2020年北京市东城区高考数学一模试卷（含答案）

2020 年高考数学一模试卷 一、选择题 1.已知集合 ， ，那么 （ ） A. B. C. D. 2.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 3.已知 ，则 （ ） A.1 B.0 C. D. 4.若双曲线 C： （ ）的一条渐近线与直线 平行，则 b 的值为（ ） A.1 B. C. D.2 5.如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 { }1 0A x x= − > { }1,0,1,2B = − A B = { }1,0− { }0,1 { }1,0,1,2− { }2 ( ) 2 2 1 xf x x −= + ( ]1,2− [ )2,+∞ ( ) [ ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) [ ), 1 2,−∞ − +∞ ( )2 11 i a Rai = − ∈+ a = 1− 2− 2 2 2 1yx b − = 0b > 2 1y x= + 2 3 6.已知 ，那么在下列不等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，动点 M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每 12 分钟转动一周.若点 M 的 初始位置坐标为 ，则运动到 3 分钟时，动点 M 所处位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 8.已知三角形 ，那么“ ”是“三角形 为锐角三角形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.设 O 为坐标原点，点 ，动点 P 在抛物线 上，且位于第一象限，M 是线段 的中点，则 直线 的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者， 后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以 表 示，被捕食者的数量以 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增 加的方向.下列说法正确的是：（ ） 1x < − 2 1 0x − > 1 2x x + < − sin 0x x− > cos 0x x+ > 1 3,2 2       3 1,2 2       1 3,2 2  −    3 1,2 2  −    3 1,2 2  − −    ABC AB AC AB AC+ > −    ABC ( )1,0A 2 2y x= PA OM ( ]0,1 20, 2       20, 2      2 ,2  +∞   ( )x t ( )y t A.若在 ， 时刻满足： ，则 B.如果 数量是先上升后下降的，那么 的数量一定也是先上升后下降 C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.已知向量 ， ， ，若 与 共线，则实数 ______. 12.在 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 13.圆心在 x 轴上，且与直线 ： 和 ： 都相切的圆的方程为______. 14. 是等边三角形，点 D 在边 的延长线上，且 ， ，则 ______， ______. 15.设函数 给出下列四个结论： ①对 ， ，使得 无解； ②对 ， ，使得 有两解； ③当 时， ，使得 有解； ④当 时， ，使得 有三解. 其中，所有正确结论的序号是______. 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 面 ， 底 面 为 平 行 四 边 形 ， ， ， . 1t 2t ( ) ( )1 2y t y t= ( ) ( )1 2x t x t= ( )y t ( )x t ( ),1a m= ( )1, 2b = − ( )2,3c = a b−  c m = 62x x  +   1l y x= 2l 2y x= − ABC△ AC 3AD CD= 2 7BD = CD = sin ABD∠ = ( ) ( )1 , 0, 2 2 0, .x a a x a x xf x x− −  + t R∃ ∈ ( )f x t= 0t∀ > a R∃ ∈ ( )f x t= 0a < 0t∀ > ( )f x t= 2a > t R∃ ∈ ( )f x t= P ABCD− PD ⊥ ABCD ABCD AB AC⊥ 1AB AC= = 1PD = （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小. 17.已知函数 （ ），且满足_______. （Ⅰ）求函数 的解析式及最小正周期； （Ⅱ）若关于 x 的方程 在区间 上有两个不同解，求实数 m 的取值范围. 从① 的最大值为 1，② 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，③ 的图象过 点 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完成. 下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的 50 个点位的横、纵坐标误差的值， 其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米） （Ⅰ）从北斗二代定位的 50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 10 米的概率； （Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记 X 为其中纵坐标误差的值小于 的点位的个数， 求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明 AD∥ PBC D PC B− − ( ) 2sin 2 2cos6 6f x a x x π π   = − − +       0a > ( )f x ( ) 1f x = [ ]0,m ( )f x ( )f x 3y = − π ( )f x ,06 π     4− 19.已知椭圆 E： （ ），它的上，下顶点分别为 A，B，左，右焦点分别为 ， ， 若四边形 为正方形，且面积为 2. （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线 ， ，它们与椭圆 E 分别交于点 C，D，M，N，且四边形 是菱形，求出该菱形周长的最大值. 20.已知函数 （ ）. （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）若 有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）若 ，求 在区间 上的最小值. 21.数列 A： ， ， ，…， ，…，对于给定的 t（ ， ），记满足不等式： （ ， ）的 构成的集合为 . （Ⅰ）若数列 A： ，写出集合 ； 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 1 2AF BF 1l 2l CDMN ( ) ( )lnf x x x ax= − a R∈ 1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x 1a > ( )f x ( ]0,2a 1x 2x 3x nx 1t > t +∈N ( )* n tx tx t n− ≥ − n +∀ ∈N n t≠ *t ( )T t 2 nx n= ( )2T （Ⅱ）如果 （ ， ）均为相同的单元素集合，求证：数列 ， ，…， ，…为等差数列； （Ⅲ）如果 （ ， ）为单元素集合，那么数列 ， ，…， ，…还是等差数列吗？如果 是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例. 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 ， ，那么 （ ） A. B. C. D. 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可. 解：∵ ， ， ∴ . 故选：D. 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题. 2.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【分析】根据二次根式被开方数大于或等于 0，列不等式求出解集即可. 解：函数 ， 令 ，得 ， ( )T t t +∈N 1t > 1x 2x nx ( )T t t +∈N 1t > 1x 2x nx { }1 0A x x= − > { }1,0,1,2B = − A B = { }1,0− { }0,1 { }1,0,1,2− { }2 { }1A x x= > { }1,0,1,2B = − { }2A B = ( ) 2 2 1 xf x x −= + ( ]1,2− [ )2,+∞ ( ) [ ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) [ ), 1 2,−∞ − +∞ ( ) 2 2 1 xf x x −= + 2 2 01 x x − ≥+ 2 0x − ≥ 解得 ， 所以 的定义域为 . 故选：B. 【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于 0 求函数定义域的问题，是基础题. 3.已知 ，则 （ ） A.1 B.0 C. D. 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解 a 值. 解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 . 故选：A. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题. 4.若双曲线 C： （ ）的一条渐近线与直线 平行，则 b 的值为（ ） A.1 B. C. D.2 【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可. 解：双曲线 C： （ ）的一条渐近线 与直线 平行， 可得 . 故选：D. 2x ≥ ( )f x [ )2,+∞ ( )2 11 i a Rai = − ∈+ a = 1− 2− 2 11 iai = −+ ( )( ) ( )2 1 1 1 1ai i a a i= + − = + + − 1 2 1 0 a a + =  − = 1a = 2 2 2 1yx b − = 0b > 2 1y x= + 2 3 2 2 2 1yx b − = 0b > y bx= 2 1y x= + 2b = 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题. 5.如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可. 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥， ， 根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是 ， ， ∴三棱锥的体积是 故选：A. 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题. 6.已知 ，那么在下列不等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 1D BCD− 4DC = 3BC = 1 2DD = 1 1 4 3 2 43 2 × × × × = 1x < − 2 1 0x − > 1 2x x + < − sin 0x x− > cos 0x x+ > 【分析】根据 ，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论. 解：∵ ，∴ ， ， 又∵ ， ， ∴ ， . 可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题. 7.在平面直角坐标系中，动点 M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每 12 分钟转动一周.若点 M 的 初始位置坐标为 ，则运动到 3 分钟时，动点 M 所处位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出 3 分钟转过的角度，由此计算点 M 所处位置的坐标. 解：每 12 分钟转动一周，则运动到 3 分钟时，转过的角为 ； 点 M 的初始位置坐标为 ，运动到 3 分钟时动点 M 所处位置的坐标是 . 故选：C. 1x < − 1x < − 2 1 0x − > 1 2x x + < − sin x [ ]cos 1,1x∈ − sin 0x x− > cos 0x x+ < 1 3,2 2       3 1,2 2       1 3,2 2  −    3 1,2 2  −    3 1,2 2  − −    3 212 2 ππ× = 1 3,2 2       3 1,2 2M  ′ −    【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题. 8.已知三角形 ，那么“ ”是“三角形 为锐角三角形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】三角形 ，那么“ ” ，可得 A 为锐角.进而判断出结论. 解：三角形 ，那么“ ” ，可得 A 为锐角.此时三角形 不一 定为锐角三角形. 三角形 为锐角三角形 为锐角. ∴三角形 ，那么“ ”是“三角形 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题. 9.设 O 为坐标原点，点 ，动点 P 在抛物线 上，且位于第一象限，M 是线段 的中点，则 直线 的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 【分析】设 P 的坐标，看可得 的中点 M 的坐标，进而求出 的斜率，由均值不等式可得其取值范围. 解：设 ， ，所以 的中点 ， 所以 ， ABC AB AC AB AC+ > −    ABC ABC AB AC AB AC+ > −    0AB AC⇒ ⋅ >  ABC AB AC AB AC+ > −    0AB AC⇒ ⋅ >  ABC ABC A⇒ ABC AB AC AB AC+ > −    ABC ( )1,0A 2 2y x= PA OM ( ]0,1 20, 2       20, 2      2 ,2  +∞   PA OM 2 ,2 yP y      0y > PA 2 2 ,4 2 y yM  +    2 2 2 22 22 2 4 OM y yk y y y y = = =+ + + 因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：C. 【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题. 10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者， 后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以 表 示，被捕食者的数量以 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增 加的方向.下列说法正确的是：（ ） A.若在 ， 时刻满足： ，则 B.如果 数量是先上升后下降的，那么 的数量一定也是先上升后下降 C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故 A 不正确； 在曲线上半段中观察到 是先上升后下降，而 是不断变小的，故 B 不正确； 2 2 2y y + ≥ 1 1 20 2 42 2y y < ≤ = + 20, 2OMk  ∈   ( )x t ( )y t 1t 2t ( ) ( )1 2y t y t= ( ) ( )1 2x t x t= ( )y t ( )x t ( )y t ( )x t 捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候， 所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故 C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端， ， ， 此时二者总和 ，由图象可知存在点 ， ， ，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故 D 错误， 故选：C. 【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度. 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.已知向量 ， ， ，若 与 共线，则实数 3. 【分析】先求出 ，再由 与 共线，列方程能求出实数 m. 解：∵向量 ， ， ， ∴ ， ∵ 与 共线， ∴ ，解得实数 . 故答案为：3. 【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题. ( ) ( )25,30x t ∈ ( ) ( )0,50y t ∈ ( ) ( ) ( )25,80x t y t+ ∈ ( ) 10x t = ( ) 100y t = ( ) ( ) 110x t y t+ = ( ),1a m= ( )1, 2b = − ( )2,3c = a b−  c m = ( )1,3a b m− = −  a b−  c ( ),1a m= ( )1, 2b = − ( )2,3c = ( )1,3a b m− = −  a b−  c 1 3 2 3 m − = 3m = 12.在 的展开式中常数项为 160.（用数字作答） 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项. 解：在 的展开式中的通项公式为 ，令 ，求得 ， 可得常数项为 ， 故答案为：160. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 13.圆心在 x 轴上，且与直线 ： 和 ： 都相切的圆的方程为 . 【分析】设所求圆的方程为 ，利用圆与直线 ： 和 ： 都相切，即可得 出结论. 解：设所求圆的方程为 ， 因为圆与直线 ： 和 ： 都相切，则 ， 解得 ， ， 所以圆的方程为 . 故答案为： . 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础. 14. 是 等 边 三 角 形 ， 点 D 在 边 的 延 长 线 上 ， 且 ， ， 则 2 ， . 62x x  +   62x x  +   6 2 1 6 2r r r rT C x − + = ⋅ ⋅ 6 2 0r− = 3r = 3 3 6 2 160C ⋅ = 1l y x= 2l 2y x= − ( )2 2 11 2x y− + = ( )2 2 2x a y r− + = 1l y x= 2l 2y x= − ( )2 2 2x a y r− + = 1l y x= 2l 2y x= − 2 1 1 1 1 a a r −= = + + 1a = 2 2r = ( )2 2 11 2x y− + = ( )2 2 11 2x y− + = ABC△ AC 3AD CD= 2 7BD = CD = sin ABD∠ = 3 21 14 【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出 的值，再利用正弦定理求出 的值. 解：如图所示，等边 中， ，所以 ； 又 ，所以 ， 即 ， 解得 ， 所以 ； 由 ， 即 ， 解得 . 故答案为：2， . 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题. 15.设函数 给出下列四个结论： ①对 ， ，使得 无解； ②对 ， ，使得 有两解； CD sin ABD∠ ABC△ 3AD CD= 2AC CD= 2 7BD = 2 2 2 2 cosBD BC CD BC CD BCD= + − ⋅ ⋅ ∠ ( ) ( )2 2 22 7 2 2 2 cos120CD CD CD CD+ − ⋅ ⋅ ⋅= ° 2CD = 6AD = sin sin AD BD ABD A =∠ ∠ 6 2 7 sin sin 60ABD =∠ ° 3 21sin 14ABD∠ = 3 21 14 ( ) ( )1 , 0, 2 2 0, .x a a x a x xf x x− −  + t R∃ ∈ ( )f x t= 0t∀ > a R∃ ∈ ( )f x t= ③当 时， ，使得 有解； ④当 时， ，使得 有三解. 其中，所有正确结论的序号是③④. 【分析】可取 ，由一次函数的单调性和基本不等式，可得 的值域，即可判断①；取 ，判 断 的单调性，即可判断②；考虑 时，求得 的值域，即可判断③；当 时，结合一次函 数的单调性和基本不等式，以及 的图象，即可判断④. 解：对于①，可取 ，则 ，当 时， ； 当 时， ，当且仅当 时，取得等号， 故 时， 的值域为 R， ， 都有解，故①错误； 对于②可取 时， ，可得 在 R 上单调递增， 对 ， 至多一解，故②错误； 对于③，当 时， 时， 递减，可得 ；又 时， ，即有 ， 可得 ，则 的值域为 ， ， 都有解，故③正确； 对 于 ④ ， 当 时 ， 时 ， 递 增 ， 可 得 ； 当 时 ， ，当且仅当 时，取得等号， 由图象可得，当 时， 有三解，故④正确. 0a < 0t∀ > ( )f x t= 2a > t R∃ ∈ ( )f x t= 3a = ( )f x 0a = ( )f x 0a < ( )f x 2a > ( )f x 3a = ( ) ( ) 3 3 3 1 , 0, 2 2 0.,x x x xf x x− −  + 0x ≥ 0x a− > 2 1x a− > 2 2 2x a a x− −+ > ( )f x ( ),a +∞ 0t∀ > ( )f x t= 2a > 0x < ( ) ( )1f x a x= + ( )f x a< 0x ≥ ( ) 2 2 2x a a xf x − −= + ≥ x a= 2 3t< < ( )f x t= 故答案为：③④. 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数 形结合思想，考查推理能力，属于中档题. 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 面 ， 底 面 为 平 行 四 边 形 ， ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小. 【分析】（Ⅰ）由底面 为平行四边形，得 ，再由直线与平面平行的判定可得 平面 ； （Ⅱ）过 D 作平行于 的直线 ，以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 .分别求出 平面 与平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的余弦值. 【解答】（Ⅰ）证明：∵底面 为平行四边形，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， P ABCD− PD ⊥ ABCD ABCD AB AC⊥ 1AB AC= = 1PD = AD∥ PBC D PC B− − ABCD AD BC∥ AD∥ PBC AC Dx D xyz− PCB PCD D PC B− − ABCD AD BC∥ BC ⊂ PBC AD ⊄ PBC ∴ 平面 ； （Ⅱ）解：过 D 作平行于 的直线 ， ∵ ，∴ ，又 面 ， ∴以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，取 ，得 ； 取平面 的一个法向量 . 则 . 由图可知，二面角 为钝角， ∴二面角 的余弦值为 . 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间 角，是中档题. AD∥ PBC AC Dx AB AC⊥ Dx DC⊥ PD ⊥ ABCD D xyz− ( )0,1,0C ( )0,0,1P ( )1,2,0B ( )1,1,0CB = ( )0, 1,1CP = − PCB ( ), ,n x y z= 0 0 n CB x y n CP y z  ⋅ = + = ⋅ = − + =     1y = ( )1,1,1n = − PCD ( )1,0,0m = cos , 1 3 33 1 n m n m n m⋅ −= = ⋅ = − ×      D PC B− − D PC B− − 3 3 − 17.已知函数 （ ），且满足_______. （Ⅰ）求函数 的解析式及最小正周期； （Ⅱ）若关于 x 的方程 在区间 上有两个不同解，求实数 m 的取值范围. 从① 的最大值为 1，② 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，③ 的图象过 点 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数 ， 若满足①，利用最大值求出 a 的值，写出 的解析式，求出最小正周期； （Ⅱ）令 求得方程的解，根据方程 在区间 上有两个不同解找出这两个解，从而写 出实数 m 的取值范围. 若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得 a 的值，以下解法均相同. 若满足③，利用 的图象过点 ，代入求出 a 的值，以下解法均相同. 解：（Ⅰ）函数 ， 若满足① 的最大值为 1，则 ，解得 ， ( ) 2sin 2 2cos6 6f x a x x π π   = − − +       0a > ( )f x ( ) 1f x = [ ]0,m ( )f x ( )f x 3y = − π ( )f x ,06 π     ( )f x ( )f x ( ) 1f x = ( ) 1f x = [ ]0,m ( )f x ,06 π     ( ) 2sin 2 2cos6 6f x a x x π π   = − − +       sin 2 cos 2 16 3a x x π π   = − − + −       sin 2 sin 2 16 6a x x π π   = − − − + −       ( )1 sin 2 16a x π = + − −   ( )f x 1 2a + = 1a = 所以 ； 的最小正周期为 ； （Ⅱ）令 ，得 ， 解得 ， ； 即 ， ； 若关于 x 的方程 在区间 上有两个不同解，则 或 ； 所以实数 m 的取值范围是 . 若满足② 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ， 且 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ； 以下解法均相同. 若满足③ 的图象过点 ， 则 ，解得 ； 以下解法均相同. 【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题， 是中档题. 18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完成. 下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的 50 个点位的横、纵坐标误差的值， 其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米） ( ) 2sin 2 16f x x π = − −   ( )f x 2 2T π π= = ( ) 1f x = sin 2 16x π − =   2 26 2x k π π π− = + k Z∈ 3x k π π= + k Z∈ ( ) 1f x = [ ]0,m 3x π= 4 3 π 4 7,3 3 π π    ( )f x 3y = − π ( )f x 2 2T π π= = ( )1 1 3a− + − = − 1a = ( )f x ,06 π     ( )1 sin 1 06 6f a π π  = + − =   1a = （Ⅰ）从北斗二代定位的 50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 10 米的概率； （Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记 X 为其中纵坐标误差的值小于 的点位的个数， 求 X 的分布列和数学期望； （ Ⅲ ） 试 比 较 北 斗 二 代 和 北 斗 三 代 定 位 模 块 纵 坐 标 误 差 的 方 差 的 大 小 . （ 结 论 不 要 求 证 明 ） 【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的 50 个点中，横坐标误差的绝对值大于 10 米有 3 个点， 由古典概率的计算公式可得所求值； （Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D 四个点位中纵坐标误差值小于 的有两个点：C，D，则 X 的所有可能 取值为 0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可； （Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小. 解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的 50 个点中，横坐标误差的绝对值大于 10 米有 3 个点， 所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于 10 米的概率为 ； （Ⅱ）由图可得，A，B，C，D 四个点位中纵坐标误差值小于 的有两个点：C，D， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2， ， 4− 4− 3 0.0650 = 4− ( ) 0 2 2 4 10 6 CP X C = = = ， ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 所以 X 的期望为 ； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代. 【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形 结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题. 19.已知椭圆 E： （ ），它的上，下顶点分别为 A，B，左，右焦点分别为 ， ， 若四边形 为正方形，且面积为 2. （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线 ， ，它们与椭圆 E 分别交于点 C，D，M，N，且四边形 是菱形，求出该菱形周长的最大值. 【分析】（Ⅰ）由题意可得 ， ，求得 b，再由 a，b，c 的关系可得 a，进而得到所求椭圆方程； （Ⅱ）设 的方程为 ， ， ，设 的方程为 ， ， ，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得 ， ， 运用菱形和椭圆的对称性可得 ， 关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为 0，可得 ，设菱形 的周长为 l，运用基本不等式，计算可得所求最大值. ( ) 1 1 2 2 2 4 21 3 C CP X C = = = ( ) 2 2 2 4 12 6 CP X C = = = 1 6 2 3 1 6 ( ) 1 2 10 1 2 16 3 6E X = × + × + × = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 1 2AF BF 1l 2l CDMN b c= 2bc = 1l 1y kx m= + ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 2l 2y kx m= + ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y CD MN 1l 2l 2 2 13 2 2 0m k− − = CDMN 解：（Ⅰ）因为四边形 为正方形，且面积为 2， 所以 ，且 ，解得 ， ， 所以椭圆的标准方程： ； （Ⅱ）设 的方程为 ， ， ， 设 的方程为 ， ， ， 联立 可得 ， 由 可得 ，化简可得 ，① ， ， ， 同理可得 ， 因为四边形 为菱形，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 所以 ， 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， 所以 C，M 关于原点对称，D，N 也关于原点对称，所以 且 ， ， ，因为四边形 为菱形，可得 ， 1 2AF BF b c= 1 2 2 22 c b⋅ ⋅ = 1b c= = 2 2a = 2 2 12 x y+ = 1l 1y kx m= + ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 2l 2y kx m= + ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y 1 2 22 2 y kx m x y = +  + = ( )2 2 2 1 11 2 4 2 2 0k x km x m+ + + − = 0∆ > ( )( )2 2 2 2 1 116 4 1 2 2 2 0k m k m− + − > 2 2 12 1 0k m+ − > 1 1 2 2 4 1 2 kmx x k −=+ + 2 1 1 2 2 2 2 1 2 mx x k − += ( )22 2 1 2 1 2 1 21 1 4CD k x x k x x x x= + ⋅ − = + ⋅ + − 2 2 22 12 21 1 2 2 2 2 2 1 24 2 21 4 11 2 1 2 1 2 k mkm mk kk k k ⋅ + −− − = + ⋅ − ⋅ = + ⋅ + + +  2 2 22 2 2 2 1 21 1 2 k mMN k k ⋅ + −= + ⋅ + CDMN CD MN= 2 2 1 2m m= 1 2m m≠ 1 2m m= − 1l 2l 3 1 3 1 x x y y = −  = − 4 2 4 2 x x y y = −  = − ( )1 12 ,2MC x y= ( )2 22 ,2ND x y= CDMN 0MC ND⋅ =  即 ，即 ，即 ， 可得 ， 化简可得 ， 设菱形 的周长为 l， 则 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立，此时 ，满足①， 所以菱形 的周长的最大值为 . 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用 韦达定理和判别式大于 0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题. 20.已知函数 （ ）. （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）若 有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）若 ，求 在区间 上的最小值. 【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程； （Ⅱ）先把 有两个极值点转化为方程 有两个不等的正根，再利用数形结合求出 a 的取值 1 2 1 2 0x x y y+ = ( )( )1 2 1 1 2 1 0x x kx m kx m+ + + = ( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 11 0k x x km x x m+ + + + = ( ) 2 21 1 1 12 2 2 2 2 4 01 2 1 21 m kmkm mk kk − + = − − ++ ++ =⋅ 2 2 13 2 2 0m k− − = CDMN 2 22 2 2 1 2 2 38 2 2 1 48 2 1 2 2 1 34 1 2 1 2 k kk k ml CD k k ⋅ + ⋅ ++ ⋅ + −= = =+ + ( )2 2 2 1 2 2 1 48 3 2 4 33 1 2 k k k + + + ≤ ⋅ =+ 2 22 2 1 4k k+ = + 2 1 2k = 2 1 1m = CDMN 4 3 ( ) ( )lnf x x x ax= − a R∈ 1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x 1a > ( )f x ( ]0,2a ( )f x 1 ln2 xa x += 范围； （Ⅲ）先利用导函数的符号判断 在区间 上的单调性，进而解决其最小值. 解：∵ ，∴ . （ Ⅰ ） 当 时 ， ， ， ∴ 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 即 ； （Ⅱ）∵若 有两个极值点，∴ 有两个不等的正根，即 两个不 等的正根. ， ， ，令 ，当 时 ，此时 单调递增； 当 时 ，此时 单调递减；且 ，故 ，解得： . （Ⅲ）∵ ，∴ ， ，∵ ， ，令 ， 当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单调 递减， 故 ， ∴ 在 上单调递减，故 在 上的最小值为 . 【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题. 21.数列 A： ， ， ，…， ，…，对于给定的 t（ ， ），记满足不等式： ( )f x ( ]0,2a ( ) ( )lnf x x x ax= − ( ) 1 ln 2f x x ax′ = + − 1a = ( )1 1f ′ = − ( )1 1f = − ( )y f x= ( )( )1, 1f ( ) ( )1 1y x− − = − − y x= − ( )f x ( ) 1 ln 2 0f x x ax′ = + − = 1 ln2 xa x += ( ) 1 ln xg x x += 0x > ( ) 2 ln xg x x −′ = ( ) 0 1g x x′ = ⇒ = ( )0,1x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1 1g = 0 2 1a< < 10, 2a  ∈   ( ) ( )lnf x x x ax= − ( ) 1 ln 2f x x ax′ = + − ( ) 1 2f x ax ′′ = − 1a > ( ]0,2x a∈ ( ) 10 2f x x a ′′ = ⇒ = 10, 2x a  ∈   ( ) 0f x′′ > ( )f x′ 1 ,2x a  ∈ +∞   ( ) 0f x′′ < ( )f x′ ( ) ( )max 1 ln 2 02f x f aa  ′ ′= = − t +∈N ( )* n tx tx t n− ≥ − （ ， ）的 构成的集合为 . （Ⅰ）若数列 A： ，写出集合 ； （Ⅱ）如果 （ ， ）均为相同的单元素集合，求证：数列 ， ，…， ，…为等差数列； （Ⅲ）如果 （ ， ）为单元素集合，那么数列 ， ，…， ，…还是等差数列吗？如果 是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例. 【分析】（Ⅰ）推导出 （ ， ），当 时，上式可化为 ， ，当 时，上式可化为 ，由此能求出 为 . （Ⅱ） （ ， ）中均只有同一个元素，不妨设为 a.当 时，有 ， （ ），当 时，有 （ ），由此能证明数列 ， ，…， ，…为等差数 列. （Ⅲ）设 ， ， ， ，由 ，知 ，由 ， 知： ，即 ，从而 ， .设 ， 则 ， ，则 ，推导出 ，由此能证明数列 ， ，…， ，…还是等差数列. 解：（Ⅰ）由于 A： ， 为满足不等式 （ ）的 构成的集合， ∴ （ ， ）， 当 时，上式可化为 ， ∴ ， 当 时，上式可化为 ， ∴ 为 . n +∀ ∈N n t≠ *t ( )T t 2 nx n= ( )2T ( )T t t +∈N 1t > 1x 2x nx ( )T t t +∈N 1t > 1x 2x nx ( )2 *4 2n t n− ≥ − n +∀ ∈N n t≠ 2n > *2n t+ ≥ *5 t≥ 1n = *3 t≤ ( )2T [ ]3,5 ( )T t t +∀ ∈N t l> 1n t= + 1t tx x a+ − ≥ 1t∀ > 1n t= − 1t tx x a−− ≤ 1t∀ > 1x 2x nx ( ) { }T i a= ( ) { }T j b= 1 i j< < a b≠ ( ) { }T i a= ( )j ix x a j i− ≥ − ( ) { }T j b= ( )i jx x b i j− ≥ − ( )j ix x b j i− ≤ − ( ) ( )j ia j i x x b j i− ≤ − ≤ − a b≤ ( ) { }iT i t= 2 3 nt t t≤ ≤ ≤ ≤  1 i j< < i jt t≤ 2 3 4 5t t t t= = = = 1x 2x nx 2 nx n= ( )2T ( )* n tx tx t n− ≥ − n +∀ ∈N *t ( )2 *4 2n t n− ≥ − n +∀ ∈N n t≠ 2n > *2n t+ ≥ *5 t≥ 1n = *3 t≤ ( )2T [ ]3,5 （Ⅱ）证明：对于数列 A： ， ， ，…， ，…， 若 （ ， ）中均只有同一个元素，不妨设为 a， 下面证明数列 A 为等差数列， 当 时，有 ，（ ），① 当 时，有 （ ），② ∵①②两式对任意大于 1 的整数均成立， ∴ （ ）成立， ∴数列 ， ，…， ，…为等差数列. （Ⅲ）对于数列 A： ， ，…， ，…， 不妨设 ， ， ， ， 由 ，知 ， 由 ，知： ，即 ， ∴ ， ∴ . 设 ，则 ， 这说明 ，则 ， ∵对于数列 A： ， ，…， ，…， （ ， ）中均只有一个元素， 首先考察 时的情况，不妨设 ， 1x 2x 3x nx ( )T t t +∀ ∈N t l> 1n t= + 1t tx x a+ − ≥ 1t∀ > 1n t= − 1t tx x a−− ≤ 1t∀ > 1t tx x a+ − = 1t∀ > 1x 2x nx 1x 2x nx ( ) { }T i a= ( ) { }T j b= 1 i j< < a b≠ ( ) { }T i a= ( )j ix x a j i− ≥ − ( ) { }T j b= ( )i jx x b i j− ≥ − ( )j ix x b j i− ≤ − ( ) ( )j ia j i x x b j i− ≤ − ≤ − a b≤ ( ) { }iT i t= 2 3 nt t t≤ ≤ ≤ ≤  1 i j< < i jt t≤ 1x 2x nx ( )T t t +∀ ∈N 1t > 2t = 2 1x x> ∵ ，又 为单元素集， ∴ ， 再证 ，证明如下： 由 ，证明如下： 由 的定义可知： ， ， ∴ ， 由 的定义可知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 则存在正整数 m（ ），使得 ，③ ∵ ∴ ，这与③矛盾， ∴ ， 同理可证 ， ∴数列 ， ，…， ，…还是等差数列. 【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、 2 1 2x x t− ≤ ( )2T 2 1 2x x t− = 3 3 2t x x= − 3 3 2t x x= − 3t 3 3 2t x x≥ − 3 1 3 2 x xt −≥ 3 1 3 3 2max 2, x xt x x − = −   2t 3 2 2 2 1x x t x x− ≥ = − 3 2 2 1 3 1 3 3 2 2 2 x x x x x xt x x − + − −≥ − ≥ = 3 2 3x x t− = 3 2t t> 3 3 2 2t x x t= − > 4m ≥ ( ) 2 22 mm t x x− − − 2 1 2 3 2 3 4 3 1k kx x t x x t x x x x −− = ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤  ( ) ( )2 1 1 2 3 3 2 m m m i i i i i x x x x t m t− − = = − = − ≥ > −∑ ∑ 3 2t t= 2 3 4 5t t t t= = = = 1x 2x nx 运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题.