北京市人大附中2020届高三数学4月模拟试题(Word版附解析)
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北京市人大附中2020届高三数学4月模拟试题(Word版附解析)

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资料简介
2020 年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4 月份) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每道小题给出的四个 备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请将答案涂在机读卡上的相应位置上.) 1.集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算 ,再计算交集得到答案. 【 详 解 】 , , 故 . 故选: . 【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题. 2.已知复数 是正实数,则实数 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案. 【详解】因为 为正实数, 所以 且 ,解得 . 故选:C 【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题. 3.下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C { }2,A x x x R= > ∈ { }2 2 3 0B x x x= − − > A B = (3, )+∞ ( , 1) (3, )−∞ − +∞ (2, )+∞ (2,3) ( ) ( ), 1 3,B = −∞ − +∞ { } ( ) ( )2 2 3 0 , 1 3,B x x x= − − > = −∞ − ∪ +∞ { }2,A x x x R= > ∈ (3, )A B = +∞ A 2 2z a i a i= − − a 0 1 1− 1± 2 22 2 ( 1)z a i a i a a i= − − = − + − 2 0a− > 2 1 0a − = 1a = − 2y x= + y sinx= 3y x x= − 2xy =【解析】 【分析】 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. ,值域为 ,非奇非偶函数,排除; B. ,值域为 ,奇函数,排除; C. ,值域为 ,奇函数,满足; D. ,值域为 ,非奇非偶函数,排除; 故选: . 【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意 ,解得 , ,得到答案. 【 详 解 】 , 解 得 , , 故 . 故选: . 【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力. 5.在平面直角坐标系 中,将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ,设直线 与 轴正半轴所成的最小正角为 ,则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 2y x= + R y sinx= [ ]1,1− 3y x x= − R 2xy = ( )0, ∞+ C { }na n nS 3 1 42 5a a a= + =, 6S = 3 1 4 11 52 2 2 3a a a a da d = + = += + =, 1 4a = 1d = − 3 1 4 11 52 2 2 3a a a a da d = + = += + =, 1 4a = 1d = − 6 16 15 9S a d= + = B xOy ( )1,2A O 90° B OB x α cosα 2 5 5 − 5 5 − 5 5 2 5 −设直线直线 与 轴正半轴所成的最小正角为 ,由任意角的三角函数的定义可以求得 的值,依题有 ,则 ,利用诱导公式即可得到答案. 【详解】如图,设直线直线 与 轴正半轴所成的最小正角为 因为点 在角 的终边上,所以 依题有 ,则 , 所以 , 故选:A 【点睛】本题考查三角函数 定义及诱导公式,属于基础题. 6.设 为非零实数,且 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 取 ,计算知 错误,根据不等式性质知 正确,得到答案. 【详解】 ,故 , ,故 正确; 取 ,计算知 错误; 故选: . 【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示,记 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ). 的 【 OA x β sin β OA OB⊥ 90α β = + OA x β ( )1,2A β 2 2 2 2 5sin 51 2 β = = + OA OB⊥ 90α β = + 2 5cos cos( 90 ) sin 5 α β β= + =- =- a b c, , a c b c> >, a b c+ > 2ab c> a b 2 c + > 1 1 2 a b c + > 1, 1, 2a b c= − = − = − ABD C ,a c b c> > 2a b c+ > 2 a b c + > C 1, 1, 2a b c= − = − = − ABD C SA. ,且 B. ,且 C. ,且 D. ,且 【答案】D 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为几何体,根据三视图的长度,进一步求出个各棱长. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为四棱锥体, 如图所示: 所以: , , . 故选:D. . 【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换,主要考查运算能力和转换能力及思维能力, 属于基础题. 8.已知点 ,点 在曲线 上运动,点 为抛物线的焦点,则 的最小值 为( ) A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 2 2 S∉ 2 3 S∉ 2 2 S∉ 2 3 S∈ 2 2 S∈ 2 3 S∉ 2 2 S∈ 2 3 S∈ 2AB BC CD AD DE= = = = = 2 2AE CE= = 2 2(2 2) 2 2 3BE = + = (2,0)M P 2 4y x= F 2| | | | 1 PM PF − 3 2( 5 1)− 4 5【分析】 如图所示:过点 作 垂直准线于 ,交 轴于 ,则 ,设 , ,则 ,利用均值不等式得到答案. 【 详 解 】 如 图 所 示 : 过 点 作 垂 直 准 线 于 , 交 轴 于 , 则 , 设 , ,则 , 当 ,即 时等号成立. 故选: . 【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力. 9.已知函数 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的 图象可以与原图象重合的变换方式有( ) P PN N y Q 1 1PF PN PQ− = − = ( ),P x y 0x > 2| | 4 | | 1 PM xPF x = +− P PN N y Q 1 1PF PN PQ− = − = ( ),P x y 0x > ( ) ( )2 222 2 2 2 4| | | | 4 4| | 1 x y x xPM P P M xF xQP x x − + − += = = = + ≥− 4x x = 2x = D ( ) sinx 1 2sinxf x = +①绕着 轴上一点旋转 ; ②沿 轴正方向平移; ③以 轴为轴作轴对称; ④以 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 计算得到 , ,故函数是周期函数,轴对称图形, 故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案. 【详解】 , , , 当沿 轴正方向平移 个单位时,重合,故②正确; , , 故 ,函数关于 对称,故④正确; 根据图像知:①③不正确; 故选: . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像 综合应用. 10.设函数 若关于 的方程 有四个实数解 ,其中 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 的 x 180° x x x ( ) ( )2f x k f xπ+ = 2 2f x f x π π   − = +       ( ) sin 1 2sin xf x x = + ( ) ( ) ( ) ( )sin 2 sin2 1 2sin 2 1 2sin x k xf x k f xx k x ππ π ++ = = =+ + + k Z∈ x 2 ,k k Zπ ∈ cosin 2 2 1 2cos s s1 2 in 2 x f x x x x π π π  −    − = =  +   + −   cosin 2 2 1 2cos s s1 2 in 2 x f x x x x π π π  +    + = =  +   + +   2 2f x f x π π   − = +       2x π= D ( ) 2 10 1 0 0 x x xf x lgx x  + + ≤=  > , , x ( ) ( )f x a a R= ∈ ( )1 2 3 4ix i = ,,, 1 2 3 4x x x x< < < ( )( )1 2 3 4x x x x+ − ( ]0101, ( ]0 99, ( ]0100, ( )0 + ∞,【解析】 【分析】 画出函数图像,根据图像知: , , ,计算得到答案. 【详解】 ,画出函数图像,如图所示: 根据图像知: , ,故 ,且 . 故 . 故选: 【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题 1 2 10x x+ = − 3 4 1x x = 3 1 110 x≤ < ( ) 2 10 1 0 lg 0 x x xf x x x  + + ≤=  > , , 1 2 10x x+ = − 3 4lg lgx x= − 3 4 1x x = 3 1 110 x≤ < ( )( ) ( ]1 2 3 4 3 3 0110 ,99x x x x x x  ∈   −  + − = − B的关键. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.在二项式 的展开式中, 的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】 直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式 的展开式通项为: , 取 ,则 的系数为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力. 12.若向量 满足 ,则实数 的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意计算 ,解得答案. 【详解】 ,故 ,解得 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力. 13.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治, 二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份 从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下: ( )62 2x + 8x ( )62 2x + ( )62 12 2 1 6 62 2rr r r r r rT C x C x − − + = ⋅ = ⋅ 2r = 8x 2 2 6 2 60C ⋅ = 60 ( ) ( )2 2 1a x b x= = , , , 3a b⋅ = − ( ) ( )2ln 2f x a x x a x= + − + ( ) ( )' 2 2af x x ax = + − + ( ) ( )' 4 2 tan 12 42 af a π= + − + = = 2a = ( ) ( ) ( )( )1 2' 2 2 0x x aaf x x ax x − −= + − + = = ( )2 2,a x e= ∈ 0x ( ) ( )0 0 0 ' 2 2 0af x x ax = + − + = 02a x= ( )f x ( )01, x ( )0 ,x e ( ) ( ) ( ) ( )0 2 2 0 0 0 0i 0 0 0 0m n ln 2 2 ln 2 2a x x a x x xf x f x x x x+ − + = + − += = 2 0 0 0 02 ln 2x x x x= − − ( ) 22 ln 2g x x x x x= − − ( )' 2ln 2g x x x= − ( ) ( )' 2ln 2h x g x x x= = − ( ) 2' 2 0h x x = − < ( )h x ( ) ( )1 ' 1 2h g= = − ( )' 2ln 2 0g x x x= − < ( )g x ( ) ( ) 2 ming x g e e> = − ( )1x e∈ , ( ) 2f x e> − 2 2: 12 xE y+ = 1l ( )0M m, 2l ( )0N n, 1l  2l 1 2l l, E A B, C D, M N, E 1l x⊥ ABCD(Ⅱ)若直线 的斜率存在且不为 0,四边形 为平行四边形,求证: ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形 能否为矩形,说明理由. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)计算得到故 , , , ,计算得到面积. (Ⅱ) 设 为 ,联立方程得到 ,计算 ,同理 ,根据 得到 ,得到证明. (Ⅲ) 设 中点为 ,根据点差法得到 ,同理 ,故 ,得到结论. 【详解】(Ⅰ) , ,故 , , , . 故四边形 的面积为 . (Ⅱ)设 为 ,则 ,故 , 设 , ,故 , 1l ABCD 0m n+ = ABCD 2 2 21, 2A  −    21, 2B  − −    21, 2C       21, 2D  −    1l ( )y k x m= − 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 2 2 1 k mx x k k mx x k  + = + − = + 2 2 2 2 2 16 8 81 2 1 k k mAB k k − += + + 2 2 2 2 2 16 8 81 2 1 k k nCD k k − += + + AB CD= 2 2m n= AB ( ),P a b 2 0a kb+ = 2 0c kd+ = 1 1 2PQk k k = − ≠ − ( )1,0M − ( )1,0N 21, 2A  −    21, 2B  − −    21, 2C       21, 2D  −    ABCD 2 2S = 1l ( )y k x m= − ( ) 2 2 12 x y y k x m  + =  = − ( )2 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k mx m k+ − + − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 2 2 1 k mx x k k mx x k  + = + − = +, 同理可得 , ,故 , 即 , ,故 . (Ⅲ)设 中点为 ,则 , , 相减得到 ,即 , 同理可得: 的中点 ,满足 , 故 ,故四边形 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的 计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数 ,如果 个整数 满足 , 且 ,则称数组 为 的一个“正整数分拆”.记 均为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 . (Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数 ,设 是 的一个“正整数分拆”,且 ,求 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: ;并求出使得等号成立的 的值. (注:对于 的两个“正整数分拆” 与 ,当且仅当 且 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.) 【答案】(Ⅰ) , , , , ;(Ⅱ) 为偶数时, , 为奇数 时, ;(Ⅲ)证明见解析, , ( ) 2 2 2 22 2 2 1 2 1 2 1 2 2 16 8 81 1 4 1 2 1 k k mAB k x x k x x x x k k − += + − = + + − = + + 2 2 2 2 2 16 8 81 2 1 k k nCD k k − += + + AB CD= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 8 8 16 8 81 12 1 2 1 k k m k k nk kk k − + − ++ = ++ + 2 2m n= m n≠ 0m n+ = AB ( ),P a b 2 21 1 12 x y+ = 2 22 2 12 x y+ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 02 x x x x y y y y + − + + − = 2 0a kb+ = CD ( ),Q c d 2 0c kd+ = 1 1 2 2 2PQ d b d bk c a kd kb k k − −= = = − ≠ −− − + ABCD n ( )*k k N∈ 1 2 ka a a…, , , 1 21 ka a a n≤ ≤ ≤…≤ ≤ 1 2 ka a a n+ +…+ = ( )1 2 ka a a…, , , n 1 2 ka a a…, , , 1 2n kf a a a…, , , , ng ( )4n n ≥ ( )1 2 ka a a…, , , n 1 2a = k n n nf g≤ n n ( )1 2 ka a a…, , , ( )1 2 mb b b…, , , k m= 1 1 2 2 k ma b a b a b= = … =, , , ( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2,2 ( )4 n 2 nk = n 1 2 nk −= 2n = 4n =【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据题意直接写出答案. (Ⅱ)讨论当 为偶数时, 最大为 ,当 为奇数时, 最大为 ,得到答案. (Ⅲ) 讨论当 为奇数时, ,至少存在一个全为 1 的拆分,故 ,当 为偶数时, 根据对应关系得到 ,再计算 , ,得到答案. 【详解】(Ⅰ)整数 4 的所有“正整数分拆”为: , , , , . (Ⅱ)当 为偶数时, 时, 最大为 ; 当 为奇数时, 时, 最大为 ; 综上所述: 为偶数, 最大为 , 为奇数时, 最大为 . (Ⅲ)当 为奇数时, ,至少存在一个全为 1 的拆分,故 ; 当 为偶数时,设 是每个数均为偶数的“正整数分拆”, 则它至少对应了 和 的均为奇数的“正整数分拆”, 故 . 综上所述: . 当 时,偶数“正整数分拆”为 ,奇数“正整数分拆”为 , ; 当 时,偶数“正整数分拆”为 , ,奇数“正整数分拆”为 , 故 ; 当 时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为 的奇数拆分外,至少多出一项各项均 为 的“正整数分拆”,故 . 综上所述:使 成立的 为: 或 . 【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. n k 2 nk = n k 1 2 nk −= n 0nf = n nf g< n n nf g≤ 2 2 1f g= = 4 4 2f g= = ( )1,1,1,1 ( )1,1,2 ( )1,3 ( )2,2 ( )4 n 1 2 3 ... 2ka a a a= = = = = k 2 nk = n 1 2 3 1... 2, 3k ka a a a a−= = = = = = k 1 2 nk −= n k 2 nk = n k 1 2 nk −= n 0nf = n nf g< n ( )1 2, ,..., ka a a ( )1,1,...,1 ( )1 21,1,..., 1, 1,..., 1ka a a− − − n nf g≤ n nf g≤ 2n = ( )2 ( )1,1 2 2 1f g= = 4n = ( )2,2 ( )4 ( )1,1,1,1 ( )1,3 4 4 2f g= = 6n ≥ 1 1 n nf g< n nf g= n 2n = 4n =

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