1 / 12
西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试
数 学 2020.5
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
01．设集合 ， ，则 =
（A） （B） （C） （D）
02．若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
03．下列函数中，值域为 且区间 上单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
04．抛物线 的准线方程为
（A） （B） （C） （D）
05．在 中，若 ，则其最大内角的余弦值为
（A） （B） （C） （D）
06．设 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A）6 （B）4 （C）3 （D）2
08．若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
09．若向量 与 不共线，则“ ”是“ ”的
{ }3A x x= < { }2 ,B x x k k= = ∈Z A B
{ }0,2 { }2,2− { }2,0,2− { }2, 1,0,1,2− −
z i 1 iz ⋅ = − + z
R (0, )+∞
3y x= − y x x= 1y x−= y x=
2 4x y=
1x = 1x = − 1y = 1y = −
ABC∆ : : 4:5:6a b c =
1
8
1
4
3
10
3
5
0.23a = 3log 2b = 0.2log 3c =
a c b> > a b c> > b c a> > b a c> >
2 2 4 2 0x y x y a+ − + + = x y a
( ,1]−∞ ( ,0]−∞ [0, )+∞ [5, )+∞
a b 0• +a b a b 2 / 12
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
10．设函数 ．若关于 的不等式 有且仅有一个整数解，则正数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．设平面向量 ， 满足 ，则 ____．
12．若双曲线 经过点 ，则该双曲线渐近线的方程为____．
13．设函数 ，则函数 的最小正周期为____；若对于任意 ，都有
成立，则实数 的最小值为____．
14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如
下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖
未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，
____．
甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖
甲的猜测 √ × × √
乙的猜测 × ○ ○ √
丙的猜测 × √ × √
丁的猜测 ○ ○ √ ×
15．在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， ， 分别是棱
的中点，对于平面 截四棱锥 所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于 ；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥 四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在几何体 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ， ，且
．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求钝二面角 的余弦值．
( ) ( 1)exf x x= − x ( ) 1f x ax< − a
(0,e] 2(0,e ]
2e1, 2
2e 11, 2
+
(1, 2)= −a ( ,2)k=b ⊥a b =b
2 2
2 1( 0)16
x y aa
− = > (2,0)
2( ) sin 2 2cosf x x x= + ( )f x x∈R ( )f x m≤
m
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 4PA AB= = , ,E F H
, ,PB BC PD EFH P ABCD−
4 6
P ABCD−
ABCDEF ABCD 2 DE ⊥ ABCD DE BF∥
2 2DE BF= =
BCF ∥ ADE
D AE F− − 3 / 12
17．（本小题满分 14 分）
从①前 项和 ，② ，③ 且 这三个条件中任选一个，
补充到下面的问题中，并完成解答．
在数列 中， ，_______，其中 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若 成等比数列，其中 ，且 ，求 的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分 14 分）
某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下
的发芽率，并按发芽率分为 8 组： ， ，…， 加以统计，得到
如图所示的频率分布直方图．
企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 的种子定为“A 级”，发芽率低于 但不低
n 2 ( )nS n p p= + ∈R 1 3n na a += − 6 11a = 1 22 n n na a a+ += +
{ }na 1 1a = *n∈N
{ }na
1, ,n ma a a *,m n∈N 1m n> > m
[0.486,0.536) [0.536,0.586) [0.836,0.886)
0.736 0.736 4 / 12
于 的种子定为“B 级”，发芽率低于 的种子定为“C 级”．
（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；
（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、15 元、
10 元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费 元，以频率为概率，
求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的 倍，那么对于这些康
乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若
发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 （不与 轴重合）交椭圆 于点 ，直线 分别与直线 交于点 ，
，求 的大小．
20．（本小题满分 15 分）
设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）已知函数 为偶函数，求 的值；
（Ⅱ）若 ，证明：当 时， ；
（Ⅲ）若 在区间 内有两个不同的零点，求 的取值范围．
0.636 0.636
X
X
1.1
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2 F ( ,0)A a 1AF =
C
F l x C ,M N ,MA NA 4x = P
Q PFQ∠
( ) e cosxf x a x= + a∈R
( )f x a
1a = 0x > ( ) 2f x >
( )f x [0,π] a 5 / 12
21．（本小题满分 14 分）
设 为正整数，区间 （其中 ， ）同时满足下列两个条件：
①对任意 ，存在 使得 ；
②对任意 ，存在 ，使得 （其中 ）．
（Ⅰ）判断 能否等于 或 ；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求 的最小值；
（Ⅲ）研究 是否存在最大值，若存在，求出 的最大值；若不在在，说明理由．
N [ , 1]k k kI a a= + ka ∈R 1,2, ,k N=
[0,100]x∈ k kx I∈
{ }1,2, ,k N∈ [0,100]x∈ ix I∉ 1,2, , 1, 1, ,i k k N= − +
( 1,2, , )ka k N= 1k − 12
k −
N
N N 6 / 12
西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试
数学参考答案 2020.5
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1．C 2．A 3．B 4．D 5. A
6. B 7. D 8. A 9. A 10. D
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11． 12． 13． ，
14．乙，丁 15．② ③
注：第 14 题全部选对得 5 分，其他得 0 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………… 3 分
同理，得 平面 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 . ……………… 6 分
（Ⅱ）由 平面 ，底面 为正方形，
得 两两垂直，故分别以 为 轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐
2 5 2y x= ± π 2 1+
//DE BF DE ⊂ ADE BF ⊄ ADE
//BF ADE
//BC ADE
BC BF B= BC ⊂ BCF BF ⊂ BCF
//BCF ADE
DE ⊥ ABCD ABCD
, ,DA DC DE , ,DA DC DE x y z
A B
C
F
E
D y
x
z 7 / 12
标系， ……………… 7 分
则 ， ， ， ，
所以 ， . ……… 8 分
设平面 的法向量 ，
由 ， ，得
令 ，得 . ………………11 分
平面 的法向量 .
设钝二面角 的平面角为 ，
则 ，
所以 ，即钝二面角 的余弦值为 . ……………… 14 分
17．（本小题满分 14 分）
解：选择 ①：
(Ⅰ) 当 时，由 ，得 . ……………… 2 分
当 时，由题意，得 ， ……………… 3 分
所以 （ ）. ……………… 5 分
经检验， 符合上式，
所以 . ……………… 6 分
(Ⅱ)由 成等比数列，得 ， ……………… 8 分
即 . ……………… 9 分
化简，得 ， ……………… 11 分
因为 ， 是大于 1 的正整数，且 ，
所以当 时， 有最小值 ． ……………… 14 分
选择 ②:
(Ⅰ)因为 ，所以 ． ……………… 2 分
所以数列 是公差 的等差数列． ……………… 4 分
(0,0,0)D (0,0,2)E (2,2,1)F (2,0,0)A
( 2,0,2)AE = − (0,2,1)AF =
AEF ( , , )x y z=n
0AE ⋅ = n 0AF ⋅ = n 2 2 0,
2 0,
x z
y z
− + =
+ =
1y = ( 2,1, 2)= − −n
DAE (0,1,0)=m
D AE F− − θ
1| cos | | cos , | | || | | | 3
θ ⋅= < > = =⋅
m nm n m n
1cos 3
θ = − D AE F− − 1
3
−
1n = 1 1 1S a= = 0p =
2n≥ 2
1 ( 1)nS n− = −
1 2 1n n na S S n−= − = − 2n≥
1 1a =
2 1 ( )na n n= − ∈N*
1, ,n ma a a 2
1n ma a a=
2(2 1) 1 (2 1)n m− = × −
2 21 12 2 1 2( )2 2m n n n= − + = − +
m n m n>
2n = m 5
1 3n na a += − 1 3n na a+ − =
{ }na 3d = 8 / 12
所以 . ……………… 6 分
(Ⅱ)由 成等比数列，得 ， ……………… 8 分
即 . ……………… 9 分
化简，得 ， ……………… 11 分
因为 ， 是大于 1 的正整数，且 ，
所以当 时， 取到最小值 6． ……………… 14 分
选择 ③：
(Ⅰ) 由 ，得 .
所以数列 是等差数列． ……………… 2 分
又因为 ， ，
所以 ． ……………… 4 分
所以 . ……………… 6 分
(Ⅱ) 因为 成等比数列，所以 ， ……………… 8 分
即 . ……………… 9 分
化简，得 ， ……………… 11 分
因为 ， 是大于 1 的正整数，且 ，
所以当 时， 有最小值 ． ……………… 14 分
18．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）设事件 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，
……………… 1 分
由图表，得 ，
解得 . ……………… 2 分
由图表，知“C 级”种子的频率为 ， ………… 3 分
故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为 .
因为事件 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事
件，
1 ( 1) 3 2 ( )na a n d n n= + − = − ∈N*
1, ,n ma a a 2
1n ma a a=
2(3 2) 1 (3 2)n m− = × −
2 22 23 4 2 3( )3 3m n n n= − + = − +
m n m n>
2n = m
1 22 n n na a a+ += + 1 2 1n n n na a a a+ + +− = −
{ }na
1 1a = 6 1 5 11a a d= + =
2d =
1 ( 1) 2 1( )na a n d n n= + − = − ∈N*
1, ,n ma a a 2
1n ma a a=
2(2 1) 1 (2 1)n m− = × −
2 21 12 2 1 2( )2 2m n n n= − + = − +
m n m n>
2n = m 5
M
(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.2 0.4) 0.05 1a+ + + + + + + × =
2.4a =
(0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2+ + × =
0.2
M 9 / 12
所以事件 的概率 . ……………… 5 分
（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为 ，
恰好是“B 级”康乃馨的概率为 ，
恰好是“C 级”的概率为 . ……………… 7 分
随机变量 的可能取值有 ， ， ， ， ，
且 ，
，
，
，
. ……………… 9 分
所以 的分布列为：
……………… 10 分
故 的数学期望 .
……………… 11 分
（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14 分
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得 ， ， …………… 3 分
从而 ，
所以椭圆 的方程为 ． … 5 分
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，有 ， ， ， ， ，
则 ， ，故 ，即 ． ………… 6 分
M ( ) 1 0.2 0.8P M = − =
(4.4 1.2 0.4) 0.05 0.3+ + × =
(4.0 6.0) 0.05 0.5+ × =
(0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2+ + × =
X 20 25 30 35 40
( 20) 0.2 0.2 0.04P X = = × =
( 25) 0.2 0.5 0.5 0.2 0.2P X = = × + × =
( 30) 0.5 0.5 0.3 0.2 0.2 0.3 0.37P X = = × + × + × =
( 35) 0.3 0.5 0.5 0.3 0.3P X = = × + × =
( 40) 0.3 0.3 0.09P X = = × =
X
X 20 25 30 35 40
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
X ( ) 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31E X = × + × + × + × + × =
1 ,2
1,
c
a
a c
=
− =
2a = 1c =
2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =
l 3(1, )2M 3(1, )2N − (4, 3)P − (4,3)Q (1,0)F
(3, 3)FP = − (3,3)FQ = 0FP FQ⋅ = 90PFQ∠ =
M
P
AF
N
x
y
O
Q 10 / 12
当直线 的斜率存在时，设 ，其中 ． ……………… 7 分
联立 得 ． ……………… 8 分
由题意，知 恒成立，
设 ， ，则 ， ． ………… 9 分
直线 的方程为 ． ……………… 10 分
令 ，得 ，即 ． ……………… 11 分
同理可得 ． ……………… 12 分
所以 ， ．
因为
，
所以 ．
综上， . ……………… 14 分
20．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）函数 为偶函数，
所以 ，即 ， ……………… 2 分
解得 .
验证知 符合题意. ……………… 4 分
（Ⅱ） . ……………… 6 分
由 ，得 ， ， ……………… 7 分
则 ，即 在 上为增函数.
故 ，即 . ………………9 分
（Ⅲ）由 ，得 .
设函数 ， ， ……………… 10 分
l : ( 1)l y k x= − 0k ≠
2 2
( 1),
3 4 12,
y k x
x y
= −
+ =
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
0∆ >
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
−= +
MA 1
1
( 2)2
yy xx
= −−
4x = 1
1
2
2P
yy x
= −
1
1
2(4, )2
yP x −
2
2
2(4, )2
yQ x −
1
1
2(3, )2
yFP x
= −
2
2
2(3, )2
yFQ x
= −
1 2
1 2
49 ( 2)( 2)
y yFP FQ x x
⋅ = + − −
2
1 2
1 2
4 ( 1)( 1)9 ( 2)( 2)
k x x
x x
− −= + − −
2
1 2 1 2
1 2 1 2
4 [ ( ) 1]9 2( ) 4
k x x x x
x x x x
− + += + − + +
2 2
2
2 2
2 2
2 2
4 12 84 ( 1)4 3 4 39 4 12 16 44 3 4 3
k kk k k
k k
k k
− − ++ += + − − ++ +
2 2 2 2
2 2 2
4 [(4 12) 8 (4 3)]9 (4 12) 16 4(4 3)
k k k k
k k k
− − + += + − − + + 0=
90PFQ∠ =
90PFQ∠ =
( )f x
( π) (π)f f− = π πe 1 e 1a a− − = −
0a =
0a =
( ) e sinxf x x′ = −
0x > e 1x > sin [ 1,1]x∈ −
( ) e sin 0xf x x′ = − > ( )f x (0, )+∞
( ) (0) 2f x f> = ( ) 2f x >
( ) e cos 0xf x a x= + = cos
ex
xa = −
cos( ) ex
xh x = − [0,π]x∈ 11 / 12
则 . ……………… 11 分
令 ，得 .
随着 变化， 与 的变化情况如下表所示：
0
↗ 极大值 ↘
所以 在 上单调递增，在 上单调递减. ……………… 13 分
又因为 ， ， ，
所以当 时，方程 在区间 内有两个不同解，且在区间 与
上各有一个解.
即所求实数 的取值范围为 . ……………… 15 分
21．（本小题满分 14 分）
解：(Ⅰ) 可以等于 ，但 不能等于 . ……………… 3 分
(Ⅱ) 记 为区间 的长度，
则区间 的长度为 ， 的长度为 .
由①，得 . ……………… 6 分
又因为 ， ， ， 显然满足条件①，②.
所以 的最小值为 . ……………… 8 分
(Ⅲ) 的最大值存在，且为 . ……………… 9 分
解答如下：
（1）首先，证明 .
由②,得 互不相同，且对于任意 ， .
不妨设 .
sin cos( ) ex
x xh x
+′ =
( ) 0h x′ = 3π
4x =
x ( )h x′ ( )h x
x 3π(0, )4
3π
4
3π( ,π)4
( )h x′ + −
( )h x
( )h x 3π(0, )4
3π( ,π)4
(0) 1h = − π(π) eh −=
3π
43π 2( ) e4 2h
−=
3π
π 42[e , e )2a
−−∈ cos
ex
xa = − [0,π] 3π[0, )4
3π( ,π]4
a
3π
π 42[e , e )2
−−
ka 1k − ka 12
k −
b a− [ , ]a b
[0,100] 100 kI 1
100N≥
1 [0,1]I = 2 [1,2]I = 100 [99,100]I =
N 100
N 200
200N ≤
1 2, , , NI I I k [0,100]kI ≠ ∅
1 2 na a a< < <
1 1 1k ka a+ − +≤ 1 1k k kI I I− +⊆
[0,100]x∈ ix I∉ ( 1,2, , 1, 1, )i k k N= − +
1 1 1k ka a+ −> +
4 2 1 1a a> + > 6 4 1 2a a> + > 200 198 1 99a a> + >
200 1 100a + >
1 2 200 [0,100]I I I ⊇
201I [0,100]x∈ ix I∉ ( 1,2, ,200)i =
200N ≤
200N =
1 100 ( 1)2 199ka k= − + − 1,2, ,200k = 1 2 200, , ,a a a
100
199d =
1d < 1k kI I + ≠ ∅ 1 2 200
1 201[ , ]2 2I I I = −
1 2 200, , ,I I I
100 1
199 2d = >
100 ( 1)199 kk I− ∈ 100 ( 1)199 ik I− ∉ ( 1,2, , 1, 1, )i k k N= − +
100 ( 1)199 k −
kI
1 2 200, , ,I I I
N 200
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