河北省2020届高三数学下学期第九次模拟试题（Word版附解析）

2020 年高考数学第九次模拟测试试卷 一、选择题（共 12 小题） 1.已知全集 ,集合 ,集合 ,则下列结论中成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出 M 与 N 中不等式的解集，确定出 M 与 N，利用交并补运算即可做出判断． 【详解】由 ,得 ,由 ,∴ , ∴ ,故答案为 C. 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2.“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 方程 表示椭圆解得 或 ，根据范围大小判断得到答案. 【 详 解 】 因 为 方 程 表 示 椭 圆 ， 所 以 ， 解 得 或 . 故“ ”是“方程 表示椭圆”的充分不必要条件. 故选： U = R { }2 1xM x= < { }2log 1xN x= > M N M∩ = M N N∪ = ( )M N M∪∩ = ( )M N N∪ ∩ = 02 1 2x < = 0x < 2 2log 1 log 2x > = 2x > ( ) { } { }| 0 | 2 =MM N x x x x∪∩ = < ∩ ≤ 1 3m− < < 2 2 11 7 x y m m + =+ − 2 2 11 7 x y m m + =+ − 1 3m− < < 3 7m< < 2 2 11 7 x y m m + =+ − 1 0 7 0 1 7 m m m m + >  − >  + ≠ − 1 3m− < < 3 7m< < 1 3m− < < 2 2 11 7 x y m m + =+ − A【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 3.复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以通过复数的运算法则对复数 进行化简，得到 ，即可得 出复数 所对应的点的坐标，问题得解． 【详解】 ， 所以复数 所对应的点为 ，它在第二象限，故选 B． 【点睛】本题主要考查复数的运算法则以及复数所对应的点的坐标，考查运算能力，考查推 理能力，是简单题． 4.已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据数量积的几何意义可知， 在 方向上的投影为| |与向量 ， 夹角的余弦值的乘积， 即可求得答案． 【详解】设向量 与 的夹角是 ， 则向量 在 方向上投影为 . 故选： 【点睛】本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的求解公式是解决问题的关键，属基础 2 1 3 z i −= + i 2 1 3 z i −= + 1 3 2 2z i= − + z ( ) ( )( ) 2 2 1 32 2 2 3 2 2 3 1 3 1 3 4 2 21 3 1 3 1 3 i i iz iii i i - -- - + - += = = = = - +-+ + - z 1 3,2 2  −    a b 2a = 3b = 4a b⋅ =  a b 4 3 3 4 2 1 a b a a b a b θ a b 4cos 3 a ba b θ ⋅= =    A题． 5.若实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用基本不等式即可得出． 【详解】因为 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ，故 的最大值是 ， 故选： 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于基础题． 6.函数 y= sin2x 的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 x y 2 5 8x y+ = xy 8 8 5 16 16 5 22 52 5 162 x yx y + ⋅ ≤ =   2 5 4x y= = 10 16xy ≤ xy 8 5 B 2 x分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择. 详解：令 ， 因为 ，所以 为奇函数， 排除选项 A,B; 因为 时， ，所以排除选项 C，选 D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的 左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变 化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循 环往复． 7.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼 近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近 似值 3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输 出 n 的值为（ ）（参考数据： ） A 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】 列出循环过程中 与 的数值，满足判断框的条件即可结束循环. 【详解】执行程序框图，可得： π( ,π)2 | |( ) 2 sin 2xf x x= , ( ) 2 sin 2( ) 2 sin 2 ( )x xx R f x x x f x−∈ − = − = − = − | |( ) 2 sin 2xf x x= π( ,π)2x∈ ( ) 0f x < sin15 0.2588,sin7.5 0.1305° ≈ ° ≈ S n， ， 不满足条件 ， ， 不满足条件 ， ， 不满足条件 ， ， 满足条件 ，退出循环，输出 n 的值为 24. 故选：C. 【点睛】本题考查了循环程序框图的简单应用，属于基础题. 8.“幻方”最早记载于我国公元前 500 年的春秋时期《大戴礼》中．“ 阶幻方 ”是由前 个正整数组成的—个 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的 个数之和（简称幻和）相等，例如“3 阶幻方”的幻和为 15（如图所示）．则“5 阶幻方”的 幻和为（ ） A. 75 B. 65 C. 55 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】 计算 的和，然后除以 ，得到“5 阶幻方”的幻和. 【详解】依题意“5 阶幻方”的幻和为 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前 项和公式，属于基础题. 9.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下 部分的几何体的体积为( ) 3n = 3 31203 n 4si2S = ° = 3.10S ≥ 6, 3sin 60 3 3 2n S= = ° = 3.10S ≥ 12, 6 sin30 3n S= = × ° = 3.10S ≥ 24, 12 sin15 12 0.2588 3.1056n S= = × ° = × = 3.10S ≥ n ( )*3,n n≥ ∈N 2n n n 1 2 25+ + + 5 1 25 251 2 25 2 655 5 + ×+ + + = = nA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得 答案． 【详解】由已知中的三视图，圆锥母线 l= =2 ， 圆锥的高 h= =2， 圆锥底面半径为 r= =2， 截去的底面弧的圆心角为 120°， 底面剩余部分为 S= πr2+ r2sin120°= π+ ， 故几何体的体积为：V= Sh= ×（ π+ ）×2= + ，故选 D． 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高 平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图 的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 10.将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 函数 的一个单调递增区间是（ ） 8 153 π + 16 33 π + 8 2 3 3 3 π + 16 2 3 9 3 π + 2 22 35 ( )2 + 2 2 25 1− 2 2l h− 2 3 1 2 8 3 3 1 3 1 3 8 3 3 16 9 π 2 3 3 2( ) 3sin cos cosf x x x x= + 6 π ( )g x ( )g xA. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题题意，化简三角函数的解析式为 ，根据三函数的图象变换，求 得 的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得 ， 把 的图象向左平移 个单位， 可得 ， 由 ，解得 ， 即函数的单调递增区间为 ， 令 时，函数的单调递增区间为 ，故选 A 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三 角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题. 11.双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，渐近线分别为 ， ，过 点 且与 垂直的直线 交 于点 P，交 于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 记 为坐标原点，根据双曲线方程表示出左焦点 和两条渐近线方程 、 、 ：并将 ,02 π −   0, 2 π     ,6 3 π π −   - ,3 6 π π     ( ) 1sin 2 6 2f x x π = + +   ( )g x ( ) 2 3sin2 cos2 1 13sin cos cos sin 22 6 2 x xf x x x x x π+ +  = + = = + +   ( )f x 6 π ( ) 1 1 1sin[2( ) ] sin(2 ) cos26 6 2 2 2 2g x x x x π π π= + + + = + + = + 2 2 2 ,k x k k Zπ π π− ≤ ≤ ∈ ,2k x k k Z ππ π− ≤ ≤ ∈ [ , ],2k k k Z ππ π− ∈ 0k = [ ,0]2 π− 2 2 2 2 1,( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F 1l 2l 1F 1l l 1l 2l Q 12PQ F P=  2 3 O ( )1 0F c− ， 1l 2l l直 线 与 渐 近 线 方 程 ， 求 出 的 坐 标 ， 可 知 . 根 据 向 量 关 系 可 知 ，则得 ， ，再由余弦定理转化即可求解离心率. 【详解】记 为坐标原点.由题意可得 ，不妨设 ： ， ： ，则直 线 ： . 联立直线 与渐近线方程 ， ，解得 ， 则 ， 故由两点间距离公式可得 . 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 则在 中， . 因为 ，所以 ， 所以由补角性质可得 ， 整理得 ， 则 ，解得 . 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质简单应用，直线与双曲线的位置关系应用，由余弦定 理解三角形，齐次式法求双曲线渐近线方程，属于中档题. 12.对于任意 ， ，当 时，恒有 成立；则实数 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. l 1l P 1PF b OP a= =， 12PQ PF= 2PQ b= 2 2| | 4OQ a b= + O ( )1 0F c− ， 1l by xa = − 2l by xa = l ( )ay x cb = + l 1l ( )ay x cb by xa  = +  = − 2ax c aby c  = −  = 2 ,a abP c c  −   1PF b OP a= =， 12PQ F P=  12PQ PF= 2PQ b= 2 2| | 4OQ a b= + 1QOF 2 2 2 2 1 2 2 4 9cos 2 4 c a b bQOF c a b + + −∠ = + 2tan bQOF a ∠ = 2cos aQOF c ∠ = 2 2 2 2 1 2 2 2 co 4 9cos s 0 2 4 c a b b aQOF QOF cc a b + + − + =∠ + ∠ + = 4 2 2 44 3 0c a c a− + = 4 24 3 0e e− + = 3e = 1x 2 [1, )x ∈ +∞ 2 1x x> 2 2 1 1 ln 2( )xa x xx < − a ( ,0]−∞ ( ,1]−∞ ( ,2]−∞ ( ,3]−∞【答案】C 【解析】 【分析】 对 于 任 意 ， ， 当 时 ， 恒 有 成 立 ， 可 得 成立，令 ，可知函数 在 上单调递 减，求导，令 恒成立，即可求出 的取值范围． 【详解】对于任意 ， ，当 时，恒有 成立， 即 成立， 令 ，∴ ， ∴ 在 上单调递减， ∴ 在 恒成立，∴ 在 恒成立， ∵当 ， ，∴实数 的取值范围为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，导数和函数的单调性的关系，函数恒成立问题，将 题意转化为 在 单调递减是解题的关键，属于中档题. 二、填空题（共 4 小题） 13. 的展开式中的常数项为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先写出展开式的通项公式 ，然后结合所给的式子求解其常数项即 可. 【详解】三项式 展开式的通项公式为 ， 1x [ )2 1,x ∈ +∞ 2 1x x> ( )2 2 1 1 ln 2xa x xx < − 2 2 1 1ln 2 ln 2a x x a x x− < − ( ) ln 2f x a x x= − ( )f x [ )1,+∞ ( ) 0f x′ ≤ a 1x [ )2 1,x ∈ +∞ 2 1x x> ( )2 2 1 1 ln 2xa x xx < − 2 2 1 1ln 2 ln 2a x x a x x− < − ( ) ln 2f x a x x= − ( ) ( )2 1f x f x< ( )f x [ )1,+∞ ( ) 2 0af x x ′ = − ≤ [ )1,+∞ 2a x≤ [ )1,+∞ 1x ≥ 2 2x ≥ a ( ],2−∞ ( ) ln 2f x a x x= − [ )1,+∞ 61 2xx  − +   76− x y x y n x y n n xC C a b c − − − ( )na b c+ + x y x y n x y n n xC C a b c − − −所以 的展开式中的常数项为： ． 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给 出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含 条件，即 n，r 均为非负整数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是 根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 14.若函数 ，则不等式 的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据分段函数的表达式，对 进行分类讨论分别列出不等式组，求解即可． 【详解】据题意，得 或 ， 解得 或 ， ∴所求不等式的解集是 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，对 进行分类讨论是解决本题 的关键． 15.已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则 _______. 【答案】4041 【解析】 61 2xx  − +   1 2 3 6 1 1 1 4 2 2 2 2 3 3 6 5 6 4 6 1 1 12 ( ) 2 ( ) 2 ( )C C x C C x C xx x x      + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −           64 480 360 20 76= − + − = − ( ) 2 2 1, 03 2, 0 x xf x x x  − ≥=   − t 0y [ )1 + ∞，∴当 时， . 【点睛】本题考查了圆的方程及抛物线方程的综合应用，直线与圆、直线与抛物线方程的综 合应用，由导数求函数的最值，位置关系复杂，对思维能力要求高，属于难题. 21.已知函数 在 处的切线方程为 . (1)求函数 的解析式； (2)若关于 的方程 恰有两个不同的实根,求实数 的值； (3)数列 满足 . 证明：① ； ② . 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）把 x=3 代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于 a，b 方程，再由 得另一方程，联立求解 a，b 的值，则函数解析式可求； （2）把（1）中求出函数 f（x）的解析式代入方程 f（x）=k ex，然后转化为 k=e﹣x （x2﹣x+1），然后利用导数求函数 的极值，根据函数 的极值情况， 通过画简图得到使方程 k=e﹣x（x2﹣x+1），即方程 f（x）=k ex 恰有两个不同的实根时的实数 k 的值； （3）①利用作差法证明即可；（2）由 得到 ，分 别取 n=1，2，…，代入 后化简，则 的整数部分可求． 【详解】(1) ,依题设,有 即 ， 0 1y = 11mint = − 2( ) 1f x ax bx= + + 3x = 5 8y x= − ( )f x x ( ) xf x ke= k { }na * 1 12 (2), ( ),n na f a f a n N+= = ∈ 1 1n na a+ > > 1 2 3 2019 1 1 1 1S= + + + + 2a a a a