2020 年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4 月份)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每道小题给出的四个
备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请将答案涂在机读卡上的相应位置上.)
1.集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算 ,再计算交集得到答案.
【 详 解 】 , , 故
.
故选: .
【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.
2.已知复数 是正实数,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.
【详解】因为 为正实数,
所以 且 ,解得 .
故选:C
【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.
3.下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
{ }2,A x x x R= > ∈ { }2 2 3 0B x x x= − − > A B =
(3, )+∞ ( , 1) (3, )−∞ − +∞ (2, )+∞ (2,3)
( ) ( ), 1 3,B = −∞ − +∞
{ } ( ) ( )2 2 3 0 , 1 3,B x x x= − − > = −∞ − ∪ +∞ { }2,A x x x R= > ∈
(3, )A B = +∞
A
2 2z a i a i= − − a
0 1 1− 1±
2 22 2 ( 1)z a i a i a a i= − − = − + −
2 0a− > 2 1 0a − = 1a = −
2y x= + y sinx= 3y x x= − 2xy =【解析】
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ,值域为 ,非奇非偶函数,排除;
B. ,值域为 ,奇函数,排除;
C. ,值域为 ,奇函数,满足;
D. ,值域为 ,非奇非偶函数,排除;
故选: .
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意 ,解得 , ,得到答案.
【 详 解 】 , 解 得 , , 故
.
故选: .
【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.
5.在平面直角坐标系 中,将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ,设直线 与
轴正半轴所成的最小正角为 ,则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
2y x= + R
y sinx= [ ]1,1−
3y x x= − R
2xy = ( )0, ∞+
C
{ }na n nS 3 1 42 5a a a= + =, 6S =
3 1 4 11 52 2 2 3a a a a da d = + = += + =, 1 4a = 1d = −
3 1 4 11 52 2 2 3a a a a da d = + = += + =, 1 4a = 1d = −
6 16 15 9S a d= + =
B
xOy ( )1,2A O 90° B OB x
α cosα
2 5
5
− 5
5
− 5
5
2
5
−设直线直线 与 轴正半轴所成的最小正角为 ,由任意角的三角函数的定义可以求得
的值,依题有 ,则 ,利用诱导公式即可得到答案.
【详解】如图,设直线直线 与 轴正半轴所成的最小正角为
因为点 在角 的终边上,所以
依题有 ,则 ,
所以 ,
故选:A
【点睛】本题考查三角函数 定义及诱导公式,属于基础题.
6.设 为非零实数,且 ,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
取 ,计算知 错误,根据不等式性质知 正确,得到答案.
【详解】 ,故 , ,故 正确;
取 ,计算知 错误;
故选: .
【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
7.某四棱锥的三视图如图所示,记 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ).
的
【
OA x β
sin β OA OB⊥ 90α β = +
OA x β
( )1,2A β
2 2
2 2 5sin 51 2
β = =
+
OA OB⊥ 90α β = +
2 5cos cos( 90 ) sin 5
α β β= + =- =-
a b c, , a c b c> >,
a b c+ > 2ab c> a b
2 c
+ >
1 1 2
a b c
+ >
1, 1, 2a b c= − = − = − ABD C
,a c b c> > 2a b c+ >
2
a b c
+ > C
1, 1, 2a b c= − = − = − ABD
C
SA. ,且 B. ,且
C. ,且 D. ,且
【答案】D
【解析】
【分析】
首先把三视图转换为几何体,根据三视图的长度,进一步求出个各棱长.
【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为四棱锥体,
如图所示:
所以: ,
, .
故选:D.
.
【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换,主要考查运算能力和转换能力及思维能力,
属于基础题.
8.已知点 ,点 在曲线 上运动,点 为抛物线的焦点,则 的最小值
为( )
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
2 2 S∉ 2 3 S∉ 2 2 S∉ 2 3 S∈
2 2 S∈ 2 3 S∉ 2 2 S∈ 2 3 S∈
2AB BC CD AD DE= = = = =
2 2AE CE= = 2 2(2 2) 2 2 3BE = + =
(2,0)M P 2 4y x= F
2| |
| | 1
PM
PF −
3 2( 5 1)− 4 5【分析】
如图所示:过点 作 垂直准线于 ,交 轴于 ,则 ,设
, ,则 ,利用均值不等式得到答案.
【 详 解 】 如 图 所 示 : 过 点 作 垂 直 准 线 于 , 交 轴 于 , 则
,
设 , ,则 ,
当 ,即 时等号成立.
故选: .
【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.
9.已知函数 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的
图象可以与原图象重合的变换方式有( )
P PN N y Q 1 1PF PN PQ− = − =
( ),P x y 0x >
2| | 4
| | 1
PM xPF x
= +−
P PN N y Q
1 1PF PN PQ− = − =
( ),P x y 0x > ( ) ( )2 222 2 2 2 4| | | | 4 4| | 1
x y x xPM P
P
M xF xQP x x
− + − += = = = + ≥−
4x x
= 2x =
D
( ) sinx
1 2sinxf x = +①绕着 轴上一点旋转 ;
②沿 轴正方向平移;
③以 轴为轴作轴对称;
④以 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到 , ,故函数是周期函数,轴对称图形,
故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.
【详解】 , , ,
当沿 轴正方向平移 个单位时,重合,故②正确;
, ,
故 ,函数关于 对称,故④正确;
根据图像知:①③不正确;
故选: .
【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像
综合应用.
10.设函数 若关于 的方程 有四个实数解
,其中 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
的
x 180°
x
x
x
( ) ( )2f x k f xπ+ =
2 2f x f x
π π − = +
( ) sin
1 2sin
xf x x
= +
( ) ( )
( ) ( )sin 2 sin2 1 2sin 2 1 2sin
x k xf x k f xx k x
ππ π
++ = = =+ + + k Z∈
x 2 ,k k Zπ ∈
cosin 2
2 1 2cos
s
s1 2 in 2
x
f x x
x
x
π
π
π
− − = = + + −
cosin 2
2 1 2cos
s
s1 2 in 2
x
f x x
x
x
π
π
π
+ + = = + + +
2 2f x f x
π π − = + 2x
π=
D
( ) 2 10 1 0
0
x x xf x lgx x
+ + ≤= >
,
, x ( ) ( )f x a a R= ∈
( )1 2 3 4ix i = ,,, 1 2 3 4x x x x< < < ( )( )1 2 3 4x x x x+ −
( ]0101, ( ]0 99, ( ]0100, ( )0 + ∞,【解析】
【分析】
画出函数图像,根据图像知: , , ,计算得到答案.
【详解】 ,画出函数图像,如图所示:
根据图像知: , ,故 ,且 .
故 .
故选:
【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题
1 2 10x x+ = − 3 4 1x x = 3
1 110 x≤ <
( ) 2 10 1 0
lg 0
x x xf x x x
+ + ≤= >
,
,
1 2 10x x+ = − 3 4lg lgx x= − 3 4 1x x = 3
1 110 x≤ <
( )( ) ( ]1 2 3 4 3
3
0110 ,99x x x x x x
∈
−
+ − = −
B的关键.
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
11.在二项式 的展开式中, 的系数为________.
【答案】60
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】二项式 的展开式通项为: ,
取 ,则 的系数为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.若向量 满足 ,则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意计算 ,解得答案.
【详解】 ,故 ,解得 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.
13.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,
二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份
从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下:
( )62 2x + 8x
( )62 2x + ( )62 12 2
1 6 62 2rr r r r r
rT C x C x
− −
+ = ⋅ = ⋅
2r = 8x 2 2
6 2 60C ⋅ =
60
( ) ( )2 2 1a x b x= = , , , 3a b⋅ = −
( ) ( )2ln 2f x a x x a x= + − + ( ) ( )' 2 2af x x ax
= + − +
( ) ( )' 4 2 tan 12 42 af a
π= + − + = = 2a =
( ) ( ) ( )( )1 2' 2 2 0x x aaf x x ax x
− −= + − + = = ( )2 2,a x e= ∈
0x ( ) ( )0 0
0
' 2 2 0af x x ax
= + − + =
02a x=
( )f x ( )01, x ( )0 ,x e
( ) ( ) ( ) ( )0
2 2
0 0 0 0i 0 0 0 0m n ln 2 2 ln 2 2a x x a x x xf x f x x x x+ − + = + − += =
2
0 0 0 02 ln 2x x x x= − −
( ) 22 ln 2g x x x x x= − − ( )' 2ln 2g x x x= −
( ) ( )' 2ln 2h x g x x x= = − ( ) 2' 2 0h x x
= − < ( )h x
( ) ( )1 ' 1 2h g= = − ( )' 2ln 2 0g x x x= − < ( )g x
( ) ( ) 2
ming x g e e> = − ( )1x e∈ , ( ) 2f x e> −
2
2: 12
xE y+ = 1l ( )0M m, 2l ( )0N n, 1l 2l
1 2l l, E A B, C D,
M N, E 1l x⊥ ABCD(Ⅱ)若直线 的斜率存在且不为 0,四边形 为平行四边形,求证: ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形 能否为矩形,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)计算得到故 , , , ,计算得到面积.
(Ⅱ) 设 为 ,联立方程得到 ,计算
,同理 ,根据
得到 ,得到证明.
(Ⅲ) 设 中点为 ,根据点差法得到 ,同理 ,故
,得到结论.
【详解】(Ⅰ) , ,故 , , ,
.
故四边形 的面积为 .
(Ⅱ)设 为 ,则 ,故 ,
设 , ,故 ,
1l ABCD 0m n+ =
ABCD
2 2
21, 2A
−
21, 2B
− −
21, 2C
21, 2D
−
1l ( )y k x m= −
2
1 2 2
2 2
1 2 2
4
2 1
2 2
2 1
k mx x k
k mx x k
+ = + − = +
2 2 2
2
2
16 8 81 2 1
k k mAB k k
− += + +
2 2 2
2
2
16 8 81 2 1
k k nCD k k
− += + +
AB CD= 2 2m n=
AB ( ),P a b 2 0a kb+ = 2 0c kd+ =
1 1
2PQk k k
= − ≠ −
( )1,0M − ( )1,0N 21, 2A
−
21, 2B
− −
21, 2C
21, 2D
−
ABCD 2 2S =
1l ( )y k x m= −
( )
2
2 12
x y
y k x m
+ =
= −
( )2 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k mx m k+ − + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
2 2
1 2 2
4
2 1
2 2
2 1
k mx x k
k mx x k
+ = + − = +,
同理可得 ,
,故 ,
即 , ,故 .
(Ⅲ)设 中点为 ,则 , ,
相减得到 ,即 ,
同理可得: 的中点 ,满足 ,
故 ,故四边形 不能为矩形.
【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的
计算能力和综合应用能力.
21.对于正整数 ,如果 个整数 满足 ,
且 ,则称数组 为 的一个“正整数分拆”.记
均为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数 ,设 是 的一个“正整数分拆”,且 ,求
的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: ;并求出使得等号成立的 的值.
(注:对于 的两个“正整数分拆” 与 ,当且仅当 且
时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) , , , , ;(Ⅱ) 为偶数时, , 为奇数
时, ;(Ⅲ)证明见解析, ,
( ) 2 2 2
22 2 2
1 2 1 2 1 2 2
16 8 81 1 4 1 2 1
k k mAB k x x k x x x x k k
− += + − = + + − = + +
2 2 2
2
2
16 8 81 2 1
k k nCD k k
− += + +
AB CD= 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
16 8 8 16 8 81 12 1 2 1
k k m k k nk kk k
− + − ++ = ++ +
2 2m n= m n≠ 0m n+ =
AB ( ),P a b
2
21
1 12
x y+ =
2
22
2 12
x y+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2 02
x x x x y y y y
+ − + + − = 2 0a kb+ =
CD ( ),Q c d 2 0c kd+ =
1 1
2 2 2PQ
d b d bk c a kd kb k k
− −= = = − ≠ −− − + ABCD
n ( )*k k N∈ 1 2 ka a a…, , , 1 21 ka a a n≤ ≤ ≤…≤ ≤
1 2 ka a a n+ +…+ = ( )1 2 ka a a…, , , n 1 2 ka a a…, , ,
1 2n kf a a a…, , , , ng
( )4n n ≥ ( )1 2 ka a a…, , , n 1 2a = k
n n nf g≤ n
n ( )1 2 ka a a…, , , ( )1 2 mb b b…, , , k m=
1 1 2 2 k ma b a b a b= = … =, , ,
( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2,2 ( )4 n
2
nk = n
1
2
nk
−= 2n = 4n =【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当 为偶数时, 最大为 ,当 为奇数时, 最大为 ,得到答案.
(Ⅲ) 讨论当 为奇数时, ,至少存在一个全为 1 的拆分,故 ,当 为偶数时,
根据对应关系得到 ,再计算 , ,得到答案.
【详解】(Ⅰ)整数 4 的所有“正整数分拆”为: , , , , .
(Ⅱ)当 为偶数时, 时, 最大为 ;
当 为奇数时, 时, 最大为 ;
综上所述: 为偶数, 最大为 , 为奇数时, 最大为 .
(Ⅲ)当 为奇数时, ,至少存在一个全为 1 的拆分,故 ;
当 为偶数时,设 是每个数均为偶数的“正整数分拆”,
则它至少对应了 和 的均为奇数的“正整数分拆”,
故 .
综上所述: .
当 时,偶数“正整数分拆”为 ,奇数“正整数分拆”为 , ;
当 时,偶数“正整数分拆”为 , ,奇数“正整数分拆”为 ,
故 ;
当 时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为 的奇数拆分外,至少多出一项各项均
为 的“正整数分拆”,故 .
综上所述:使 成立的 为: 或 .
【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
n k 2
nk = n k 1
2
nk
−=
n 0nf = n nf g< n
n nf g≤ 2 2 1f g= = 4 4 2f g= =
( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2,2 ( )4
n 1 2 3 ... 2ka a a a= = = = = k 2
nk =
n 1 2 3 1... 2, 3k ka a a a a−= = = = = = k 1
2
nk
−=
n k 2
nk = n k 1
2
nk
−=
n 0nf = n nf g<
n ( )1 2, ,..., ka a a
( )1,1,...,1 ( )1 21,1,..., 1, 1,..., 1ka a a− − −
n nf g≤
n nf g≤
2n = ( )2 ( )1,1 2 2 1f g= =
4n = ( )2,2 ( )4 ( )1,1,1,1 ( )1,3
4 4 2f g= =
6n ≥ 1
1 n nf g<
n nf g= n 2n = 4n =