河北省衡水中学2020届高三数学（理）下学期三调试题（Word版附解析）

衡水中学 2020 届高三年级下学期三调考试 数学（理科）试卷 一.选择题（共 12 小题，每题 5 分，共计 60 分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 ，由此求得 . 【 详 解 】 由 ， 解 得 ， 所 以 ， 所 以 . 故选：D 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知 是虚数单位， ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算求得 ，再求 的模. 【详解】依题意 ，所以 . 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3.下图为 2014-2018 年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则 以下结论不正确的是（ ） { }| 2 2A x x= − ≤ < { }2| 2 3 0B x x x= − − ≤ A B = [ 1,1]− [ 2, 1]− − [1,2) [ 1,2)− B A B ( )( )2 2 3 3 1 0x x x x− − = − + ≤ 1 3x− ≤ ≤ [ ]1,3B = − [ )1,2A B = − i ( )1 2 2z i i+ = − z = i 2i z z ( )( ) ( )( ) 2 1 22 5 1 2 1 2 1 2 5 i ii iz ii i i − −− −= = = = −+ + − 1z i= − =A. 2014 年以来，我国国内生产总值逐步 增长 B. 2014 年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳 C. 2014-2018 年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在 2018 年 D. 2014-2018 年，我国国内生产总值年增长率的平均值为 6.86% 【答案】C 【解析】 【分析】 逐项判断正误，C 选项求出各年的国内生产总值相比上一年年增长额即可判断. 【详解】2014-2018 年，2017 年国内生产总值相比上一年年增长了 80693 元，2018 年国内生 产总值相比上一年年增长了 79555 元，故 C 错误. 故选:C 【点睛】本题考查从柱形图与折线图，考查学生观察分析能力，属于基础题. 4.函数 是定义在 上的增函数，则函数 的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出函数 的单调性，再根据复合函数的性质即可求出函数 的单调减区 间. 【详解】解：令 ，由题知： 在区间 ， 为减函数，在区间 ， 为增函数， 在 ( )y f x= R ( 2 )f x − ( , 2)−∞ − ( ,2)−∞ (2, )+∞ R 2t x= − ( 2 )f x − 2t x= − ( ,2)−∞ t (2, )+∞ t又因为 是定义在 上的增函数，根据复合函数的性质， 的单调减区间是 . 故选： 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减是解题的关键，属于中档题. 5.设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 交 于 ， 两点，其中 在左支上， 在右支上.若 ，则 （ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由 得 ，再由定义即可求解 【 详 解 】 由 可 知 ， . 由 双 曲 线 定 义 可 知 ， ， ，两式相加得， . 故选 A 【点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想. 6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更 无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执 行下图的程序框图，则输出的 ( ) ( )y f x= R ( 2 )f x − ( ,2)−∞ B C 2 2 1( 0)8 x y mm − = > 1F 2F 1F C M N M N 2 2FMN FNM∠ =∠ MN = 8 2 4 2 2 2FMN FNM∠ =∠ 2 2F M F N= 2 2FMN FNM∠ =∠ 2 2F M F N= 2 1 4 2MF MF− = 1 2 4 2NF NF− = 1 1 | | 8 2NF MF MN− = = n =A. 25 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】 根据程序框图，解方程 得 ，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当 时，解得 ， 此时， 终止循环. 故选：D. 【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题 转化为解方程问题. 7.若 ，且 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 100 3(100 )3 n n= + − 75n = 100 3(100 )3 n n= + − 75n = 100S = ( , )2 πα π∈ 3cos 2 2 sin( )4 πα α= − cos2α 4 2 9 − 4 2 9 7 9 − 7 9利用 求出 ，平方可得 ，从而可求 . 【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 因为 ，所以 ，所以有 ，平方可得 ； ， 因为 ，所以 ， 所以 .故选 A. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用倍角公式等求值时，注意 公式的多 样性. 8.在 中， 为 边上一点，若 是等边三角形， ，则 面积 最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 为定值以及 为定值，判断出 点的轨迹，根据圆的几何性质求得三角形 面积的最大值. 【详解】由已知 ， ，如图所示；可构造 的外接圆，其中点 在劣弧 上运动，当运动到弧中点时， 面积最大，此时 为等腰三角形，其面 积为 . 故选：D. 的 3cos2 2sin 4 πα α = −   sin cosα α+ sin cosα α cos2α 3cos2 2sin 4 πα α = −   3(cos sin )(cos sin ) 2(cos sin )α α α α α α− + = − ,2 πα π ∈   cos sinα α≠ 2cos sin 3 α α+ = 72sin cos 9 α α = − 2 16(cos sin ) 1 2sin cos 9 α α α α− = − = ,2 πα π ∈   4cos sin 3 α α− = − 2 2 4 2cos2 cos sin (cos sin )(cos sin ) 9 α α α α α α α= − = − + = − cos2α ABC D BC ABD△ 4 3AC = ADC 6 2 6 3 4 2 4 3 AC ADC∠ D ADC 4 3AC = 120ADC =∠ ° ADC D AC ADC ADC ( )21 1 1 3tan30 4 3 4 32 2 4 3DACS AC AC= × ⋅ °× = × × =△【点睛】本小题主要考查三角形面积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，考查化 归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形 全等，则（ ） A. PA，PB，PC 两两垂直 B. 三棱锥 P-ABC 的体积为 C. D. 三棱锥 P-ABC 的侧面积为 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图，可得三棱锥 P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥 P-ABC 的直观图如图所示， 其中 D 为 AB 的中点， 底面 ABC. 所以三棱锥 P-ABC 的体积为 ， ， ， ， 8 3 | | | | | | 6PA PB PC= = = 3 5 PD ⊥ 1 1 42 2 23 2 3 × × × × = 2AC BC PD∴ = = = 2 2 2 2AB AC BC∴ = + = | | | | | | 2DA DB DC∴ = = =， 、 不可能垂直， 即 不可能两两垂直， ， . 三棱锥 P-ABC 的侧面积为 . 故正确的为 C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 10.若函数 与 都在区间 上单 调递减，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析： 分别计算出函数 在 内的减区间，求交集可得函数 在区间 内的公共减区间为 ，则 的最大值为 . 详解：对于函数 ，令 ，解得 , 当 时，令 ，则 ； 对于函数 ，令 ，解得 ， 当 时，令 ，则 . 易得当函数 与 均在区间 单调递减时， ( )22| | | | | | 2 2 6,PA PB PC∴ = = = + = 2 2 2PA PB AB+ ≠ PA∴ PB ,PA ,PB PC 1 2 2 2 2 22PBAS∆ = × × = ( )2 21 6 1 2 52PBC PACS S∆ ∆= = × − × = ∴ 2 5 2 2+ ( ) sin 2 3 πf x x = −   ( ) cos 4g x x π = +   ( )( ), 0a b a b π< < < b a− 6 π 3 π 2 π 5 12 π ( ), ( )f x g x (0, )π ( ), ( )f x g x (0, )π 5 3( , )12 4 π π b a− 3 5 4 12 3 π π π− = ( )f x 32 2 2 ( )2 3 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈ 5 11 ( )12 12k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ (0, )x π∈ 0k = 5 11 12 12x π π≤ ≤ ( )g x 2 2 ( )4k x k k Z ππ π π≤ + ≤ + ∈ 32 2 ( )4 4k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ (0, )x π∈ 0k = 30 4x π≤ ≤ ( )f x ( )g x ( , )(0 )a b a b π< < ( ) ( ) ( )2 1' 0 2 xx eg x x += > + ( )g x (0, )+∞ ( ) ( ) 10 2g x g> = 1 2t ≤ 2 0 xe tx −+ = ( ) 2xef x t lnx xx x = − + +     t 1 2  −∞  ， 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b Γ + = > > (1,1)P 1l 2l Γ AP PCλ=  BP PDλ=  λ 1 4 − Γ 3 2 1 2 2 2 5 5 , , ,A B C D ,A B ,C D 1 4AB CDk k= = − 2 2 b a ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 2 2, , , , , , , ,A x y B x y C x y D x y ( )1,1P AP PC= λ 1 3 1 3 1 1 x x y y λ λ λ λ + = +  + = + 2 4 2 4 1 1 x x y y λ λ λ λ + = +  + = + ,A B ( )( ) ( )( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0b x x x x a y y y y+ − + + − = ( ) ( )2 2 1 2 1 2 0ABb x x a y y k+ + + = ( ) ( )2 2 3 4 3 4 0CDb x x a y y k+ + + = AP PC= λ BP PD= λ 1 4AB CDk k= = −即 ，即 ，两 式 相 加 得 ， 即 ，所以 ，所以 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆 位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上 的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难 度较大，属于难题. 二.填空题（共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分） 13.已知向量 , ,若 ,则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量垂直，数量积为 0 列方程求解即可. 【详解】由题： ，所以 ， 所以 ， 解得： . 的 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 3 4 3 4 1 04 1 04 b x x a y y b x x a y y   + + + ⋅ − =      + + + ⋅ − =    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 3 4 3 4 1 04 1 04 b x x a y y b x x a y yλ λ   + + + ⋅ − =      + + + ⋅ − =    ( ) ( )2 2 1 3 2 4 1 3 2 4 04 ab x x x x y y y yλ λ λ λ+ + + − + + + = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 04 ab λ λ+ − + = 2 2 1 4 b a = 2 3 31 4 2 be a  = − = =   ( )3, 2a → = − ( )1,b m= ( )a a b → → → ⊥ − m = 5− ( )a a b → → → ⊥ − ( ) 0a a b → → → ⋅ − = 2 0a a b → → → − ⋅ = ( )9 4 3 2 0m+ − − = 5m = −故答案为： 【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为 0 建立方程计算求 解. 14.为支援武汉抗击新冠肺炎疫情，军队抽组 1400 名医护人员于 2 月 3 日起承担武汉火神山专 科医院医疗救治任务.此外，从解放军疾病预防控制中心、军事科学院军事医学研究院抽取 15 名专家组成联合专家组，指导医院疫情防控工作.该医院开设了重症监护病区（ ），重症病区 （ ），普通病区（ ）三个病区.现在将甲乙丙丁 4 名专家分配到这三个病区了解情况，要求 每个专家去一个病区，每个病区都有专家，一个病区可以有多个专家.已知甲不能去重症监护 病区（ ），乙不能去重症病区（ ），则一共有__________种分配方式 【答案】17 种 【解析】 【分析】 根据甲、乙两人是否在一起分成两种情况，分别计算出分配的方法数，然后根据分类加法计 数原理求得所有的分配方法数. 【详解】按照甲乙 否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在 病区，则丙丁分配在 病区，有两种.②甲乙不在一起，若甲在 ， 种，若甲在 ，则乙在 ， 有 种，共计 17 种. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查实际问题中的计数问题，属于基础题. 15.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已 知某种盆栽植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此 种盆栽植物 10 株，设 为其中成活的株数，若 的方差 ， ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知： ，且 ，从而可得 值． 是 5− A B C A B C AB B ( )1 1 1 2 2 21 10C C C+ = C A 1 1 2 21 5C C+ = 17 p X X 2.1DX = ( 3) ( 7)P X P X= < = p = 0.7 ( )X ~ B 10, p ( ) ( ) ( ) 10 1 2.1 3 7 p p P X P X  − = = < = p【详解】由题意可知： ∴ ，即 , ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属 于中档题． 16.如图,矩形 中, , , 为 的中点,点 , 分别在线段 , 上运动（其中 不与 , 重合, 不与 , 重合）,且 ,沿 将 折起,得到三棱锥 ,则三棱锥 体积的最大值为__________；当三棱锥 体积最大时,其外接球的表面积的值为_______________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 （1）依题意设 ,则 ,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数 顶点式和正弦函数的取值范围得出最大值. （2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点 坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半 径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积. 【详解】解：依题意设 , 则 , 因为 ,所以 , 与平面 所成角为 的 ( )X ~ B 10, p ( ) ( ) ( ) 10 1 2.1 3 7 p p P X P X  − = = < = 2100 100 21 0 0.5 p p p  − + =  > 0.7p = 0.7 ABCD 2 3AB = 2AD = Q BC M N AB CD M A B N C D / /MN AD MN DMN∆ D MNQ− D MNQ− D MNQ− 1 25 3 π AM DN x= = 2 3MB NC x= = - AM DN x= = 2 3MB NC x= = - / /MN AD DN MN⊥ DN MNQ θ 1 3D MNQ MBQ DV S h- = × ×当 , 时三棱锥 体积取得最大值. 所以三棱锥 体积的最大值为 . 故答案为： （2）由（1）知道三棱锥 体积取得最大值时, 与平面 所成角 ,即 平面 , 折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系： 所以 , , , 设三棱锥 外接球的球心为 解 ,所以 外接球面积为 . 故答案为： ( )1 1 sin3 2 MN NC DN qæ öç ÷= × × ×ç ÷è ø ( ) ( )1 1 2 2 3 sin3 2 x x qé ù= ´ × - × ×ê úê úë û ( )21 3 1 sin3 x qé ù= - - +ê úê úë û 3x = 90θ =  D MNQ− ( ) ( )2 max 1 3 3 1 sin90 13D MNQV - é ù= - - + =ê úê úë û  D MNQ− 1 1 D MNQ− DN MNQ 90θ =  DN ⊥ MNQ ( )0,0,0N ( )2,0,0M ( )0,0, 3D ( )1, 3,0Q D MNQ− ( ), ,O x y z R ON OM OD OQ\ = = = =    ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 222 2 2 2 2 3 1 3 x y z x y z x y z x y z x y z x y z ì + + = - + +ïïï + + = + + -íïï + + = - + - +ïî 1 3 3 3 2 x y z ìï =ïïï =íïïï =ïî 2 2 2 3 3 5 31 3 2 6R ON æ ö æ öç ÷ ç ÷= = + + =ç ÷ ç ÷è ø è ø  2 2 5 3 254 4 6 3S R pp p æ öç ÷= = =ç ÷è ø 25 3 π 【点睛】本题利用函数求解三棱锥的体积,考查函数最值的求法；还考查三棱锥外接球的体积, 解决此类题需要有良好的空间想象力. 三.解答题（共 7 小题，17，18.19.20.21 各 12 分，22 和 23 各 10 分） 17.已知数列 满足 ，且 . （1）证明：数列 为等比数列； （2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒 成立，求 的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意得 ，化简整理，结合定义，即可得证． （2）由（1）可得 ，代入可得 ， 分别讨论 n 为奇数和偶数时 的表达式，结合单调性，便可求出 m 的取值范围． 【详解】（1）证明：因为 ，所以 即 ，则 从而数列 是以 6 为首项，2 为公比的等比数列 （2）解：由（1）知 ，即 所以 { }na 1 2 2 0n na a+ − + = 1 8a = { 2}na − 1 ( 1) (2 1)(2 1) n n n n n ab + −= + + { }nb n nT *n N∈ nm T≥ m 2[ , )9 − +∞ ( )1 2 2 2n na a+ − = − 3 2 2n na = × + ( ) ( ) ( )( ) ( ) 11 1 3 2 2 1 11 2 1 2 12 1 2 1 n n n n n nn nb ++ − × +  = = − + + ++ +   nT 1 2 2 0n na a+ − + = 1 2 2n na a+ = − ( )1 2 2 2n na a+ − = − ( )*1 2 22 n n a n Na + − = ∈− { }2na − 12 6 2n na −− = × 3 2 2n na = × + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 11 1 1 3·2 21 1 11 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 nn n nn n n nn n n n ab ++ + − +−  = = = − + + ++ + + +  当 为偶数时， 当 为奇数时， 当 为偶数时， 是递减的，此时当 时， 取最大值 ，则 ； 当 为奇数时， 是递增的，此时 ，则 . 综上， 的取值范围是 . 【点睛】本题考查了数列构造法，等比数列的定义及求和．证明等比数列常用概念来证明， 裂项相消法是求和中常用的办法，题中还涉及了分类讨论的思想，需分别求 n 为奇数和 n 偶 数时的 ，再分别求解，整理答案，属难题． 18.如图，在四棱锥 中，已知四边形 是边长为 的正方形，点 在底面 上的射影为底面 的中心点 ，点 在棱 上，且 的面积为 1． （1）若点 是 的中点，求证：平面 平面 ； （2）在棱 上是否存在一点 使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点 符合题意，点 为棱 靠近端点 的三等分点 【解析】 n 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n nT − +        = − − + + + + − − + +       + + + + + + + +        1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 2 1n n+ += − + = − ++ + + n 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n nT − +        = − − + + + + + + − −       + + + + + + + +        1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 2 1n n+ += − − = − −+ + + n 1 1 1 3 2 1n nT += − + + 2n = nT 2 9 − 2 9m ≥ − n 1 1 1 3 2 1n nT += − − + 1 3nT < − 1 3m ≥ − m 2 ,9  − +∞  T S ABCD− ABCD 2 S ABCD ABCD O P SD SAC P SD SCD ⊥ PAC SD P P AC D− − 5 5 P P P SD S【分析】 （1）利用等腰三角形“三线合一”证明 平面 ,进而证明平面 平面 ； （2）分别以 为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 ,设 ,利用 平面的法向量求二面角,进而计算得到 即可 【详解】（1）∵点 在底面 上的射影为点 ,∴ 平面 , ∵四边形 是边长为 的正方形,∴ , ∵三角形 的面积为 1,∴ ,即 ,∴ , ∵ ,点 是 的中点, ∴ ,同理可得 , 又因为 , 平面 , ∴ 平面 , ∵ 平面 , ∴平面 平面 （2）存在, 如图,连接 ,易得 两两互相垂直, 分别以 为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 , 则 ,假设存在点 使得二面角 的余 弦值为 , 不妨设 , ∵点 在棱 上,∴ , 又 , SD ⊥ PAC SCD ⊥ PAC , ,OB OC OS x y z O xyz− SP SDλ=  λ S ABCD O SO ⊥ ABCD ABCD 2 2AC = SAC 1 2 12 SO× × = 1SO = 2SC = 2CD = P SD CP SD⊥ AP SD⊥ AP CP P= ,AP CP ⊂ PAC SD ⊥ PAC SD ⊂ SCD SCD ⊥ PAC OB , ,OB OC OS , ,OB OC OS x y z O xyz− ( ) ( ) ( ) ( )0, 1,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , 1,0,0A C S D− − P P AC D− − 5 5 SP SDλ=  P SD 0 1λ≤ ≤ ( )1,0, 1SD = − −∴ , ∴ , , , 设平面 的法向量为 ,则 ,∴ , 令 ,可得 ,∴平面 的一个法向量为 , 又平面 的一个法向量为 ,二面角 的余弦值为 , ∴ ,即 , 解得 或 （舍） 所以存在点 符合题意,点 为棱 靠近端点 的三等分点 【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查利用空间向量处理已知二面角求参问题,考查运算能力 19.近年来，来自“一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、 共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短 距离出行，增强灵活性．某城市试投放 3 个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种 车的计费标准均为每 15 分钟（不足 15 分钟按 15 分钟计）1 元，按每日累计时长结算费用， 例如某人某日共使用了 24 分钟，系统计时为 30 分钟．A 同学统计了他 1 个月（按 30 天计） 每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近 似代替概率．设 A 同学每天消费 元． （1）求 的分布列及数学期望； （2）各品牌为推广用户使用，推出 APP 注册会员的优惠活动：红车月功能使用费 8 元，每天 ( ),0,SP λ λ= − − ( ),0,1P λ λ− − ( ),1,1AP λ λ= −∴ − ( )0,2,0AC = PAC ( ), ,n x y z= 0 0 n AP n AC  ⋅ = ⋅ =   ( )1 0 2 0 x y z y λ λ− + + − =  = z λ= 1x λ= − PAC ( )1 ,0,n λ λ= − ACD ( )0,0,1OS = P AC D− − 5 5 ( )2 2 5cos , 51 OS n OS n OS n λ λ λ ⋅ = = = ⋅ − +      23 2 1 0λ λ+ − = 1 3 λ = 1− P P SD S ξ ξ消费打 5 折；黄车月功能使用费 20 元，每天前 15 分钟免费，之后消费打 8 折；蓝车月功能 使用费 45 元，每月使用 22 小时之内免费，超出部分按每 15 分钟 1 元计费．设 分别 为红车，黄车，蓝车的月消费，写出 与 的函数关系式，参考（1）的结果，A 同学 下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？ （3）该城市计划 3 个品牌的共享单车共 3000 辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查 了 100 名用户一周的平均使用时长如下表： 时长 (0，15] (15，30] (30，45] (45，60] 人数 16 45 34 5 在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）选红车（3）480，1500，1020 【解析】 【分析】 （1）根据茎叶图 可能的取值有 ，分别求出其分布列及期望即可； （2）根据题意分别写出 与 的函数关系式，并算出 A 同学在每种优惠活动下的费用， 看哪个费用最低即可； （3）算出每个时长下每个品牌的费用，比较大小，确定每个时长下选择的最优惠的品牌，根 据比例算出每个品牌各应该投放的辆数． 【详解】解：（1）根据茎叶图统计 A 同学 30 天里面每天使用共享单车的时长 有 6 天， 有 12 天， 有 10 天， 有 2 天， 则 可能的取值有 ， ， ， ， ， 1 2 3 4 1 2 3, ,η η η 1 2 3, ,η η η ξ 34( ) 15E ξ = ξ 1,2,3,4 1 2 3, ,η η η ξ (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] ξ 1,2,3,4 6 1( 1) 30 5P ξ∴ = = = 12 2( 2) 30 5P ξ = = = 10 1( 3) 30 3P ξ = = = 2 1( 4) 30 15P ξ = = = ξ P 1 5 2 5 1 3 1 15； （2）红车 ，即 ； 黄车 ，即 ； 蓝车 ，即 ； 若 A 同学下个月选择红车注册会员，则其消费为： 元， 若 A 同学下个月选择黄车注册会员，则其消费为： 元， 若 A 同学下个月选择蓝车注册会员，则其消费为： 元， 故选红车费用最低； （3）当平均时长为(0，15]时，红车消费 元，黄车消费 元，蓝车消费 元，故 此时选黄车； 当平均时长为(15，30]时，红车消费 元，黄车消费 元，蓝车消费 元， 故此时选红车； 当平均时长为(30，45]时，红车消费 元，黄车消费 元，蓝车消费 元，故此时选蓝车； 当时长为(45，60]时，红车消费 元，黄车消费 元，蓝车消费 元，故此时选红车； 故选红车的人数为 50，选黄车的人数为 16，选蓝车的人数为 34， 故红车应该投放 辆，黄车应该投放 辆，蓝车应该投放 辆， 综合：红车应该投放 辆，黄车应该投放 辆，蓝车应该投放 辆. 【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了数学期望的计算及其应用，解题时要结 合题意得出随机变量所满足的分布列，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题． 1 2 1 1 34) 1 2 3 45 5 3 15 15(E ξ = × + × + × + × = 1 18 30 15 82 η ξ ξ= + × = + 1 15 8η ξ= + ( )2 20, 1 20 30 1 0.8, 2 ξη ξ ξ ≤=  + − × ≥ 2 20, 1 24 4, 2 ξη ξ ξ ≤=  − ≥ ( )3 45,30 88 45 30 88 ,30 89 ξη ξ ξ ≤=  + − ≥ 3 4445, 15 8930 43, 30 ξ η ξ ξ  ≤=   − ≥ 3415 8 4215 × + = 3424 4 50.415 × − = 45 15 8 23+ = 20 45 30 8 38+ = 48 4 44− = 45 45 8 53+ = 72 4 68− = 90 43 47− = 60 8 68+ = 96 4 92− = 120 43 77− = 503000 1500100 × = 163000 480100 × = 343000 1020100 × = 1500 480 102020.如图，已知抛物线 C： ，过抛物线焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是 抛物线外一点，连接 ， 分别交抛物线于点 C，D，且 ，设 ， 的中点 分别为 M，N. （1）求证： 轴； （2）若 ，求 面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）设直线 的方程为 ，联立直线方程和抛物线方程，消去 后利用韦达定理及 中点坐标公式即可求得 ，即可求得 轴； （2）根据向量的坐标运算及点在抛物线上，即可求得 ，根据三角形的面积公式即可求得 面积的最小值. 【详解】（1）抛物线 C： 的焦点 ，设 ， ， ， ， 直线 的方程为 ， 由 ，消去 x，整理得 ， 则 ， ， ，因为 ， 2 4y x= PA PB //CD AB AB CD //MN x 3 2PC CA=   PAB△ 16 5 AB 1x ty= + x 2M Ny y t= = //MN x 0x PAB△ 2 4y x= (1,0)F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y AB 1x ty= + 2 1 4 x ty y x = +  = 2 4 4 0y tx− − = 1 2 4y y t+ = 1 2 4y y = − 1 2 22n y yy t += = //CD B所以 ，即 ， 由 ，所以 轴. （2）由（1）可知， ， ，则 ， 设 ，由 ， ，得 ， ， 代入抛物线 ，得到 ， 同理 ， 所以 ， 为方程 ， 即 ，所以 ， 即 M，N，P 三点共线， 又 ，所以 ， 又 ， 所以 ， 当 ， 面积的最小值 . 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系中的定值与最值问题，此类问题一般有两个处理方 法：（1）联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而可解决定 值、最值问题；（2）设出抛物线上动点的坐标（注意用纵坐标表示横坐标或用横坐标表示纵 坐标），把题设条件转化为关于坐标的关系，从而可解决定值、最值问题，本题属于中档题. 21.已知函数 ，其中 是自然对数的底数， 是函数 的导数. （1）若 是 上的单调函数，求 的值； 4 3 4 3 2 2 4 34 3 4 3 4 1 4 4 CD AB y y y yk ky yx x y y t − −= = = = =− +− 3 4 22N y yy t += = 2M Ny y t= = MN x 1 2 4y y t+ = 1 2 4y y = − 2 2 21 2 1 2 2 12 8M x x y yx t + += = = + ( )0 0,P x y 3 2PC CA=   3 2PD DB=  0 1 3 2 3 5 x xx += 0 1 3 2 3 5 y yy += 2 4y x= 2 2 1 0 1 0 03 6 20 2 0y y x yy− + − = 2 2 2 0 2 0 03 6 20 2 0y y x yy− + − = 1y 2y 2 2 0 0 03 6 20 2 0y y x yy− + − = 1 2 02 4y y y t+ = = 0 2y t= 2 0 0 1 2 20 2 43 x yy y −= = − 2 2 0 0 6 2 3 10 5 y tx − −= = 2 1 2 4 1y y t− = + 2 3 1 2 0 1 16 ( 1)2 5PAB MS y y x x t∆ = − ⋅ − = + 0t = PAB△ 16 5 ( ) 1 11 14 x xe e ax af x + + = − + −   2.718e = ⋅⋅⋅ ( ) ( )'g x f x= ( )f x ( )g x R a（2）当 时，求证：若 ，且 ，则 . 【答案】（1） ，（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）对 求导，可得 ，令 则 恒成立，由于 ，所以 ，即可求出结果. （2）方法一：利用消元求导，由题意可得 ， 令 ， ，不妨设 ， ， 令 ， 原题即证明当 时， ，利用导数在不等式中应用，即可求出结果. 方法二：利用切线放缩法，化解过程同方法一，原题即证明当 时， ， ，注意到 ，求出 在 处的切线方程为 .下面证明 恒成立（ ）；令 ，然后再利用导 数在不等式中应用，和不等式放缩即可证明结果. 【详解】（1） ， ，由题 意 恒成立，由于 ，所以 ，解得 . 方法一：消元求导死算 （2） ， 7 8a = 1 2x x≠ 1 2 2x x+ = − ( ) ( )1 2 2f x f x+ > 1a = ( ) ( )'g x f x= ( ) ( )1 1' 1x xe e xg x a a+ += − − − ( ) 1 1xe x aG x a+= − − − ， ( ) 0G x ≥ ( )1 0G − = ( )' 1 0G − = ( ) ( )1 11 7 314 8 4 x xe e xf x + + = − + +   1x t+ = 1 2 0t t+ = 2 1 0t x= + > ( ) 1 7 3 4 8 4 t th e et t = − +   ( ) ( ) ( )H t h t h t= + − 1 7 3 1 7 3 4 8 4 4 8 4 t t t te e t e e t− −   = − + + + +       0t > ( ) 2H t > 0t > ( ) ( ) ( ) 2H t h t h t= + − > ( ) 1 7 3 4 8 4 t th e et t = − +   ( ) 0 01 7 30 14 8 40 eh e = − × + =   ( ) 1 7 3 4 8 4 t th e et t = − +   ( )0,1 3 18y t= + ( ) 3 18h t t≥ + 0t > ( ) ( ) 3 18F t h t t= − − ( ) ( ) 1 1 12' 1x xe e axg x f x + + = − − =  ( ) ( )1 1' 1x xe e xg x a a+ += − − − ( ) 1 1 0xe ax aG x += − − − ≥ ( )1 0G − = ( )' 1 0G − = 1a = ( ) 1 11 7 1 4 8 8 x xex ef x+ + = − −   ( )1 11 7 314 8 4 x xe e x+ + = − + +  令 ， ，不妨设 ， ， 令 ， 原题即证明当 时， ， ，其中 ，因为 ，所以当 时， ，得证. 方法二：切线放缩 化解过程同上，原题即证明当 时， ， ， 注意到 ，求出 在 处的切线方 程，则 ，即 ，则：切线方程为 .下面证明 恒成立（ ）；令 ，则 ，得 在 恒成立，故 在 （ ）上单调递增， 恒成立，故 恒成立，同 理可证 始终位于 在 处的切线 的上方，即： （实际上 与 关于 轴对称），故 恒 成立，原不等式得证. 1x t+ = 1 2 0t t+ = 2 1 0t x= + > ( ) 1 7 3 4 8 4 t th e et t = − +   ( ) ( ) ( )H t h t h t= + − 1 7 3 1 7 3 4 8 4 4 8 4 t t t te e t e e t− −   = − + + + +       0t > ( ) 2H t > ( ) 1 7 1 1 7 1 2 8 8 2 8 8' t t t te e t e eH t t− −   = − − − + −       ( )( ) ( ) ( )1 7 1 2 8 8 t t t t t t t te e e e t e e e e− − − −= + − − + − − ( ) ( ) ( ) ( )7 1 1 2 08 2 16 t t t t t t t te e e e t e e e e− − − −   = + − − + − + − ≥     ( ) ( )1 1' 1 02 2 t t t te e t e e− − − − = + − ≥   ( )0 2H = 0t > ( ) 2H t > 0t > ( ) ( ) ( ) 2H t h t h t= + − > ( ) 1 7 3 4 8 4 t th e et t = − +   ( ) 0 01 7 30 14 8 40 eh e = − × + =   ( ) 1 7 3 4 8 4 t th e et t = − +   ( )0,1 ( ) 1 7 1 2 8 8' t th e et t = − −   ( ) 3' 0 8h = 3 18y t= + ( ) 3 18h t t≥ + 0t > ( ) ( ) 3 18F t h t t= − − ( ) 1 7 1 3 0 02 8 8 8' t te e t tF t  = − − − = ⇒ =   ( )' 0F t > 0t > ( )F t 0t > ( ) ( ) ( )3 1 0 08F t h t t F= − − > = ( ) 3 18h t t≥ + ( )h t− ( )h t− ( )0,1 3 18y t= − + ( ) 3 18h t t− ≥ − + ( )h t ( )h t− y ( ) ( ) ( )H t h t h t= + − 3 31 1 28 8t t > + + − + =  【点睛】本题主要考查了导数在恒成立和不等式证明中的应用；本题第（2）问中的方法一， 对 这一步化简和后面的换元是关键；方法二的切线放缩是 难点，平时学生们要加强训练. 22.在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数），以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ： . （1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若曲线 上有一动点 ，曲线 上有一动点 ，求 的最小值. 【答案】（1） ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用 将曲线 的参数方程转化为普通方程.利用极坐标和直角坐标相 互转化公式，求得曲线 的直角坐标方程. （2）设出 点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值的求法，以及对 进行分类讨论，求得 的最小值. 【详解】（1）曲线 ： （ 为参数为参数），转换为直角坐标方程为： . 线曲线 ： .整理得 ，转换为直角坐标方 程为 . （2）设点 ，根据题意 的最小值即为点 到直线的距离的最小值. ( ) ( )1 11 7 314 8 4 x xe e xf x + + = − + +   xOy 1C 3 cos sin x y α α  = = α x 2C 2 sin( ) ( 0)6 a a πρ θ + = > 1C 2C 1C M 2C N MN 2 2 13 x y+ = 3 0x y a+ − = 2 2sin cos 1α α+ = 1C 2C M a MN 1C 3 cos sin x y α α  = = α 2 2 13 x y+ = 2C ( )2 sin 06 a aρ θ π + = >   3 sin cos aρ θ ρ θ+ = 3 0x y a+ − = ( )3 cos ,sinM α α MN M故： ， 当 时，曲线 和曲线 相交或相切，此时 ， 当 时，曲线 和曲线 相离，当 时， . 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查 点到直线距离，属于中档题. 23.已知 ，且 、 、 都是正数. （1）求证： ； （2）求证： . 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1)将 两边平方，在由 ， ， ，可证. (2)由 可证. 【详解】（1）证明：由已知得 ， ， 又 ， ， ， ∴ ，∴ ， ∴ . （2）证明：由已知得 ， ∴ 6 sin3 cos 3sin 4 2 2 aa d αα α π + − + −  = = ( )0, 6a∈ 1C 2C ( ) min 0MN = ( )6,a∈ +∞ 1C 2C sin 14 πα + =   ( ) min 6 2 aMN −= 3a b c+ + = a b c 2 2 2 3a b c+ + ≥ 1 1 1 3 2a b b c c a + + >+ + + 3a b c+ + = 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2b c bc+ ≥ 2 2 2a c ac+ ≥ 1 1 1 1 1 1= 6 a b b c a c a b b c a c a b b c a c + + + + + + + + + × + + + + + +  ( )23 9a b c a b c+ + = ⇒ + + = 2 2 2 2 2 2 9a b c ab ac bc⇒ + + + + + = 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2b c bc+ ≥ 2 2 2a c ac+ ≥ ( ) ( )2 2 22 2a b c ab bc ac+ + ≥ + + ( )2 2 2 2 2 22 9a b c a b c+ + + + + ≥ 2 2 2 3a b c+ + ≥ 3a b c+ + = ( )1 1 1 1 6a b b c a ca b b c a c  + + + + + + + + + +  1 1 1 16 a b a b b c b c a c a c b c a c a b a c c b b c + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + . 【点睛】本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题. ( )1 1 31 2 1 1 2 1 1 2 1 96 6 2 ≥ + + + + + = × =