海淀区高三年级第二学期阶段性测试
数学 2020 春
第一部分(选择题共 40 分)
一､选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1.在复平面内,复数 对应 点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析： ，对应的点为 ，在第一象限
考点：复数运算
2.已知集合 ， ，则集合 可以是（ ）
A. {1，2} B. {1，3} C. {0，1，2} D. {1，2，3 }
【答案】B
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集， , , 集合中一定没有元素 ，由选项可
得.
【详解】 ，则集合 中一定有元素 ，又 , 集合中一定没有
元素
可以是
故选：B.
【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
3.已知双曲线 的离心率为 则 b 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的(2 )i i−
( )2 1 2i i i− = + ( )1,2
{ }| 0 3A x x= < < { } 1A B = B
A B { }| 0 3A x x= < < { } 1A B = B 2
{ } 1A B = B 1 { }| 0 3A x x= < < B
2
B∴ {1 }3，
2
2
2 1( 0)yx bb
− = > 5,【答案】B
【解析】
【分析】
由题知 ， 及 联解可得
【详解】由题知 ， ， ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.
求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 轴上或 轴上，则
设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 的方程组，解出 ，从而写
出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏
解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是
设双曲线的一般方程为 求解．
4.已知实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由数轴知 ，不妨取 检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取 ，
对于 A， ， 不成立.
对于 B， ， 不成立.
2 1a = 5ce a
= = 2 2 2+c a b=
2 1a = 5ce a
= = 2 2 2
2
2 2
+ 5c a be a a= = =
2b∴ =
x y
a b c， ， 2 2a b，
2 2 1( 0)mx ny mn+ = <
b a c a- < + 2c ab< c c
b a
>
b c a c<
0c b a< < < = 3, 2, 1c b a- = - = -
0c b a< < < = 3, 2, 1c b a- = - = -
2 1 2 1- + >- - ∴
2( 3) ( 2)( 1)- > - - ∴对于 C， ， 不成立.
对于 D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根
据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5.在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 120 C. D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】
写出二项式展开式的通项公式求出常数项.
【详解】 展开式的通项 ，令
常数项
故选：C．
【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即
可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 项，
由特定项得出 值，最后求出其参数．
6.如图，半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A，圆 M 沿着直线 l 滚动.当圆 M 滚动到圆 时，
圆 与直线 相切于点 B，点 A 运动到点 ，线段 AB 的长度为 则点 到直线 的
距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
3
2
3
1
− < −
− −
∴
( 3) 1 ( 3)2-
( ) 0f x′ <
( ) ( )ln 1 0xg x e ax x x= + + − >
1a = −
( ) xf x e x= − 0(0) =1f e∴ =
( ) 1xf x e= −′ 0(0) 1=0f e −′ =
∴ ( )y f x= ( )(0 )0f， 1y =
( ) 1>0xf x e −′ = 0x > ( ) 1
( ) ( )1 0xg x e a xx
′ = + + >
( )0,1x∈ 11, 1xe x
> >，则 ，
当 时， ，
，则 ，
在 上单增，
又 ，
，
由零点存在性定理得 有唯一零点，即曲线 与 有且只有一个交点.
【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法：
（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；
（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；
（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判
断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
20.已知椭圆 C： 的离心率为 ， 的
面积为 2.
(I)求椭圆 C 的方程；
(II)设 M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点 P，直线 与
直线 交于点 Q.求证:△BPQ 为等腰三角形.
【答案】(I) ；(II)证明见解析
【解析】
【分析】
(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合 的关系，解方程可得 ，从
而得到椭圆方程
(II) 设 ，直线 的直线方程为 直线 的直线方程为
( )2,0a∈ − ( ) 1 0xg x e ax
′ = + + >
[ )1,x∈ +∞ 12, 0xe e x
> > >
( )2,0a∈ − ( ) 1 0xg x e ax
′ = + + >
( )g x∴ ( )0, ∞+
1 1
21( ) 2 2 0e ag e ee e
= + − < − − >
( )g x ( )y f x= 1 lny x= −
x
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2
3 , ( ,0), ( ,0), (0, )2 A a A a B b− 1 2A BA∆
1A B 2A M 1A M
2A B
2
2 14
x y+ =
, ,a b c 2, 1a b= =
( ),M m n 2A M ( )22
ny xm
= −− 1A B，联解求出 点坐标，同理求出 坐标， ,
，只需证明 ,利用作差法可证明.
【详解】(I)由题意得 ，解得 ，故椭圆的方程为 .
(II)由题意得 ,设点 ，则有 ，
又直线 的直线方程为 ，直线 的直线方程为 ，
，解得 ，
点的坐标为 .
又直线 的直线方程为 ，直线 的直线方程为 .
，解得 ，
点的坐标为 .
， .
，
， ， △BPQ 为等腰三角形.
1 12y x= + P Q 2 2 2 25(1 ) 4p p pBP x y x= + − =
2 2 2 25(1 ) 4Q Q QBQ x y x= + − = 2 2=P Qx x
2 2 2
3
2
1 2 22
c
a
ab
b c a
=
⋅ =
+ =
2, 1, 3a b c= = =
2
2 14
x y+ =
( ) ( ) ( )1 22,0 , 2,0 , 0,1A A B− ( ),M m n 2 24 4m n+ =
2A M ( )22
ny xm
= −− 1A B 1 12y x= +
( )22
1 12
ny xm
y x
= − −∴
= +
2 4 4
2 2
4
2 2
m nx n m
ny n m
+ − = − +
= − +
P∴ 2 4 4 4,2 2 2 2
m n n
n m n m
+ −
− + − +
1A M ( )22
ny xm
= ++ 2A B 1 12y x= − +
( )22
1 12
ny xm
y x
= + +∴
= − +
2 4 4
2 2
4
2 2
m nx n m
ny n m
− + = + +
= + +
Q∴ 2 4 4 4,2 2 2 2
m n n
n m n m
− +
+ + + +
2 2 2 25(1 ) 4p p pBP x y x∴ = + − = 2 2 2 25(1 ) 4Q Q QBQ x y x∴ = + − =
2 2 2 22 4 4 2 4 4( ) ( )2 2 2 2P Q
m n m nx x n m n m
+ − − +− = −− + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2 2
m n n m m n n m
n m n m
+ − + + − − + − +=
− + + +
( ) ( )
2 2
2 2
64 ( 4 4) 0
2 2 2 2
mn m n
n m n m
+ −= =
− + + +
2 2=BP BQ∴ BP BQ∴ = ∴【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以
及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，
然后进行化简计算等进行证明
21.已知数列 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数 ，使得 任意的
成立，则称数列 具有性质 .
（1）分别判断下列数列 是否具有性质 ； (直接写出结论)
①
②
（2）若数列 满足 ，求证:“数列 具有性质 ”是“数列 为
常数列”的充分必要条件；
（3）已知数列 中 且 .若数列 具有性质 ，求数列
的通项公式.
【答案】（1）① 时，数列 具有性质 ；② 时，数列 不具有性质
.（2）证明见解析（3） .
【解析】
【分析】
（1）代入验证即可得.
（2）充分性: 由 及数列 具有性质 可得 ；必要性：数列
为常数列，所以 可证 .
（3）数列 具有性质 ，求出 ，由 ， 对 取值进行证
明排除，得到 ，猜想 ，用反证法证明猜想成立.
【详解】（1）① 时，数列 具有性质 .
② 时，数列 不具有性质 .
（2） ，
{ }na *k ∈N 2 1 2n n na a ka− + =
*n∈N { }na ( )kΨ
{ }na (2)Ψ
1na =
2 ,n
na =
{ }na 1 ( 1,2,3, )n na a n+ ≥ = { }na (2)Ψ { }na
{ }na 1 1,a = 1 ( 1,2,3, )n na a n+ > = { }na (4)Ψ { }na
1na = { }na (2)Ψ 2n
na = { }na
(2)Ψ 2 1na n= −
2 1 2+ 2n n na a a− ≥ { }na (2)Ψ 2 1 2= =2n n na a a−
{ }na 1na a= 2 1 2 2n n na a a− + =
{ }na (4)Ψ 2 =3a 3 4 24 =12a a a+ = 3 4a ≥ 3 4,a a
1 2 3 4=1 3 =5 =7a a a a=， ， , 2 1na n= −
1na = { }na (2)Ψ
2n
na = { }na (2)Ψ
1 ( 1,2,3, )n na a n+ ≥ = ，等号成立，当且仅当 ，
因为数列 具有性质 ，即 ，
所以数列 为常数列.
必要性：因为数列 为常数列，所以 ，
成立，即数列 具有性质 .
（3） 数列 具有性质 ， ，
， .
若 ， 矛盾；
若 则 矛盾.
所以 ，
所以猜想 .
证明如下：假设命题不成立，
设 （ ），
考虑数列 ，当 时具有性质 ，
此时 ，
即 或 ，矛盾， .
【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法
(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．
总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．
2 1 2 2+n n na a a−∴ ≥ 2 1 2= =2n n na a a−
{ }na (2)Ψ 2 1 2 2n n na a a− + =
{ }na
{ }na 1na a=
2 1 2 2n n na a a− + = { }na (2)Ψ
1 1,a = { }na (4)Ψ 1 2 21 =34a a a a∴+ = ，
3 4 24 =12a a a+ = 3 4a ≥
3 4=4 =8a a, 1n na a+ > 5 6 9+10=19a a∴ + ≥ 5 6 3 =164a a a+ =
3 6a ≥ , 4 6a ≤
1 2 3 4=1 3 =5 =7a a a a=， ， ,
2 1na n= −
{ }2 1 2min | 4 3 4 1i ir i N a i a i+
−= ∈ ≠ − ≠ −或 3r ≥
{ }nb 2 4= 4( 2)n n rb a r+ − − − (4)Ψ
1 2 3 4=1 3 =5 =7b b b b=， ， ,
2 1=4 3ra r− − 2 =4 1ra r − 2 1na n∴ = −
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