天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第四次模拟数学试题

天一大联考 2019—2020 学年海南省高三年级第四次模拟考试 数 学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 复数 的虚部为（ ） A. -1 B. -2 C. D. 3. “ ， 恒成立”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 ， ， ，则实数 的值为（ ） A. 1 B. C. D. -1 5. 若函数 在 上单调递增，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 某校图书馆最近购买了 6 本不同的数学课外书，其中 2 本适合小学生，2 本适合初中生，2 本适合高中生. 一位老师随机借阅了其中 3 本，则这 3 本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的概率为（ ） A. B. C. D. { }| 1 4A x N x= ∈ − < < { }0,1,4,9B = { }0,1,2 { }1 { }1,2 { }0,1 ( )21 i− i− 2i− [ ]1,1x∀ ∈ − x a< 1a > 0a > 2a > 1a = ( )2,a m= − ( )1,2b = ( ) 112 2a a b⋅ + =   m 1 2 1 2 − 1 3( ) sin cos2 2f x x x= + [ ]2 ,π α α 3π 5 2 π 7 3 π 13 6 π 1 5 2 5 8 15 3 57. 已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线 : 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 的右支上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车 制造业的产能利用率的正常值区间为 ，称为“安全线”.如图是 2017 年第 3 季度到 2019 年第 4 季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ） A. 10 个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有 5 个 B. 10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为 C. 2018 年 4 个季度的汽车产能利用率的平均数为 D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2019 年第 4 季度 10. 对于 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 6 项 B. 展开式中的常数项是-240 C. 展开式中各项系数之和为 1 D. 展开式中的二项式系数之和为 64 11. 已知数列 的首项为 4，且满足 ，则（ ） ( ) 3f x x= 2 3log 4a f  =    4 4log 5b f  =    2 2log 3c f  =    a b c c b a< < a b c< < c a b< < a c b< < C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F M C 1 2MF MF⊥ 2 1 3 3MF MF≥ C 3 3 1+ 5 1+ 79% ~ 83% 78.75% 79.9% 6 2 12x x  −   { }na ( )* 12( 1) 0n nn a na n N++ − = ∈A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前 项和 D. 的前 项和 12. 已知抛物线 ： 的准线经过点 ，过 的焦点 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 16 C. 四边形 的面积的最小值为 64 D. 若直线 的斜率为 2，则 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 曲线 在点 处的切线方程为______. 14. 已知 ， ，则 ______. 15. 海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度 （检尺长）和小头直径（检尺径），再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如 下所示： 检尺长（ ） 2.0 2.2 2.4 2.5 2.6 检尺径 （ ） 材积（ ） 8 0.0130 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 10 0.0190 0.0220 0.0240 0.0250 0.0260 12 0.0270 0.0300 0.0330 0.0350 0.0370 14 0.0360 0.0400 0.0450 0.0470 0.0490 16 0.0470 0.0520 0.0580 0.0600 0.0630 18 0.0590 0.0650 0.0720 0.0760 0.0790 20 0.0720 0.0800 0.0880 0.0920 0.0970 22 0.0860 0.0960 0.1060 0.1110 0.1160 na n     { }na { }na n 1( 1) 2 4n nS n += − ⋅ + 12 n n a +     n 2 2n n nT += C ( )2 2 0y px p= > ( )1,1M − C F 1l 2l 1l C A B 2l C D E 2p = AB DE+ ADBE 1l 90AMB∠ = ° 2 1y x x = + ( )1,2 4 2 π αβ = − 3cos 5 α = sin 2β = m cm 3m24 0.1020 0.1140 0.1250 0.1310 0.1370 若小李购买了两根紫檀原木，一根检尺长为 ，检尺径为 ，另一根检尺长为 ，检尺径为 ，根据上表，可知两根原木的材积之和为______ . 16. 一个封闭的正方体容器的外接球的表面积为 ，则其棱长为______ ；若该容器里面有 的水， 将该容器任意旋转，当容器里水面的高度最大时，水面对应的平面图形的周长为______ .（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已 知 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， . 设 为 线 段 上 一 点 ， ，有下列条件： ① ；② ；③ . 请从以上三个条件中任选两个，求 的大小和 的面积. 18. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，在等比数列 中， ， . （Ⅰ）求 与 的通项公式； （Ⅱ）若 中去掉 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求 的前 20 项和. 19. 近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大 棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰 10 天的销量数据如下（单位： 枝）： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （Ⅰ）求这 10 天红玫瑰销量的平均数 和方差 ； （Ⅱ）若这个大棚红玫瑰的日销量 服从正态分布 ，其中 ， 可分别用（Ⅰ）中的 和 代替，白玫瑰的日销量 服从正态分布 ，又已知红玫瑰的售价为 2 元/枝，白玫瑰的售价为 4 元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过 1280 元的天数更多. 20. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 是棱 的中点， . 2m 10cm 2.5m 20cm 3m 212 mπ m 34m m ABC△ A B C a b c 2a = F AC 2CF BF= 2c = 2 3b = 2 2 23a b ab c+ − = CBF∠ ABF△ { }nb n nS 2 nS n n= + { }na 1 1a b= 4 8a b= { }nb { }na { }nb { }na { }nc { }nc x 2s X ( )2,N µ σ µ 2σ x 2s Y ( )2280,40N P ABCD− ABCD 60BAP BAD∠ = ∠ = ° E BC 2AF FP= （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）设 是线段 的中点，且 平面 ，求二面角 的余弦值. 21. 已知函数 . （Ⅰ）讨论 在 上的单调性； （Ⅱ）当 时，求 在 上的零点个数. 22. 已知点 为坐标原点，椭圆 ： 的右焦点为 ， 为椭圆 上一点，椭 圆 上异于 的两点 ， 满足 ，当 垂直于 轴时， . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）设直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，问： 的值是否为定值？若是，请求出 的值；若不是，请说明理由. 天一大联考 2019—2020 学年海南省高三年级第四次模拟考试 数学·答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1-5：DBACD 6-8：BCB 1.【答案】D 【命题意图】本题考查集合的运算. 【解析】阴影部分表示 .∵ ， ，∴ . 2.【答案】B 【命题意图】本题考查复数的运算和概念. / /PC DEF O AB PO ⊥ ABCD F DE A− − ( ) ( )lnf x x x ax a R= − ∈ ( )f x ( )1,+∞ 1a = ( ) ( ) cosF x f x x= + 3,2 2 π π     O C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1,0F P C C P A B AFO BFO∠ = ∠ PF x 3 2PF = C PA PB x ( ),0M m ( ),0N n mn mn A B { }0,1,2,3A = { }0,1,4,9B = { }0,1A B =【解析】∵ ，∴虚部为-2. 3.【答案】A 【命题意图】本题考查充分条件与必要条件的判断. 【解析】 ， ，∴ .反过来也成立，故充要条件为 . 4.【答案】C 【命题意图】本题考查向量的坐标运算及数量积. 【 解 析 】 因 为 ， 满 足 ， 所 以 ， 所 以 ，所以 . 5.【答案】D 【命题意图】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质. 【解析】由题得 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 的最大值为 . 6.【答案】B 【命题意图】本题考查古典概型的计算. 【解析】根据题意，从 6 本书中借阅 3 本的结果数为 ，这 3 本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生 阅读的结果数为 ，所以所求概率为 . 7.【答案】C 【命题意图】本题考查幂函数和对数函数. 【 解 析 】 因 为 在 上 单 调 递 增 ， 又 ， ， 所 以 ，所以 ，所以 . 8.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质和离心率. 【 解 析 】 设 ， 由 题 可 知 ， ， ， 所 以 ( )21 2i i− = − [ ]1,1x∀ ∈ − 1x ≤ 1a > 1a > a b ( ) 112 2a a b⋅ + =   ( )2 2 112 2 4 2 2 2a a b m m+ ⋅ = + + − =   2 1 04m m+ + = 1 2m = − ( ) sin 3f x x π = +   2 22 3 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + 52 26 6k x k π ππ π− ≤ ≤ + 1k = 7 13 6 6x π π≤ ≤ α 13 6 π 3 6C 1 1 1 2 2 2C C C 1 1 1 2 2 2 3 6 2 5 C C CP C = = ( )f x ( ),−∞ +∞ 1 2 2 4 2 2 4log4 45log log5 log 4 5  = =    4 9 4 9 16 5 < < 1 22 3 3 4 4 5      < < 2 2 4 2 3 4log log log3 4 5 < < c a b< < 1 2MF F θ∠ = ,6 4 π πθ  ∈   1 2cosMF θ= 2 2 sinMF c θ=， 所 以 . 因 为 ，所以 ，所以双曲线 的离心率的最小值为 . 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9. AC 10. CD 11. BD 12. ABD 9.【答案】AC 【命题意图】本题考查统计图与样本的数字特征. 【解析】10 个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为 2018 年第 4 季度到 2019 年第 4 季度，共 5 个季度，A 正确；10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为 ，B 错误；由图 可知，2018 年 4 个季度的汽车产能利用率的平均数为 ，C 正确； 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2018 年第 1 季度，与上一季度相差 ，而 2019 年第 4 季度与上一季度相差 ，D 错误. 10.【答案】CD 【命题意图】本题考查二项式定理. 【解析】展开式共有 7 项，故 A 错误； 的通项为 ，当 时，展开式中的常数项为 ，故 B 错误；令 ，则展开式中各项系数之和为 1，故 C 正 确；展开式中的二项式系数之和为 ，故 D 正确. 11.【答案】BD 【命题意图】本题考查数列的递推公式及错位相减法求数列的前 项和. 【解析】由 得 ，所以 是以 为首项，2 为公比的等比数 列 ， 故 A 错 误 ； 因 为 ， 所 以 ， 显 然 递 增 ， 故 B 正 确 ； 因 为 ， ， 所 以 ，故 ，故 C 错误；因为 ，所以 的前 项和 ，故 D 正确. 1 2 2 cos 2 sin 2MF MF c c aθ θ− = − = 1 1 cos sin 2 cos 4 ce a πθ θ θ = = =−  +   5 12 4 2 π π πθ≤ + < 3 1e ≥ + C 3 1+ 79.6% 78.5% 79.05%2 + = 80.7% 81.4% 79.6% 77.9% 79.9%4 + + + = 2.9% 2.4% 6 2 12x x  −   6 6 6 3 6 62 1(2 ) ( 1) 2 r r r r r r rC x C xx − − − ⋅ − = −   2r = 2 4 2 6( 1) 2 240C− = 1x = 62 64= n 12( 1) 0n nn a na ++ − = 1 21 n na a n n + = ×+ na n     1 1 41 a a= = 1 14 2 2n nna n − += × = 12n na n += ⋅ 2 3 11 2 2 2 2n nS n += × + × + + ⋅ 3 4 22 1 2 2 2 2n nS n += × + × + + ⋅ 2 3 1 21 2 2 2 2n n nS n+ +− = × + + + − ⋅ ( )2 22 1 2 21 2 n nn + − = − ⋅− 2( 1) 2 4n nS n += − × + 1 1 1 2 2 2 n n n n a n n + + + ⋅= = 12 n n a +     n 2(1 ) 2 2n n n n nT + += =12.【答案】ABD 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系. 【解析】由题可知 ，所以 ，故 A 正确. 设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .设 ， ， ， ， 直 线 ： ， 直 线 ： . 联 立 ， 消 去 整 理 得 ， 所 以 ， . 所 以 . 同 理 ， 从 而 ，当且仅当 时等号成立，故 B 正确. 因为 ，当且仅当 时等号成立， 故 C 错误. ， 将 ， 与 ， 代入上式，得 ，所以 ，故 D 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 14. 15. 0.111 16. 2； 13.【答案】 【命题意图】本题考查导数的几何意义. 【解析】∵ ，∴ ，∴切线方程为 . 14.【答案】 【命题意图】本题考查诱导公式. 【解析】由题意可得 ，∴ . 15.【答案】0.111 12 p = 2p = 1l ( )0k k ≠ 2l 1 k − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,D x y ( )4 4,E x y 1l ( )1y k x= − 2l ( )1 1y xk = − − 2 4 ( 1) y x y k x  =  = − y ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = 21 2 2 2 4 kx kx +=+ 1 2 1x x = 2 1 2 2 2 2 4 42 4A kx x p kB k += + + = + = + 2 2 3 4 2 12 4 2 4 41 kx x p k k DE × + = + + = + = + 2 2 18 4 16A DE kkB  = + + ≥   + 1k = ± ( )2 2 1 2 18 1 1ADBES AB DE kk = ⋅ =  + +  四边形 2 2 132 32kk  ≥ ⋅ =    1k = ± ( ) ( )1 1 2 21, 1 1, 1MA MB x y x y⋅ = + − ⋅ + −  ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1x x x x y y y y= + + + + − + + 1 2 3x x+ = 1 2 1x x = 1 2 2y y+ = 1 2 4y y = − 0MA MB⋅ =  90AMB∠ = ° 1 0x y− + = 3 5 6 2 1 0x y− + = 2 1' 2y x x = − 1'| 1xy = = 1 0x y− + = 3 5 2 2 πβ α= − 3sin 2 sin cos2 5 πβ α α = − = =  【命题意图】本题考查识表能力. 【解析】根据图表，检尺长为 ，检尺径为 的原木的材积为 ，检尺长为 ，检尺径为 的原木的材积为 ，则材积之和为 . 16.【答案】2； 【命题意图】本题考查几何体的外接球、球的表面积及空间几何体的截面等综合内容. 【解析】设该容器的外接球的半径为 .根据题意，可得 ，∴ ，则正方体的对角线长为 ，正方体的棱长为 2.∵水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半.设球 心为 ，则球心 为对角线的中点，且 为水面上一点，设正方体为 ，则 为 的 中点，分别取 ， ， ， 的中点 ， ， 和 .可证 ， ，进而可 证 平面 ，∴平面 即为水面所在的位置，进一步分析可知，水面对应的平面图形为正 六边形，边长为 ，∴周长为 . 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正、余弦定理及三角形的面积. 【解析】（解法一）选①②，则 ， . 由余弦定理可得 . 又 ，∴ ， ∴ . 在 中，由正弦定理可得 ， ∵ ，∴ . 又 ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ . （解法二）选②③，∵ ， ， ，∴ . 2m 10cm 30.019m 2.5m 20cm 30.092m 30.111m 6 2 R 24 12Rπ π= 3R = 2 3 O O O 1 1 1 1ABCD A B C D− O 1BD 1AA 1CC 1 1A B 1 1B C G H E F 1BD EF⊥ 1BD GE⊥ 1BD ⊥ GEFH GEFH 2 6 2 2a c= = 2 3b = 2 2 2 1cos 2 2 a c bABC ac + −∠ = = − ( )0,ABC π∠ ∈ 2 3ABC π∠ = 6A C π= = BCF△ sin sin CF BF CBF C =∠ 2CF BF= 2sin 2CBF∠ = 2 3CBF CBA π∠ < ∠ = 4CBF π∠ = 5 12ABF AFB π∠ = ∠ = 2AF AB= = 1 2 2sin 12 6ABFS π= × × =△ 2a = 2 3b = 2 2 23a b ab c+ − = 2c =由余弦定理可得 ， 又 ，∴ . ∴ ，∴ . 在 中，由正弦定理可得 ， ∵ ，∴ . 又 ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ . （解法三）选①③，由余弦定理可得 ， 又 ，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ . 在 中，由正弦定理可得 ， ∵ ，∴ . 又 ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ . 18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前 项和. 【解析】（Ⅰ）∵ ， ∴当 且 时 . 又 也符合上式，∴ . 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab + −= = ( )0,C π∈ 6C π= 6A C π= = 2 3ABC A C ππ∠ = − − = BCF△ sin sin CF BF CBF C =∠ 2CF BF= 2sin 2CBF∠ = 2 3CBF CBA π∠ < ∠ = 4CBF π∠ = 5 12ABF AFB π∠ = ∠ = 2AF AB= = 1 2 2sin 12 6ABFS π= × × =△ 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab + −= = ( )0,C π∈ 6C π= a c= 6A C π= = 2 3ABC A C ππ∠ = − − = BCF△ sin sin CF BF CBF C =∠ 2CF BF= 2sin 2CBF∠ = 2 3CBF CBA π∠ < ∠ = 4CBF π∠ = 5 12ABF AFB π∠ = ∠ = 2AF AB= = 1 2 2sin 12 6ABFS π= × × =△ n 2 nS n n= + 2n ≥ *n N∈ 1 2n n nb S S n−= − = 1 1 2b S= = 2nb n=∵ ， ， ∴等比数列 的公比为 2， ∴ . （Ⅱ）∵ ， ， ， ， ， ， ∴ . 19.【命题意图】本题考查样本的数字特征和正态分布. 【解析】（Ⅰ）由条件可知， ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 . 若红玫瑰的日销售额超过 1280 元，则需 . 若白玫瑰的日销售额超过 1280 元，则需 . 根据正态分布的特征可知 ， 即白玫瑰的日销售额超过 1280 元的概率更大，故预计今年白玫瑰的日销售额超过 1280 元的天数更多. 20.【命题意图】本题考查线面位置关系及二面角的计算. 【解析】（Ⅰ）如图，连接 ，交 于点 ，连接 . 易知 ，所以 . 由 可得 ， 所以 . 1 1 2a b= = 4 8 16a b= = { }na 2n na = 1 2a = 2 4a = 3 8a = 4 16a = 5 32a = 25 50b = ( ) ( )1 2 20 1 2 25 1 2 5c c c b b b a a a+ + + = + + + − + + +   ( )1 2 5 25 2 2 2S= − + + + ( )5 2 2 1 2 25 25 1 2 − = + − − 650 62 588= − = 1 (615 575 625 590 600 600 570 615 580 630)10x = + + + + + + + + + 600= ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 15 25 25 10 0 0 30 15 20 3010s = + + + + + + + + + 400= ( )2~ 600,20X N 640 600 2 20X > = + × 320 280 1 40Y > = + × ( 640) ( 320)P X P Y> < > AC DE G FG ~AGD CGE△ △ 2AG AD GC EC = = 2AF FP=  2AF FP = / /PC FG又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （Ⅱ）因为 平面 ，所以 ，又 是线段 的中点，所以 . 因为 ，故 ， 均是等边三角形. 连接 ，易知 ， . 如图，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 不妨设 ，则 ， ， ， ， . 由 ，得 ， 所以 的中点 ，所以 ， . 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 . 得方程组的一组解为 ，即 . 又平面 的一个法向量为 ， 所以 . 因为二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 . FG ⊂ DEF PC ⊄ DEF / /PC DEF PO ⊥ ABCD PO AB⊥ O AB PA PB= 60BAP BAD∠ = ∠ = ° ABP△ ABD△ OD PO OD⊥ OD AB⊥ O OA OD OP x y z 2AB = ( )1,0,0A ( )0, 3,0D ( )0,0, 3P ( )1,0,0B − 1 2 3,0,3 3F       AD BC=  ( )2, 3,0C − BC 3 3, ,02 2E  −    3 3, ,02 2DE  = − −     1 2 3, 3,3 3DF  = −     DFE ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 0 0 DF n DE n  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 1 1 2 33 03 3 3 3 02 2 x y z x y  − + = − − = 1 1 1 1 3 5 3 3 x y z   = −  =   = 1 5 31, 3, 3n  = −     AED ( )2 0,0,1n = 1 2 1 2 1 2 5 3 5 373 37251 3 3 cos , n nn n n n ⋅= ⋅ = = + +      F DE A− − F DE A− − 5 37 3721.【命题意图】本题考查导数的应用. 【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 . 因为 ，所以 . ①当 ，即 时， ， 所以 在 上单调递增. ②当 ，即 时，令 ，得 . 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （Ⅱ）当 时， ，则 . 设 ，则 . 当 时， ，所以 在 上单调递增. 因为 ， ，所以存在 ，使得 ， 且在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增. 所以 为 在 上的最小值. 又因为 ， ， 所以 在 上有 1 个零点. 22.【命题意图】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系. ( ) lnf x x x ax= − ( )' ln 1f x x a= + − ( )1,x∈ +∞ ln 0x > 1 0a− ≥ 1a ≤ ( )' 0f x > ( )f x ( )1,+∞ 1 0a− < 1a > ( )' ln 1 0f x x a= + − = 1ax e −= ( )11, ax e −∈ 0 ln 1x a< < − ( )' 0f x < ( )1,ax e −∈ +∞ ln 1x a> − ( )' 0f x > ( )f x ( )11, ae − ( )1,ae − +∞ 1a ≤ ( )f x ( )1,+∞ 1a > ( )f x ( )11, ae − ( )1,ae − +∞ 1a = ( ) ln cosF x x x x x= − + ( )' ln sinF x x x= − ( ) ln sinh x x x= − ( ) 1' cosh x xx = − 3,2 2x π π ∈   ( ) 1' cos 0h x xx = − > ( )'F x 3,2 2 π π     3 3' 1 ln 02 2F π π  = + >   ' ln 1 02 2F π π  = −