顺义区 2020 届高三第一次统练
数学试卷
考生须知：
1.本试卷共 5 页，共两部分，20 道小题，满分 150 分.考试时间 120 分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项）
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简 ,再和 求交集.
【详解】解： ,
又因为
所以 ,即 .
故选：A
【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.
2.设复数 ，则 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
先把复数化成 的形式,即可得出对于的象限.
( )( ){ }= 3 1 0M x x x− + < { }0 4N x x= < < M N =
( )0,3 ( )1,4− ( )0,1 ( )1,3−
M N
( )( ){ } { }= 3 1 0 | 1 3M x x x x x− + < = − < <
{ }0 4N x x= < <
{ }| 0 3M N x x = < < ( )0,3
1 2i
1 iz
+= − z
z a bi= +【详解】解：
所以 在复平面内对应的点在第二象限.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题.
3.若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性求解.
【详解】解： ,
,
,
所以 ,即 .
故选：A
【点睛】本题考查三个数大小的比较,是基础题,要注意对数函数、指数函数的单调性的合理运
用.
4.若 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质,特殊值排除法和基本不等式解题.
【详解】因为：
对于 A：当 ,所以 ,故 A 错误；
( )( )
( )( )
21 2 11 2 1 2 2 1 3 1 3
1 1 1 2 2 2 2
i ii i i i iz ii i i
+ ++ + + + − += = = = = − +− − +
z
3log 0.2a = 0.22b = 20.2c =
a c b< < a b c< < c a b< < b c a< <
3 3log 0.2 log 1 0a = < =
0.2 02 2 1b = > =
2 00 0.2 0.2 1c >
2ab > 2a b+ < 1 1
a b
<
2b a
a b
+ >
1b a> >
3 4,2 3a b= = 3 4 22 3ab = ´ =对于 B：因为 ,所以 ,故 B 错误；
对于 C：因为 ,所以 ,故 C 错误；
对于 D：因为 ,所以 ,
又因为 ,则 ,故不取等,即 ,故 D 正确；
故选：D
【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力.
5.抛物线 的焦点是双曲线 的一个焦点，则 （ ）
A. B. 8 C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出 的值.
【详解】解：抛物线 的焦点为 ,
双曲线 ,为 ,
则 , ,焦点为： 或 ,
所以有 ,解得 或 ,又因为 ,
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.
6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图
轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是
1b a> > 2a b+ >
1b a> > 1 10 1b a
< < <
1b a> > 2 2b a b a
a b a b
+ ≥ ⋅ =
1b a> > b a
a b
≠ 2b a
a b
+ >
( )2 2 0y px p= > 2 2x y p− = p =
2 2
p
( )2 2 0y px p= > ,02
p
2 2x y p− =
2 2
1x y
p p
− =
2 2c p= 2c p= ( )2 ,0p ( )2 ,0p−
22
p p= 0p = 8p = 0p >
8p =A. B. 12
C. D. 8
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为 2，高为 ，所
以侧面的斜高为 ，所以该几何体的侧面积为 ．
考点：三视图；四棱锥的侧面积．
点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体
图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系．
7.设非零向量 ， 满足 ，则“ ”是“ 与 的夹角为 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量垂直数量积等于零，利用充分性、必要性的定义即可求解.
【详解】由 ，则 ，即
，
若 ，则 ，即 与 的夹角为 ，充分性满足；
若 与 的夹角为 ，则 ，由 ，所以 ，必要性满足；
4 4 3+
4 3
3
( )2
3 +1=2 1= 2 2 4=82s × × ×
a b ( )2a b a− ⊥ a b=
a b
3
π
( )2a b a− ⊥ ( )2 0a b a− ⋅ = 2
2 0a a b− ⋅ =
2
2 cos , 0a a b a b⇒ − =
a b= 1cos , 2a b = a b
3
π
a b
3
π 2
0a a b− = 0a ≠ a b= 所以“ ”是“ 与 的夹角为 ” 充分必要条件.
故选：C
【点睛】本题考查了充分性、必要性定义，同时考查了向量的数量积定义运算，属于基础题.
8.当 时,若函数 的图象与 的图象有且只有一个交点,
则正实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,由二次函数的性质分析可得 为二次函数,在区间 为减函数,
在区间 为增函数,分 和 两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,
即可得出正实数 的取值范围.
【详解】解：当 时,又因为 为正实数,
函数 的图象二次函数,
在区间 为减函数,在区间 为增函数;
函数 ,是斜率为 的一次函数.
最小值为 ,最大值为 ;
①当 时,即 时,
函数 在区间 为减函数,
在区间 为增函数,
a b=
a b
3
π
[ ]0,1x∈ ( ) ( )21f x mx= − ( )
2
mg x x= +
m
[ )2,+∞ ( ] 50,2 ,+2
∞
5 ,2
+∞
( ] [ )20,1 ,+ ∞
( ) ( )21f x mx= − 10, m
1 ,1m
æ öç ÷ç ÷è ø 0 1m< ≤ 1m >
m
[ ]0,1x∈ m
( ) ( )21f x mx= −
10, m
1 ,1m
æ öç ÷ç ÷è ø
( )
2 2
m mg x x x= + = + 1
( )min 2
mg x = ( )max 1 2
mg x = +
1 1m
≥ 0 1m< ≤
( ) ( )21f x mx= − [ ]0,1
( )
2
mg x x= + [ ]0,1的图象与 的图象有且只有一个交点,
则 , 即
,解得 ,
所以
②当 时,即 时,
函数 在区间 为减函数,在区间 为增函数,
在区间 为增函数,
的图象与 的图象有且只有一个交点,
则 即
的图象与 的图象有且只有一个交点
,
解得 或
综上所述：正实数 的取值范围为 .
故选:B
【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数 的分类讨论.
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
9. ____.
【答案】
【解析】
( )f x ( )g x
( ) ( )max minf x g x≥ ( ) ( )max min0 0f g≥
( )20 1 2
mm× − ≥ 2m ≤
0 1m< ≤
10 1m
< < 1m >
( ) ( )21f x mx= − 10, m
1 ,1m
æ öç ÷ç ÷è ø
( )
2
mg x x= + [ ]0,1
( )f x ( )g x
( ) ( )max minf x g x≥ ( ) ( )max min0 0f g≥
( ) ( )21f x mx= − ( )
2
mg x x= +
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
1 1
m
f g
f g
>
≥
m ( ] 50,2 ,+2
∞
m
sin 6
π − =
1
2
−【分析】
根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.
【详解】解： .
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.
10.设 为公比 的等比数列 的前 项和,且 ， ， 成等差数列，则
__________, ________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先设等比数列的通项公式 ,再根据 , , 成等差数列,利用等差中项列方程,
求出公比,再代入 即可解出本题.
【详解】解：设等比数列的通项公式 ,
又因为 , , 成等差数列,
所以 ,即 ,
又因为等比数列中 ,则 ,解得 或 ,
又因为 ,所以 .
所以 .
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前 项和公式,属于基础题.
11.若函数 ，则函数 的零点是___________.
1sin sin6 6 2
π π − = − = −
1
2
−
nS 1q ≠ { }na n 13a 22a 3a q =
4
2
S
S
=
3 10
1
1
n
na a q −= 13a 22a 3a
4
2
S
S
1
1
n
na a q −=
13a 22a 3a
2 1 332 2a a a= +× 2
1 1 14 3q aa a q= +
1 0a ≠ 24 3q q= + 1q = 3q =
1q ≠ 3q =
( )
( )
4
1
4 4
4
2 22
2 1
1
1 1 3 801 101 1 3 81
1
a q
S qq
S qa q
q
−
− − −−= = = = =− − −−
−
3 10
n
( ) 2
, 0
1, 0
xe xf x
x x
≤= − >
( ) 1y f x= −【答案】0 或
【解析】
【分析】
先令 等于 ,再根据分段函数分情况求解.
【详解】解：要求函数 的零点,
则令 ,即 ,
又因为： ,
①当 时, ,
,解得 .
②当 时, ,
,解得 （负值舍去）,所以 .
综上所以,函数 的零点是 0 或 .
故答案为：0 或
【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题.
12.在 中，若 ， ， ，则 _________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解.
【详解】解：因为在 中, , , ,
由余弦定理： ,
,
所以 .
2
( ) 1y f x= − 0
( ) 1y f x= −
( ) 1 0y f x= − = ( ) 1f x =
( ) 2
, 0
1, 0
xe xf x
x x
≤= − >
0x ≤ ( ) xf x e=
1xe = 0x =
0x > ( ) 2 1f x x= −
2 1 1x − = 2x = ± 2x =
( ) 1y f x= − 2
2
ABC∆ 8ac = 7a c+ =
3B
π= b =
ABC∆ 8ac = 7a c+ =
3B
π=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
( )22 2 2 cos 3b a c ac ac p= + - -
2 2 17 2 8 2 8 252b = - ´ - ´ ´ =
5b =故答案为：
【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.
13.直线 与圆 相交于 两点,当 的面积达到最大时,
________.
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的方程找出圆心 坐标和半径 ,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直
线的距离公式表示出圆心 到直线的距离 ,即为圆 中弦 的弦心距,根据垂径定理得到
垂足为弦 的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出
弦 的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除 ,用含有 的式子表示出三角形
的面积,并利用基本不等式 求出面积的最大值,以及面积取得最大值时 的值,从
而列出关于 的方程,求出方程的解即可得到面积最大时 的值.
【详解】解：由圆 ,
得到圆心坐标为 ,半径 ,
把直线的方程为 ,
整理为一般式方程得： ,
.圆心 到直线 的距离
弦 的长度 ,
,
又因为 ,
当且仅当 时取等号, 取得最大值,最大值为 .
解得
故答案为：
5
: 1l y kx= + 2 2: 1O x y+ = ,A B AOB∆ k =
±1
O r
O d O AB
AB
AB 2 d AOB∆
2
a bab
+< d
k k
2 2: 1O x y+ =
( )0,0O 1r =
: 1l y kx= +
: 1 0l kx y− + =
( )0,0O AB 2
1
1
d
k
=
+
AB
2
2 2
22 2 1
kAB r d k
= − = +
2
2 22
11 12 12 1 11AOB
k kS k kk k k
\ = ´ ´ = =+ ++ +
1 12 2k kk k+ ³ × = 1
2AOBS\ £
1k k= AOBS
1
2
1k = ±
±1【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点
到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长
的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 ,观影人数记为 ,其函数
图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图
（3）中的实线分别为调整后 与 的函数图象.
给出下列四种说法:
①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即
可得出答案.
【详解】解:由图象(1)可设盈利额 与观影人数 的函数为 ,
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
y x
y x
y x
y x y kx b= +
0, 0k b> < k
0k = y b= b−
k
b b−故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
15.函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的值；
（2）求 在区间 的最大值与最小值及对应的 x 的值.
【答案】（1） ；（2） ，此时 ； ，此时 ；
【解析】
【分析】
（ 1 ） 首 先 利 用 二 倍 角 公 式 以 及 两 角 和 的 正 弦 公 式 的 逆 应 用 将 函 数 化 为
， 根 据 三 角 函 数 的 图 像 可 得
，利用周期公式 即可求解.
（2）由（1）可得函数 ，利用正弦函数的性质即可求解.
y
k
b b−
k b
( ) ( )2 3sin cos 3sin 02f x x x xω ω ω ω= ⋅ − + >
ω
( )f x ,3 3
π π −
1ω = ( )max 1f x =
12x
π= ( ) 3
2minf x = −
3x
π= −
( ) ( )sin 2 3 cos2 sin 2 02 2 3
xf x x x
ω πω ω ω = + = + >
52 6 3T
π π π = − =
2
2T
π
ω=
( ) ( )sin 2 03f x x
π ω = + > 【详解】（1）由 ，
则
，
由三角函数的图像可知 ，
所以 ，解得 .
（2）由（1）可得 ，
因为 ，所以 ，
当 即 时，函数 ；
当 即 时，函数 .
【点睛】本题考查了三角恒等变换、根据三角函数图像求解析式、三角函数的性质，属于基
础题.
16.已知四棱锥 中,底面 是正方形, 平面 , , 是
的中点.
（1）求证：平面 平面 ;
( ) ( )2 3sin cos 3sin 02f x x x xω ω ω ω= ⋅ − + >
( ) ( )1 3 32sin cos 1 cos22 2 2f x x x xω ω ω= ⋅ − − +
( )sin 2 3 cos2 sin 2 02 2 3
x x x
ω πω ω ω = + = + >
52 6 3T
π π π = − =
( )2 02T
π π ωω= = > 1ω =
( ) ( )sin 2 03f x x
π ω = + >
3 3x
π π− ≤ ≤ 23 3x
π π π− ≤ + ≤
2 3 2x
π π+ =
12x
π= ( )max 1f x =
2 3 3x
π π+ = −
3x
π= − ( ) 3
2minf x = −
P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD PD AB= E
PB
PBC ⊥ PCD（2）求二面角 的大小;
（3）试判断 所在直线与平面 是否平行,并说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2） （3）AE 与平面 PCD 不平行,详见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据条件证 平面 ,又因为 平面 ,所以可以证得平面 平
面 .
（2）根据条件得 两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面 的法向量
,设平面 的法向量 ,求出法向量 ,根据公式求出
两个法向量的余弦值,即可得出二面角 的大小.
（3）依题意可证 平面 ,则平面 的法向量为 ,又∵
,则 与 不垂直,证得 与平面 不平行.
【详解】（1）证明：∵ 正方形
∵ ⊥平面 , 平面 ,∴
∵ 平面
∴ 平面
又∵ 平面
∴平面 平面
（2）∵ 平面 , 平面
∴
又∵ 是正方形∴
∴ 两两垂直
∴以 为原点如图建系,设
∴ , , , , ,
∴
是
E AD B− −
AE PCD
45°
BC ⊥ PCD BC ⊂ PBC PBC ⊥
PCD
, ,DA DC DP ADB
(0,0,1)DP = ADE ( , , )n x y z= (0, 1,1)n = −
E AD B− −
AD ⊥ PCD PCD (1,0,0)DA =
1 1 1 1, , 02 2 2 2AE AE DA = − ⋅ ⋅ = − ≠
AE DA AE PCD
ABCD BC CD∴ ⊥
PD ABCD BC ⊂ ABCD PD BC⊥
PD CD D∩ = ,PD CD ⊂ PCD
BC ⊥ PCD
BC ⊂ PBC
PBC ⊥ PCD
PD ⊥ ABCD ,AD CD ⊂ ABCD
,PD AD PD CD⊥ ⊥
ABCD AD CD⊥
, ,DA DC DP
D 1PD AB= =
0,0,0D（ ） (1,0,0)A (0,1,0)C (1,1,0)B (0,0,1)P 1 1 1, ,2 2 2E
1 1 1(1,0,0), , ,2 2 2DA DE = =
又∵ 平面
∴平面 的法向量
设平面 的法向量
则 ,
∴
令 ,得 ∴
∴
∴二面角 的大小为
（3）∵ , ,
又 平面 ,∴ 平面
∴平面 的法向量为
又∵
∴ 与 不垂直,∴ 与平面 不平行
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中
的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.
17.某学校高三年级有 400 名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样
PD ⊥ ABCD
ADB (0,0,1)DP =
ADE ( , , )n x y z=
DA n⊥ DE n⊥
0
1 1 1 02 2 2
DA n x
DE n x y z
⋅ = = ⋅ = + + =
1z = 1, 0y x= − = (0, 1,1)n = −
1 2cos , 2| | | | 1 2
DP nDP n
DP n
⋅< >= = =
⋅ ⋅
E AD B− − 45°
PD AD⊥ AD CD⊥ PD CD D∩ =
,PD CD ⊂ PCD AD ⊥ PCD
PCD (1,0,0)DA =
1 1 1 1, , 02 2 2 2AE AE DA = − ⋅ ⋅ = − ≠
AE DA AE PCD的方法从中抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：
，整理得到如下频率分布直方图：
（1）若该样本中男生有 55 人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于 60 分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不
及格的概率；
（3）若规定分数在 为“良好”, 为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年
级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1） 人（2） （3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据样本总人数 100 人,中男生有 55 人,则可算出女生 45 人.再根据总人数是 400 人,按样
本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.
（2）由表可用 减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.
（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件 B,则 ,根据二项分布列出频率分
布列,计算数学期望
【详解】解：（1）∵样本中男生有 55 人,则女生 45 人
∴估计总体中女生人数 人
（2）设“不及格”为事件 A,则“及格”为事件
∴
[30,40),[40,50), [90,100]
[80,90) [ ]90,100
180 0.1
1
( ) 0.2 0.1 0.3BP = + =
45400 180100
× =
A
( ) 1 ( ) 1 (0.2 0.4 0.2 0.1) 0.1P A P A= − = − + + + =（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件 B,则
依题意可知：
,
所以,X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项
分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.
18.已知函数 ,其中
（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 存在最小值 ,求证: .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数 ,对函数求导,将 代入导函数求斜率,将
代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线 在点 处的切线方程；
（2）先求导得 ,讨论当 时, 恒成立,则 在
单调递增, 无最小值.当 时,令 得 或 （舍）
分别讨论 时和 时的单调性,得出所以 存在最小值,
( ) 0.2 0.1 0.3BP = + =
~ (3,0.3)X B
3( 0) 0.7P B = = 1 1 2
3( 1) 0.3 0.7P X C= =
2 2 1 3
3( 2) 0.3 0.7 , ( 3) 0.3P X C XP= = = =
( ) 3 0.3 0.9E X np= = × =
2( ) 2 lnf x x a x= − a R∈
2a = ( )y f x= ( )( )1, 1A f
( )f x Q 1Q ≤
2 3 0x y+ − =
2a = 2( ) 2 lnf x x a x= − 1x = 1x =
( )y f x= ( )( )1, 1A f
( )22
( ) ( 0)
x a
f x xx
−′ = > 0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
(0, )+∞ ( )f x 0a > ( ) 0f x′ = x a= x a= −
( )0,x a∈ ( ),x a∈ +∞ ( )f x.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为 ,则 得证.
【详解】解：（1） 时,
切线斜率
曲线 在点 处的切线方程为：
即：
（2）
①当 时, 恒成立
在 单调递增, 无最小值
②当 时,由 得 或 （舍）
时, , 在 单调递减
时, , 在 单调递增
所以 存在最小值,
下面证明 .
设函数
由 得 ,易知 在 单调递增,在 单调递减
所以 的最大值为
所以 恒成立, 得证.
【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及含有参数的不等式的证明，利用导数求极值,属
于中档题,分类讨论是关键.
19.已知椭圆 C： .
（1）求椭圆 C 的离心率；
( ) lnQ f a a a a= = − 1 1Q ≤
2a = 2 2( ) 4ln , (1) 1f x x x f= − =
4( ) 2f x x x
′ = −
(1) 2 4 2k f ′= = − = −
( )y f x= (1, (1))A f
1 2( 1)y x− = − − 2 3 0x y+ − =
( )222( ) 2 ( 0)
x aaf x x xx x
−′ = − = >
0a ≤ ( ) 0f x′ ≥
( )f x (0, )+∞ ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = x a= x a= −
( )0,x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0, a
( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),a +∞
( )f x ( ) lnQ f a a a a= = −
1Q ≤
( ) ln ( 0), ( ) 1 (ln 1) lng a a a a a g a a a′= − > = − + = −
( ) 0g a′ = 1a = ( )g a (0,1) (1, )+∞
( )g a (1) 1g =
( ) 1g a ≤ 1Q ≤
2 23 4 12x y+ =（2）设 分别为椭圆 C 的左右顶点,点 P 在椭圆 C 上,直线 AP,BP 分别与直线 相交
于点 M,N.当点 P 运动时,以 M,N 为直径的圆是否经过 轴上的定点？试证明你的结论.
【答案】（1） （2）以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 ,证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先将 转化为 ,根据椭圆的性质得到 ,即可求出离心率.
（2）根据椭圆方程求出 ,设 ,则 ①,分别求出
直线 和 的方程,再分别与 相交于点 和 ,设以
为直径的圆经过 轴上的定点 ,则 ,即 得
②,将①代入②得
解得 或 ,得出 为直径的圆是过定点 和 .
【详解】解：（1）由 得 ,
那么
所以
解得 , 所以离心率
（2）由题可知 ,
设 ,则 ①
直线 的方程：
令 ,得 ,从而 点坐标为
,A B 4x =
x
1
2 MN x ( )1,0 ( )7,0
2 23 4 12x y+ =
2 2
14 3
x y+ = , ,a b c
( 2,0), (2,0)A B− ( )0 0,P x y 2 2
0 0:3 4 12C x y+ =
AP BP 4x = M 0
0
64, 2
y
x
+ N 0
0
24, 2
y
x
− MN
x ( )1,0Q x MQ NQ⊥ 0MQ NQ⋅ =
( ) ( )( )
2
2 0
1
0 0
124 02 2
yx x x
− + =+ − ( )2
1 4 9x − =
1 1x = 1 7x = MN ( )1,0 ( )7,0
2 23 4 12x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 24, 3a b= =
2 2 2 1c a b= − =
2a = 1c = 1
2
ce a
= =
( 2,0), (2,0)A B−
( )0 0,P x y 2 2
0 0:3 4 12C x y+ =
AP 0
0
( 2)2
yy xx
= ++
4x = 0
0
6
2M
yy x
= + M 0
0
64, 2
y
x
+ 直线 的方程：
令 ,得 ,从而 点坐标为
设以 为直径的圆经过 轴上的定点 ,则
由 得 ②
由①式得 ,代入②得
解得 或
所以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 .
【点睛】本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题.
20.若无穷数列 满足：只要 ,必有 ,则称 具有性质 .
（1）若 具有性质 ,且 ,求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列,无穷数列 是等比数列, , ,
.判断 是否具有性质 ,并说明理由；
（3）设 是无穷数列,已知 .求证：“对任意 都具有性质
” 充要条件为“ 是常数列”.
【答案】（1） （2） 不具有性质 ,详见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 具 有 性 质 , 且 , 可 得 , 又 因 为 , ,
,则 ,代入数据即可得结果.
（2） , 得出 的公差和 的公比,即可设 和 的通项公
式,得出 .因为 ,则 , ,得出 ,
的
BP 0
0
( 2)2
yy xx
= −−
4x = 0
0
2
2N
yy x
= − N 0
0
24, 2
y
x
−
MN x ( )1,0Q x MQ NQ⊥
0MQ NQ⋅ = ( ) ( )( )
2
2 0
1
0 0
124 02 2
yx x x
− + =+ −
( )2 2 2
0 0 012 36 9 9 4y x x= − = − ( )2
1 4 9x − =
1 1x = 1 7x =
MN x ( )1,0 ( )7,0
{ }na *( , )p qa a p q N= ∈ 1 1p qa a+ += { }na P
{ }na P 1 2 41, 3, 1,a a a= = = 6 7 8 19a a a+ + = 3a
{ }nb { }nc 1 4 1b c= = 4 1 64b c= =
n n na b c= + { }na P
{ }nb *
1 sin ( )n n na b a n N+ = + ∈ 1,{ }na a
P { }nb
3 15a = { }na Ρ
{ }na P 1 4 =1a a= 2 5 =3a a= 3 6a a= 4 7 1a a= =
5 8 3a a= = 3 6 7 8 4 5a a a a a a= + + − −
1 4 1b c= = 4 1 64b c= = { }nb { }nc { }nb { }nc
421 20 4 n
n n na b c n −= + = − + 1 4 65a a= = 2 38a = 5
341
4a = 2 5a a≠所以 不具有性质 .
（3）先证充分性：当 为常数列时, .对任意给定的 ,只要 ,则由
,必有 .充分性得证.
再证必要性：用反证法证明.假设 不是常数列,则存在 ,使得 ,而
.证明存在满足 的 ,使得 ,但 .设
,取 ,使得 ,再根据条件类推,得出 不具有性质 ,矛
盾.必要性得证即可得出结论.
【详解】解：（1）因为 ,所以 , , , .
所以 ,又因为 ,解得
（2） 的公差为 ,所以 ,
的公比为 ,所以
所以 .
所以 , , ,因为 ,
所以 不具有性质 .
（3）证明充分性：
当 为常数列时, .
对任意给定的 ,只要 ,则由 ,必有 .
充分性得证.
证明必要性：用反证法证明.假设 不是常数列,则存在 ,
使得 ,而 .
下面证明存在满足 的 ,使得 ,但 .
设 ,取 ,使得 ,则
{ }na Ρ
{ }nb 1 1 sinn na b a+ = + 1a p qa a=
1 1sin sinp qb a b a+ = + 1 1p qa a+ +=
{ }nb k ∗∈Ν 1 2 kb b b b= = ⋅⋅⋅ = =
1kb b+ ≠ 1 sinn n na b a+ = + { }na 1 2 1ka a a += = ⋅⋅⋅ = 2 1k ka a+ +≠
( ) sinf x x x b= − − m ∗∈Ν m bπ > { }na P
1 4 =1a a= 2 5 =3a a= 3 6a a= 4 7 1a a= = 5 8 3a a= =
6 7 8 3 1 3a a a a+ + = + + 6 7 8 19a a a+ + = 3 15a =
{ }nb 21 ( )1 21 1 21 20nb n n= + − = −
{ }nc 1
4
1
4164 44
n
n
nc
−
− = ⋅ =
421 20 4 n
n n na b c n −= + = − +
1 4 65a a= = 2 38a = 5
341
4a = 2 5a a≠
{ }na P
{ }nb 1 1 sinn na b a+ = +
1a p qa a= 1 1sin sinp qb a b a+ = + 1 1p qa a+ +=
{ }nb k ∗∈Ν
1 2 kb b b b= = ⋅⋅⋅ = = 1kb b+ ≠
1 sinn n na b a+ = + { }na 1 2 1ka a a += = ⋅⋅⋅ = 2 1k ka a+ +≠
( ) sinf x x x b= − − m ∗∈Ν m bπ >, ,故存在 使得 .
取 ,因为 （ ）,所以 ,
依此类推,得 .
但 ,即 .
所以 不具有性质 矛盾.必要性得证.
综上,“对任意 , 都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列”
【点睛】本题考查数列新定义,考查等差、等比数列的定义,考查数列为基础的证明题.
( ) 0f m m bπ π= − > ( ) 0f m m bπ π− = − − < c ( ) 0f c =
1a c= 1 sinn na b a+ = + 1 n k≤ ≤ 2 1sina b c c a= + = =
1 2 1ka a a c+= = ⋅⋅⋅ = =
2 1 1 1sin sin sink k k ka b a b c b c+ + + += + = + ≠ + 2 1k ka a+ +≠
{ }na P
1a { }na P { }nb
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