2019—2020 学年度下学期高三年级
高三下学期七调考试理数试题（3.22）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将
正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出集合 A，B，由此利用交集定义能求出 A∩B．
【详解】∵集合 ＝ ，
＝{1，0，-1，-2，… }，
∴ ．
故选 C．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件 ，属于易错题．
2.复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
化简复数 ，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，.
【详解】由题意，复数 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法
则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
【
{ } { }1 0 , 1A x R x B x Z x= ∈ + > = ∈ ≤ A B =
{ }0 1x x≤ ≤ { }1 1x x− < ≤ { }0,1 { }1
{ }1 0A x R x= ∈ + > { }1A x x= > −
{ }1B x Z x= ∈ ≤
{ }0,1A B∩ =
x Z∈
1
1 2 2
i
i
++
1
10
1
10
− 3
10
3
10
−
1 1 1
1 2 2 5 10
i ii
+ = ++
( )( )
1 1 2 1 1
1 2 2 1 2 1 2 2 5 10
i i i ii i i
−+ = + = ++ + −
1
1 2 2
i
i
++
1
103.有一散点图如图所示，在 5 个 数据中去掉 后，下列说法正确的是（ ）
A. 残差平方和变小 B. 相关系数 变小
C. 相关指数 变小 D. 解释变量 与预报变量 的相关性变
弱
【答案】A
【解析】
【分析】
由散点图可知，去掉 后， 与 的线性相关性加强，由相关系数 ，相关指数 及残
差平方和与相关性的关系得出选项.
【详解】
∵从散点图可分析得出：
只有 点偏离直线远，去掉 点，变量 与变量 的线性相关性变强，
∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选 A.
【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相
关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.
4.已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐
近线的交点分别为 ．若 为直角三角形，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
( , )x y (3,10)D
r
2R x y
(3,10)D y x r 2R
D D x y
2 2
: 112 4
x yC − = O F C F C
,P Q POQ∆ PQ =【解析】
【分析】
由题意不妨假设 点在第一象限、 点在第四象限， ，解三角形即可.
【详解】不妨假设 点在第一象限、 点在第四象限， .则易知 ，
，∴ ，在 中， ， ，
∴ .
故选 C
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出 ， 位置，以及 的直
角，即可结合条件求解，属于常考题型.
5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小球，
当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ；当无放回依次取出两个小球时，记取
出的红球数为 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】 可能的取值为 ； 可能的取值为 ，
， ， ，
故 ， .
， ，
故 ， ,
故 ， .故选 B.
【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列
P Q 90OPQ∠ = °
P Q 90OPQ∠ = ° 30POF∠ = °
4OF = 2 3OP = POQ 60POQ∠ = ° 90OPQ∠ = ° 2 3OP =
3 6PQ OP= =
P Q POQ
1
ξ
2
ξ
1 2E Eξ ξ< 1 2D Dξ ξ< 1 2E Eξ ξ= 1 2D Dξ ξ>
1 2E Eξ ξ= 1 2D Dξ ξ< 1 2E Eξ ξ> 1 2D Dξ ξ>
1
ξ 0,1,2 2
ξ 0,1
( )1
40 9P ξ = = ( )1
12 9P ξ = = ( )1
4 1 41 1 9 9 9P ξ = = − − =
1
2
3Eξ = 2 2 2
1
4 1 4 4 40 2 19 9 9 9 9Dξ = × + × + × − =
( )2
2 1 10 3 2 3P ξ ×= = =× ( )2
2 1 2 21 3 2 3P ξ × ×= = =×
2
2
3Eξ = 2 2
2
1 2 4 20 13 3 9 9Dξ = × + × − =
1 2E Eξ ξ= 1 2D Dξ ξ>组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球
模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）
A. 求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和
B. 求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和
C. 求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和
D. 求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序
的运行过程，可得答案．
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量 n 的初值为 1，终值为 2019，步长为
2，
故循环共执行了 1009 次
由 S 中第一次累加的是 21﹣1＝1，第二次累加的是 23﹣1＝4，……
故该算法的功能是求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和，
故选 A．
【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环
的方法解答．
7.如图 1，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M，N，Q 分别是线段 AD1，B1C，C1D1 上的动
点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为
1 4 1009
1 4 1010
1 2 2017
1 2 2018A. 2 B. 1
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．
【详解】由正视图可知： 是 的中点， 在 处， 在 的中点，
俯视图如图所示：
可得其面积为： ，故选 C．
【点睛】本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于
中档题.
8.如图直角坐标系中，角 、角 的终边分别交单位圆于 、
两点，若 点的纵坐标为 ，且满足 ，则 的值
为( )
3
2
5
2
M 1AD N 1B Q 1 1C D
1 1 1 32 2 2 1 1 1 1 22 2 2 2
× − × × − × × − × × =
0 2
πα α < ,a b【解析】
【分析】
分别对 ， 求导，求出其最小值 ，可得其大小关系.
【详解】由题意得： ，
易得 ，设 ，可得 ，可得 ，由 与 图像可
知存在 ，使得 ，可得当 ， ，当 ，
，可得 得最小值为 ，即 ；
同理： ，
设 ，可得 或者 ，由 与 得图像可知，存在 ，使
得 ，可得当 时， ，当 时， ，当
时， ，可得 即为 得最小值，可得
，故 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题.
二、填空题（共 4 题，每题 5 分）
13.已知二项式 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 ，则 的系
数为__________.
【答案】240
【解析】
【分析】
先由题意利用二项式系数的性质求得 的值，可得通项公式，在通项公式中，令 的幂指数等
于 3，求得 的值，可得 的系数.
( )f x ( )g x ,a b
2
' 1 1 (1 )( 1)( ) 1
x x x
x x xe x e x x xef x e xe x x x
+ − − + −= + − − = =
0, 1 0xx > + > ' ( ) 0f x = 1 0xxe − = 1xe x
= xy e= 1y x
=
0 (0,1)x ∈ 0
0
1xe x
=
0(0, )x x∈ ' ( ) 0f x < 0( , )x x∈ +∞
' ( ) 0f x > ( )f x 0( )f x 0
0 0 0
0
1( ) ln 2 1xa f x x e xx
−= = ⋅ − − − = −
2 2 2 2
'
2 2 2
1 ( 1) (1 ) ( 1)( )( ) 1
x x x xxe e e x x x x e xg x x x x x
− − − −− − + − − −= + − = =
' ( ) 0g x = 1x = 2xe x− = 2xy e −= y x=
1 (0,1)x ∈
1 2
1
xe x− = 1( , )x x x∈ ' ( ) 0g x < 1( ,1)x x∈ ' ( ) 0g x > (1, )x∈ +∞
' ( ) 0g x > 1( )g x ( )g x
1
1
1
2
2
1 1 1 12( ) ln 1 2 1
x
x
x
eb g x e x x xe
−
−
−= = + − = + − − = − 1a b= = −
12
n
x
x
− 2:5 3x
n x
r 3x【详解】二项展开式的第 项的通项公式为 ，
由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 ，
可得： ，解得： .
所以 ，
令 ，解得： ，
所以 的系数为 ，
故选 C.
【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式
的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.
14.数学老师给出一个函数 ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在 上函数单调递减；乙：在 上函数单调递增；丙：在定义域 R 上函数的
图象关于直线 对称；丁： 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三
个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．
【答案】乙
【解析】
【分析】
根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答
是否正确来分析，体现了反证法的思想.
【详解】如果甲、乙两个同学回答正确，
因为在 上函数单调递增，
所以丙说：在定义域 R 上函数的图象关于直线 对称是错误的，
此时 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确
矛盾，
所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，
此时丙正确，则乙就是错误的.
1r + 1
1(2 )
r
r n r
r nT C x
x
−
+
= −
2:5
1 2: 2 : 5n nC C = 6n =
1
1(2 )
r
r n r
r nT C x
x
−
+
= −
366 2
6 2 ( 1) rr r rC x
−−= −
36 32 r− = 2r =
3x 2 6 2 2
6 2 ( 1) 240C − − =
( )f x
( ]0−∞， [ )0 + ∞，
1x = ( )0f
[ )0 + ∞，
1x =
( )0f故答案为乙.
【点睛】本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.
15.已知 的一内角 ， ， ， 为 所在平面上一点，满足
，设 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 可知 O 为三角形 ABC 的外心，根据向量数量积可得
的值，代入 可的 m、n 的方程组，即可求得 m、n 的值，进而求得
的值．
【详解】因为 可知 O 为三角形 ABC 的外心
所以
而 ，且
即
化简得
解得
所以
【点睛】本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于
难题．
ABC∆
3A
π= 10AB = 6AC = O ABC∆
OA OB OC= = AO mAB nAC+= 3m n+
4
5
OA OB OC= = AO AB AO AC⋅ ⋅ 、
AO mAB nAC= + 3m n+
OA OB OC= =
1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB⋅ = ∠ = × =
1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC⋅ = ∠ = × =
AO mAB nAC= + 1cos 10 6 303 2AB AC AB AC π⋅ = = × × =
( )
( )
50
18
AO AB mAB nAC AB
AO AC mAB nAC AC
⋅ = + ⋅ =
⋅ = + ⋅ =
100 30 50
30 36 18
m n
m n
+ =
+ =
7
15
1
9
m
n
=
=
7 1 43 315 9 5m n+ = + × =16.已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围
为__________．
【答案】
【解析】
由 正 弦 定 理 可
知 ． ， 又
， 则 ，
， 从 而 ， 又 ， 知
， 所 以 ， 则 ， 换 元 可 令 ， 则
， 故 本 题 应 填
．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.）
17.数列 中， ， （ 为常数）.
（1）若 ， ， 成等差数列，求 的值；
（2）是否存在 ，使得 为等比数列？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数 ，使得{an}为等比数列
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知求得 a2，a4，再由-a1， ，a4 成等差数列列式求 p 的值；
（Ⅱ）假设存在 p，使得{an}为等比数列，可得 ，求解 p 值，验证得答案．
【详解】（Ⅰ）由 a1=2， ，得 ， ，
ABC∆ 、 、A B C a b c、 、 2A B= 2c b
b a
+
( )2,4
( )sin2 sin 2sin 2sin sin cos 2sincossin sin sin sin sin sin
A Bc b C B B A B BAb a B A B A B A
++ = + = + = + +
2A B=
2
2sin cos sin 2 cos 2sin cos 2cossin sin sin
A B B B B B BB B B
= = =
2sin 2sin 1
sin sin 2 cos
B B
A B B
= = 22 14cos 1 cos
c b Bb a B
+ = − + 2A B=
3 πA B B+ = < π0 3B< < 1 cos 12 B< < cost B=
2 2
1 1
min max2
2 1 2 14 1 | 2, 4 1 | 4tt
c b c bt ta a t a a t ==
+ > + − = + < + − =
( )2,4
{ }na 1 2a = 1
1 2 pn
n na a +
+ = p
1a− 2
1
2 a 4a p
p { }na
2p =
2
1 a2
2
2 1 3a a a=
1
1 2 pn
n na a +
+ = p 1
22a 2 += p
2a 2=则 ， ，
， ．
由 ， ，a4 成等差数列，得 a2=a4-a1，
即 ，解得：p=1；
（Ⅱ）假设存在 p，使得{an} 等比数列，
则 ，即 ，则 2p=p+2，即 p=2．
此时 ，
，∴ ，
而 ，又 ，所以 ，
而 ，且 ，
∴存在实数 ，使得{an}为以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列．
【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．
18.如图，多面体 中，四边形 为矩形，二面角 为 ， ，
， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2） 为线段 上的点，当 时，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
为
p 2p 1
32 a 2 += p 1
3a 2 +=
p 1 3p 1
42 a 2+ += 2p
4a 2=
1a− 2
1 a2
22 2 2p p= −
2
2 1 3a a a= 2 1 22 2 2 2p p p+ += ⋅ =
1 2 1
1 2 2pn n
n na a + +
+ = =
2 3
1 2 2 n
n na a +
+ + = 2n 2
n
2 4a
a
+ = =
3
1 2 2a a = 1 2a = 2 4a =
2
1
a 2a
4
2
= = 24 2=
2p =
ABCDEF ABCD A CD F− − 60° / /DE CF
CD DE⊥ 2AD = 3DE DC= = 6CF =
//BF ADE
G CF 1
4
CG
CF
= B EG D− −
1
4（1）根据四边形 是矩形，得到 ，根据线面平行的判定定理得到 平面
，进而得到 平面 ，利用面面平行的判定定理证得平面 平面 ，
利用面面平行的性质得到 平面 ，证得结果；
（2）根据题意，证得平面 平面 ，作 于点 ，则 平面
，建立空间直角坐标系 ，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余
弦值.
【详解】（1）证明：因为四边形 是矩形，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以平面 平面 ，
而 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为 ， ，所以 ，
因为 平面 ，故平面 平面 ，
作 于点 ，则 平面 ，
以 为原点，平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系 ，
由 ， ， ，得 ， ，
则 ， ， ， ，
所以 ，
由已知 ，所以 ， ，
ABCD / /BC AD / /BC
ADE //CF ADE / /BCF ADF
//BF ADE
CDEF ⊥ ADE AO DE⊥ O AO ⊥
CDEF O xyz−
ABCD / /BC AD
BC ⊄ ADE / /BC ADE
/ /DE CF CF ⊄ ADE //CF ADE
BC CF C= / /BCF ADF
BF ⊂ BCF //BF ADE
CD AD⊥ CD DE⊥ 60ADE∠ = °
CD ⊥ ADE CDEF ⊥ ADE
AO DE⊥ O AO ⊥ CDEF
O DC x DE y OA z
O xyz−
2AD = 3DE = 60ADE∠ = ° 1DO = 2EO =
(0,0, 3)A (3, 1,0)C − (0, 1,0)D − (0,2,0)E
(3,0, 3)OB OA AB OA DC= + = + =
1(3, ,0)2G ( 3,2, 3)BE = − − 10, , 32BG = −
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ， ， ，得 ，又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即二面角 的余弦值为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行
的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.
19.椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，且
满足向量 .
（1）若 ，求椭圆的标准方程；
（2）设 为椭圆上异于顶点的点，以线段 为直径的圆经过 ，问是否存在过 的直线与
该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在满足条件的直线，斜率 .
【解析】
【分析】
（1）由题易知 ，因为 ，所以 为等腰三角形
所以 b=c，由此可求 ，即可得到椭圆的标准方程;
（2）由（1）可得 ． ，P 的坐标为
则 由题意得 ,即 ，又因为 P 在椭
圆上，所以 ,联立可得
设圆心为 ，则 ，利用两点间的距离公式可得圆的半径 r．设直线的
方程为： ．利用直线与圆相切的性质即可得出．
BEG ( , , )m x y z= 3 2 3 0
1 3 02
m BE x y z
m BG y z
⋅ = − + − = ⋅ = − =
3x = 6y = 3z = (3,6, 3)m = DEG (0,0,1)n =
3 1cos , | | | | 49 36 3
m nm n m n
⋅< >= = =⋅ + +
B EG D− − 1
4
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F A B
1 2 0BF BF⋅ =
(2,0)A
P PB 1F 2F
2 2
14 2
x y+ = 1 30
2 10k = − ±
a 2= 1 2 0BF BF =
1 2BF F
b
2 2b c=
2 2
2 2 12
x y
c c
+ = ( )0 0,x y
( ) ( )1 0 0 1, , ,F P x c y F B c c= + =
1 2 0BF BF =
0 0 0x c y+ + =
2 2
0 0
2 2 12
x y
c c
+ = 4 1P ,3 3c c −
( )1 1,x y 1 1
2 2,3 3x c y c= − =
( )ky x c= −【详解】（1）易知 ，因为
所以 为等腰三角形
所以 b=c，由 可知
故椭圆的标准方程为：
（2）由已知得 ,
设椭圆的标准方程为 ，P 的坐标为
因为 ,所以
由题意得 ,所以
又因为 P 在椭圆上，所以 ,由以上两式可得
因为 P 不是椭圆的顶点，所以 ，故
设圆心为 ，则
圆的半径
假设存在过 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为
由相切可知 ,所以
即 ，解得
故存在满足条件的直线．
【点睛】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切
问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和
计算能力，属于难题．
a 2= 1 2 0BF BF =
1 2BF F
2 2 2a b c− = b 2=
2 2
14 2
x y+ =
2 2b c= 2 22a c=
2 2
2 2 12
x y
c c
+ = ( )0 0,x y
( ) ( )1 ,0 , 0,F c B c− ( ) ( )1 0 0 1, , ,F P x c y F B c c= + =
1 2 0BF BF =
0 0 0x c y+ + =
2 2
0 0
2 2 12
x y
c c
+ = 2
0 03 4 0x cx+ =
0 0
4 1,3 3x c y c= − = 4 1P ,3 3c c −
( )1 1,x y 1 1
2 2,3 3x c y c= − =
( ) ( )2 2
1 1
5r 0 3x y c c= − + − =
2F ( )ky x c= −
1 1
2 1
kx kc y r
k
− − =
+ 2
2 2
3 3 5
31
k c kc c
c
k
− − − =
+
220 20 1 0k k+ − = 1 30
2 10k = − ±20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，
每人必须在 1 分钟内完成，否则派下一个人.3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进
入下一关，否则淘汰出局.根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频
率分布直方图.
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 、 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内
解开密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，
并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立.
①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 的数学期望达到
最小，不需要说明理由.
【答案】（1） ； ；甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 ；乙在 1 分钟
内解开密码锁的频率是 （2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后
派丙
【解析】
【分析】
（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得 ，根据频率求得 ，由此求得甲在 1 分钟内
解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在 1 分钟内解开密码锁的频率.
（2）
①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.
②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值
的变化情况，来确定最优的排法.
【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，
a b
X
0.024a = 0.026b = 0.9
0.7
b a∴ ，解得 ；
∴ ，解得 ；
∴甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 ；
乙在 1 分钟内解开密码锁的频率是 ；
（2）由（1）知，甲、乙、丙在 1 分钟内解开密码锁的概率分别是 ， ，
且各人是否解开密码锁相互独立；
设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为 ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为
则 ， ， ，
，∴
，
①∴
同理可求得
所以按乙丙甲派出的顺序期望更小.
②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙，
（下面是理由，给老师和学生参考）
设按先后顺序自能完成任务的概率分别为 ， ， ，且 ， ， 互不相等，
根据题意知 的取值为 1，2，3；
则 ， ， ，
，∴
，
若交换前两个人的派出顺序，则变为 ，
由此可见，当 时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
∵交换前 ，
0.01 5 0.014 5 5 0.034 5b× + × + × + × ( )0.04 47 45 0.5+ × − = 0.026b =
0.04 3 0.032 5 5 0.010 10 0.5a× + × + × + × = 0.024a =
1 0.01 10 0.9f = − × =甲
1 0.035 5 0.025 5 0.7f = − × − × =乙
1 0.9p = 2 0.7p =
3 0.5p =
( )1E X ( )2E X
( )1 21P X p= = ( ) ( )2 31 12P X p p= −= ( ) ( )( )2 31 13 1p pP X = − −=
( ) ( ) ( )( )21 3 32 22 31 1 1E X p p p p p+ −+ − −= 2 3 2 33 2p p p p= − − +
( ) ( )1 2 3 2 3 23E X p p p p p= − + + −
( ) ( )1 2 3 2 3 23 1.45E X p p p p p= − + + − =
( ) ( )2 2 3 2 3 33 1.65E X p p p p p= − + + − =
1p 2p 3p 1p 2p 3p
X
( ) 11P X p= = ( ) ( )1 22 1P X p p= = − ( ) ( )( )1 213 1 pP pX = − −=
( ) ( ) ( )( )12 21 12 1 3 1 1E X p p p p p+ −+ − −= 1 2 1 23 2p p p p= − − +
( ) ( )1 2 1 2 13E p p p p pX = − + + −
( )1 2 1 2 23 p p p p p− + + −
1 2p p>
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 23 3 2 1p p p p pE pX p p= − + + − = − − −∴交换后的派出顺序则期望值变为 ，
当 时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，
这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.
【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中
位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.
21.已知函数 ，对任意 ，都有 .
讨论 的单调性；
当 存在三个不同的零点时，求实数 的取值范围.
【 答 案 】 (1) 当 时 ， 在 上 单 调 递 减 ； 当 时 ， 在
和 上 单 调 递 减 ， 在
上单调递增.；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 可得 ，得到 ，求导后，分别在
和 两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定
的情况；在 时，首先求得 为一个零点；再利用零点存在性定理求解出
中存在一个零点 ；根据 ，可确定另一个零点 ，从而可知
满足题意.
【详解】（1）由 ，得
则 ，
( )1 1 33 2 1p p p− − −
2 3p p>
( ) ( )ln , 02
x bf x ax a bx
= − + > 0x > ( ) 4 0f x f x
+ =
( )1 ( )f x
( )2 ( )f x a
1
4a ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 10 4a< < ( )f x
21 1 160, 2
a
a
− −
21 1 16 ,2
a
a
+ − +∞
( )f x
2 21 1 16 1 1 16,2 2
a a
a a
− − + −
10 4a< <
( ) 4 0f x f x
+ = 4b a= ( ) 4ln 2
x af x ax x
= − + 0∆ ≤
> 0∆ 1
4a ≥
10 4a< < 2x = 22
1,x a
0x ( )0
0
4 0f x f x
+ =
0
4
x
10 4a< <
( ) 4 2 4ln ln 02 4
x b a xbf x f axx x x x
+ = − + + − + = 4b a=
( ) 4ln 2
x af x ax x
= − + ( ) 2
2 2
1 4 4 ( 0)a ax x af x a xx x x
− + −′ = − − = >若 时，即 时， 在 单调递减
若 ，即 时， 有两个零点
零点为： ，
又 开口向下
当 时， ， ， 单调递减
当 时， ， ， 单调递增
当 时， ， ， 单调递减
综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在
和 上单调递减， 在
上单调递增
（2）由（1）知当 时， 单调递减，不可能有三个不同的零点；
当 时， 在 和 上单调递减， 在 上单调递增
，又 ，有
上单调递增， ，
令 ，
令 ， 单调递增
在
21 16 0a∆ = − ≤ 1
4a ≥ ( )f x ( )0, ∞+
21 16 0a∆ = − > 10 4a< < ( ) 2 4h x ax x a= − + −
2
1
1 1 16 02
ax a
− −= >
2
2
1 1 16 02
ax a
+ −= >
( ) 2 4h x ax x a= − + −
10 x x< < ( ) 0h x < ( ) 0f x′ < ( )f x
1 2x x x< < ( ) 0h x > ( ) 0f x′ > ( )f x
2x x> ( ) 0h x < ( ) 0f x′ < ( )f x
1
4a ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 10 4a< < ( )f x
21 1 160, 2
a
a
− −
21 1 16 ,2
a
a
+ − +∞
( )f x
2 21 1 16 1 1 16,2 2
a a
a a
− − + −
1
4a ≥ ( )f x
10 4a< < ( )f x ( )10, x ( )2 ,x +∞ ( )f x ( )1 2,x x
( ) 22 ln 2 2 02f a a= − + = 1 2 4x x = 1 22x x< <
( )f x ( )1 2,x x ( ) ( )1 2 0f x f< = ( ) ( )2 2 0f x f> =
( ) 4ln 2
x af x ax x
= − +
2 3
2
1 1ln2 4f a aa a
= − − +
( ) 2 31ln2 4g a a aa
= − − + ( ) 4
2
2 2 2
4 1 12 2 1' 122
a a ag a aa a a
− += − + + =
( ) 412 2 1h a a a= − + ( ) 348 2h a a=′ −由 ，求得
当 时， 单调递减，
在 上单调递增
故
故 ， ，
由零点存在性定理知 在区间 有一个根，设为：
又 ，得 ， ， 是 的另一个零点
故当 时， 存在三个不同的零点 ， ，
【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个
数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使
得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.
22.在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原
点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为
.
（1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值；
（2）若曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
( ) 348 2 0h a a −′ = = 0 3
1 1
424
a = >
10 4a< < ( )h a ( ) 1 3 1 1 04 64 2h a h > = − + >
( ) 2 3
2
1 1ln2 4f g a a aa a
= = − − +
10, 4
( )2
1 1 13ln2 4 04 16f g a ga
= < = − +
( )f x 22
1,x a
0x
( )0
0
4 0f x f x
+ =
0
4 0f x
=
1
0
40 xx
< <
0
4
x
( )f x
10 4a< < ( )f x
0
4
x 2 0x
xOy C
cos
2sin
x a t
y t
=
= t 0a >
x l
cos 2 24
πρ θ + = −
P C 2 3a = P l
C l a
4 2 (0,2 3)（1）将直线 极坐标方程转化成直角坐标，设出 P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助
角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点 P 到直线 的距离的最大值；
（2）由题意可知： ， 恒成立，利用辅助角公式，只需
，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 ,
化成直角坐标方程得 ,
∴直线 的方程为 ，
依题意，设 ，
则 到直线 的距离
，
当 ，即 ， 时， ，
故点 到直线 的距离的最大值为 .
（2）因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方，
， 恒成立，即 （其中 ）恒
成立，
∴ ，又 ，解得 .
故 取值范围 .
【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面
直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，
属于简单题目.
23.已知 ， ， 均为正实数，求证：
（1） ；
l
l
t R∀ ∈ cos 2sin 4 0a t t− + >
2 4 4a + < a
cos 2 24
πρ θ + = −
2 ( cos sin ) 2 22
ρ θ ρ θ− = −
2 ( ) 2 22 x y− = −
l 4 0x y− + =
(2 3 cos ,2sin )P t t
P l 4cos 46| 2 3 cos 2sin 4 |
2 2
tt td
π + + − + = =
2 2 2 2 cos( )6t
π= + +
26t k
π π+ = 2 6t k
ππ= − k Z∈ max 4 2d =
P l 4 2
C l
t R∀ ∈ cos 2sin 4 0a t t− + > 2 4 cos( ) 4 0a t ϕ+ + + > 2tan a
ϕ =
2 4 4a + < 0a > 0 2 3a< <
a (0,2 3)
a b c
( )2( ) 4a b ab c abc+ + ≥（2）若 ，则
【答案】证明过程详见解析
【解析】
【分析】
⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化
简后的不等式成立
⑵由基本不等式可得 ，同理可得另外两个也是成立，结合已知
条件即可求证结果
【详解】证明：(1)要证 ，
可证 ，需证 ，
即证 ，当且仅当 时，取等号，由已知，上式显然成立，
故不等式 成立．
(2)因 均为正实数，
由不等式的性质知 ，当且仅当 时，取等号，
当且仅当 时 ，取等号，
当且仅当 时，取等号，
以上三式相加，得
所以 ，当且仅当 时，取等号．
【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不
等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．
为
3a b c+ + = 1 1 1 3 2a b c+ + + + + ≤
1 2 31 2 2 2
a aa
+ + ++ ≤ =
( )( )2 4a b ab c abc+ + ≥
2 2 2 2 4 0a b ac ab bc abc+ + + − ≥ ( ) ( )2 2 2 2b 2 2 0a c ac a c b bc+ − + + − ≥
( ) ( )2 2 0b a c a c b− + − ≥ a b c= =
( )( )2 4a b ab c abc+ + ≥
, ,a b c
1 2 31 2 2 2
a aa
+ + ++ ≤ = 1 2a + =
1 2 31 2 2 2
b bb
+ + ++ ≤ = 1 2b + =
1 2 31 2 2 2
c cc
+ + ++ ≤ = 1 2c + =
( )2 1 1 1 62
a b c da b c
+ + ++ + + + + ≤ =
1 1 1 3 2a b c+ + + + + ≤ 1a b c= = =
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