丰台区 2019—2020 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合，再求并集即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.
2.已知向量 ， ，满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算求解即可.
【详解】向量 ， ，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题.
{ }1 2A x x= ∈ − < > a c b> > b a c> > b c a> >【详解】 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题.
6.“ x>1”是“ 1”是“ >
1
x
1 1x
< 1x > 0x < 1x > 1x > 0x <
1 1x
< 1 0x
x
− > 1x > 0x <
1x > 1x > 0x <
1
x
3C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
分析】
根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论.
【详解】该几何体对应 直观图如下图所示
； ；
，
，
则面积等于 的有 3 个
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.
8.过抛物线 C： （ ）的焦点 F 作倾斜角为 的直线与抛物线 C 交于两个不
同的点 A，B（点 A 在 x 轴上方），则 的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
【
的
1 2 3 32ABCS = × × =
1 2 3 32ABDS = × × =
2 22 ( 3) 7AC = + =
22 ( 3) 7AD = + =
1 2 3 32BCDS∴ = × × =
2 21 2 ( 7) 1 62ACDS∆ = × × − =
3
2 2y px= 0p > 60°
AF
BF
1
3
4
3 3根据几何关系以及抛物线的定义得出 ，由直角三角形的边角关系得出 ，再由直线
和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出 ，结合 ，对应边成比例，即
可得出答案.
【详解】设 ，过点 分别作准线和 轴的垂线，垂足分别为 ， ，
过点 作 轴的垂线，垂足于点 ，直线 与准线交于点 ，准线与 轴交于点
直线 的倾斜角为 ， ，即
由抛物线的定义知， ，则 ，即点 为 中点
由于 ，则 ，即 ，则
设直线 的方程为 ，即
并代入 中，得： ，即 ，则
由于 ，则
故选：D
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题.
9.将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
2AF p= Ay
AB By BFQ AFN∆ ∆
( , ), ( , )A A B BA x y B x y A x M N
B x Q AB D x E
AB 60° 30MDA °∴∠ = 2AD AM=
AM AF= 2AD AF= F AD
//AM EF 2 2AM EF p= = 2AF p= 2 sin 60 3Ay p p= ° =
AB 3 2
py x = −
3
3 2
px y
= +
2 2y px= 2 22 3 03
py y p− − = 2
A By y p= −
2 3
33B
p py
p
− −= =
BFQ AFN∆ ∆
| | 33 3| | 3
A
B
yAF pBF y p
= = × =−
( ) sinf x xω= 0>ω
2
π ( )g x且 ，下列说法错误的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C. 当 时， 在 上有 3 个零点
D. 若 在 上单调递减，则 的最大值为 9
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数 的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判
断 A 选项；将 代入函数 的解析式，即可判断 B 选项；由余弦函数的性质判断
C，D.
【详解】由题意得 ，由 ，得出
则
对 A 项，函数 的定义域为 ， ，则函数 为偶
函数
对 B 项，
对 C 项，当 时， ，由 得：
， 可以取 ，即当 时， 在 上有 3 个零点
对 D 项，由 ，解得
( )0 1g =
( )g x
0
2
g
π− =
5ω = ( )g x 0, 2
π
( )g x 0, 5
π
ω
( )g x
2x
π= − ( )g x
( ) sin 2g x x
πω ω = + (0) sin 12g
πω= = cos 02
πω =
( ) sin sin cos cos sin cos2 2 2g x x x x x
π πω πωω ω ω ω ω = + = ⋅ + ⋅ =
( )g x R ( ) cos( ) cos ( )g x x x g xω ω− = − = = ( )g x
cos cos 02 2 2g
π π πωω − = − = =
5ω = ( ) cos5g x x= 5 ,2x k k Z
π π= + ∈ ,10 5
kx k Z
π π= + ∈
0, 2x
π ∈ x\ 3, ,10 10 2
π π π
5ω = ( )g x 0, 2
π
2 2 ,k x k k Zπ ω π π≤ + ∈
2 2, ,k kx k Z
π π π
ωω ω
∈ + ∈ 则函数 在区间 上单调递减
因为 在 上单调递减，所以 ，解得
即 的最大值为
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余
弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问
题，属于中档题.
10.已知函数 若存在非零实数 ，使得 成立，则实数 k
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数 k 的取值范围.
【详解】不妨设
当 时， ， ，不存在非零实数 ，使得
成立，则 不满足题意
当 时，若存在非零实数 ，使得 成立，则方程 有非零的
正根，即函数 与 有交点
先考虑函数 与直线 相切的情形
设切点为 ，则 ，整理得
令 ，则 ，即函数 在 上单调递增
( )g x 0,
π
ω
( )g x 0, 5
π
5
π π
ω≤ 0 5ω< ≤
ω 5
( ) e 1, 0,
, 0.
x xf x
kx x
− ≥=
0k ≥ ( ) 0
0 =e 1 0xf x − > ( )0 0 0f x kx− = − ≤ 0x
( ) ( )0 0f x f x− = 0k ≥
k 0< 0x ( ) ( )0 0f x f x− = 0
0e 1x kx− = −
( )e 1, 0xy x= − > ( ), 0y kx x= − >
( )e 1, 0xy x= − ≥ y kx= −
1 1( , )x y
1
1
1 1
1 e 1
x
x
k e
y kx
y
− =
= −
= −
( ) 1
1 1 e 1 0xx − + =
( )( ) 1 e 1, 0xg x x x= − + ≥ ( ) 0exg x x′ = ≥ ( )g x [ )0,+∞则 ，所以方程 的根只有一个，且 ，即
则函数 与直线 相切时，切点为原点
所以要使得函数 与 有交点，则 ，即
所以实数 k 的取值范围是
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11.设等差数列 的前 n 项和为 ， ，则 ______.
【答案】25
【解析】
【分析】
由等差数列的求和公式求解即可.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题.
12.若 ，则函数 的最小值为______，此时 ______.
【答案】 (1). 3 (2). 2
【解析】
【分析】
将 化为 ，再由基本不等式求解即可.
【详解】
当且仅当 ，即 时，取等号
( ) (0) 0g x g≥ = ( ) 1
1 1 e 1 0xx − + = 1 0x = 1k− =
( )e 1, 0xy x= − ≥ y kx= −
( )e 1, 0xy x= − > ( ), 0y kx x= − > 1k− > 1k < −
( ), 1−∞ −
{ }na nS 2 1na n= − 5S =
( )1
5
55 5(1 9) 252 2
a aS
+ += = =
25
1x > ( ) 1
1f x x x
= + − x =
( ) 1
1f x x x
= + −
1( ) 1 11f x x x
= − + +−
1 1( ) 1 1 2 ( 1) 1 31 1f x x xx x
= − + + − ⋅ + =− −
11 1x x
− = − 2x =即函数 的最小值为 ，此时
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.
13.已知平面 和三条不同的直线 m，n，l.给出下列六个论断：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ；⑥ .以其中两个论断作为条件，使得 成立.这两个论断
可以是______.（填上你认为正确的一组序号）
【答案】①④（或③⑥）
【解析】
【分析】
根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.
【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若 ， ，则 ，故可填①④
对①⑤，若 ， ，则 ；
对①⑥，若 ， ，则无法判断 的位置关系；
对②④，若 ， ，则 ；
对②⑤，若 ， ，则 可能相交，平行或异面；
对②⑥，若 ， ，则无法判断 位置关系；
对③④，若 ， ，则无法判断 的位置关系；
对③⑤，若 ， ，则无法判断 的位置关系；
对③⑥，由平行的传递性可知，若 ， ，则 ，故可填③⑥
故答案为：①④（或③⑥）
【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.
14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”
变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实
数的相反数”是一种“回归”变换.有下列 3 种变换：
①对 ，变换：求集合 A 的补集；
②对任意 ，变换：求 z 的共轭复数；
③对任意 ，变换： （k，b 均为非零实数）.
其中是“回归”变换的是______.
【答案】①②
的
( ) 1
1f x x x
= + − 3 2x =
3 2
α m α⊥ //m α
//m l n α⊥ //n α //n l //m n
m α⊥ n α⊥ //m n
m α⊥ //n α m n⊥
m α⊥ //n l ,m n
//m α n α⊥ m n⊥
//m α //n α ,m n
//m α //n l ,m n
//m l n α⊥ ,m n
//m l //n α ,m n
//n l //m l //m n
A ⊆ R
z C∈
x∈R x kx b→ +【解析】
【分析】
由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可.
【详解】对①，集合 的补集为集合 ，集合 的补集为集合 ，故①为“回归”变换
对②，设 ， ，复数 的共轭复数为 ，复数 的共轭复数为
，故②为“回归”变换
对③，当 时， ， ，由于 k，b 均为非零实数，则 不
一定为 ，则③不是“回归”变换
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.
15.已知双曲线 M： 的渐近线是边长为 1 的菱形 的边 ， 所在直线.
若椭圆 N： （ ）经过 A，C 两点，且点 B 是椭圆 N 的一个焦点，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线渐近线的斜率得出 ，进而得出点 的坐标，根据题意得出椭圆 的半
焦距，再由椭圆的定义，即可得出 的值.
【详解】因为 为双曲线 的渐近线，所以 ，则
所以 ， ，则
因为 ，所以椭圆 的半焦距
设椭圆 的左焦点为 ，则 ，连接
由椭圆的定义可得
A R A R A A
z a bi= + ,a b∈R z z a bi= − z
( )a b i a bi z− − = + =
0x = 0 0k b b→ × + = b kb b→ + kb b+
0
2
2 13
yx − = OABC OA OC
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > a =
3 1
2
+
60AOB∠ = ° A N
a
OA
2
2 13
yx − = 3OAk = 60AOB∠ = °
3sin 60 2AD AO °= = 1cos60 2OD AO °= ⋅ = 1 3,2 2A
2 1OB OD= = N 1c =
N 1F 1( 1,0)F − 1AF
1 2AF AB a+ =即 ，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求 是解题的关
键，属于中档题.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ， .
（1）当 时，求 a；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理，即可得出 值；
（2）由 ，结合三角恒等变换得 ，再由 的范围确
定 的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.
【详解】解：（1）由余弦定理 ，
得 .
的
2 22 21 3 1 31 0 1 0 22 2 2 2 a
− − + − + − + − =
3 1
2a
+=
3 1
2
+
a
ABC 4c =
3A
π=
2b =
sin 3 cosB C−
2 3a = 3 3sin 3 cos ,
2 2
B C− ∈ −
a
2
3
B C
π= − sin 3 cosB C− sin
3
C
π= −
C
3
C
π−
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 22 4 2 2 4 cos 123a
π= + − × × ⋅ =所以 .
（2）由 可知， ，即 .
.
因为 ，所以 .故 .
因此 .
于是 .
【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题.
17.如图，在四棱锥 中， ， ， ，
，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
2 3a =
3A
π= 2
3B C
π+ = 2
3
B C
π= −
2sin 3 cos sin 3 cos
3
B C C C
π− = − −
3 1cos sin 3 cos
2 2
C C C= + −
1 3sin cos
2 2
C C= −
sin
3
C
π= −
2
3B C
π+ = 20, 3C
π ∈ ,
3 3 3
C
π π π− ∈ −
3 3sin ,
3 2 2
C
π− ∈ −
3 3sin 3 cos ,
2 2
B C− ∈ −
M ABCD− //AB CD 90ADC BM C∠ = ∠ = M B MC=
1 2
2
AD DC AB= = = BCM ⊥ ABCD
//CD ABM
AC ⊥ BCM（3）在棱 上是否存在一点 E，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；
【解析】
【分析】
（1）由线面平行判定定理证明即可；
（2）由勾股定理得出 ，进而得 ，再由面面垂直的性质定理即可证明
平面 ；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】证明：（1）因为 ，
平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 N，连接 .
在直角梯形 中，
易知 ，且 .
在 中，由勾股定理得 .
在 中，由勾股定理逆定理可知 .
又因 平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 .
为
AM E BC M− −
4
π AE
AM
2
3
AE
AM
=
2BC = AC BC⊥ AC ⊥
BCM
AB CD∥
AB Ì ABM
CD ⊄ ABM
CD∥ ABM
AB CN
ABCD
2AN BN CD= = = CN AB⊥
Rt CNB△ 2BC =
ACB△ AC BC⊥
BCM ⊥ ABCD
BCM ABCD BC=
AC ⊥ BCM（3）取 的中点 O，连接 ， .
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .
因为 ，
所以 .
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
， ， .
易知平面 的一个法向量为 .
假设在棱 上存在一点 E，使得二面角 的大小为 .
不妨设 （ ），
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 即
令 ， ，所以 .
BC OM ON
ON AC∥
AC ⊥ BCM
ON ⊥ BCM
BM MC=
OM BC⊥
O xyz−
( )0,0,1M ( )0,1,0B ( )0, 1,0C − ( )2, 1,0A −
( )2,1,1AM = − ( )0, 2,0BC = − ( )2, 2,0BA = −
BCM ( )1,0,0m =
AM E BC M− −
4
π
AE AMλ= 0 1λ≤ ≤
( )2 2 , 2,BE BA AE λ λ λ= + = − −
( ), ,n x y z= BCE
0,
0,
n BC
n BE
⋅ = ⋅ =
( )
2 0,
2 2 0,
y
x zλ λ
− =
− + =
x λ= 2 2z λ= − ( ),0,2 2n λ λ= −从而 .
解得 或 .
因为 ，所以 .
由题知二面角 为锐二面角.
所以在棱 上存在一点 E，使得二面角 的大小为 ，
此时 .
【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.
18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类
型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.
参与 A，B，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：
服务类型
社区
社区服务总
人数 现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询
A 100 30 30 20 20
B 120 40 35 20 25
C 150 50 40 30 30
（1）从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的
概率；
（2）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 X 表示负责现场值班值守的人数，
求 X 的分布列；
（3）已知 A 社区心理咨询满意率为 0.85，B 社区心理咨询满意率为 0.95，C 社区心理咨询满
意率为 0.9，“ ， ， ”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询满意，“ ，
2cos ,
2
m n
m n
m n
⋅= =
⋅
2
3
λ = 2λ =
0 1λ≤ ≤ 2
3
λ =
E BC M− −
AM E BC M− −
4
π
2
3
AE
AM
=
1Aξ = 1Bξ = 1Cξ = 0Aξ =， ”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差 ， ，
的大小关系.（只需写出结论）
【答案】（1） （2）详见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）利用古典概型概率公式求解即可；
（2）先求出 A，B，C 三个社区负责现场值班值守的概率，得出 X 的所有可能取值，并计算
出相应的概率，即可得出分布列；
（3）根据方差的意义进行判断即可.
【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与
社区消毒工作”为事件 D，
.
所以从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概
率为 .
（2）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值
守的概率分别为 ， ， .
X 的所有可能取值为 0，1，2，3.
， ，
，
.
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
0Bξ = 0Cξ = ( )AD ξ ( )BD ξ
( )CD ξ
3
37
( ) ( ) ( )A C BD D Dξ ξ ξ> >
( ) 30 3
100 120 150 37
P D = =
+ +
3
37
3
10
1
3
1
3
( ) 7 2 2 28 140
10 3 3 90 45
P X = = × × = = ( ) 3 2 2 7 1 2 7 2 1 40 41
10 3 3 10 3 3 10 3 3 90 9
P X = = × × + × × + × × = =
( ) 3 1 2 3 2 1 7 1 1 192
10 3 3 10 3 3 10 3 3 90
P X = = × × + × × + × × =
( ) 3 1 1 3 13
10 3 3 90 30
P X = = × × = =P
（3）
【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题.
19.已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；
（2）当 时，求证： ；
（3）若函数 在区间 上存在极值点，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） （2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数得出函数 的单调性，进而得出其最小值，即可证明 ；
（3）分类讨论 的值，利用导数得出 的单调性，结合题意，即可得出实数 a 的取值范
围.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 .
由题知 ，
解得 .
（2）当 时， ，
所以 .
14
45
4
9
19
90
1
30
( ) ( ) ( )A C BD D Dξ ξ ξ> >
( ) ( )ln 1f x a x xx = + − +
( )y f x= ( )( )e, ef
0a = ( ) 0f x ≥
( )f x ( )1,+¥
0a = ( ),0- ¥
( )f x ( ) 0f x ≥
a ( )f x
( ) ( )ln 1f x a x xx = + − +
( ) ln af x
x
x′ = +
( )e ln e 1e
af ′ = + =
0a =
0a = ( ) ln 1f x x x x= − +
( ) lnf x x′ =当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
所以 是 在区间 上的最小值.
所以 .
（3）由（1）知， .
若 ，则当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时无极值.
若 ，令 ，
则 .
因为当 时， ，所以 在 上单调递增.
因为 ，
而 ，
所以存在 ，使得 .
和 的情况如下：
x
0
极小值
因此，当 时， 有极小值 .
综上，a 的取值范围是 .
( )0,1x∈ ( ) 0f x¢ < ( )f x ( )0,1
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x¢ > ( )f x ( )1,+¥
( )1 0f = ( )f x ( )0,+¥
( ) 0f x ≥
( ) lnln a x x af x
x x
x
+′ = + =
0a ≥ ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x¢ > ( )f x ( )1,+¥
0a < ( ) ( )g x f x′=
( ) 2
1 ag x x x
′ = −
( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x¢ > ( )g x ( )1,+¥
( )1 0g a= <
( ) ( )e e e 1 0a a ag a a a− = − + = − >
( )0 1,e ax −∈ ( )0 0g x =
( )f x¢ ( )f x
( )01, x 0x ( )0 ,e ax −
( )f x¢ − +
( )f x
0x x= ( )f x ( )0f x
( ,0)−∞【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.
20.已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ，点 在椭圆 C 上，直线
与椭圆 C 交于不同的两点 A，B.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 ， 分别交 y 轴于 M，N 两点，问：x 轴上是否存在点 Q，使得
？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在；点
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可；
（2）假设存在点 Q 使得 ，根据几何关系得出 ，
进而得到 ，设出直线 ， 的方程，得出 的纵坐标，进而得到
，结合 ，解出 的值，求出点 Q 的坐标.
【详解】解：（1）由题意
解得 ， .
所以椭圆 C 的方程为 .
（2）假设存在点 Q 使得 .设
2 2
2 2 1y x
a b
+ = 0a b> > 2
2 ( )1,0P
0y y=
PA PB
2
OQN OQM
π∠ + ∠ =
2
2 12
y x+ = ( )2,0Q ±
2
OQN OQM
π∠ + ∠ = tan tanOQN OMQ∠ = ∠
2OQ ON OM= PA PB ,M N
2
2 0
2
0 1
ym
x
=
− ( )2 2
0 02 1y x= − m
2
2 2 2
1 1
2
2
b
c
a
a b c
=
=
= +
2 2a = 2 1b =
2
2 12
y x+ =
2
OQN OQM
π∠ + ∠ = ( ),0Q m因为 ，所以 .则 .
即 ，所以 .
因为直线 交椭圆 C 于 A，B 两点，则 A，B 两点关于 y 轴对称.
设 ， （ ），
因为 ，则直线 的方程为： .
令 ，得 .
直线 的方程为： .
令 ，得 .
因为 ，所以 .
又因为点 在椭圆 C 上，所以 .
所以 .即 .
所以存在点 使得 成立.
【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题.
21.已知有穷数列 A： （ 且 ）.定义数列 A 的“伴生数列”B：
，其中 （ ），规定 ， .
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1， ，1， ，1.
2
OQN OQM
π∠ + ∠ = OQN OMQ∠ = ∠ tan tanOQN OMQ∠ = ∠
ON OQ
OQ OM
= 2OQ ON OM=
0y y=
( )0 0,A x y ( )0 0,B x y− 0 1x ≠ ±
( )1,0P PA ( )0
0
11
yy xx
= −−
0x = 0
0 1M
yy x
−= −
PB ( )0
0
11
yy xx
−= −+
0x = 0
0 1M
yy x
= +
2OQ ON OM=
2
2 0
2
0 1
ym
x
=
−
( )0 0,A x y ( )2 2
0 02 1y x= −
( )2
02
2
0
2 1
21
x
m x
−
= =− 2m = ±
( )2,0Q ±
2
OQN OQM
π∠ + ∠ =
1 2, , , , ,k na a a a *n∈N 3n ≥
1 2, , , , ,k nb b b b
1 1
1 1
1
0
k k
k
k k
a ab a a
− +
− +
≠= =
，
， 1,2, ,k n= 0 na a= 1 1na a+ =
1− 1−（2）已知数列 B 的“伴生数列”C： ， ，…， ，…， ，且满足 （ ，
2，…，n）.
（i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1；
（ⅱ）求数列 C 所有项的和.
【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i）证明见解析（ⅱ）所有项的和
或 （n 是 3 的倍数）
【解析】
【分析】
（1）根据“伴生数列”的定义求解即可；
（2）（i）设存在 ，使得 ，讨论 和 ，结合“伴
生数列”的定义证明即可；
（ⅱ）利用反证法得出不可能存在 ， ，再对数列 的前
三项 ， ， 的值进行讨论，当 时，得出所有项的和 ；当 ，
， 时，得出 与已知矛盾；当 ， ， 时，结合“伴生数
列”的定义得出所有项的和 ，同理可以得出当 ， ， 及 ，
， 时，所有项的和 .
【详解】解：（1）①1，1，1，1，1；
②1，0，0，0，1.
（2）（i）由题意，存在 ，使得 .
若 ，即 时， .
于是 ， .
所以 ，所以 .即 .
依次类推可得 （ ，3，…， ）.
1c 2c kc nc 1k kb c =+ 1k =
0S =
2
3
nS =
{ }1,2, , 1k n= − 1 1k kb b += = 1k = 2 1k n≤ ≤ −
1 1 0k k kb b b− += = = { }2, , 1k n∈ − { }nb
1b 2b 3b 1 2 3 1b b b= = = 0S = 1 1b =
2 0b = 3 1b = 2 2 0b c+ = 1 1b = 2 0b = 3 0b =
2
3
nS = 1 0b = 2 1b = 3 0b = 1 0b =
2 0b = 3 1b = 2
3
nS =
{ }1,2, , 1k n= − 1 1k kb b += =
1k = 1 2 1b b= = 1 2 0c c= =
2 1nb b= = 1 3 1b b= =
3 0nc c= = 4 2 1b b= = 2 3 4 1b b b= = =
1 1k kb b += = 2k = 1n −所以 （ ，2，…，n）.
若 ，由 得 .
于是 .所以 .
依次类推可得 .
所以 （ ，2，…，n）.
综上可知，数列 B 中的每一项均为 1.
（ⅱ）首先证明不可能存在 使得 .
若存在 使得 ，
则 .
又 得 与已知矛盾.
所以不可能存在 ， .
由此及（ⅰ）得数列 的前三项 ， ， 的可能情况如下：
当 时，由（i）可得 （ ，2，…，n）.
于是 （ ，2，…，n） .
所以所有项的和 .
当 ， ， 时， ，
此时 与已知矛盾.
当 ， ， 时， ， ， .
于是 ， .
故 ， ，
于是 ， ， ，
于是 ， ， ，且 ， ， .
依次类推 且 n 恰是 3 的倍数满足题意.
1kb = 1k =
2 1k n≤ ≤ − 1 1k kb b += = 1 0k kc c += =
1 1 1k k kb b b− += == 1 0k kc c− = =
1 2 1b b= =
1kb = 1k =
{ }2, , 1k n∈ − 1 1 0k k kb b b− += = =
{ }2, , 1k n∈ − 1 1 0k k kb b b− += = =
1 1 1k k kc c c− += = =
1 1k kb b− += 0kc =
1 1 0k k kb b b− += = = { }2, , 1k n∈ −
{ }nb 1b 2b 3b
1 2 3 1b b b= = = 1kb = 1k =
0kc = 1k = 0kc =
0S =
1 1b = 2 0b = 3 1b = 2 0c =
2 2 0b c+ =
1 1b = 2 0b = 3 0b = 1 0c = 2 1c = 3 1c =
2 0nb b= = 2 4 1b b≠ =
1nc = 4 0c = 5 3 0b b= =
1 1 0nb b −≠ = 5 1c = 6 0b =
1 4b b= 2 5b b= 3 6b b= 2 1nb − = 1 0nb − = 0nb =
3k kb b +=所以所有项的和 .
同理可得 ， ， 及 ， ， 时，
当且仅当 n 恰是 3 的倍数时，满足题意.
此时所有项的和 .
综上，所有项的和 或 （n 是 3 的倍数）.
【点睛】本题主要考查了求数列的前 项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算
的能力，属于难题.
2
3 3
n nS n= − =
1 0b = 2 1b = 3 0b = 1 0b = 2 0b = 3 1b =
2
3
nS =
0S = 2
3
nS =
n
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