高三数学试卷（文科）
考生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.
2. 请将各题答案填写在答题卡上.
3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首 先 求 出 分 母 的 计 算 结 果 ， 即 ， 然 后 由 复 数 的 除 法 可 对 其 进 行 化 简 ，
，从而可选出正确答案.
【详解】解： .
故选:B.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算.本题的易错点为计算的准确性，易将 当做
1 进行计算.
2.已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数函数的定义域可得 ，用列举法表示出 ，从而可选出正确选项.
【详解】解：因为 ， ，所以 ， .
( )( )1 2
i
i i
=+ +
3
10
i− 3
10
i+ 3
10
i− + 3
10
i− −
(1 )(2 ) 1 3i i i+ + = +
(1 3 )
1 3 10
i i i
i
−=+
(1 3 ) 3
(1 )(2 ) 1 3 10 10
i i i i i
i i i
− += = =+ + +
2i
{ }| lnA x y x= = { }| 3B x N x= ∈ ≤
B A⊆ { }| 0A B x x∪ = > A B⊆ { }1,2,3A B =
{ }| 0A x x= > { }0,1,2,3B =
{ }| 0A x x= > { }0,1,2,3B = { }1,2,3A B = { }| 0A B x x∪ = ≥故选:D.
【点睛】本题考查了集合的化简，考查了两集合的关系，考查了集合的交集运算，考查了集合的并集运算.
本题的关键和易错点是对集合 的化简.
3.“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、
动物性食品类、植物油类分别有 48 种、24 种、30 种、18 种，现从中抽取一个容量为 40 的样本进行食品安
全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
首先计算出抽样比为 ，即可计算出抽取的动物性食品类种数.
【详解】解：因为 ，所以抽取的动物性食品类的种数是 .
故选:A.
【点睛】本题考查了分层抽样.本题的关键是计算抽样比.
4.若向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ，
所以 ，
两式相加得 ，
所以 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.
5.已知圆 ： ， ： ， ： ， ： ，若从这 4 个
A
40
48 24 30 18+ + +
40 40 1
48 24 30 18 120 3
= =+ + +
130 103
× =
( )1,2AC = ( )1,4AB BC− = − AB =
( )1,1− ( )0,6 ( )2,2− ( )0,3
AB BC+ AB
( )1,2AB BC AC+ = =
( )
( )
1,2
1,4
AB BC
AB BC
+ = − = −
( )2 0,6AB =
( )0,3AB =
1C 2 2 1x y+ = 2C ( )2 22 1x y− + = 3C ( )22 1 1x y+ − = 4C 2 2 4x y+ =圆中任意选取 2 个，则这 2 个圆的半径相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
列举出四个圆中任意选取两个所有的情况，从中找出半径相同的情况，即可计算概率.
【详解】解：由题意知， 的半径均为 1， 的半径为 2，则从这 4 个圆中任意选取 2 个，
所有的情况为 ， ， ， ， ， ，共 6 种，
其中，这 2 个圆的半径相等的有 ， ， 共 3 种，故所求概率 .
故选:C.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了古典概型.求古典概型概率时，可将所有的基本事件列举出，结
合古典概型概率公式进行计算；有时也可结合排列、组合的思想进行求解.
6.《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了 246 个与生产实践有关的应
用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其
意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，
重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列 ，
斤，则 （ ）
A. 2.5 斤 B. 2.75 斤 C. 3 斤 D. 3.5 斤
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求出等差数列的公差，结合等差数列的通项公式，即可求出第二项的值.
【详解】解：由题意可知， 斤， 斤，则公差 斤，
故 斤.
故选:D.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式.本题的关键是公差的求解.
【
1
6
1
3
1
2
2
3
1 2 3, ,C C C 4C
( )1 2,C C ( )1 3,C C ( )1 4,C C ( )2 3,C C ( )2 4,C C ( )3 4,C C
( )1 2,C C ( )1 3,C C ( )2 3,C C 3 1
6 2P = =
{ }na 1 4a =
2a =
1 4a = 5 2a = 5 1 0.55 1
a ad
−= = −−
2 1 3.5a a d= + =7.已知双曲线 ： 的左焦点为 ，点 的坐标为 ，若直线 的倾斜角为
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线 的倾斜角为 可求出直线的斜率，结合两点间直线的斜率公式可得 ，由椭圆中
，可得 ，从而可求出离心率的值.
【详解】解：依题意得 ，所以 ，即 ，即 ，
所以 .
故选:C.
【点睛】本题考查了直线的斜率公式，考查了椭圆的焦点坐标，考查了椭圆离心率的求解.本题的关键是由
直线的倾斜角求出 的关系.一般求圆锥曲线的离心率时，由题意列出关于 三个参数的式子，从而
进行求解.
8.函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用换元法，设 ，则 ，结合指数函数的单调性及值域，可求出
，从而可求本题函数的值域.
【详解】解:设 ，则 ，
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > F A ( )0,2b AF
45° C
3 2
2 3 2 3
3
AF 45° 2c b=
2 2 2a b c= + 2 23 4c a=
2 tan45 1AF
bk c
= = ° = 2c b= ( )2 2 2 24 4c b c a= = − 2 23 4c a=
2 3
3
ce a
= =
,b c , ,a b c
( )
2 6 51
2
x x
f x
− + =
( ]0,16 [ )16,+∞ 10,16
1 ,16
+∞
2 6 5u x x= − + ( ) 1 , 42
u
f u u = ≥ −
( ) ( )0 4 16f u f< ≤ − =
2 26 5 ( 3) 4 4u x x x= − + = − − ≥ − ( ) 1 , 42
u
f u u = ≥ − 因为 为减函数，所以 ，即值域为 .
故选:A.
【点睛】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的
值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.
9.在底面为正三角形的三棱柱 中， ， ，该三棱柱的体积的最大值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，三棱柱高最大为 3，求出底面三角形的面积，结合柱体的体积公式，即可求出体积的最大值.
【详解】解：设三棱柱 的高为 ，则 的最大值为 3，
所以该三棱柱的体积的最大值为 .
故选:D.
【点睛】本题考查了柱体体积的求解.本题的易错点是混淆了柱体、椎体的体积公式.本题的关键是分析出高
的最大值.
10.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对多项式函数求导，结合导数的几何意义，即可容易求得结果.
【详解】设函数 ，
则 ，
所以 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：B.
1
2
x
y =
( ) ( )0 4 16f u f< ≤ − = ( ]0,16
1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 3AA =
2 3 3 3
1 1 1ABC A B C− h h
2
max max
3 2 3 3 34ABCV S h= ⋅ = × × =
( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)f x x x x x x= − − − − − ( )y f x= (2,0)
3 6y x= − + 6 12y x= − + 3 6y x= − 6 12y x= −
( ) ( 1)( 3)( 4)( 5)g x x x x x= − − − −
( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2) ( )f x x g x x g x g x x g x′ ′ ′ ′= − + − = + −
(2) (2) 6f g′ = = −
( )y f x= (2,0) 6 12y x= − +【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.
11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图， 平面
且 得到球心在过 外心且与 平行的线段上，且到底面的距离是 的
一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解.
【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 ，
其中 平面 .作三角形 重心 ，
过 作 且 (如图)
则 平面 ，所以
作 中点 连结 ,则 矩形， 所以
， 是球心，
设外接球的半径为 外接圆的半径 ，
则 ，所以外接球的表面积 .
故选：B.
是
25
4
π 64
3
π
25π 32π
AB ⊥ ,PAC
2, 4PA PC AC AB= = = = PAC AB AB
B PAC−
AB ⊥ ,PAC PAC E
E / /OE BA 1
2OE BA=
OE ⊥ ,PAC PE CE AE= = OP OC OA= =
BA G OG OEAG OG AB⊥ OA OB=
OP OC OA OB∴ = = = O∴ 2, 4PA PC AC AB= = = =
,R PAC△ 2 3
3PE =
2 2 2 16
3R PE OE= + = 2 644 3S R
ππ= =【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.
（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观
图．
（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．
12.已知函数 ，现有下述四个结论：
① 的最小正周期为 ；②曲线 关于直线 对称；
③ 在 上单调递增；④方程 在 上有 4 个不同的实根.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】
结合二倍角公式对函数进行变形可得 ，作出 在 上的图象，可
知四个命题的正确性.
【详解】解： ，
作出 在 上的图象（先作出 的图象，再利用平移变换和翻折变换得到
的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.
故选:D.
( ) 1 4sin cosf x x x= −
( )f x π ( )y f x=
4
πx = −
( )f x 5,4 12
π π
( ) 2f x = [ ],π π−
11 2sin 2 ,sin 2 2( ) 12sin 2 1,sin 2 2
x x
f x
x x
− 2 24 2 4 4x y xy+ =≥
24x y= 21 , 22x y= = 24x y+
3log 0.6 2log 5 0.43
2log 5
3log 0.6 0< 2log 5 2> 0.40 3 3< <
3 3log 0.6 log 1 0< = 2 2log 5 log 4 2> = 0.4 0.50 3 3 3< < = 2log 5
2log 5
3
{ }2na n+ 1 2a = 3 10a = 4a = { }na n nS =
2 22 4n n n+ − − −【分析】
由已知 ， ，可求出 的公比为 ，从而可得 ，则可求出 的值，
结合分组求和法，可求出 .
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，
则 .
故答案为:24; .
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分组求和，考查了等差数列的前 项和，考查了等比数
列的前 项和.本题的关键是由已知条件，求出等比数列的公比.求数列的前 项和时，常用的方法有公式法、
分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.
16.设 ， 分别为椭圆 ： 的左、右焦点， 为 内一点， 为 上任意一
点.若 的最小值为 3，则 的方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知， ，则 ；由三角形的三边关系可知 ，从而可求出
，由椭圆的定义知， ，
从而可求出 ，进而可求出椭圆的标准方程.
【详解】解：由椭圆定义可知 ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故
的方程为 .
故答案为: .
1 2a = 3 10a = { }2na n+ 2q = 12 2n
na n+= − 4a
nS
{ }2na n+ q 2 3
1
6 16 42 4
aq a
+= = =+ 0q > 2q =
( ) 1 1
12 2 2n n
n n aa q − +=+ = + 12 2n
na n+= − 5
4 2 2 4 24a = − × =
( ) 1
2 3 1 2 24 2 22 2 ... 2 2 4 ... 2 ( 1) 2 41 2
n
n n
nS n n n n n
+
+ +− ×= + + + − + + + = − + = − − −−
2 22 4n n n+ − − −
n
n n
1F 2F C
2 2
2 2 1( 1)1
x y aa a
+ = >−
( )1,1P C Q C
1PQ QF+ C
2 2
14 3
x y+ =
( )2 1,0F 2 1PF = 2 2 1PQ QF PF− ≤ =
2 1PQ QF− ≥ − 1 2 2 12 3PQ QF PQ QF aa− + ≥ −= =+
2a =
1 2 2PQ QF PQ QF a+ = − + ( )2 1,0F 2 1PF =
2 2 1PQ QF PF− ≤ = 2 1PQ QF− ≥ − 2 2 2 1 3PQ QF a a− + ≥ − = 2a = C
2 2
14 3
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆焦点坐标的求解.本题的难点是分析出何时 可取得
最小值.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17-21
题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.设 分别为 内角 的对边.已知 .
（1）证明： 是直角三角形.
（2）若 是 边上一点，且 ，求 面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)用正弦定理化简 可得.
（2）用余弦定理求出 ,利用已知数据和利用三角形面积公式.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 .
又 ，
所以
因为 ，所以 ，
则 ，故 是直角三角形.
（2）解：因为 ，
所以 .
又 ，所以 .
因为 ，所以 ，
故 的面积为 .
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题..
的
.
1PQ QF+
, ,a b c ABC , ,A B C cos cosa B b A c= +
ABC
D AC 3, 5, 6CD BD BC= = = ABD△
2 14
9
cos cosa B b A c= +
cos BDC∠
cos cosa B b A c= + sin cos sin cos sinA B B A C= +
sin sin( )C A B= +
2sin cos 0B A =
sin 0B > cos 0A =
2A
π= ABC
2 2 2 1cos 2 15
BD CD BCBDC BD CD
+ −∠ = = −×
1cos cos 15BDA BDC∠ = − ∠ =
2A
π= 1cos 3AD BD BDA= ∠ =
1cos 15BDA∠ = 4 14sin 15BDA∠ =
ABD△ 1 2 14sin2 9AD BD BDA× ∠ =18.如图， 平面 .
（1）证明： //平面 .
（2）若几何体 的体积为 10，求三棱锥 的侧面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证 平面 ，结合 平面 ，即可求得；
（2）根据几何体的体积求得 ，再求侧面积即可.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 // .
因为 平面 平面 ，所以 //平面 .
（2）因为 的面积 ，
所以几何体 的积 ，
所以 .
因为 平面 平面 ，则 ，又因为 ，
又 平面 ，
故 平面 ，则 ，
所以 的面积为 ，
EA ⊥ , , 4, 3, , 3 2ABC AB BC AB BC BD AC AD CD⊥ = = = = =
BD ACE
EABCD E ABC−
9 3 5+
BD ⊥ ABC EA ⊥ ABC
EA
,BC BD AC AD= =
ABC ABD△ ≌△
AB BC⊥ AB BD⊥
2 2 2BD BC CD+ = BD BC⊥
AB BC B∩ = BD ⊥ ABC
EA ⊥ ABC EA BD
BD ⊄ ,ACE AE ⊂ ACE BD ACE
ABC
1 3 4 62S = × × =
EABCD 1 ( ) 2( 3) 103V S EA BD EA= + = + =
2EA =
EA ⊥ ,ABC BC ⊂ ABC BC EA⊥ BC AB⊥
,EA AB ⊂ ABE
BC ⊥ ABE BC BE⊥
BCE
2 21 3 2 4 3 52
× × + =所以三棱锥 的侧面积为 .
【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥体积的求解，属综合基础题.
19.已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）判断 在 上的零点的个数，并说明理由.（提示： ）
【答案】（1） 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .（2） 在 上的
零点的个数为 1.理由见解析
【解析】
【分析】
（1）令导数 ，解出方程后，结合函数的定义域，探究 随 的变化，即
可求出函数的单调区间.
（2）结合函数的单调性可判断出函数在 上无零点，又由 ，结合函数在 上
的单调性及零点存在定理，可判断出 在 上的零点的个数.
【详解】解：（1）由题意知， 的定义域为 ，则令 ，
解得 或 ，当 或 时， ，则此时 单调递增；
当 时， ，则此时 单调递减.
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
（2）由函数在 上单调递增，在 上单调递减，则当 时， ，故
在 上无零点；
又 ，
当 时，因为 ，
又 在 上单调递增，所以 在 上仅有一个零点.
综上， 在 上的零点的个数为 1.
【点睛】本题考查了函数单调性区间的求解，考查了函数零点个数的判断.本题的难点在于第二问中，需要
E ABC− 2 21 13 5 2 4 2 3 4 9 3 52 2
+ × × + × × + = +
( ) 3 4lnf x x xx
= − −
( )f x
( )f x ( ]0,10 ln10 2.303≈
( )f x ( )0,1 ( )3,+∞ ( )1,3 ( )f x ( ]0,10
2
3 4( ) 1 0f x x x
′ = + − = ( ) ( ),f x f x′ x
( ]0,3 ( ) ( )3 0, 10 0f f< > ( ]3,10
( )f x ( ]0,10
( )f x ( )0, ∞+ 2
2 2
3 4 4 3( ) 1 0x xf x x x x
− +′ = + − = =
1x = 3x = 0 1x< < 3x > ( ) 0f x′ > ( )f x
1 3x< < ( ) 0f x′ < ( )f x
( )f x ( )0,1 ( )3,+∞ ( )1,3
( )0,1 ( )1,3 0 3x< ≤ ( ) ( )1 2f x f≤ = − ( )f x
( ]0,3
( )3 2 4ln3 0f = − <
3 10x< ≤ 3(10) 10 4ln10 10 0.3 4 2.303 0.488 010f = − − ≈ − − × = >
( )f x ( ]3,10 ( )f x ( ]3,10
( )f x ( ]0,10结合函数的单调性、零点存在定理进行判断.求解函数的单调性时，可结合函数的图像、导数、函数的性质
等进行判断.
20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的试销.定价为 1000
元/件.试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：
日销售量 40 60 80 100
频数 9 12 6 3
（1）若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件，求试销连续 30 天中该零件日销售总利润不低于
24500 元的频率；
（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为 1000 元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零
件的整箱批发，大箱每箱有 60 件，批发价为 550 元/件；小箱每箱有 45 件，批发价为 600 元/件.该 4S 店决
定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店.假设该
4 店试销后的连续 30 天的日销售量（单位：件）的数据如下表：
日销售量 50 70 90 110
频数 5 15 8 2
（ⅰ）设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，这 30 天这款零件的总利润；
（ⅱ）以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两小箱？
【答案】（1） （2）（ⅰ） 万元（ⅱ）每天应该批发两大箱
【解析】
【分析】
（1）求出日销售总利润不低于 24500 元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；
（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱 30 天的总利润作比较.
【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为 元，
所以要使得日销售总利润不低于 24500 元，则日销售零件的件数不能少于 ，
∴所求频率为 .
（2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为 元，
当日销售量为 50 件时，
0.3 93.32
1000 650 350− =
24500 70350
=
6 3 0.330
+ =
60 2 550 66000× × =当日利润为 元；
当日销售量为 70 件时，
当日利润为 元；
当日销售量为 90 件时，
当日利润为 元；
当日销售量量为 110 件时，
当日利润为 元；
所以这 30 天这款零件的总利润为
万元.
（ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为 元，
当日销售量为 50 件时，
当日利润为 元；
当日销售量为 70 件时，
当日利润为 元；
当日销售量为 90 件或 110 件时，
当日利润为 元.
所以这 30 天这款零件的总利润为
万元，
∵93.32 万元 万元，
∴每天应该批发两大箱.
【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力
和运算求解能力，是基础题.
21.设抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于 两点.
（1）若 过点 ，且 ，求 的斜率；
（2）若 ，且 的斜率为 ，当 时，求 在 轴上的截距的取值范围（用 表示），并证明
的平分线始终与 轴平行.
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析
【解析】
50 1000 0.9 (120 50) 550 66000 18650× + × − × − =
70 1000 0.9 (120 70) 550 66000 28750× + × − × − =
90 1000 0.9 (120 90) 550 66000 38850× + × − × − =
110 1000 0.9 (120 110) 550 66000 48950× + × − × − =
18650 5 28750 15 38850 8 48950 2 93.32× + × + × + × =
45 2 600 54000× × =
50 1000 0.9 (90 50) 600 54000 17600× + × − × − =
70 1000 0.9 (90 70) 600 54000 26800× + × − × − =
90 1000 54000 36000× − =
17600 5 26800 15 36000 10 85× + × + × =
85>
2 2 ( 0)y px p= > F l ,M N
l F | | 3MN p= l
( , )2
pP p l 1− P l∉ l y p
MPN∠ y
2± 3 3( , ) ( , )2 2 2
p p p− ∪ +∞【分析】
（1）设直线 的方程为 与抛物线方程联立求解，得到 ， ，
利用 转化求 即可.
（2）直线 的方程为 与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得 轴上的截距的取值范
围；要证明 的平分线与 轴平行，则只需要直线 的斜率互补，即证明 .
【详解】解：（1）当直线 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ，即
，
所以 ，
但 ，故直线 的斜率存在，设其方程为 .
由 得 ，
设 ，则 ，
所以 ，
解得 ，所以直线 的斜率为 .
（2）设直线 的方程为 .
由 得 ，
则 .
由 ，得 .又 ，所以 ，从而 在 轴上的截距的取值
范围为 .
l ( )( 0)2
py k x k= − ≠ 1 2x x+ 1 2x x
| | 3MN p= k
l ,y x m= − + y
MPN∠ y ,PM PN 0PM PNk k+ =
l 2
px = 2 2y p=
y p= ±
| | 2MN p=
| | 3MN p= l ( 0)2
py k x k = − ≠
2
( ),2
2 ,
py k x
y px
= −
=
2 2
2 2 2( 2 ) 04
k pk x k p p x− + + =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2
1 2 2
2k p px x k
++ =
2
1 2 1 2 2
2| | | | | | 32 2
p p k p pMN MF NF x x x x p p pk
+= + = + + + = + + = + =
2k = ± l 2±
l ( ) ( )1 1 2 2, , , ,y x m M x y N x y= − +
2
,
2 ,
y x m
y px
= − +
=
2 2(2 2 ) 0x m p x m− + + =
2
1 2 1 22 2 ,x x m p x x m+ = + =
2 2(2 2 ) 4 0m p m∆ = + − >
2
pm > −
2
p m p− + ≠ 3
2
pm ≠ l y
3 3( , ) ( , )2 2 2
p p p− ∪ +∞
( ) ( )1 2 2 1
1 2
1 2 1 2
( ) ( )2 2
( )( )2 2 2 2
PM PN
p py p x y p xy p y pk k p p p px x x x
− − + − −− −+ = + =
− − − −，
所以直线 的倾斜角互补，从而 的平分线始终与 轴平行.
【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价
转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
[选修 4－4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若 ，求 的极坐标方程；
（2）若 与 恰有 4 个公共点，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由参数方程消参后，可得其普通直角坐标方程，结合 可求出其极坐标方程.
（2）由题意首先确定曲线 的形状为原点为圆心，半径为 2 和 4 的两个同心圆，由公共点个数判断出
与圆 相交，即可得关于半径的不等式，从而求出半径的取值范围.
( ) ( ) 1
1
1 2 2
2
( ) ( )2 2
( )( )2 2
p px m p x x m p x
p px x
− + − − + − + − −
=
− −
1 2 1 2
21
2 ( )( ) ( )2
( )( )2 2
px x m x x p m p
p px x
− + − + − −
=
− −
2
1 2
2 ( )(2 2 ) ( )2
( )( )2 2
pm m m p p m p
p px x
− + − + − −
=
− −
2 2 2 2
1 2
2 2 0
( )( )2 2
m m pm p pm p
p px x
− + + − − += =
− −
,PM PN MPN∠ y
xOy C
4 cos
4 sin
x r
y r
θ
θ
= +
= + 0r > θ
x M 2 8 6ρ ρ+ =
4 2r = C
C M r
8cos 8sinρ θ θ= + 4 2 2 4 2 2r− < < +
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
M C
2 2 4x y+ =【详解】解：（1）由 （ 为参数），得 ，
即 ，得 ，即 ，
所以 的极坐标方程为 .
（2）由题意可知 ，则曲线 表示圆心为 ，半径为 的圆，
由 ，得 或 ，则 由两个同心圆组成，原点为圆心，半径为 2 和 4；
因为 与 恰有 4 个公共点，所以圆 与圆 相交，
所以 ，解得 .
【点睛】本题考查了参数方程和普通直角坐标方程的转化，考查了极坐标方程和普通直角坐标方程的互化，
考查了两圆的位置关系.本题的关键是由交点个数判断出两圆的位置关系.
[选修 4－5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）证明： .
【答案】（1） .（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过讨论 ， ，去掉绝对值号，结合一元二次不等式的求解方法，可求出不等式的解集.
（2）由绝对值三角不等式可知 ，从而可证 ，通过放缩可知
， ，可证明 ，从而证出
.
【详解】（1）解：当 时， ，即 ，则 ，即 ；
当 时， ，即 ，解得 .
综上，不等式 的解集为 .
（2）证明：因为 ，所以 .
4 4 2 cos
4 4 2 sin
x
y
θ
θ
= +
= +
θ 2 2( 4) ( 4) 32x y− + − =
2 2 8 8 0x y x y+ − − = 2 8 cos 8 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = 8cos 8sinρ θ θ= +
C 8cos 8sinρ θ θ= +
2 2 2( 4) ( 4)x y r− + − = C ( )4,4 r
2 8 6ρ ρ+ = 2ρ = 4ρ = M
C M C 2 2 4x y+ =
2 22 4 4 2r r− < + < + 4 2 2 4 2 2r− < < +
( ) 4 2f x x= − −
( )f x x>
( ) 22 8 17 2sinx f x x x x− − ≤ < − + −
[ ) ( )0,1 9,+∞
4x ≥ 0 4x≤ <
2 4 2x x− + − ≥ ( )2x f x− − ≤
2 28 17 ( 4) 4x x x x− + > − = − 2sin 2x ≤ ( ) 2 8 17 2sinf x x x x< − + −
( ) 22 8 17 2sinx f x x x x− − ≤ < − + −
4x ≥ ( ) 6f x x x= − > ( )( )3 2 0x x− + > 3 0x − > 9x >
0 4x≤ < ( ) 2f x x x= − > ( )( )1 2 0x x− + < 0 1x≤ <
( )f x x> [ ) ( )0,1 9,+∞
( )2 4 2 4 2x x x x− + − ≥ − − − = ( )2x f x− − ≤因为 ， ，即 ，
所以 ，即 ，
综上， .
【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解，考查了不等式的证明.本题的难点是在证明第二问时，
的证明.求含绝对值的不等式时，常用的方法有分类讨论法、几何意义法、
函数图象法.
2 2 28 17 ( 4) 1 ( 4) 4x x x x x− + = − + > − = − 2sin 2x ≤ 2sin 2x− ≥ −
2 8 17 2sin 4 2x x x x− + − > − − ( ) 2 8 17 2sinf x x x x< − + −
( ) 22 8 17 2sinx f x x x x− − ≤ < − + −
( ) 2 8 17 2sinf x x x x< − + −
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