江西省红色七校 2020 届高三第二次联考数学（理科）试题
（分宜中学、会昌中学、莲花中学、、永新中学、瑞金一中、遂川中学）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 （ 是虚数单位），则 的模为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，则数列 的公比 （ ）
A. -1 B. 1 C. D. 2
6. 过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于 ， 两点， 是椭圆的一个焦点，则 的周长
的最小值为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
7. 把标号为 1，2，3，4 的四个小球放入标号为 1，2，3，4 的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则 1
号球不放入 1 号盒子的方法共有（ ）
A. 18 种 B. 9 种 C. 6 种 D. 3 种
8. 为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的 1000 人，其服用后开始有
药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设
为解释变量 （分钟），这个区间上的人数为 （人），易见两变量 ， 线性相关，那么一定在其线性回
归直线上的点为（ ）
1z i= − + i z
2
U R= { }1,0,1,2,3A = − { }| 2B x x= ≥ ( )UA C B =
{ }1,0,1− { }1,0,1,2−
{ }| 2x x < { }| 1 2x x− ≤ <
Rα∃ ∈ sin 0α =
Rα∃ ∈ sin 0α ≠ Rα∀ ∈ sin 0α ≠
Rα∀ ∈ sin 0α < Rα∀ ∈ sin 0α >
( ),−∞ +∞
siny x= y x= 3y x= − 2ln( 1 )y x x= + +
{ }na n nS 4 22S S= { }na q =
1±
2 2
125 16
x y+ = P Q F PFQ△
x y x yA. B. C. D.
9. 单位正方体 在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点 ， ，其
中 ， ，设由 ， ， 三点确定的平面截该正方体的截面为 ，那么（ ）
A. 对任意点 ，存在点 使截面 为三角形
B. 对任意点 ，存在点 使截面 为正方形
C. 对任意点 和 ，截面 都为梯形
D. 对任意点 ，存在点 使得截面 为矩形
10. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知 是双曲线 ： 的左焦点，过点 且倾斜角为 的直线与曲线 的两
条渐近线依次交于 ， 两点，若 是线段 的中点，且 是线段 的中点，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
12. 函数 （ ， 是自然对数的底数， ）存在唯一的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
( )1.5,0.10 ( )2.5,0.25 ( )2.5,250 ( )3,300
1 1 1ABCD A B C O− ( ), ,0M a a ( )0, ,1N b
0 1a< ≤ 0 1b≤ ≤ M N O E
M N E
M N E
M N E
N M E
4log 3a = 5log 2b = 8log 5c =
a b c< < b c a< < b a c< < c a b< <
F E ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > F 30° E
A B A FB C AB OC
3− 3 3 3− 3 3
( ) 1 1 sinx xf x e e a xπ− − += − + x R∈ e 0a > a
20,π
20,π
( ]0,2 ( )0,2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 在 中， ，则角 的大小为______.
14. 已 知 函 数 是 定 义 域 为 的 偶 函 数 ， 且 在 上 单 调 递 增 ， 则 不 等 式
的解集为______.
15. 已知各项都为正数的数列 ，其前 项和为 ，若 ，则 ______.
16. ， 为单位圆（圆心为 ）上的点， 到弦 的距离为 ， 是劣弧 （包含端点）上一动
点，若 ，则 的取值范围为______.
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 ， ， 是函数 的零点，且 的
最小值为 .
（1）求 的值；
（2）设 ，若 ， ，求 的值.
18. 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 （单位： ）.
（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 的概率约为多少？
（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 ，检测员根据抽检结果，判
断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
附 ： ， 则 ， ，
.
19. 如图，直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.
ABC△ 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C= + − A
( )y f x= R ( )f x [ )0,+∞
( ) ( )2 1 2f x f x− > −
{ }na n nS ( )24 1n nS a= + na =
A B O O AB 3
2 C AB
( ),OC OA OB Rλ µ λ µ= + ∈ λ µ+
( ) 2 13sin cos cos ( 0)2x xf x xω ω ω ω= − + > 1x 2x ( )f x 2 1x x−
2
π
ω
, 0, 2
πα β ∈
1 3
2 3 5f
πα + =
1 5 5
2 12 13f
πβ − = −
( )cos α β−
( )2500,5N g
485g
485g
( )2,X N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈ ( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈
( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈
1 1 1ABC A B C− AC BC= 1AA AB= D 1BB（1）若 为 上的一点，且 与直线 垂直，求 的值；
（2）在（1）的条件下，设异面直线 与 所成的角为 ，求直线 与平面 成角的正弦值.
20. 已知抛物线 ： ，其焦点到准线的距离为 2，直线 与抛物线 交于 ， 两点，过
， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 交于点 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的最小值.
21. 已知 是函数 的极值点.
（1）求实数 的值；
（2）求证：函数 存在唯一的极小值点 ，且 .
（参考数据： ， ，其中 为自然对数的底数）
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，直线 过原点且倾斜角为 .以坐标原点 为极点， 轴正半轴为
极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 .在平面直角坐标系 中，曲线 与曲线 关于直
线 对称.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 过原点且倾斜角为 ，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，直线 与曲线 相交于 ，
两点，当 变化时，求 面积的最大值.
23.【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当不等式 的解集为 时，求实数 的取值范围.
江西省红色七校 2020 届高三第二次联考数学（理科）参考答案
E 1AB DE CD 1
1
EB
AB
1AB CD 45° DE 1 1AB C
C ( )2 2 0x py p= > l C A B
A B C 1l 2l 1l 2l M
p
1 2l l⊥ MAB△
1x = ( ) 2 ln2
xf x ax x x= + −
a
( )f x 0x ( )0
70 16f x< <
ln 2 0.69≈ 5 416 7e < e
xOy 1l 0 2
πα α ≤
( ) 1f x > R a一、选择题
1-5：CABDC 6-10：DACAB 11-12：DA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）
，
∵ 的最小值为 ，∴ ，即 ，∴ .
（2）由（1）知： ，
∴ ，
，∴ ，
又∵ ，∴ ， ，
∴ .
18.（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖量为 ，由题意可知 .
由于 ，所以根据正态分布的对称性与“ 原则”可知
.
（2）检测员的判断是合理的.
因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于 的概率约为
，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
19. 证明：取 中点 ，连接 ， ，有 ，
因为 ，所以 ，
3
π ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ 2 1n − 2 31, 3
2 1( ) 3sin cos cos 2f x x x xω ω ω= − + 3 1 cos2 1sin 22 2 2
xx
ωω += − +
3 1sin 2 cos2 sin 22 2 6x x x
πω ω ω = − = −
2 1x x−
2
π
2 2
T π= 2
2T
ππ ω= = 1ω =
( ) sin 2 6f x x
π = −
1 2 3sin sin cos2 3 3 6 2 5f
π π π πα α α α + = + − = + = =
1 5 5 5sin sin( ) sin2 12 6 6 13f
π π πβ β β π β − = − − = − = − = −
5sin 13
β =
, 0, 2
πα β ∈
4sin 5
α = 12cos 13
β =
cos( ) cos cos sin sinα β α β α β− = + 3 12 4 5 56
5 13 5 13 65
= × + × =
gX ( )2500,5X N
485 500 3 5= − × 3σ
1( 485) (1 (500 3 5 500 3 5)2P X P X< = − − × ≤ ≤ + × 1 0.0026 0.00132
≈ × =
485g
60.0013 0.0013 0.00000169 1.69 10−× = = ×
AB M CM MD 1/ /MD AB
AC BC= CM AB⊥又因为三棱柱 为直三棱柱，
所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
连接 ，设 ，
因为 为正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 为 的中点，所以 为 的中点，所以 .
（2）如图以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，由（1）可知
所以 ，所以 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
1 1 1ABC A B C−
ABC ⊥ 1 1ABB A
ABC 1 1ABB A AB= CM ⊥ 1 1ABB A
DE ⊂ 1 1ABB A CM DE⊥
DE CD⊥ CD MD D= CD ⊂ CMD CM ⊂ CMD
DE ⊥ CMD
MD ⊂ CMD DE MD⊥
1/ /MD AB 1DE AB⊥
1A B 1 1A B AB O=
1 1ABB A 1 1A B AB⊥
DE ⊂ 1 1AA B B 1A B ⊂ 1 1AA B B 1/ /DE A B
D 1BB E 1OB 1
1
1
4
EB
AB
=
M MA MO MC x y z
2AB = 45CDM∠ = °
1 2 2AB = 2DM CM= =
( )1,0,0A ( )1 1,2,0B − ( )1 0,2, 2C ( )1,1,0D − 1 3, ,02 2E −
( )1 2,2,0AB = − ( )1 1 1,0, 2B C = 1 1, ,02 2DE =
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
则 的一组解为 .
所以 ，
所以直线 与平面 成角的正弦值为 .
20.（1）由题意知，抛物线焦点为 ，准线方程为 ，
焦点到准线的距离为 2，即 .
（2）抛物线的方程为 ，即 ，所以 ，
设 ， ，
： ， ： ，
由于 ，所以 ，即 ，
设直线 方程为 ，与抛物线方程联立，
得 ，所以 ，
， ， ，所以 ，
即 ： ，
1 1AB C ( ), ,n x y z= 1
1 1
0
0
AB n
B C n
⋅ = ⋅ =
2 2 0
2 0
x y
x z
− + = + =
n ( )2, 2, 1n = −
2 2 5
52 5
c
2
os , DE nDE n
DE n
=⋅
×
= =
DE 1 1AB C 2 5
5
0, 2
p
2
py = −
2p =
2 4x y= 21
4y x= 1' 2y x=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1l ( )2
1 1
14 2
x xy x x− = − 2l ( )2
2 2
24 2
x xy x x− = −
1 2l l⊥ 1 2 12 2
x x⋅ = − 1 2 4x x = −
l y kx m= +
2 4
y kx m
x y
= +
=
2 4 4 0x kx m− − =
216 16 0k m∆ = + > 1 2 4x x k+ = 1 2 4 4x x m= − = − 1m =
l 1y kx= +联立方程 ，得 ，即 ，
点到直线 的距离 ，
，
所以 ，
当 时， 面积取得最小值 4.
21.（1）因为 ，且 是极值点，
所以 ，所以 .
此时 ，
设 ，则 .
则当 时， ， 为减函数.
又 ， ，
所以在 时， ， 为增函数；
时， ， 为减函数.
所以 为 的极大值点，符合题意.
（2）当 时， ， 为增函数，且 ， ，
所以存在 ， ；
当 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数，
所以函数 存在唯一的极小值点 .
又 ，已知 ，可得 ，
所以 ，所以 且满足 .
2
1 1
2
2 2
2 4
2 4
x xy x
x xy x
= −
= −
2
1
x k
y
=
= −
( )2 , 1M k −
M l
2
2 2
2 12 1 1
1 1
kk kd
k k
+⋅ + += =
+ +
( ) ( ) ( )22 2
1 2 1 21 4 4 1A kB x x x x k = + + − = +
( ) ( )2 3
2 2 2
2
2 11 4 1 4 1 42 1
k
S k k
k
+
= × + × = + ≥
+
0k = MAB△
1'( ) 2 ln2f x ax x= − − 1x =
( ) 1' 1 2 02f a= − = 1
4a =
( ) 1' ln2 2
xf x x= − −
( ) ( )'g x f x= ( ) 1 1 2
2' 2
x
xx xg
−= − =
0 2x< < ( )' 0g x < ( )g x
( )1 0g = ( ) 12 ln 2 02g = − <
0 1x< < ( ) 0g x > ( )f x
1 2x< < ( ) 0g x < ( )f x
1x = ( )f x
2x > ( )' 0g x > ( )g x ( ) 34 2ln 2 02g = − > ( )2 0g <
( )0 2,4x ∈ ( )0 0g x =
02 x x< < ( ) 0g x < ( )f x 0x x> ( ) 0g x > ( )f x
( )f x 0x
7 5 7ln2 4 2g = −
5 416 7e <
47 75 4ln2 2
se < ⇒ ( )' 0h x > ( )h x
3( ) (4) 2ln 2 02h x h≥ = − >
( ) 0f x > ( )0 0f x >
1C 2 2 2 0x y x+ − =
2C ( ),x y y x= ( )0 0,x y
0
0
x y
y x
=
=
2 2
0 0 02 0x y x+ − = 2 2 2 0x y y+ − =
2C 2sinρ θ=
y x= ( )4 R
πθ ρ= ∈
2C ( ),ρ θ ( )4 R
πθ ρ= ∈ ( )0 0,ρ θ
0
0
2 4
ρ ρ
θ θ π
= + =
0 02cosρ θ= 2cos 2sin2
πρ θ θ = − =
2C 2sinρ θ=
1l θ α= 2l 3
πθ α= +设 ， ，
所以 ，解得 ，
，解得 ，
∴
，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ， 取得最大值为 .
23.（1） 时， ，
当 时， ，即 ，∴ ；
当 时， ，即 ，∴ ；
当 时， ，无解，
综上， 的解集为 .
（2） ，
当 ，即 时， 时等号成立；
当 ，即 时， 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
即 ，∴ 或 .
( )1 1,A ρ θ ( )2 2,B ρ θ
2cos
θ α
ρ θ
=
= 1 2cosρ α=
3
2sin
πθ α
ρ θ
= +
=
2 2sin 3
πρ α = +
1 2
1 sin 3 cos sin2 3 3AOBS
π πρ ρ α α = ⋅ = ⋅ + △
1 33 cos sin cos2 2
α α α = ⋅ +
3 1 3 3 3 3sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 3 2
πα α α = + + = + +
0 2
πα≤ < 423 3 3
π π πα≤ + <
2 3 2
π πα + =
12
πα = sin 2 13
πα + = AOBS△
3 3
2 4
+
1a = −
2 , 1
( ) 2, 1 1
2 , 1
x x
f x x
x x
− < −
= − ≤ ≤
>
1x < − 2 2x x− > 0x < 1x < −
1 1x− ≤ ≤ 2 2x> 1x < 1 1x− ≤ <
1x > 2 2x x>
( ) 2f x x> ( ),1−∞
( ) 1 1f x x x a a= + + + ≥ −
1a− ≤ − 1a ≥ 1a x− ≤ ≤ −
1a− > − 1a < 1 x a− ≤ ≤ −
( )f x 1a −
1 1a − > 0a < 2a >
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