与 l2：x+2y﹣1＝0 互相垂直，则实数 a 的值为 ．
5．如果 sinα = - 2 2
3 ，α 为第三象限角，则 sin（3휋
2 + α）＝ ．
6．若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，则此圆锥的体积为 ．
7．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)的一条渐近线平行于直线：l：y＝2x+10，双曲线的
一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ．
8．已知函数 f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则 f（﹣1）
＝ ．
9 ． 当 x ， y 满 足 {x + 2y - 7 ≤ 0，
푥 ― 푦 ― 1 ≤ 0，
푥 ≥ 1，
时 ， |2x ﹣ y| ≤ a 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 ．
10．某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动，现从这 8 人中随机选出 4 人
作为正式志愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 ．
11．已知 a∈R，函数 f（x） = {푎 +
2
푥(푥＞0)
푥2 + 1(푥 ≤ 0)
，若存在不相等的实数 x1，x2，x3，使得
푓(푥1)
푥1
=
푓(푥2)
푥2
=
푓(푥3)
푥3
= ―2，则 a 的取值范围是 ．
12．点 A 是曲线y = 푥2 + 2(푦 ≤ 2)上的任意一点，P（0，﹣2），Q（0，2），射线 QA 交曲
线y = 1
8푥2于 B 点，BC 垂直于直线 y＝3，垂足为点 C，则下列结论：
（1）|AP|﹣|AQ|为定值2 2；
（2）|QB|+|BC|为定值 5；
（3）|PA|+|AB|+|BC|为定值5 + 2．
其中正确结论的序号是 ．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分）
13．“函数 f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数 f（x）在 R 上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若|z1﹣z2|＝0，则z1 = z2
B．若 z1 = 푧2，则z1 = z2
C．若|z1|＝|z2|，则 z1•z1 = z2•z2
D．若|z1|＝|z2|，则 z12＝z22
15．已知
→
e，
→
푓是互相垂直的单位向量，向量
→
a푛满足：
→
e ⋅
→
푎푛 = 푛，
→
푓 ⋅
→
푎푛 = 2푛 +1，푏푛是向量
→
f
与
→
푎푛夹角的正切值，则数列{bn}是（ ）
A．单调递增数列且lim
푛→∞
bn = 1
2
B．单调递减数列且lim
푛→∞
bn = 1
2
C．单调递增数列且lim
푛→∞
bn＝2
D．单调递减数列且lim
푛→∞
bn＝2
16．如图，直线 l⊥平面 α，垂足为 O，正四面体 ABCD 的棱长为 2，A，D 分别是直线 l 和
平面 α 上的动点，且 BC⊥l，则下列判断：
①点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值为 2 +1；
②正四面体 ABCD 在平面 α 上的射影面积的最大值为 3．
其中正确的说法是（ ）A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
17．如图，在三棱椎 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D、E、F 分别是棱 AB、
BC、CP 的中点，AB＝BC＝1，PA＝2．
（1）求异面直线 PB 与 DF 所成的角；
（2）求点 P 到平面 DEF 的距离．
18．设 A（x1，y1）（x2，y2）是函数，y = 1
2 + 푙표푔2
푥
1 ― 푥的图象上任意两点，点 M（x0，y0）
满足
→
OM =
1
2（
→
OA +
→
OB）．
（1）若 x0 = 1
2，求证：y0 为定值；
（2）若 x2＝2x1，且 y0＞1，求 x1 的取值范围，并比较 y1 与 y2 的大小．
19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形 ABCD 的 AB 边与 BC
边的长分别为 48 米与 40 米，扇形的圆心 O 为 AB 中点，扇形的圆弧端点 E，F 分别在 AD
与 BC 上，圆弧的中点 G 在 CD 上．
（1）求扇形花园的面积（精确到 1 平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 A1B1C1D1 为花卉展览区，如图②所示，矩形
A1B1C1D1 的四条边与矩形 ABCD 的对应边平行，点 A1，B1 分别在 OE，OF 上，点 C1，
D1 在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形 A1 B1C1D1 面积最大时，两矩形 A1B1C1D1 与 ABCD
的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区 A1B1C1D1 面积的最大值，并判断
上述猜想是否正确（请说明理由）
20．已知点 A，B 分别是椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1(푎＞푏＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点 O 到
直线 AB 的距离为
6
3 ，且点 A 是圆 r：(푥 ― 2)2 + 푦2 = 푟2(푟＞0)的圆心，动直线 l：y＝kx
与椭圆交于 P．Q 两点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 S 在线段 AB 上，
→
푂푆 = 휆
→
푂푃(휆 ∈ 푅+)，且当 λ 取最小值时直线 l 与圆相切，求 r
的值；
（3）若直线 l 与圆分别交于 G，H 两点，点 G 在线段 PQ 上，且|QG|＝|PH|，求 r 的取值
范围．21．（18 分）若数列{an}与函数 f（x）满足：①{an}的任意两项均不相等，且 f（x）的定义
域为 R；②数列{an}的前 n 项的和 Sn＝f{an}，对任意的 n∈N*都成立，则称{an}与 f（x）
具有“共生关系”．
（1）若a푛 = 2푛(푛 ∈ 푁∗)试写出一个与数列{an}具有“共生关系”的函数 f（x）的解析式；
（2）若 f（x）＝ax+b 与数列{an}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，
并写出 an 关于 a，b，n 的表达式：
（3）若 f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{an}，使得{an}与
f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x = 1
2(푦 ≤
1
16)上”．一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 1～6 题每题 4 满分 54 分，第 7-12 题每
题 5 满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．若集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则 A∩B＝ {1，2} ．
由题直接求出集合 B，再利用交集的定义求得结果．
由题知集合 B＝（﹣2，3），再由交集定义可得 A∩B＝{1，2}，
故答案为：{1，2}．
本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．
2．函数 y＝2cos2x+2 的最小正周期为 π ．
先将函数降幂化简，然后套公式求周期．
由已知得y = 2 × 1 + 푐표푠2푥
2 +2 = 푐표푠2푥 +3，
所以 T = 2휋
2 = 휋．
故答案为：π．
本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．
3．某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家
庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 56 户．
由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．
由题知共有 140+280+80＝500 户家庭，设应选中等收入家庭为 x 户，由分层抽样的定义
知 푥
100 =
280
500，解得 x＝56
故答案为：56
本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．
4．若直线 l1：ax+3y﹣5＝0 与 l2：x+2y﹣1＝0 互相垂直，则实数 a 的值为 ﹣6 ．
由直线互相垂直，可得 a+6＝0，解得 a．
∵直线 l1：ax+3y﹣5＝0 与 l2：x+2y﹣1＝0 互相垂直，
∴a+6＝0，解得 a＝﹣6．
故答案为：﹣6．
本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．5．如果 sinα = - 2 2
3 ，α 为第三象限角，则 sin（3휋
2 + α）＝ 1
3 ．
由 sinα 的值及 α 为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值，原式利
用诱导公式化简，将 cosα 的值代入计算即可求出值．
∵sinα = - 2 2
3 ，α 为第三象限角，
∴cosα = - 1 ― 푠푖푛2훼 = ―
1
3，
则 sin（3휋
2 + α）＝﹣cosα = 1
3．
故答案为：1
3．
此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导
公式是解本题的关键．
6．若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，则此圆锥的体积为 9 3휋 ．
根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不
难得到本题的答案．
∵一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形 ABC，边长等于
6，如图：
∴圆锥的高 AO =
3
2 × 6 = 3 3，底面半径 r = 1
2 × 6＝3，因此，该圆锥的体积 V = 1
3πr2
•AO = 1
3π× 32×3 3 = 9 3π．
故答案为：9 3휋．
本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴
截面等知识，属于基础题．7．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)的一条渐近线平行于直线：l：y＝2x+10，双曲线的
一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 푥2
5 ―
푦2
20 = 1 ．
根据渐近线的方程和焦点坐标，利用 a、b、c 的关系和条件列出方程求出 a2、b2，代入
双曲线的方程即可 ．
由题意得，{푏
푎 = 2
―2푐 + 10 = 0
푐2 = 푎2 + 푏2
，
解得 a2＝5，b2＝20，
∴双曲线的方程是푥2
5 ―
푦2
20 = 1，
故答案为：푥2
5 ―
푦2
20 = 1．
本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．
8．已知函数 f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则 f（﹣1）＝ 3
― 3 ．
由题分别讨论 0＜a＜1，a＞1 两种情况，得出关系式，解方程组即可得出 a，再代入 f
（﹣1）即可．
当 0＜a＜1 时，由题得{a―2 + 푏 = 0
푎0 + 푏 = ―2，解得 a =
3
3 ，b＝﹣3，则 f（﹣1） = 3 ― 3；
当 a＞1 时，由题意得{a―2 + 푏 = ―2
푎0 + 푏 = 0 ，无解；
故答案为： 3 ― 3
本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．
9．当 x，y 满足{x + 2y - 7 ≤ 0，
푥 ― 푦 ― 1 ≤ 0，
푥 ≥ 1，
时，|2x﹣y|≤a 恒 成立，则实数 a 的取值范围是 [4，+
∞） ．
画出约束条件的可行域，求解|2x﹣y|的最大值，即可得到 a 的范围．
x，y 满足{x + 2y - 7 ≤ 0，
푥 ― 푦 ― 1 ≤ 0，
푥 ≥ 1，
的可行域如图：由{x + 2y - 7 = 0
푥 ― 푦 ― 1 = 0 解得 A（3，2），
z＝2x﹣y，经过可行域的 A 时，取得最大值，最大值为：4，
此时|2x﹣y|取得最大值，
所以，|2x﹣y|≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的
关键．
10．某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动，现从这 8 人中随机选出 4 人
作为正式志愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 27
35 ．
现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者，基本事件总数 n = 퐶48 = 70，选出的 4 人中
至少有 2 人来自同一小组包含的基本事件个数 m = 퐶48 ― 퐶12퐶12퐶12퐶12 = 54，由此能求出选
出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率．
某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动，
现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者，
基本事件总数 n = 퐶48 = 70，
选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组包含的基本事件个数 m = 퐶48 ― 퐶12퐶12퐶12퐶12 = 54，
∴选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 p = 푚
푛 =
54
70 =
27
35．
故答案为：27
35．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算
求解能力，属于基础题．
11．已知 a∈R，函数 f（x） = {푎 +
2
푥(푥＞0)
푥2 + 1(푥 ≤ 0)
，若存在不相等的实数 x1，x2，x3，使得
푓(푥1)
푥1
=
푓(푥2)
푥2
=
푓(푥3)
푥3
= ―2，则 a 的取值范围是 （﹣∞，﹣4） ．
令푥2 + 1
푥 = ―2（x≤0），解得 x＝﹣1，所以问题转化为
푎 + 2
푥
푥 = ―2在（0，+∞）上有两个不等根即可，分离参数得a = - 2(x + 1
푥)在（0，+∞）上有两个不等实根，只需研究 g
（x） = - 2(x + 1
푥)在（0，+∞）上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问
题．
当 x≤0 时，令푥2 + 1
푥 = ―2（x≤0），解得 x＝﹣1；
所以只需方程
푎 + 2
푥
푥 = ―2在（0，+∞）上有两个不等根即可，
整理得a = - 2(x + 1
푥)，x∈（0，+∞）有两个根．
只需 y＝a 与 y = - 2(x + 1
푥)在（0，+∞）上有两个不同交点即可．
令 g（x） = - 2(x + 1
푥)，x＞0，∵g'(x) = - 2(1 - 1
푥2) = ―
2(푥 + 1)(푥 ― 1)
푥2 ，
当 x∈（0，1）时 ，g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）
递减；所以 g（x）max＝g（1）＝﹣4，
且 x→0，或 x→+∞时，都有 g（x）→﹣∞．
所以，要使 x＞0 时，结论成立，只需 a＜﹣4 即可．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个
函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能
力等．属于中档题．
12．点 A 是曲线y = 푥2 + 2(푦 ≤ 2)上的任意一点，P（0，﹣2），Q（0，2），射线 QA 交曲
线y = 1
8푥2于 B 点，BC 垂直于直线 y＝3，垂足为点 C，则下列结论：（1）|AP|﹣|AQ|为定值2 2；
（2）|QB|+|BC|为定值 5；
（3）|PA|+|AB|+|BC|为定值5 + 2．
其中正确结论的序号是 （1），（2） ．
曲线y = 푥2 + 2(푦 ≤ 2)表示双曲线푦2
2 ―
푥2
2 = 1的上支，曲线y = 1
8푥2表示的是抛物线 x2＝
8y，P，Q 点为双曲线的两个焦点，且 Q 点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线
的定义，逐个判断即可；其中第（3）问中，要注意将|PA|转化为|PQ| + 2 2后，再进一
步分析．
由题意知：曲线y = 푥2 + 2(푦 ≤ 2)表示双曲线푦2
2 ―
푥2
2 = 1的上半支，a = b = 2，푐 = 2；
并且 P（0，﹣2）是双曲线的下焦点，Q（0，2）为上焦点；
曲线y = 1
8푥2表示的是抛物线 x2＝8y，其焦点为 Q（0，2），准线为 y＝﹣2．
做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．
①因为 A 在双曲线的上支上，所以|AP|﹣|AQ|＝2a = 2 2，为定值，故（1）正确；
②因为 B 在抛物线上，设 BH⊥直线 y＝﹣2 于 H，∴|BQ|＝|BH|，∴|QB|+|BC|＝|BH|+|BC|
＝|HC|＝5，定值，故（2）正确；③ 因 为 |PA| = |AQ| + 2a = |AQ| + 2 2， ∴ |PA|+|AB|+|BC| ＝ |AQ|+|AB|+|BC|+2 2 =
|QB|+|BC|+2 2 = 5 +2 2 ≠ 5 + 2，故（3）错误．
故正确的序号为：（1）（2）．
故答案为：（1），（2）．
本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查
了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分）
13．“函数 f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数 f（x）在 R 上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
函数 f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数 f（x）在 R 上为减函数，充分条件不
成立；而必要条件显然成立
“函数 f（x）在 R 上为增函数”⇒“函数 f（x）（x∈R）存在反函数”；
反之取 f（x）＝﹣x（x∈R），则函数 f（x）（x∈R）存在反函数，但是 f（x）在 R 上为减
函数．
故选：B．
本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．
14．设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若|z1﹣z2|＝0，则z1 = z2
B．若 z1 = 푧2，则z1 = z2
C．若|z1|＝|z2|，则 z1•z1 = z2•z2
D．若|z1|＝|z2|，则 z12＝z22
题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个
命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．
对（A），若|z1﹣z2|＝0，则 z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以z1 = 푧2为真；
对（B）若z1 = 푧2，则 z1 和 z2 互为共轭复数，所以z1 = 푧2为真；
对（C）设 z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则 a1
2 + 푏1
2 = 푎2
2 + 푏2
2，
z1 ⋅ 푧1 = 푎1
2 + 푏1
2，푧2 ⋅ 푧2 = 푎2
2 + 푏2
2，所以z1 ⋅ 푧1 = 푧2 ⋅ 푧2为真；
对（D）若 z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z1
2 = 1，푧2
2 = ―1，所以z1
2 = 푧2
2为假．故选：D．
本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概
念，是基本的概念题．
15．已知
→
e，
→
푓是互相垂直的单位向量，向量
→
a푛满足：
→
e ⋅
→
푎푛 = 푛，
→
푓 ⋅
→
푎푛 = 2푛 +1，푏푛是向量
→
f
与
→
푎푛夹角的正切值，则数列{bn}是（ ）
A．单调递增数列且lim
푛→∞
bn = 1
2
B．单调递减数列且lim
푛→∞
bn = 1
2
C．单调递增数列且lim
푛→∞
bn＝2
D．单调递减数列且lim
푛→∞
bn＝2
分别以
→
e和
→
f所在的直线为 x 轴，y 轴建立坐标系，则
→
e = （1，0），
→
f = （0，1），设
→
a푛
= （xn，yn），进而可求出 tanθn，结合函数的单调性即可判断．
分别以
→
e和
→
f所在的直线为 x 轴，y 轴建立坐标系，则
→
e = （1，0），
→
f = （0，1），
设
→
a푛 = （xn，yn），
∵
→
e•
→
a푛 = n，
→
f •
→
a푛 = 2n+1，n∈N*，
∴xn＝n，yn＝2n+1，n∈N*，
∴
→
a푛 = （n，2n+1），n∈N*，
∵θn 为向量
→
f与
→
푎푛夹角，cosθn = 2푛 + 1
푛2 + (2푛 + 1)2 =
2푛 + 1
5푛2 + 4푛 + 1
，[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
sinθn = 1 ―
(2푛 + 1)2
5푛2 + 4푛 + 1
=
푛
5푛2 + 4푛 + 1
∴tanθn = 2푛 + 1
푛 = 2 + 1
푛，
∴bn＝tanθn 为减函数，
∴θn 随着 n 的增大而减小．
lim
푛→∞
bn＝2．
故选：D．
本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16．如图，直线 l⊥平面 α，垂足为 O，正四面体 ABCD 的棱长为 2，A，D 分别是直线 l 和
平面 α 上的动点，且 BC⊥l，则下列判断：
①点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值为 2 +1；
②正四面体 ABCD 在平面 α 上的射影面积的最大值为 3．
其中正确的说法是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
直线 AD 与动点 O 的位置关系是：点 O 是以 AD 为直径的球面上的点，因此 O 到 BC 的
距离为四面体上以 AD 为直径的球面上的点到 SC 的距离，故最大距离为 BC 到球心的距
离，求解判断①；求出特殊点 A 与 O 重合时，射影面的面积判断②即可．
由题意，直线 AD 与动点 O 的位置关系是：点 O 是以 AD 为直径的球面上的点，
∴O 到 BC 的距离为四面体上以 AD 为直径的球面上的点到 DC 的距离，
因此：最大距离为 BC 到球心的距离（即 BC 与 AD 的公垂线）+半径，
如图：ME = 퐴퐸2 ― 퐴푀2 = A퐶2 ― 퐸퐶2 ― 퐴푀2 = 4 - 1 - 1 = 2，
点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值为： 2 + 1；所以①正确；
当 A 与 O 重合时，正四面体 ABCD 在平面 α 上的射影为：对角线长为 2 的正方形，射影
面的面积为 2，所以②不正确；
故选：C．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，
考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
17．如图，在三棱椎 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D、E、F 分别是棱 AB、
BC、CP 的中点，AB＝BC＝1，PA＝2．
（1）求异面直线 PB 与 DF 所成的角；
（2）求点 P 到平面 DEF 的距离．
（1）分别以 AB、AC、AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出
→
BP与
→
DF所成角的余弦
值，可得异面直线 PB 与 DF 所成的角的大小；
（2）求出平面 DEF 的一个法向量，再求出
→
PF的坐标，由点到平面的距离公式可得点 P
到平面 DEF 的距离．
（1）如图，分别以 AB、AC、AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
D（1
2，0，0），F（0，1
2，1）．故
→
BP = ( ― 1，0，2)，
→
DF = ( ―
1
2，
1
2，1)．
∴cos＜
→
퐵푃，
→
퐷퐹＞ =
→
퐵푃 ⋅
→
퐷퐹
|
→
퐵푃| ⋅ |
→
퐷퐹|
=
5
2
5 ⋅ 3
2
=
30
6 ．
可得＜
→
퐵푃，
→
퐷퐹＞ = arccos
30
6 ．
故异面直线 PB 与 DF 所成的角为 arccos
30
6 ；
（2）
→
DE = (0，
1
2，0)，
→
DF = ( ―
1
2，
1
2，1)．
设
→
n = (푥，푦，1)是平面 DEF 的一个法向量，
则{→
n ⋅
→
퐷퐸 =
1
2푦 = 0
→
푛 ⋅
→
퐷퐹 = ―
1
2푥 +
1
2푦 + 푧 = 0
，取 z＝1，得
→
n = (2，0，1)．
又
→
PF = (0，
1
2， ― 1)．
∴点 P 到平面 DEF 的距离 d = |
→
푃퐹 ⋅
→
푛
|
→
푛|
| =
1
5 =
5
5 ．
本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档
题．
18．设 A（x1，y1）（x2，y2）是函数，y = 1
2 + 푙표푔2
푥
1 ― 푥的图象上任意两点，点 M（x0，y0）
满足
→
OM =
1
2（
→
OA +
→
OB）．
（1）若 x0 = 1
2，求证：y0 为定值；
（2）若 x2＝2x1，且 y0＞1，求 x1 的取值范围，并比较 y1 与 y2 的大小．（1）依题意，x0 =
1
2(푥1 + 푥2) =
1
2，即 x1+x2＝1，再利用中点坐标公式可求得y0 =
1
2(1 +
푙표푔2
푥1푥2
푥1푥2
) =
1
2，即得证；
（ 2 ） 根 据 题 意 ， 可 得 lo푔2
푥1
1 ― 푥1
+ 푙표푔2
2푥1
1 ― 2푥1
＞1， 再 由 对 数 函 数 的 性 质 可 得
{ 2푥1
1 ― 2푥1
＞0
푥1
1 ― 푥1
⋅
2푥1
1 ― 2푥1
＞2
，由此求得 x1 的取值范围，利用作差法可知0＜
푥1
1 ― 푥1
＜
2푥1
1 ― 2푥1
，进而
得出 y1 与 y2 的大小关系．
（1）证明：由
→
OM =
1
2(
→
푂퐴 +
→
푂퐵)可知，x0 =
1
2(푥1 + 푥2) =
1
2，即 x1+x2＝1，
y0 =
1
2(푦1 + 푦2) =
1
2(
1
2 + 푙표푔2
푥1
1 ― 푥1
+
1
2 + 푙표푔2
푥2
1 ― 푥2
) =
1
2(1 + 푙표푔2
푥1푥2
(1 ― 푥1)(1 ― 푥2))，
故y0 =
1
2(1 + 푙표푔2
푥1푥2
푥1푥2
) =
1
2为定值，即得证；
（2）由 x2＝2x1，y0＞1，可得lo푔2
푥1
1 ― 푥1
+ 푙표푔2
2푥1
1 ― 2푥1
＞1，
则{ 2푥1
1 ― 2푥1
＞0
푥1
1 ― 푥1
⋅
2푥1
1 ― 2푥1
＞2
，即{0＜푥1＜
1
2
푥1
2 ― 3푥1 + 1＜0
，解得3 ― 5
2 ＜푥1＜
1
2，
此时由
푥1
1 ― 푥1
―
2푥1
1 ― 2푥1
=
― 푥1
(1 ― 푥1)(1 ― 2푥1)＜0，可得0＜
푥1
1 ― 푥1
＜
2푥1
1 ― 2푥1
，
故1
2 + 푙표푔2
푥1
1 ― 푥1
＜
1
2 + 푙표푔2
2푥1
1 ― 2푥1
，即 y1＜y2．
本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，
作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形 ABCD 的 AB 边与 BC
边的长分别为 48 米与 40 米，扇形的圆心 O 为 AB 中点，扇形的圆弧端点 E，F 分别在 AD
与 BC 上，圆弧的中点 G 在 CD 上．
（1）求扇形花园的面积（精确到 1 平方米）；
（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 A1B1C1D1 为花卉展览区，如图②所示，矩形
A1B1C1D1 的四条边与矩形 ABCD 的对应边平行，点 A1，B1 分别在 OE，OF 上，点 C1，
D1 在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形 A1B1C1D1 面积最大时，两矩形 A1B1C1D1 与 ABCD
的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区 A1B1C1D1 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）
（1）设∠EOF＝2θ，利用直角三角形的边角关系求出 BO、OF，再计算扇形的面积即可；
（2）在图②中连接 OC1，设∠FOC1＝α，OC1＝r，利用正弦定理求出 B1C1，计算矩形
A1B1C1D1 的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比
相等，得出该同学的猜想是正确的．
（1）设∠EOF＝2θ，则∠BFO＝θ，
在 Rt△OBF 中，BO = 1
2AB＝24，OF＝BC＝40，sinθ = 푂퐵
푂퐹 =
3
5，θ＝arcsin
3
5；
可得扇形的面积为 S1 = 1
2•402•2arcsin
3
5 = 1600arcsin
3
5 ≈ 1030（平方米），
即扇形花园的面积约为 1030 平方米；
（2）在图②中，连接 OC1，设∠FOC1＝α（0＜α＜θ），OC1＝r，
则在△OB1C1 中，
由
퐵1퐶1
푠푖푛훼 =
푂퐶1
푠푖푛휃，可得 B1C1 = 푟푠푖푛훼
푠푖푛휃 ；
又 C1D1＝2rsin（θ﹣α），sinθ = 3
5，cosθ = 4
5，
所以矩形 A1B1C1D1 的面积为
S2＝B1C1•C1D1 = 푟푠푖푛훼
푠푖푛휃 •2rsin（θ﹣α）
= 10푟2푠푖푛훼
3 （sinθcosα﹣cosθsinα）
= 푟2
3 （6sinαcosα﹣8sin2α）
= 푟2
3 （3sin2α+4cos2α﹣4）= 1600
3 [5sin（2α+arcsin
4
5）﹣4]，
当且仅当 2α+arcsin
4
5 =
휋
2，即 α = 1
2（휋
2 ― arcsin
4
5） = 휃
2 时，S2 取得最大值，
所以 S2 的最大值为1600
3 ；
所以花卉展览区 A1B1C1D1 面积的最大值为1600
3 平方米．
当矩形 A1B1C1D1 的面积最大时，α = 휃
2，
此时
퐶1퐷1
퐵1퐶1
=
2푟푠푖푛(휃 ― 훼)
푟푠푖푛훼
푠푖푛휃
= 2sinθ = 6
5，
퐶퐷
퐵퐶 =
48
40 =
6
5，
所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．[
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题．
20．已知点 A，B 分别是椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1(푎＞푏＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点 O 到
直线 AB 的距离为
6
3 ，且点 A 是圆 r：(푥 ― 2)2 + 푦2 = 푟2(푟＞0)的圆心，动直线 l：y＝kx
与椭圆交于 P．Q 两点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 S 在线段 AB 上，
→
푂푆 = 휆
→
푂푃(휆 ∈ 푅+)，且当 λ 取最小值时直线 l 与圆相切，求 r
的值；
（3） 若直线 l 与圆分别交于 G，H 两点，点 G 在线段 PQ 上，且|QG|＝|PH|，求 r 的取
值范围．（1）由椭圆的方程可得 A，B 的坐标及直线 AB 的方程，由题意可得 a 的值，及 O 到直
线的距离距离，可得，a，b 的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设 P 的坐标，由向量的关系求出 S 的坐标，将 S 的坐标代入直线 AB 的方程可得 λ
的表达式，由三角函数的取值范围求出 λ 最小时 r 的值；
（3）设直线 GH 的方程与圆联立，求出 P，Q 的坐标，求出弦长 GH，求出 A 到直线的
距离，及弦长 GH 与 A 到直线 GH 的距离和半径之间的关系，求出弦长 GH，两式联立求
出 r 的表达式，换元可得 r2＝2 - 1
1 + 푘2可得 r 的范围．
（1）由题意可知，a = 2，A（a，0），B（0，b），
所以直线 AB 的方程为：bx+ay﹣ab＝0，
所以原点到直线的距离 d = 푎푏
푎2 + 푏2 =
6
3 ，
所以可得 b2＝1，
所以椭圆的方程为：푥2
2 + y2＝1；
（2）由（1）设 P（ 2cosα，sinα）（α∈[0，휋
2），由题意可得 S（ 2휆cosα，λsinα），
将 S 坐标代入直线 AB 的方程 푥
2 + y＝1 中，可得 λ（cosα+sinα）＝1，
所以 λ = 1
푐표푠훼 + 푠푖푛훼 =
1
2푠푖푛(훼 + 휋
4)
，
所以当α = 휋
4时 λ 取最小值
2
2 ，
所以 P（1，
2
2 ），且直线 l 的方程为 x - 2푦 = 0，所以 r =
2
3 =
6
3 ；
（3）由|QG|＝|PH|，可得|PQ|＝|GH|，
将 y＝kx 代入椭圆 C 的方程可得：（1+2k2）x2＝2，即 x＝±
2
1 + 2푘2，
故|PQ| = 1 + 푘2 ⋅ 2
2
1 + 2푘2，
又 A 到直线 l 的距离 = | 2푘|
1 + 푘2，故|GH|＝2 r2 ―
2푘2
1 + 푘2，
所以 1 + 푘2 ⋅ 2
2
1 + 2푘2 = 2 r2 ―
2푘2
1 + 푘2，
可得 r2 = 2푘2
1 + 푘2 +
2(1 + 푘2)
1 + 2푘2 =
4푘2 + 2
1 + 푘2 +
2(1 + 푘2)
1 + 2푘2 ― 2，
令 z = 1 + 2푘2
1 + 푘2 = 2 - 1
1 + 푘2∈[1，2），
则 r2＝2（z + 1
푧）﹣2∈[2，3），
所以 r 的取值范围为[ 2， 3）．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档
题．
21．（18 分）若数列{an}与函数 f（x）满足：①{an}的任意两项均不相等，且 f（x）的定义
域为 R；②数列{an}的前 n 项的和 Sn＝f{an}，对任意的 n∈N*都成立，则称{an}与 f（x）
具有“共生关系”．
（1）若a푛 = 2푛(푛 ∈ 푁∗)试写出一个与数列{an}具有“共生关系”的函数 f（x）的解析式；
（2）若 f（x）＝ax+b 与数列{an}具有“共生关系”，求实数对（a，b ）所构成的集合，
并写出 an 关于 a，b，n 的表达式：
（3）若 f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{an}，使得{an}与
f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x = 1
2(푦 ≤
1
16)上”．（1）由a푛 = 2푛，可知 Sn = 2(1 ― 2푛)
1 ― 2 = 2n+1﹣2，由此能求出与数列{an}具有“共生关系”
函数 f（x）的解析式．
（2）由题意得 Sn＝aan+b，令 n＝1，得（1﹣a）a1＝b，推导出a푛+1 =
푎
푎 ― 1푎푛，数列{an}
是首项为 푏
1 ― 푎，公比为 푎
푎 ― 1的等比数列，由此能求出结果．
（3）先证明必要性：若{an}是等差数列，且它与 f（x）具有“共生关系”，设 an＝dn+m，
（d≠0），则由S푛 = 푎푛
2 + 푐푎푛 +ℎ，知푑
2푛2 +(푚 +
푑
2)푛 = 푑2푛2 + （2md+cd）n+（m2+cm+h）
恒成立，由此推导出点（c，h）在射线 x = 1
2（y ≤ 1
16）上； 再证明充分性：若点（c，
h）在射线 x = 1
2（y ≤ 1
16）上，则 c = 1
2，h ≤ 1
16，方程a1 = 푎1
2 +
1
2푎1 +ℎ等价于a1
2 ―
1
2푎1 +ℎ = 0， △ = 1
4 ― 4ℎ＞0，且a1 =
1 + 1 ― 16ℎ
4 ，它是正数，满足 S1＝f（1），令 an+1
﹣an = 1
2，则 f（n+1）﹣f（n）＝（ a푛+1
2 +
1
2푎푛+1）﹣（a푛
2 +
1
2푎푛），当 n≥2 时，Sn＝
a1+a2+…+an＝f（1）+[f（2）﹣f（1）]+[f（3）﹣f（2）]+…+[f（n）﹣f（n﹣1）]＝f
（n），由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列{an}，使得{an}与 f（x）具有
‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x = 1
2(푦 ≤
1
16)上”．
（1）解：由a푛 = 2푛，可知 Sn = 2(1 ― 2푛)
1 ― 2 = 2n+1﹣2，
∴与数列{an}具有“共生关系”函数 f（x）的解析式可以是 f（x）＝2x﹣2．
（2）解：由题 意得 Sn＝aan+b，令 n＝1，得 a1＝aa1+b，即（1﹣a）a1＝b，
①若 a＝1，b≠0，此式不成立，不合题意，
若 a＝1，b＝0，由 S2＝a2，得 a2＝0，
又 S3＝a3，可得 a2＝0，
与{an}任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．
②若 a≠1，则a1 =
푏
1 ― 푎，
若 b＝0，则由 a1＝S1＝aa1 与 a1+a2＝S2＝aa2，可得 a1＝a2＝0，不合题意，
若 b≠0，a≠0，1，则 Sn＝b，由 Sn＝aan+b，Sn+1＝aan+1+b，
可得 an+1＝Sn+1﹣Sn＝aan+1﹣aan，
即a푛+1 =
푎
푎 ― 1푎푛，此时，数列{an}是首项为 푏
1 ― 푎，公比为 푎
푎 ― 1的等比数列，又{an}的任意两项均不相等，故 푎
푎 ― 1 ≠ ±1，可知 a ≠ 1
2，
∴实数对（a，b）所构成的集合为{（a，b）|a≠0，1，1
2，且 b≠0，其中 a，b≠0，其中
a，b∈R}，
且a푛 =
푏
푎 ― 1 ⋅ (
푎
푎 ― 1)푛―1 =
푏푎푛―1
(푎 ― 1)푛．
（3）证明：（必要性）若{an}是等差数列，且它与 f（x）具有“共生关系”，
设 an＝dn+m，（d≠0），则由 S푛 = 푎푛
2 + 푐푎푛 +ℎ，可知 nm + 푛(푛 + 1)푑
2 = （dn+m） 2+c
（dn+m）+h，
∴푑
2푛2 +(푚 +
푑
2)푛 = 푑2푛2 + （2md+cd）n+（m2+cm+h）恒成立，
∴{1
2푑 = 푑2
푚 +
푑
2 = 2푚푑 + 푐푑
0 = 푚2 + 푐푚 + ℎ
，可得 c＝d = 1
2，且m2 +
1
2푚 +ℎ = 0有实根，
即 △ = 1
4 ― 4ℎ ≥ 0，可知 h ≤ 1
16，∴点（c，h）在射线 x = 1
2（y ≤ 1
16）上．
（充分性）若点（c，h）在射线 x = 1
2（y ≤ 1
16）上，则 c = 1
2，h ≤ 1
16，
又方程a1 = 푎1
2 +
1
2푎1 +ℎ等价于a1
2 ―
1
2푎1 +ℎ = 0， △ = 1
4 ― 4ℎ＞0，
且a1 =
1 ± 1 ― 16ℎ
4 ，取a1 =
1 + 1 ― 16ℎ
4 ，它是正数，满足 S1＝f（1），
令 an+1﹣an = 1
2，则 f（n+1）﹣f（n）＝（a푛+1
2 +
1
2푎푛+1）﹣（a푛
2 +
1
2푎푛）
＝（an+1﹣an）（an+1+an + 1
2）
= 1
2（2an+1）＝an+1，
∴当 n≥2 时，Sn＝a1+a2+…+an＝f（1）+[f（2）﹣f（1）]+[f（3）﹣f（2）]+…+[f（n）﹣
f（n﹣1）]＝f（n），
这里的无穷数列{an}是首项为1 + 1 ― 16ℎ
4 ，公差为1
2的无穷数列，其每一项都是正数，
∴存在每项都是正数的无穷等差数列{an}，使得{an}与 f（n）具有“共生关系”．
故“存在每项都是正数的无穷等差数列{an}，使得{an}与 f（x）具有‘共生关系’”的充
要条件是“点（c，h）在射线x = 1
2(푦 ≤
1
16)上”．
本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．
微信/支付宝扫码支付