2020 北京延庆区高三一模数学
第一部分（选择题，共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项
1.已知复数 是正实数，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】因为 为正实数，
所以 且 ，解得 .
故选：C
【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.
2.已知向量 若 与 方向相同，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题 // ，且 与 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.
【详解】因为 与 方向相同，则存在实数 使 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解之得 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故答案选：D
2 2z a i a i= − − a
0 1 1− 1±
2 22 2 ( 1)z a i a i a a i= − − = − + −
2 0a− > 2 1 0a − = 1a = −
( ) ( )1, , ,2 ,a k b k= = a b k
1 2± 2− 2
a b a b
a b λ ( 0)a bλ λ= >
( ) ( )1, , ,2a k b k= = ( ,2 )b kλ λ λ=
1
2
k
k
λ
λ
=
=
2 2k = 0λ > 0k >
2k =【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.
3.下列函数中最小正周期为 的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数周期公式即可得到答案.
【详解】A 选项的最小正周期为 ；
B 选项的最小正周期为 ；
C 选项的最小正周期为 ；
D 选项的最小正周期为 .
故选：D
【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.
4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.
【详解】对于 A 选项，反比例函数 ，它有两个减区间，
对于 B 选项，由正切函数 的图像可知不符合题意；
对于 C 选项，令 知 ，
π
y sinx= 1
2y cos x= 2y tan x=
y sinx=
2 21T
π π= =
2 41
2
T
π π= =
2T
π=
1T
π π= =
1y x
= y tanx= x xy e e−= −
2, 0
2, 0
x xy x x
+ ≥= − lg5 ( 1)lg 4x x> +
2lg 2
1 3lg 2x > − 2 0.3010lg = 2lg 2 6.20621 3lg 2
≈−所以至少经过 年 产品的年产量会超过 产品的年产量.
故选：B
【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.
10.已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 的直线与双曲线 交于 两点，且
则 的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为 ，连接 ，即可得四边形 为平行四
边形，从而求出 ，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出 的值，利用
面积公式可求出 的面积，根据 和 的关系即可得到答案.
详解】
如图，设双曲线的左焦点为 ，连接 ，
依题可知四边形 的对角线互相平分，
则四边形 为平行四边形，由 可得 ，
依题可知 ，
由余弦定理可得：
即 ；
又因为点 在椭圆上，则 ，
【
7 A B
2 2
116 9
x yC − =： F O C ,A B
60AFB∠ = °， BOF
3 3
2
9 3
2
3
2
9
2
1F 1 1,AF BF 1AFBF
1F BF∠ 1|BF||BF|
1F BF 1F BF BOF
1F 1 1,AF BF
1AFBF
1AFBF 60AFB∠ = ° 1 120F BF∠ = °
1 2| | 2 2 16 9 10F F c= = + =
2 2 2
1 1 1 1|BF| +|BF| -2|BF||BF|cos | | |F BF F F∠ =
2 2
1 1|BF| +|BF| +|BF||BF| 100=
B 1||BF|-|BF|| 2 8a= =所以 .
两式相减得 ，即 ，
所以 的面积为：
因为 为 的中点，所以
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，
考查学生转化和化归的能力，属中档题.
第二部分（非选择题，共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分
11.已知集合 ,且 则 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由集合元素与几何的关系即可得到答案.
【详解】因为集合 ,且
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题.
12.经过点 且与圆 相切的直线 的方程是____________.
【答案】
【解析】
2 2
1 1|BF| +|BF| -2|BF||BF| 64=
13|BF||BF| 36= 1|BF||BF| 12=
1F BF
1 1 1
1 1 3| || | sin 12 3 32 2 2F BFS BF BF F BF= ∠ = × × =
O 1F F
1
1 3 3
2 2OBF F BFS S= =
| 1kM x x
= > − 3 M− ∈ ， k
( ,3)−∞
| 1kM x x
= > − 3 M− ∈ ，
13
k > −− 3k <
k ( ,3)−∞
( ,3)−∞
( )2,0M − 2 2 1x y+ = l
3 ( 2)3y x= ± +【分析】
设直线 方程为 ，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.
【详解】依题满足条件的直线斜率存在，
设直线 方程为： 即 .
又 的圆心为 ，半径为 ,
又直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
所以 ，解之得：
所以直线的方程为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.
13.已知函数 则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用倍角公式化简，代入即可得到答案.
【详解】
所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的倍角公式，代入法求值，属基础题.
14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商
品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该
网店
l ( 2)y k x= +
l ( 2)y k x= + 2 0kx y k− + =
2 2 1x y+ = (0,0) 1
l
2
| 2 | 1
1
k
k
=
+
3
3k = ±
3 ( 2)3y x= ± +
3 ( 2)3y x= ± +
( ) 2 22f x sin x sin x cos x= + − ，
12f
π =
1 3
2
−
( ) 2 22 sin 2 cos2f x sin x sin x cos x x x= + − = −
1 3 1 3sin cos12 6 6 2 2 2f
π π π − = − = − =
1 3
2
−①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
【答案】①16；②29
【解析】
【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为 B，第三
天售出商品的种类集为 C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有 19﹣3＝16 种；
②由①知，前两天售出的商品种类为 19+13﹣3＝29 种，第三天售出但第二天未售出的商
品有 18﹣4＝14 种，当这 14 种
商品第一天售出但第二天未售出的 16 种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这
三天售出的商品种类最少为 29 种．
故答案为①16；②29．
【名师点睛】本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于
分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结
合思想的运用.
15.在 中， 是 边的中点.若 ，则 的长等于
________；若 ，则 的面积等于____________.
【答案】 (1). 7 (2). 42
【解析】
【分析】
（1）依题可得 ，则有 ，利用向量运算即可得到答
案.
（2）在 和 中分别用正弦定理，求出 ，再利用 ，
，即可求得 ，再利用三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】（1）依题在 中， 是 的中点，
所以 所以
ABC 10AB D= ， BC 6 60AC A= ∠ = °， AD
45 6 2CAD AC∠ = ° =， ABC
1 ( )2AD AB AC= + 1| | | |2AD AB AC= +
ADC ADB△ AD DB， AD DB=
180ADB ADC∠ + ∠ = sin BAC∠
ABC D AB
1 ( )2AD AB AC= + 1| | | |2AD AB AC= + 又
所以
所以
所以 的长等于 .
（2）在 中，由正弦定理有：
所以 ；
在 中，由正弦定理有：
所以
因为 是 的中点，则 ， ,
所以 ，
所以 即 ，
所以
当 时，
当 时，
不符合题意，
所以 的面积为：
故答案为：（1） ；（2）
6, 60AC A= ∠ =
2 2
| | 2AB AC AB AB AC AC+ = + ⋅ +
2 210 2 10 6cos60 6 196 14= + × × + = =
1| | | | 72AD AB AC= + =
AD 7
ADC sin sin
AC
DAC
D
A C
C
D
=∠ ∠
sin 6 2 sin 45 6
sin sin sin
AC DACDC ADC ADC ADC
∠= = =∠ ∠ ∠
ADB△
sin sin
BD AB
BAD ADB
=∠ ∠
sin 10sin
sin sin
AB BAD BADBD ADB ADB
∠ ∠= =∠ ∠
D AB AD DB= 180ADB ADC∠ + ∠ =
sin sinADB ADC∠ = ∠
10sin 6BAD∠ = 3sin 5BAD∠ =
2 4cos 1 sin 5BAD BAD∠ = ± − ∠ = ±
4cos 5BAD∠ =
sin sin( 45 ) sin cos45 cos sin 45BAC BAD BAD BAD∠ = ∠ + = ∠ + ∠
2 2 3 4 7 2(sin cos ) ( )2 2 5 5 10BAD BAD= ∠ + ∠ = + =
4cos 5BAD∠ = −
sin sin( 45 )BAC BAD∠ = ∠ + 2 3 4 2( )2 5 5 10
−= − =
ABC
1 1 7 2sin 10 6 2 422 2 10ABCS AB AC BAC= ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
7 42【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及模的运算，考查正弦定理和三角形的面积公式，
考查学生推理和计算能力，属中档题.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
16.如图，四棱锥 的底面 是正方形， 是 的中点，
平面 ， 是棱 上的一点， 平面 .
（1）求证： 是 的中点；
（2）求证： 和 所成角等于
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）因为 平面 ，由线面平行的性质定理及三角形中位线的判定即可得证.
（2）由 平面 ，四边形 为正方形可证 平面 ,从而可证
平面 ，从而得证结论.
【详解】
（1）如图，联结 ，设 与 交于 ，联结 ，
因 平面 ，平面 平面 = ,所以 .
又因为四边形 是正方形，所以 是 的中点，
所以 是 的中位线，所以 是 的中点
为
P ABCD− ABCD 4AB PD PC O= ⊥， ， CD
PO ⊥ ABCD E PC / /PA BDE
E PC
PD BE 90 .°
/ /PA BDE
PO ⊥ ABCD ABCD BC ⊥ PDC PD ⊥
PBC
AC AC BD F EF
//PA BDE PAC BDE EF / /PA EF
ABCD F AC
EF PAC E PC（2）因为 平面 ，所以 .
因为四边形 是正方形，所以
又 ，所以 平面 ，所以
又因为 且 ，所以 平面
因为 平面 ，所以 ，
所以 与 成 角.
【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面平行的判定定理的运用，考查学生逻辑
推理能力，属中档题.
17.已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， .
（1）判断 是否是数列 中的项，并说明理由；
（2）求 的最值.从 ① ；② ；③ 中任选一个，补充在上面的问题中并
作答.
【答案】（1）不是，理由见解析；（2） 最小值-26，无最大值 .
【解析】
【分析】
（1）选择①，用等差数列的通项公式即可求出数列 的首项和公差，即可求出数列
的通项，令 ，求出的 若为整数则 是数列 中的项，否则不是.
（2）令 ，求出 的范围，从而可确定 的最大最小值情况.
【详解】选①
（1）选① ，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得
所以
令 ，则 ，此方程无正整数解
所以 不是数列 中的项.
PO ⊥ ABCD PO BC⊥
ABCD BC CD⊥
PO CD O= BC ⊥ PDC BC PD⊥
PD PC⊥ BC PC C∩ = PD ⊥ PBC
BE ⊂ PBC PD BE⊥
PD BE 90°
{ }na nS { }na n 10 16a =
2024 { }na
nS 8 10a = 8 8a = 8 20a =
nS
{ }na { }na
2024na = n 2024 { }na
0na > n nS
8 10a =
8 10a = { }na d
10
8
16
10
a
a
=
=
1
1
9 16
7 10
a d
a d
+ =
+ = 1
3
11
d
a
=
= −
1 ( 1) 11 ( 1) 3na a n d n= + − = − + − × 3 14n= −
3 14 2024n − = 3 2038n =
2024 { }na（2）令 ，即 ，解得：
所以当 时， 当 时，
所以当 时， 的最小值为 .
无最大值.
选②
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得
所以
令 ，则 ，此方程有正整数解
所以 是数列 中的项.
（2）令 ，即 ，解得：
所以当 时， 当 时，
所以当 或 时， 的最小值为 .
无最大值.
若选②
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得
所以
令 ，则 ，此方程无正整数解
所以不是数列 中的项.
（2）令 ，即 ，解得： ，
所以当 时， ，当 时， ，
0na > 3 14 0n − > 14 243 3n > =
5n ≥ 0,na > 4n ≤ 0,na <
4n = nS 4 11 8 5 2 26S = − − − − = −
nS
8 8a =
{ }na d
10
8
16
8
a
a
=
=
1
1
9 16
7 8
a d
a d
+ =
+ = 1
4
20
d
a
=
= −
1 ( 1) 20 ( 1) 4na a n d n= + − = − + − × 4 24n= −
4 24 2024n − = 512n =
2024 { }na
0na > 4 24 0n − > 6n >
7n ≥ 0,na > 6n ≤ 0,na ≤
5n = 6n = nS 5 6
6 56 ( 20) 4 602S S
×= = × − + × = −
nS
8 20a =
{ }na d
10
8
16
20
a
a
=
=
1
1
9 16
7 20
a d
a d
+ =
+ = 1
2
34
d
a
= −
=
1 ( 1) 34 ( 1) ( 2)na a n d n= + − = + − × − 36 2n= −
36 2 2024n− = 994n = −
{ }na
0na ≥ 36 2 0n− ≥ 18n ≤
18n > 0na < 18n > 0na ( ) 0f x′ = 1 2
1,x a x a
= − =则 时 随 的变化情况如下表：
0
0
递增 递减
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
若 存在最小值，则 时，
恒成立，即 ，
所以 即 在 恒成立，
所以 .又因为 ，所以 ，则 .
当 时， 解得
则 时 随 的变化情况如下表：
0
0
递减 递增
[0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x f x′、 x
x 10, a
1
a
1
a
+ ∞ ，
( )f x′ + −
( )f x 2 1a − 1( )f a
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
( )f x 21( )f aa
=
( )f x ( )0x∈ + ∞，
2( ) (0) 1f x f a≥ = −
2
2
2
2 1 11
ax a ax
+ − ≥ −+
( )2 22 1ax a x≥ − 2 1 1
2
a
a x
− ≤ (0, )x∈ +∞
2 1 02
a
a
− ≤ 0a > 2 1 0a − ≤ 0 1a< ≤
0a < ( ) 0f x′ = 1 2
1,x a x a
= − =
[0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x f x′、 x
x ( )0, a− a− ( )a− + ∞，
( )f x′ − +
( )f x 2 1a − 1−所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
若 存在最大值，则 时，
恒成立，即 ，
所以 即 在 恒成立，
所以 .又因为 ，所以 ，则 .
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最大值和最小值，考查学生的
运算求解能力，分类讨论和转化与化归的能力，属中档题.
20.已知椭圆 的左焦点为 且经过点 分
别是 的右顶点和上顶点，过原点 的直线 与 交于 两点（点 在第一象限），且与
线段 交于点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若 的面积是 的面积的 倍，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆的定义即可求出 的值，从而求出 ，从而得到答案.
（2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得 ，再利用弦长公
式即可得到答案.
（3）依题设出点 的坐标以及直线 的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，
( )f x ( )0, a− ( ),a− +∞
( )f x 1−
( )f x ( )0x∈ + ∞，
2( ) (0) 1f x f a≤ = −
2
2
2
2 1 11
ax a ax
+ − ≤ −+
( )2 22 1ax a x≤ − 2 1 1
2
a
a x
− ≤ (0, )x∈ +∞
2 1 02
a
a
− ≤ 0a < 2 1 0a − ≥ 1a ≤ −
a ( , 1] (0,1]−∞ − ∪
2 2
2 2 1( 0)x y a ba bG + = > >： ( )2,0 ,F − ( )2,1 , ,C A B−
G O l G ,P Q Q
AB M
G
3PQ = l
BOP△ BMQ 4 l
2 2
14 2
x y+ = 14
2y x= 9 2 8
14y x
±=
a b
1 2 1 2,x x x x+
, ,P Q M l从而求出直线 的斜率，从而求出直线直线 的方程.
【详解】（1）依题知 则椭圆的右焦点为 ，
因为点 在椭圆上，且 ，
又 ，所以 ，所以
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）因为点 在第一象限，所以直线 的斜率存在，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
设直线 与该椭圆的交点为 ，
由 可得 ，
易知 ，且 ，
则
，所以 ，
又 ，所以直线 的方程为 .
（3）设 ， ，则 ，
易知 ， .由 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 .
若 的面积是 的面积的 4 倍，
则 ,由 关于原点对称，可得 ,
l l
2c = 1 2 0F（ ，）
( )2,1C − 2 2
1| | 2+ 2 +1 =3CF = （ ）
| | 1CF = 12 | | | | 4a CF CF= + = 2a =
2 2 2 4 2 2b a c= − = − =
2 2
14 2
x y+ =
Q l
l ( 0)k k > l y kx=
l 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2 22 4
y kx
x y
=
+ =
2 2(1 2 ) 4 0k x+ − =
> 0∆ 1 2 1 2 2
40, 1 2x x x x k
−+ = = +
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) 4PQ x x y y k x x x x= − + − = + + −
2
2
2 2
4 11 0 4 4 31 2 1 2
kk k k
− += + − = =+ +
2 7 14,2 2k k= = ±
0k > l 14
2y x=
( , )m mM x y ( )0 0,Q x y ( )0 0,P x y− −
00 2x< < 00 1y< < ( )2,0A (0, 2)B
AB 12 2
x y+ = 2 2 0x y+ − =
BOP∆ BMQ∆
| | 4 | |OP MQ= ,P Q | | | |OP OQ=所以 ，所以 即 ① .
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
由 得 ，
代入①可得 ,
化简得 ，解得 ，
所以直线 的方程为： .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式等，考查运算求
解能力，方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.
21.在数列 中，若 且 则称 为“
数列”.设 为“ 数列”，记 的前 项和为
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）证明： 中总有一项为 或 .
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式列出数列 中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;
（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;
（3）首先证明：一定存在某个 ，使得 成立，再进行检验即可得到答案.
| | 4 | |OQ MQ= 3| | | |4OM OQ= 0
3
4mx x=
l y kx=
+ 2 2 0
y kx
x y
= − =
2
1 2mx
k
=
+
2 22 4
y kx
x y
=
+ = 0 2
2
1 2
x
k
=
+
2
1 2k+ 2
3 2
4 1 2k
= ⋅
+
214 18 2 7 0k k− + = 9 2 8
14k
±=
l 9 2 8
14y x
±=
{ }na *,na N∈ ( )1
, 1,2,3,···2
3,
n
n
n
n n
a aa n
a a
+
= =
+
是偶数 ，
是奇数
{ }na J
{ }na J { }na n .nS
1 10a = 3nS
3 17S = 1a
{ }na 1 3
3 7 16nS n= + 1 5a =
{ }na
ia 6ia ≤【详解】（1）当 时， 中的各项依次为 ，
即数列 从第四项开始每三项是一个周期，
所以 ， ，
，
所以 .
（2）① 若 是奇数，则 是偶数， ，
由 ，得 ，解得 ，适合题意.
② 若 是偶数，不妨设 ，则 .
若 是偶数，则 ，由 ，
得 ，此方程无整数解；
若 是奇数，则 ，由 ，
得 ，此方程无整数解.
综上， .
（3）首先证明：一定存在某个 ，使得 成立.
否则，对每一个 ，都有 ，
则在 为奇数时，必有 ；
在 为偶数时，有 ，或 .
因此，若对每一个 ，都有 ，则 单调递减，
注意到 ，显然这一过程不可能无限进行下去，
所以必定存在某个 ，使得 成立.
经检验，当 ，或 ，或 时， 中出现 ；
当 时， 中出现 ，
1 10a = { }na 10,5,8,4,2,1,4,2,1,
{ }na
3 1 2 3 23S a a a= + + = 6 3 4 5 6 4 2 1 7S S a a a− = + + = + + =
9 6 7 8 9 3 3( 1)4 2 1 7 7n nS S a a a S S −− = + + = + + = − =
3 23 7( 1) 7 16nS n n= + − = +
1a 2 1 3a a= + 2 1
3
3
2 2
a aa
+= =
3 17S = 1
1 1
3( 3) 172
aa a
++ + + = 1 5a =
1a *
1 2 ( )a k k= ∈ N 1
2 2
aa k= =
k 2
3 2 2
a ka = = 3 17S =
2 172
kk k+ + =
k 3 3a k= + 3 17S =
2 3 17k k k+ + + =
1 5a =
ia 6ia ≤
*i∈N 6ia >
ia 2
3
2
i
i i
aa a+
+= <
ia 2 32
i
i i
aa a+ = + < 2 4
i
i i
aa a+ = <
*i∈N 6ia > 1 3 5, , ,a a a
*
na ∈N
ia 6ia ≤
2ia = 4ia = 5ia = { }na 1
6ia = { }na 3综上， 中总有一项为 或 .
【点睛】本题主要考查递推数列以及推理知识的综合应用，考查学生逻辑思维能力、运算求
解能力和推理论证能力，属中档题.
{ }na 1 3
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