高三一模·文科数学·第 1 页 共 3 页
∗
2 2
→ → π → → → →
考号 校 2020 届第一次模拟考试试题
5.已知平面向量 a, b 的夹角为
3
，且| a |= 2,| b |= 1 ，则| a − 2 b |= （ ）
1A.4 B.2 C.1 D.
6
文科数学
姓名
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，
考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔
班级 书写, 字体工整, 字迹清楚；
6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，
逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，
若最终输出的 x = 0 ，则一开始输入的 x 的值为（ ）
3 7 15 31 A. B. C. D.
4 8 16 32
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试
题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
m2 − m1 = 5 lg E1
2 E2
，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek (k = 1,2) 。已知太阳的星等是-26.7，天狼
装 中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {1,2,3,4,5}， B = {0,2,4,6}，则集合 A ∩ B 的子集共有（ ）
A. 2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个
订 2.已知复数 z 满足 ( z + i)(1 − i) = 3 + 3i ，则| z |= （ ）
A.2 B. 3 C.4 D. 2
星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C. lg10.1 D.10−10.1
8.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对
兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依
次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
x2 − 2 x , x ≤ 03.设函数 f ( x) = , 则 f (5) 的值为（ ）
an = an−1 + an−2 (n ≥ 3, n ∈ N ) ,其中 a1 = 1, a2 = 1, 若从该数列的前 100 项中随机的抽取一个数，
线 f ( x − 3), x > 0 则这个数是偶数的概率为（ ）
1 33 1 67
A. − 7 B. −1 C.0 D. 1
2
A. B. C. D.
3 100 2 100
π
4.双曲线 C : x − y
a 2 b2
= 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线的倾
9.已知函数 f ( x) = A sin(x + ) + b( A > 0) 的最大值、最小值分别为 3 和-1，关于函数 f ( x) 有
3
如下四个结论：
斜角为 130ο ,则 C 的离心率为( )
A． 2 sin 40ο B． 2 cos 40ο
（1） A = 2, b = 1 ；
（2）函数 f ( x) 的图像关于直线 x = − 5π 对称；
6
1C．
sin 50ο
D． 1
cos50ο 2π
（3）函数 f ( x) 的图像关于点 ,0 对称；
3 高三一模·文科数学·第 2 页 共 3 页
3
1 1 1 1 1
（4）函数 f ( x) 在区间 π 5π , 内是减函数。
三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17——
6 6
其中，正确的结论个数是（ ）个。
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答。
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
10.设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，∆ABC 为等边三角形且面积为 9
棱锥 D − ABC 体积的最大值为（ ）
3 ,则三
17、（本小题满分 12 分）
已知{an
}是递增的等差数列， a2 = 3 ,且 a1 , a3 − a1 , a8 + a1 成等比数列
(1)求数列{an
}的通项公式；
A.12 3 B.18 3 C. 24 3 D. 54 3
(2)若 bn = ，求数列{bn
}的前 n 项和 S n 。
11.已知 F 为抛物线 y 2 = 4x 的焦点，过 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点（点 A 在第四象限）， an an+1
→ →
若 BF = 2 FA ,则| AB | 的值为（ ）
5 9A. B.
2 2
C. 81 D. 64
4
12.已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ′( x) ， f ( x) > 0 且 f (e) = 1 ，若对任意 18、（本小题满分 12 分） 装
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，
x ∈ (0,+∞) ， xf ′( x) ln x + f ( x) > 0 恒成立，则不等式 1 < ln x 的解集为（ ）
f ( x) PA = PD = 2, PB = PC = 6
A.{x | 0 < x < 1} B.{x | x > 1} C.{x | x > e} D.{x | 0 < x < e}
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y = 2 ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 .
y ≥ 1
14.已知实数 x, y 满足约束条件 x − y −1 ≥ 0 ，则 z = 2 x + y 取最大值时的最优解是 .
x + y − 4 ≤ 0
（1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ； 订
（2）若点 E 为线段 PA 的中点，求点 E 到平面 PBC 的距离。
线
15.在长方体 ABCD − A B C D 中， AB = 2BC = 2 ，直线 DC 与平面 ABCD 所成的角为 45ο ，
则异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值为 .
16.在 ∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知
sin B + sin A⋅ (sinC − cosC) = 0, a = 2, c = 2 ，则 C = . 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页
月销售单价 x（元/件） 4 5 6 7 8 9
月销售量 y （万件） 89 83 82 79 74 67
2 2
19.（本小题满分 12 分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y （单位：万
考号
件）与月销售单价 x （单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 yi 和
21、（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) = ln x + 1 x 2 + ax(a ∈ R) , g ( x) = 3 x 2 − x
2 2
（1）当 a = −4 时，求函数 f ( x) 的单调区间；
月销售单价 xi （ i = 1,2,3,4,5,6 ）数据进行了数据分析，得到一组检测数据如 （2）定义：对于函数 f ( x) ，若存在 x ,使 f ( x ) = x 成立，则称 x 为函数 f ( x) 的不动点。
姓名 表所示：
0 0 0 0
（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工
求得回归直线方程分别为：
如果函数 F ( x) =
f ( x) − g ( x) 存在不动点，求实数 a 的取值范围。
∧ ∧ ∧班级 y = −4x +105， y = 4x + 53 ， y = −3x +104 ，其中有且仅有一位实习员工的
计算结果是正确的。请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是
正确的，并说明理由；
装 （2）若用 y = ax2 + bx + c 模型拟合 y 与 x 之间的关系，可得回归方程为
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所作的第一题计分。
22、（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
x = 2 + 2 cosα
∧
y = −0.375x2 + 0.875x + 90.25 ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C :
y = 2 sinα
x = −1+ t cos β
(α为参数) ，直线
的相关指数 R2 分别为 0.9702 和 0.9524，请用 R2 说明那个回归方程的拟合效果
更 订
l :
y = t sin β (t 为参数) ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
好；
（3）已知该商品的月销售额 z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：
当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 0.01）参考数据
6547 ≈ 80.91
线
20、（本小题满分 12 分）
(1)求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 相交，交点为 A, B ，直线与 x 轴交于 Q 点，求| QA | + | QB | 的取值范围。
23、（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知对任意实数 x ，都有| x + 2 | + | x − 4 | −m ≥ 0 恒成立
已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C : x + y = 1 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为
4 3
M (1, m)(m > 0)
1
(1)求实数 m 的取值范围；
(2)若 m 的最大值为 n ，当正数 a, b 满足 4 + 1 = n 时，求 4a + 7b 的最小值。
(1)证明: k < − ；
2
→ → → →
a + 5b 3a + 2b 6
(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP+ FA+ FB = 0 ，证
→ → →
明: 2 | FP |=| FA | + | FB | 。 高三一模·文科数学·第 4 页 共 3 页
文科数学答案
1--5 BADDB, 6--10 CABCB, 11-12 BC
13. 14. 15. 16.
17.(1)设数列 的公差为 ，由已知得 ，解得 .------------4 分
. ------------6 分
(2) ， ------------8 分
. ------------12 分
18.（1）由题意知 ， .
因为 ， ，所以 ，所以 .
因为 平面 PAD， ，
所以 平面 . ------------4 分
因为 平面 ，所以平面 平面 . ------------6 分
（2）如图，取 AD 中点 F，连接 PF，CF.
因为 ， ，所以 ， .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 ，所以 ,在 中， ， ，所以 .记点 A 到平面 的距离为 d， ，所以 .
又因为点 E 为线段 PA 的中点，所以点 E 到平面 的距离为 . ------------12 分
19.（1）由数据知 相关关系为负相关，乙的结果不正确；
根据样本中心点 = 满足回归直线方程知甲的结果正确； -----------4 分
（2）根据相关指数 0.9702>0.9524，
所以回归方程 的拟合效果更好 -----------6 分
（3） 根据题意 = -----------8 分
0 得 ， -----------9 分
2 2y x= − ( )1,3 10
5 6
π
{ }na ( )0d d > ( ) ( )
1
2
1 1
3
2 7 2
a d
a a d d
+ =
+ =
1 1
2
a
d
=
=
( )1 2 1 2 1na n n∴ = + − = −
1
3
n
n n
b a a +
= ( )( )
3
2 1 2 1n n
= − +
3 1 1
2 2 1 2 1n n
= − − +
3 1 1 1 1 1 31 ...2 3 3 5 2 1 2 1 2 1n
nS n n n
= × − + − + + − = − + +
AB AD⊥ 2AB =
2PA = 6PB = 2 2 2PA AB PB+ = AB PA⊥
PA AD ⊂， PA AD A=
AB ⊥ PAD
AB ⊂ ABCD PAD ⊥ ABCD
2PA PD= = 2AD = PF AD⊥ 1PF =
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD= PF ⊂ PAD PF ⊥ ABCD
2ABCS =△
1 1 22 13 3 3P ABC ABCV S PF− = ⋅ = × × =△ PBC△ 2BC = 6PB PC= = 5PBCS =△ PBC 1 2
3 3P ABC ABCV S d− = ⋅ =△
2 5
5d =
PBC 5
5
yx,
),(
____
yx )79,2
13(
25.90875.0375.0 2 ++−=
∧
xxy
)4
361
8
7
8
3( 2 ++−= xxxz xxx 4
361
8
7
8
3 23 ++−
=++−=′
4
361
4
7
8
9 2 xxz 9
65477 ±=x高三一模·文科数学·第 5 页 共 3 页
由 得 在 递增 ， 递减
所以 时， 最大 -----------11 分
即当月销售单价为 9.77 元时，月销售额预报值最大。 -----------12 分
20.：(1)设 ,则 .
两式相减,并由 得 .
由题设知 ,于是 . ------------2 分
由 M 在椭圆内题得 ,故 . ------------4 分
(2)由题意得 .设 ,则
由(1)及题设得 ------------6 分
又点 P 在 C 上,所以 ,从而, , ------------8 分
于是
同理 所以 . ------------10 分
故 . ------------12 分
21.解:（1）当 时， 定义域为 ------------1 分
当 即 时， 或
当 即 时， .
的单调递增区间是 的单调递减区间是 ------------3分
（2）
存在不动点，
方程 有实数根，即 在（ 上有解. -----------5 分
0>x z )9
65477,0(
+∈x ),9
65477( +∞+∈x
77.99
65477 ≈+=x z
( )1 1 2 2( ), ,A x y B x y，
2 2 2 2
1 1 2 21, 14 3 4 3
x y x y+ = + =
1 2
1 2
y y kx x
− =−
1 2 1 2 04 3
x x y y k
+ ++ ⋅ =
1 2 1 21,2 2
x x y y m
+ += = 3
4k m
= −
134
1 2
+
( ) 0,f' x < 2 4 1 0x x− + < 2 3 2 3x− < < +
( )f x∴ (0,2 3),(2 3, ),− + + ∞ ( )f x (2 3,2 3).− +
( ) ( ) ( )F x f x g x= − = xaxxxxxaxxx ++−=+−++ 222 ln2
3
2
1ln )0( >x
( )F x
∴ ( )F x x=
x
xxa ln2 −= (0, )+ ∞高三一模·文科数学·第 6 页 共 3 页
今 ,
令 ，
所以 在 单调的增且 ，即 有唯一根 -----------7分
所以
— 0 +
单调递减 单调的增
所以 -----------10 分
所以 在（ 上有解的 的取值范围是 -----------12 分
22：(1)曲线 ，即 ，
即 ，即 或 .
由于曲线 过极点，
曲线 C 的极坐标方程为 . ------------2 分
直线 ，即 ，
即 ，即 ，
直线 的极坐标方程为 . ------------5 分
(2)由题意得 将 的参数方程代入到 直角坐标普通方程中的
，由 得 ， ------------7 分
其中 ，所以
得 的取值范围为 ------------10 分
23.：(1)对任意实数 x，都有 恒成立.
因为 ，
x
xxxh ln)(
2 −= )0( >x 2
2 ln1)( x
xxxh
+−=′
xxxm ln1)( 2 +−= )0( >x 012)( >+=′
xxxm
)(xm ),0( +∞ 0)1( =m 0)( =xm 1=x
1,0)( ==′ xxh
x )1,0( 1 ),1( +∞
)(xh′
)(xh 1
1)1()( min == hxh
x
xxa ln2 −= (0, )+ ∞ a 1≥a
( )2 2: 2 4C x y− + = 2 2 4x y x+ =
2 4 cosρ ρ θ= 0ρ = 4cosρ θ=
4cosρ θ=
∴ 4cosρ θ=
( ): 1 sin cosl x yβ β+ = sin cos sin 0x yβ β β− + =
cos sin sin cos sin 0ρ θ β ρ θ β β− + = ( )sin sinρ θ β β=−
∴ l ( )sin sinρ θ β β− =
( )10Q − , l C
05cos62 =+− βtt 0>∆
9
5cos2 >β 05,cos6 >=⋅=+ BABA tttt β
|||||,||| BA tQBtQA == |cos6||||||||||| β=+=+=+ BABA ttttQBQA
|||| QBQA + ( ]6,52
2 4 0x x m+ + − − ≥
( )2 4 2 4 6x x x x+ + − ≥ + − − =高三一模·文科数学·第 7 页 共 3 页
所以 ，即实数 m 的取值范围是 . ------------5 分
(2)由(1)知 ，所以 .
，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为 9. ------------10 分
6m ≤ ( ]6−∞,
6n = 4 1 15 3 2 6
n
a b a b
+ = =+ +
( ) 4 1
57 3 24 7 4 a b aa b bb a ⋅ + + +
+ =
+
( ) 4 15 3 2( ) 5 3 2a b a b a b a b
= + + + ⋅ + + +
( )4 3 2 54 1 5 3 2
a b a b
a b a b
+ += + + ++ +
( )4 3 2 55 2 95 3 2
a b a b
a b a b
+ +≥ + ⋅ ⋅ =+ +
5b a= 3 15
13 13a b= =,
4 7a b+
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