河北省石家庄市2020届高三数学（理）5月模拟试卷（Word版附解析）

2020 年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份） 一、选择题（共 12 小题） 1．已知集合 A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则集合 A∩B＝（  ） A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|2＜x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|x＞2} 2．命题 P：“∀x∈（﹣∞，0），2x≥3x”的否定形式￢p 为（  ） A．∃풙ퟎ ∈ ( ― ∞，ퟎ)，ퟐ풙ퟎ＜ퟑ풙ퟎ B．∃풙ퟎ ∈ ( ― ∞，ퟎ)，ퟐ풙ퟎ ≤ ퟑ풙ퟎ C．∀x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（﹣∞，0），2x≤3x 3．已知 i 是虚数单位，且 z = 1 ― 푖 푖 ，则 z 的共轭复数풛在复平面内对应的点在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知 a＝0.30.2，b＝50.3，c＝log0.25，则 a，b，c 的大小关系为（  ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 5．要得到函数 y＝sin（2x ― 휋 3）的图象，只需要将函数 y＝sin2x 的图象（  ） A．向左平移휋 3个单位 B．向左平移휋 6个单位 C．向右平移휋 3个单位 D．向右平移휋 6个单位 6．已知实数 x，y 满足不等式{풙 ― 풚 + ퟐ ≥ ퟎ ퟐ풙 + 풚 ― ퟓ ≤ ퟎ 풚 ≥ ퟏ ，则 z = 푦 푥 + 3的最大值为（  ） A．3 5 B．4 5 C．3 4 D．3 2 7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）（sinA﹣sinB）＝c （sinC+sinB），b+c＝4，则△ABC 的面积的最大值为（  ） A．1 2 B． 3 2 C．1 D． ퟑ 8．若双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线 x2+y2﹣4x+2＝0 所截得的 弦长为 2．则双曲线 C 的离心率为（  ） A． ퟑ B．2 3 3 C． ퟓ D．2 5 5 9．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2BC＝2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 则 → 푨푴 ⋅ → 푩푫的最大值是（  ） A．﹣1 B．5 C． ― ퟑ + ퟓ D．ퟑ + ퟓ 10．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1+an＝3n+1，则数列{ 1 푎2푛―1푎2푛+1 }(풏 ∈ 푵∗)的前 30 项的和 为（  ） A．29 90 B．29 88 C．10 93 D．30 91 11．已知函数 f（x）对于任意 x∈R，均满足 f（x）＝f（2﹣x），当 x≤1 时，풇(풙) = {풍풏풙，ퟎ＜풙 ≤ ퟏ 풆풙，풙 ≤ ퟎ ，（其中 e 为自然对数的底数），若函数 g（x）＝m|x|﹣2﹣f（x），下 列有关函数 g（x）的零点个数问题中正确的为（  ） A．若 g（x）恰有两个零点，则 m＜0 B．若 g（x）恰有三个零点，则3 2＜풎＜풆 C．若 g（x）恰有四个零点，则 0＜m＜1 D．不存在 m，使得 g（x）恰有四个零点 12．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物 线 C 上的三个动点，其中 x1＜x2＜x3 且 y2＜0，若 F 为△P1P2P3 的重心，记△P1P3P3 三 边 P1P2，P1P3，P2P3 的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1，d2，d3，且满足 d1+d3＝ 2d2，则 P1P3 所在直线的斜率为（  ） A．1 B．3 2 C．2 D．3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．在平面直角坐标系中，角 α 的终边经过点 P（﹣1，2），则 sinα＝   ． 14．二项式展开式（ 풙 + 1 푥）6 中的常数项是   ． 15．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AB＝2AP＝4，∠PAB＝∠PAD ＝60°，则∠PAC＝   ；四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的表面积为   ． 16．2019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派 医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”．武汉市 从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无 法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化 管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切 接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性， 则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被确诊的概率均为 p（0＜p＜1）且相互 独立，若当 p＝p0 时，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最 大值，则 p0＝   ． 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+a6＝9，S6＝21． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 푎푛 푏푛 = ( 1 2)풏，求数列{bn}的前 n 项和． 18．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E 分别是 AC，AB 边上的中点， 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C＝A1D，如图 2． （Ⅰ）求证：平面 A1CD⊥平面 A1BC； （Ⅱ）求直线 A1C 与平面 A1BE 所成角的正弦值． 19．已知点 A（2，0），椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = ퟏ(풂＞풃＞ퟎ)的离心率为 2 2 ，F 和 B 分别是椭圆 C 的左焦点和上顶点，且△ABF 的面积为3 2． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，当 → 푶푷 ⋅ → 푶푸 = 1 3时，求直线 1 的方 程． 20．某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两 个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为 a （mm），b（mm），标准长分别为풂(풎풎)，풃(풎풎)，则“口径误差”为|풂 ― 풂| + |풃 ― 풃|，只要“口径误差”不超过 0.2min 就认为合格，已知这台车床分昼、夜两个独立批次 生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取 40 件作为样本，经检测其中昼 批次的 40 个样本中有 4 个不合格品，夜批次的 40 个样本中有 10 个不合格品． （I）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，求其中恰有 1 件不合格产品的概率； （II）若每批次各生产 1000 件，已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为 2.5 元；若有不合格品进入用户手中，则 工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失 25 元．以上述样本的频率作为 概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？ 21．已知函数 f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b（a，b∈R），若 y＝g（x）在 x＝ 1 处的切线为 y＝2x+1+f′（0）． （Ⅰ）求实数 a，b 的值； （Ⅱ）若不等式 f（x）≥kg（x）﹣2k+2 对任意 x∈R 恒成立，求 k 的取值范围； （Ⅲ）设휽ퟏ，휽ퟐ，⋯，휽풏 ∈ (ퟎ， 휋 2)，其中 n≥2，n∈N*，证明：f（sinθ1）•f（cosθn）+f （sinθ2）•f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）•f（cosθ2）+f（sinθn）•f（cosθ1）＞6n． （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进 行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修 4--4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的参数方程为{풙 = 3 3 + 3 2 풕， 풚 = ― 2 3 + 1 2풕 （t 为参数），曲线 C2 的参数方程为{풙 = 1 푐표푠휑， 풚 = ퟐ풕풂풏흋 （φ 为参 数），曲线 C1，C2 交于 A、B 两点． （Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的普通方程； （Ⅱ）已知 P 点的直角坐标为（ 3 3 ， ― 2 3），求|PA|•|PB|的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小值； （Ⅱ）若 f（x）的最小值为 M，a+2b＝2M（a＞0，b＞0），求证： 1 푎 + 1 + 1 2푏 + 1 ≥ 4 7． 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合 A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则集合 A∩B＝（  ） A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|2＜x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|x＞2} 【分析】求出集合 A，B，由此能求出集合 A∩B． 解：∵集合 A＝{x|﹣1≤x≤3}， B＝{x|y＝log2（x﹣2）}＝{x|x＞2}， ∴集合 A∩B＝{x|2＜x≤3}． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 2．命题 P：“∀x∈（﹣∞，0），2x≥3x”的否定形式￢p 为（  ） A．∃풙ퟎ ∈ ( ― ∞，ퟎ)，ퟐ풙ퟎ＜ퟑ풙ퟎ B．∃풙ퟎ ∈ ( ― ∞，ퟎ)，ퟐ풙ퟎ ≤ ퟑ풙ퟎ C．∀x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（﹣∞，0），2x≤3x 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：：“∀x∈（﹣∞，0），2x≥3x”的 否定形式￢p 为：∃x0∈（﹣∞，0），2풙ퟎ＜3풙ퟎ． 故选：A． 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是对基本知识的考 查． 3．已知 i 是虚数单位，且 z = 1 ― 푖 푖 ，则 z 的共轭复数풛在复平面内对应的点在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先化简 z，然后求出其共轭复数，再确定其共轭复数对应的点所在象限． 解：z = 1 ― 푖 푖 = ― （1﹣i）•i＝﹣1﹣i，∴풛 = ― ퟏ + 풊， ∴z 的共轭复数풛在复平面内对应的点为（﹣1，1），位于第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算和几何意义，属基础题． 4．已知 a＝0.30.2，b＝50.3，c＝log0.25，则 a，b，c 的大小关系为（  ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵0＜0.30.2＜0.30＝1，∴0＜a＜1， ∵50.3＞50＝1，∴b＞1， ∵log0.25＜log0.21＝0，∴c＜0， ∴c＜a＜b， 故选：C． 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用． 5．要得到函数 y＝sin（2x ― 휋 3）的图象，只需要将函数 y＝sin2x 的图象（  ） A．向左平移휋 3个单位 B．向左平移휋 6个单位 C．向右平移휋 3个单位 D．向右平移휋 6个单位 【分析】由条件利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解：将 y＝sin2x 向右平移휋 6个单位得：y＝sin2（x ― 휋 6）＝sin（2x ― 휋 3）， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 6．已知实数 x，y 满足不等式{풙 ― 풚 + ퟐ ≥ ퟎ ퟐ풙 + 풚 ― ퟓ ≤ ퟎ 풚 ≥ ퟏ ，则 z = 푦 푥 + 3的最大值为（  ） A．3 5 B．4 5 C．3 4 D．3 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论． 解：如图，阴影部分为可行域， 目标函数 z = 푦 푥 + 3，表示可行域中点（x，y）与（﹣3，0）连线的斜率， 由图可知点 P（1，3）与（﹣3，0）连线的斜率最大， 故 z 的最大值为3 4， 故选：C． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域以及 转化为斜率是解决本题的关键． 7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）（sinA﹣sinB）＝c （sinC+sinB），b+c＝4，则△ABC 的面积的最大值为（  ） A．1 2 B． 3 2 C．1 D． ퟑ 【分析】由正弦定理化简已知等式 b2+c2﹣a2＝﹣bc，利用余弦定理可求 cosA = ― 1 2，结 合范围 A∈（0，π），可求 A = 2휋 3 ，利用基本不等式，三角形的面积公式即可求解△ABC 的面积的最大值． 解：∵（a+b）（sinA﹣sinB）＝c（sinC+sinB）， ∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c+b），整理可得：b2+c2﹣a2＝﹣bc， ∴cosA = 푏2 + 푐2 ― 푎2 2푏푐 = ―푏푐 2푏푐 = ― 1 2， ∵A∈（0，π）， ∴A = 2휋 3 ， ∵b+c＝4， ∴S△ABC = 1 2bcsinA = 3 4 bc ≤ 3 4 •（푏 + 푐 2 ）2 = ퟑ，当且仅当 b＝c 时等号成立，即△ABC 的面积的最大值为 ퟑ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三 角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 8．若双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线 x2+y2﹣4x+2＝0 所截得的 弦长为 2．则双曲线 C 的离心率为（  ） A． ퟑ B．2 3 3 C． ퟓ D．2 5 5 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心 率即可． 解：双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0， 圆 x2+y2﹣4x+2＝0 即为（x﹣2）2+y2＝2 的圆心（2，0），半径为 ퟐ， 双曲线的一条渐近线被圆 x2+y2﹣4x+2＝0 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为： ( ퟐ)ퟐ ― ퟏퟐ = 1 = 2푏 푎2 + 푏2，4푏2 푐2 = 4푐2 ― 푎2 푐2 = ퟏ， 解得：e = 푐 푎 = 2 3 3 ， 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应 用，考查计算能力． 9．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2BC＝2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 则 → 푨푴 ⋅ → 푩푫的最大值是（  ） A．﹣1 B．5 C． ― ퟑ + ퟓ D．ퟑ + ퟓ 【分析】先根据条件求得 C 到 BD 的距离为 d，再把所求转化为 → 푨푴 ⋅ → 푩푫 = → 푨푪• → 푩푫 + → 푪푴 • → 푩푫，进而求解结论． 解：因为在矩形 ABCD 中，AB＝2BC＝2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 故| → 푨푪|＝| → 푩푫| = ퟓ，设 C 到 BD 的距离为 d，则有 d = 1 × 2 5 = 2 5 5 ， 故 → 푨푴• → 푩푫 = （ → 푨푪 + → 푪푴）• → 푩푫 = → 푨푪• → 푩푫 + → 푪푴• → 푩푫， 其中 → 푨푪 ⋅ → 푩푫 = （ → 푨푩 + → 푩푪）•（ → 푩푪 + → 푪푫）＝﹣3， → 푪푴 ⋅ → 푩푫 ≤ | → 푪푴|•| → 푩푫|＝2， 当且仅当 → 푪푴与 → 푩푫同向时，等号成立， 故选：A． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 10．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1+an＝3n+1，则数列{ 1 푎2푛―1푎2푛+1 }(풏 ∈ 푵∗)的前 30 项的和 为（  ） A．29 90 B．29 88 C．10 93 D．30 91 【分析】已知数列{an}满足：a1＝1，由 an+1+an＝3n+1，得 an+2+an+1＝3n+4，作差得 an+2 ﹣an＝3，故奇数项和偶数项都为以 3 为公差的等差数列，求出 a2k﹣1＝1+（k﹣1）3＝3k ﹣2，利用裂项求和法求出结果即可． 解：已知数列{an}满足：a1＝1， 由 an+1+an＝3n+1，得 an+2+an+1＝3n+4， 作差得 an+2﹣an＝3， 故奇数项和偶数项都为以 3 为公差的等差数列， 由 a1＝1，所以 a2k﹣1＝1+（k﹣1）3＝3k﹣2， 又 1 푎2푛―1 ⋅ 푎2푛+1 = 1 3( 1 푎2푛―1 ― 1 푎2푛+1 )， 所以数列{ 1 푎2푛―1푎2푛+1 }(풏 ∈ 푵∗)的前 30 项的和푺ퟑퟎ = 1 3[( 1 푎1 ― 1 푎3 ) + ( 1 푎3 ― 1 푎5 ) + ⋯ + ( 1 푎59 ― 1 푎61 )] = 1 3(ퟏ ― 1 91) = 30 91， 故选：D． 【点评】本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前 n 项和，考查运算能 力，中档题． 11．已知函数 f（x）对于任意 x∈R，均满足 f（x）＝f（2﹣x），当 x≤1 时，풇(풙) = {풍풏풙，ퟎ＜풙 ≤ ퟏ 풆풙，풙 ≤ ퟎ ，（其中 e 为自然对数的底数），若函数 g（x）＝m|x|﹣2﹣f（x），下 列有关函数 g（x）的零点个数问题中正确的为（  ） A．若 g（x）恰有两个零点，则 m＜0 B．若 g（x）恰有三个零点，则3 2＜풎＜풆 C．若 g（x）恰有四个零点，则 0＜m＜1 D．不存在 m，使得 g（x）恰有四个零点 【分析】由知 f（x）关于 x＝1 对称，再将函数 g（x）的零点个数问题转化为 h（x）＝ m|x|﹣2 与函数 f（x）的图象的焦点个数问题，利用函数 h（x）＝m|x|﹣2 与函数 f（x） 相切时的 m 的值可解决． 解：根据 f（x）＝f（2﹣x）知 f（x）关于 x＝1 对称， 作出函数 h（x）＝m|x|﹣2 与函数 f（x）的图象如图： 设 h（x）与 y＝lnx（x≤1）相切时的切点为 P（x0，lnx0）， 则 1 푥0 = 푙푛푥0 + 2 푥0 ，解得 x0 = 1 푒，此时 m = 1 푥0 = e， 当 h（x）过点（2，1）时，m = 3 2，故 B 选项正确； 若 g（x）恰有 2 个零点，则 m＜0 或 m＝e，故 A 错误； 若 g（x）恰有 4 个零点，则 0＜m ≤ 3 2，故 C、D 选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象 的交点个数，属于中档题． 12．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物 线 C 上的三个动点，其中 x1＜x2＜x3 且 y2＜0，若 F 为△P1P2P3 的重心，记△P1P3P3 三 边 P1P2，P1P3，P2P3 的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1，d2，d3，且满足 d1+d3＝ 2d2，则 P1P3 所在直线的斜率为（  ） A．1 B．3 2 C．2 D．3 【分析】先利用题设条件找到 P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）的坐标之间的 关系式，再利用重心坐标之间的关系，求出 x2 与 y2，从而解决 P1P3 所在直线的斜率． 解：由题设知 F（2，0），∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物线 C 上 的三个动点， ∴{풙ퟏ = 푦1 2 8 풙ퟐ = 푦2 2 8 풙ퟑ = 푦3 2 8 ， 又 F 为△P1P2P3 的重心，∴x1+x2+x3＝6，y1+y2+y3＝0． ∵△P1P3P3 三边 P1P2，P1P3，P2P3 的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1 = 푥1 + 푥2 2 + 1，d2 = 푥1 + 푥3 2 + 1，d3 = 푥2 + 푥3 2 + 1，且满足 d1+d3＝2d2， ∴x1+x3＝2x2．∴x2＝2， 又 y2＜0，∴y2＝﹣4， ∴P1P3 所在直线的斜率 k = 푦3 ― 푦1 푥3 ― 푥1 = 8 푦3 + 푦1 = 8 ― 푦2 = 2． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，还有三角形的重心坐标公式，属于基础 题． 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．在平面直角坐标系中，角 α 的终边经过点 P（﹣1，2），则 sinα＝ 2 5 5  ． 【分析】由题意可得 x＝﹣1，y＝2，求出 r，利用任意角的三角函数的定义，直接求出 sinα． 解：角 α 的终边经过点 P（﹣1，2），即 x＝﹣2，y＝2，则 r = ( ― ퟏ)ퟐ + ퟐퟐ = ퟓ， ∴sinα = 푦 푟 = 2 5 = 2 5 5 ， 故答案为：2 5 5 ． 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键． 14．二项式展开式（ 풙 + 1 푥）6 中的常数项是 15 ． 【分析】求出展开式的通项，令 x 的指数为 0，求出 r 的值，将 r 的值代入通项，求出展 开式的常数项． 解：展开式的通项为：Tr+1＝C6r( 풙)ퟔ―풓•( 1 푥) 풓 = C6r 풙 6―3푟 2 令 6﹣3r＝0 得 r＝2 所以展开式的常数项为 C62＝15． 故答案为：15． 【点评】求展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式来解决． 15．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AB＝2AP＝4，∠PAB＝∠PAD ＝60°，则∠PAC＝ 45° ；四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的表面积为 40π ． 【分析】①过点 P 作 PE⊥AC，作 EF⊥AB，垂足分别为 E，F，连接 PF，可得 PF⊥ AB．在 Rt△AFP 中，AP＝2，∠PAB＝60°，可得 AF＝1＝EF，AE = ퟐ，在 Rt△PAE 中求出即可得出． ②分别以 OA，OB 为 x，y 轴，过点 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标 系．设四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心为 G，半径为 R．可设 G（0，0，t）．根据|GA| ＝|GP，即可解出 t，即可得出四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的表面积． 解：①过点 P 作 PE⊥AC，作 EF⊥AB，垂足分别为 E，F，连接 PF，则 PF⊥AB． 在 Rt△AFP 中，AP＝2，∠PAB＝60°，∴AF＝1＝EF， ∴AE = ퟐ，∴cos∠PAC = 퐴퐸 퐴푃 = 2 2 ，可得∠APC＝45°． ②分别以 OA，OB 为 x，y 轴，过点 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标 系． 设四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心为 G，半径为 R． 可设 G（0，0，t）．A（2 ퟐ，0，0），P（ ퟐ，0， ퟐ）． ∵|GA|＝|GP|，∴ (ퟐ ퟐ)ퟐ + 풕ퟐ = ( ퟐ)ퟐ + ( ퟐ ― 풕)ퟐ， 解得：t = ― ퟐ． ∴R2 = (ퟐ ퟐ)ퟐ +( ― ퟐ)ퟐ = 10． ∴四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的表面积＝4πR2＝40π． 故答案为：45°，40π． 【点评】本题考查了四棱锥、正方体与直角三角形的性质、球的表面积，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题． 16．2019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派 医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”．武汉市 从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无 法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化 管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切 接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性， 则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被确诊的概率均为 p（0＜p＜1）且相互 独立，若当 p＝p0 时，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最 大值，则 p0＝ 5 ― 15 5  ． 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式得 f（p）＝（1﹣p）3p+（1﹣p）4p，f′ （p）＝（1﹣p）（p ― 5 ― 15 5 ）（p ― 5 + 15 5 ），由此能求出结果． 解：根据相互独立事件同时发生的概率公式得： f（p）＝（1﹣p）3p+（1﹣p）4p， ∴f′（p）＝﹣3（1﹣p）2p+（1﹣p）3﹣4（1﹣p）3p+（1﹣p）4＝（1﹣p）2（5p2﹣ 10p+2） ＝（1﹣p）（p ― 5 ― 15 5 ）（p ― 5 + 15 5 ）， ∵0≤p≤1，当 p＝p0 时，f（p）最大， ∴p0 = 5 ― 15 5 ． 故答案为：5 ― 15 5 ． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题． 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+a6＝9，S6＝21． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 푎푛 푏푛 = ( 1 2)풏，求数列{bn}的前 n 项和． 【分析】（I）设公差为 d，由 a3+a6＝9，S6＝21，联立解方程组，求出首项和公差，再 求出数列{an}的通项公式； （II）结合（I），由 푎푛 푏푛 = ( 1 2)풏，得풃풏 = 풏 ⋅ ퟐ풏，再利用错位相消法求出数列{bn}的前 n 项 和． 解：（I）设公差为 d，由 a3+a6＝9，S6＝21， 得{ퟐ풂ퟏ + ퟕ풅 = ퟗ ퟔ풂ퟏ + ퟏퟓ풅 = ퟐퟏ，得 a1＝1，d＝1， 故数列{an}的通项公式为 an＝n； （II）根据（I），由 푎푛 푏푛 = ( 1 2)풏，得풃풏 = 풏 ⋅ ퟐ풏， 数列{bn}的前 n 项和푺풏 = ퟏ ⋅ ퟐퟏ + ퟐ ⋅ ퟐퟐ +⋯ + (풏 ― ퟏ) ⋅ ퟐ풏―ퟏ + 풏 ⋅ ퟐ풏， 两边乘以 2 得，ퟐ푺풏 = ퟏ ⋅ ퟐퟐ + ퟐ ⋅ ퟐퟑ +⋯ + (풏 ― ퟏ) ⋅ ퟐ풏 + 풏 ⋅ ퟐ(풏 + ퟏ)， 作差化简得，푺풏 = (풏 ― ퟏ) ⋅ ퟐ(풏 + ퟏ) + ퟐ， 故数列{bn}的前 n 项和为푺풏 = (풏 ― ퟏ) ⋅ ퟐ(풏 + ퟏ) + ퟐ． 【点评】本题考查了等差数列性质，求通项公式，利用错位相消法求数列的前 n 项和， 考查运算能力，中档题． 18．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E 分别是 AC，AB 边上的中点， 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C＝A1D，如图 2． （Ⅰ）求证：平面 A1CD⊥平面 A1BC； （Ⅱ）求直线 A1C 与平面 A1BE 所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）推导出 DE⊥A1D，DE⊥DC，DE∥BC，从而 BC⊥平面 A1DC，由此能 证明平面 A1CD⊥平面 A1BC． （Ⅱ）取 CD 中点 O，连结 A1O，以 O 为原点，OC 为 x 轴，在平面 BCDE 内过 O 人生 CD 的垂线为 y 轴，OA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 A1C 与平面 A1BE 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）证明：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC＝4， D，E 分别是 AC，AB 边上的中点，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置， ∴DE⊥A1D，DE⊥DC，DE∥BC， ∵A1D∩DC＝D，∴BC⊥平面 A1DC， ∵BC⊂平面 A1BC，∴平面 A1CD⊥平面 A1BC． （Ⅱ）解：∵A1C＝A1D，∴△A1CD 是边长为 2 的等边三角形， 取 CD 中点 O，连结 A1O，以 O 为原点，OC 为 x 轴， 在平面 BCDE 内过 O 人生 CD 的垂线为 y 轴，OA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A1（0，0， ퟑ），C（1，0，0），B（1，4，0），E（﹣1，2，0）， → 푨ퟏ푪 = （1，0， ― ퟑ）， → 푨ퟏ푩 = （1，4， ― ퟑ）， → 푨ퟏ푬 = （﹣1，2， ― ퟑ）， 设平面 A1BE 的法向量 → 풎 = （x，y，z）， 则{ → 풎 ⋅ → 푨ퟏ푩 = 풙 + ퟒ풚 ― ퟑ풛 = ퟎ → 풎 ⋅ → 푨ퟏ푬 = ―풙 + ퟐ풚 ― ퟑ풛 = ퟎ ，取 x＝1，得 → 풎 = （1，﹣1， ― ퟑ）， 设直线 A1C 与平面 A1BE 所成角为 θ， 则直线 A1C 与平面 A1BE 所成角的正弦值为： sinθ = | → 퐴1퐶 ⋅ → 푚| | → 퐴1퐶| ⋅ | → 푚| = 2 5 5 ． 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题． 19．已知点 A（2，0），椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = ퟏ(풂＞풃＞ퟎ)的离心率为 2 2 ，F 和 B 分别是椭圆 C 的左焦点和上顶点，且△ABF 的面积为3 2． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，当 → 푶푷 ⋅ → 푶푸 = 1 3时，求直线 1 的方 程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方 程可得 a，b，进而得到椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 的方程设为 x＝my+2，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式 大于 0，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得 m，进而得到所求直线 方程． 解：（Ⅰ）由题意可得 e = 푐 푎 = 2 2 ，F（﹣c，0），B（0，b），A（2，0），可得 1 2（2+c）b = 3 2，即 b（2+c）＝3，又 a2﹣b2＝c2，解得 a = ퟐ，b＝c＝1， 则椭圆的方程为푥2 2 + y2＝1； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 的方程设为 x＝my+2，联立椭圆方程 x2+2y2＝2， 可得（2+m2）y2+4my+2＝0，△＝16m2﹣4×2（2+m2）＝8m2﹣16＞0，即 m2＞2， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得 y1+y2 = ― 4푚 2 + 푚2，y1y2 = 2 2 + 푚2， 由 → 푶푷 ⋅ → 푶푸 = 1 3，即 x1x2+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（m2+1）y1y2+2m（y1+y2）+4 = 1 3， 即有（m2+1）• 2 2 + 푚2 + 2m（ ― 4푚 2 + 푚2）+4 = 1 3，化为 m2＝4＞2， 则 m＝±2，可得直线 l 的方程为 x﹣2y﹣2＝0 或 x+2y﹣2＝0． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 以及向量数量积的坐标表示，同时考查化简运算能力，属于中档题． 20．某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两 个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为 a （mm），b（mm），标准长分别为풂(풎풎)，풃(풎풎)，则“口径误差”为|풂 ― 풂| + |풃 ― 풃|，只要“口径误差”不超过 0.2min 就认为合格，已知这台车床分昼、夜两个独立批次 生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取 40 件作为样本，经检测其中昼 批次的 40 个样本中有 4 个不合格品，夜批次的 40 个样本中有 10 个不合格品． （I）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，求其中恰有 1 件不合格产品的概率； （II）若每批次各生产 1000 件，已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为 2.5 元；若有不合格品进入用户手中，则 工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失 25 元．以上述样本的频率作为 概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？ 【分析】（I）先求出昼夜两批次产品各自的不合格率，再分 2 种情况，并结合相互独立 事件的概率求解即可； （II）先求出昼夜两批次各 1000 件产品中合格品的利润，再分不检验和检验 2 种情形， 分别求出相应的总利润，比较大小后，即可得解． 解：（I）以样本的频率作为概率，则昼批次产品的不合格率为 4 40 = 1 10，夜批次产品的 不合格率为10 40 = 1 4， 在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，恰有 1 件不合格产品，分 2 种情况： 不合格产品在昼批次中，概率为푷ퟏ = 푪ퟏퟐ ⋅ 1 10 ⋅ 9 10 × 푪ퟐퟐ ⋅ ( 3 4)ퟐ = 81 800， 不合格产品在夜批次中，概率为푷ퟐ = 푪ퟐퟐ ⋅ ( 9 10)ퟐ × 푪ퟏퟐ ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 = 243 800， 故所求的概率为푷 = 푷ퟏ + 푷ퟐ = 81 200． （II）这批产品中合格品的利润为(ퟏퟎퟎퟎ × 9 10 + ퟏퟎퟎퟎ × 3 4) × ퟓ = ퟏퟔퟓퟎퟎ， 若不检验，则总利润为푾ퟏ = ퟏퟔퟓퟎퟎ ― (ퟏퟎퟎퟎ × 1 10 + ퟏퟎퟎퟎ × 1 4) × ퟐퟓ ― ퟏퟎퟎퟎퟎ = ― ퟐퟐퟓퟎ， 若检验，则总利润为 W2＝16500﹣2000×（5+2.5）＝1500， ∴W2＞W1， 故需要对每个批次的所有产品作检测． 【点评】本题考查相互独立事件的概率、数学期望的实际应用，考查学生将理论知识与 实际生活相联系的能力和运算能力，属于基础题． 21．已知函数 f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b（a，b∈一、选择题），若 y＝g （x）在 x＝1 处的切线为 y＝2x+1+f′（0）． （Ⅰ）求实数 a，b 的值； （Ⅱ）若不等式 f（x）≥kg（x）﹣2k+2 对任意 x∈R 恒成立，求 k 的取值范围； （Ⅲ）设휽ퟏ，휽ퟐ，⋯，휽풏 ∈ (ퟎ， 휋 2)，其中 n≥2，n∈N*，证明：f（sinθ1）•f（cosθn）+f （sinθ2）•f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）•f（cosθ2）+f（sinθn）•f（cosθ1）＞6n． 【分析】（Ⅰ）f′（0）＝2﹣b，g′（1）＝2a，再结合题意，建立关于 a，b 的方程组， 解方程即可得解； （Ⅱ）依题意，ex+e﹣x﹣kx2﹣2≥0 恒成立，令 F（x）＝ex+e﹣x﹣kx2﹣2，由于 F（x） 为偶函数，故只需当 x≥0 时，F（x）≥0 恒成立，对函数 F（x）求导后，利用导数分 类讨论即可得出结论； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x1）f（x2） ≥ ퟐ풙ퟏ ퟐ + ퟐ풙ퟐ ퟐ + ퟒ，由此可得풇(풔풊풏휽ퟏ)풇(풄풐풔휽풏)＞ퟐ 풔풊풏ퟐ휽ퟏ + ퟐ풄풐풔ퟐ휽풏 + ퟒ， 풇(풔풊풏휽ퟐ)풇(풄풐풔휽풏―ퟏ)＞ퟐ풔풊풏ퟐ휽ퟐ + ퟐ풄풐풔ퟐ휽풏―ퟏ + ퟒ， … … ， 풇( 풔풊풏휽풏)풇(풄풐풔휽ퟏ)＞ퟐ풔풊풏ퟐ휽풏 + ퟐ풄풐풔ퟐ휽ퟏ + ퟒ，再累加即可得证． 解：（Ⅰ）由 f′（x）＝ex﹣e﹣x+2﹣b，得 f′（0）＝2﹣b，由 g′（x）＝2ax，得 g′ （1）＝2a， 根据题意可得{ퟐ풂 = ퟐ 품(ퟏ) = 풂 + 풃 = ퟐ + ퟏ + ퟐ ― 풃，解得{풂 = ퟏ 풃 = ퟐ； （Ⅱ）由不等式 f（x）≥kg（x）﹣2k+2 对任意 x∈R 恒成立知，ex+e﹣x﹣kx2﹣2≥0 恒成 立， 令 F（x）＝ex+e﹣x﹣kx2﹣2，显然 F（x）为偶函数，故当 x≥0 时，F（x）≥0 恒成立， F′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2kx，令 h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2kx（x≥0），则 h′（x）＝ex+e﹣x﹣ 2k， 令 H（x）＝ex+e﹣x﹣2k（x≥0），则 H′（x）＝ex﹣e﹣x，显然 H′（x）为（0，+∞） 上的增函数， 故 H′（x）≥H′（0）＝0，即 H（x）在（0，+∞）上为增函数，H（0）＝2﹣2k， ①当 H（0）＝2﹣2k≥0，即 k≤1 时，H（x）≥0，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增， 故 h（x）≥h（0）＝0，则 F（x）在（0，+∞）上为增函数，故 F（x）≥F（0）＝0， 符合题意； ②当 H（0）＝2﹣2k＜0，即 k＞1 时，由于푯(풍풏(ퟐ풌)) = 1 2푘＞ퟎ，故存在 x1∈（0，ln （2k）），使得 H（x1）＝0， 故 h（x）在（0，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增， 当 x∈（0，x1）时，h（x）＜h（0）＝0，故 F（x）在在（0，x1）单调递减，故 F（x）＜ F（0）＝0，不合题意． 综上，k≤1； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，풇(풙ퟏ)풇(풙ퟐ) ≥ (풙ퟏ ퟐ + ퟐ)(풙ퟐ ퟐ + ퟐ) = 풙ퟏ ퟐ풙ퟐ ퟐ + ퟐ풙ퟏ ퟐ + ퟐ풙ퟐ ퟐ + ퟒ ≥ ퟐ풙ퟏ ퟐ + ퟐ풙ퟐ ퟐ + ퟒ，当且仅当 x1＝x2＝0 时等号同时成立， 故풇(풔풊풏휽ퟏ)풇(풄풐풔휽풏)＞ퟐ풔풊풏ퟐ휽ퟏ + ퟐ풄풐풔ퟐ휽풏 + ퟒ， 풇(풔풊풏휽ퟐ)풇(풄풐풔휽풏―ퟏ)＞ퟐ풔풊풏ퟐ휽ퟐ + ퟐ풄풐풔ퟐ휽풏―ퟏ + ퟒ，……， 풇(풔풊풏휽풏)풇(풄풐풔휽ퟏ)＞ퟐ풔풊풏ퟐ휽풏 + ퟐ풄풐풔ퟐ휽ퟏ + ퟒ， 以上 n 个式子相加得，f（sinθ1）•f（cosθn）+f（sinθ2）•f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）• f（cosθ2）+f（sinθn）•f（cosθ1）＞6n． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式 的恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力，考查分类与整合思想，化归与转化 思想等，属于较难题目． （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进 行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修 4--4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的参数方程为{풙 = 3 3 + 3 2 풕， 풚 = ― 2 3 + 1 2풕 （t 为参数），曲线 C2 的参数方程为{풙 = 1 푐표푠휑， 풚 = ퟐ풕풂풏흋 （φ 为参 数），曲线 C1，C2 交于 A、B 两点． （Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的普通方程； （Ⅱ）已知 P 点的直角坐标为（ 3 3 ， ― 2 3），求|PA|•|PB|的值． 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换． （Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为{풙 = 3 3 + 3 2 풕， 풚 = ― 2 3 + 1 2풕 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 ퟑ 풙 ― 풚 ― 5 3 = ퟎ，转换为极坐标方程为흆 = 5 6푐표푠(휃 + 휋 6) ． 曲线 C2 的参数方程为{풙 = 1 푐표푠휑， 풚 = ퟐ풕풂풏흋 （φ 为参数），转换为直角坐标方程为풙ퟐ ― 푦2 2 = ퟏ． （Ⅱ）把曲线 C1 的参数方程为{풙 = 3 3 + 3 2 풕， 풚 = ― 2 3 + 1 2풕 （t 为参数），代入풙ퟐ ― 푦2 2 = ퟏ，得到：푡2 2 + 8 3풕 ― 16 9 = ퟎ， 所以|PA|•|PB| = |풕ퟏ풕ퟐ| = | ― 16 9 1 2 | = 8 9． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型． [选修 4-5：不等式选讲] 23．函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小值； （Ⅱ）若 f（x）的最小值为 M，a+2b＝2M（a＞0，b＞0），求证： 1 푎 + 1 + 1 2푏 + 1 ≥ 4 7． 【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质即可求得最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知（a+1）+（2b+1）＝7，再利用基本不等式即可得证． 解：（Ⅰ）풇(풙) = { ―ퟑ풙 ― ퟏ，풙＜ ― ퟐ ―풙 + ퟑ， ― ퟐ ≤ 풙 ≤ 1 2 ퟑ풙 + ퟏ，풙＞ 1 2 ， 易知，当풙 = 1 2时，函数 f（x）取得最小值，且最小值为풇( 1 2) = 5 2； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，푴 = 5 2，则 a+2b＝5， ∴（a+1）+（2b+1）＝7， ∴ 1 푎 + 1 + 1 2푏 + 1 = 1 7[(풂 + ퟏ) + (ퟐ풃 + ퟏ)]( 1 푎 + 1 + 1 2푏 + 1) = 1 7(ퟐ + 푎 + 1 2푏 + 1 + 2푏 + 1 푎 + 1 ) ≥ 1 7( ퟐ + ퟐ 푎 + 1 2푏 + 1 ⋅ 2푏 + 1 푎 + 1 ) = 4 7， 当且仅当{ 푎 + 1 2푏 + 1 = 2푏 + 1 푎 + 1 풂 + ퟐ풃 = ퟓ ，即풂 = 5 2，풃 = 5 4时取等号． 【点评】本题考查含绝对值的函数最值求法，考查基本不等式的运用，考查推理能力及 运算能力，属于基础题．