北京市朝阳区2020届高三数学第一次模拟试题（Word版附解析）

北京市朝阳区高三年级高考练习一 数学 （考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分，考生务必将答案 答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 ，再根据并集定义进行计算即可得到. 【详解】因为 ， 所以 . 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案. 【详解】函数 是奇函数，不符合； { }13,5A = , { }| ( 1)( 4) 0B x x x= ∈ − − A B C 2AC BC a− = 2AB BC c= = ABC 2 2 2 cos120 2 AB BC AC AB BC + −= × ×  2 2 2 2 1 4 4 2 8 c c AC c + −− = 2 212AC c= 2 3AC c= 2 3 2 2c c a− = 3 1 2 c a += ( ) = 3sin( ) ( > 0)f x ωx φ ω- π 6 π=ϕ ( )f x 3x π= π 2ω = ( ) 3sin(2 )f x x ϕ= − T π= 2π πω = 2ω = ( ) 3sin(2 )f x x ϕ= − 3x π= 6 π=ϕ ( ) 3sin(2 )3 6f x π π= × − 3sin 32 π= = ( )f x 3x π= 3x π= 7 6 ϕ π= 7( ) 3sin(2 ) 3sin( ) 33 6 2f x π π π= × − = − = − ( )f x 3x π=所以“ ”是“ 的图象关于直线 对称”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的周期性，对称性，考查了充分不必要条件的概念，属于中档 题. 9.已知函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对 进行分类讨论，使得 与 分离，再转化为关于 的函数的最值，进而求出 的范围. 【详解】（1）当 时，由 得 ， 当 时， 恒成立， 因为 令 ，则 ，令 ，则 ， 所以 在 上递减，所以 ， 即 的最小值为 2， 所以此时 ， 当 时， 恒成立， 6 π=ϕ ( )f x 3x π= 2 2 2 , 1,( ) 2 ln , 1. x ax a xf x x a x x  − + ≤=  − > x ( ) 2 af x ≥ R a ( ,2 ]e−∞ 3[0, ]2 [0,2] [0,2 ]e x x a x a 1x ≤ ( ) 2 af x ≥ 2 3(2 )2x a x≥ − 3 14 x< ≤ 2 32 2 xa x ≤ − 2 32( )4 x x = − 22 2 3 3 3 93 3 ( ) ( )( ) 4 2 4 164 4 3 3 32( ) 2( ) 2( )4 4 4 x xxx x x x − + − +− + = = − − − 9 1 3 316( ) 32 4 42( )4 x x = − + + − 3 4t x= − 10 4t< ≤ 1 9 3( )2 16 4y t t = + + 2 1 9(1 )2 16y t ′ = − 0< 1 9 3( )2 16 4y t t = + + 1(0, ]4 1 1 9 3 8( ) 212 4 4 416 4 y ≥ + + = = × 9 1 3 316( ) 32 4 42( )4 x x − + + − 2a ≤ 3 4x ≤ 2 32 2 xa x ≥ − 9 1 3 316( ) 32 4 42( )4 x x = − + + − 1 3 9 3[( ) ]32 4 416( )4 x x = − − + + −因为 ，当且仅当 时 取等， 所以 ， （2）当 时，由 得 恒成立， 令 ，则 ， 由 得 ，由 得 ， 所以函数 上递减，在 上递增， 所以 时， ，所以 ， 综上所述： . 故选：C 【点睛】本题考查了分离参数法，等价转化思想，分类讨论思想，构造法，考查了由导数研 究函数的单调性，求函数的最值，考查了基本不用等式，属于中档题. 10.如图，在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，点 在对角 线 上运动.当 的面积取得最小值时，点 的位置是（ ） A. 线段 的三等分点，且靠近点 B. 线段 的中点 C. 线段 的三等分点，且靠近点 D. 线段 的四等分点，且靠近点 在 1 3 9 3[( ) ]32 4 416( )4 x x − − + + − 1 3 9 32 ( ) 32 4 416( )4 x x ≤ − × − ⋅ + − 0= 0x = 0a ≥ 1x > ( ) 2 af x ≥ 2 1ln 2 xa x ≤ + 2 1ln 2 xy x = + ( 1)x > 2 2ln 1 1(ln )2 xy x −′ = + 0y′ > 1 2x e> 0y′ < 1 21 x e< < 2 1ln 2 xy x = + 1 2(1, )e 1 2( , )e +∞ x e= min 2 21 1 2 2 ey e= = + 2a e≤ 0 2a≤ ≤ 1 1 1 1ABCD A B C D− M N AB 1BB P 1CA △PMN P 1CA 1A 1CA 1CA C 1CA C【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为动点 到直线 的距离最小时，确定点 的位置，建立空间直角坐标系，取 的中点 ，通过坐标运算可知 ，即 是动点 到直线 的距离，再由 空间两点间的距离公式求出 后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为 1，以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐 标系，如图所示： 则 ， ， 的中点 ， ， ，则 ， 设 ， ， 由 与 共线，可得 ，所以 ，所以 ，其中 ， 因为 ， ， 所以 ，所以 ，即 是动点 到直线 的距离， P MN P MN Q PQ MN⊥ | |PQ P MN | |PQ A 1, ,AB AD AA , ,x y z 1( ,0,0)2M 1(1,0, )2N MN 3 1( ,0, )4 4Q 1(0,0,1)A (1,1,0)C 1 (1,1, 1)AC = − ( , , )P t t z (1 ,1 , )PC t t z= − − − 1AC PC 1 1 1 1 1 t t z− − −= = − 1t z= − (1 ,1 , )P z z z− − 0 1z≤ ≤ 2 2 21| | (1 ) (1 0) ( 0)2PM z z z= − − + − − + − 2 53 3 4z z= − + 2 2 21| | (1 1) (1 0) ( )2PN z z z= − − + − − + − 2 53 3 4z z= − + | | | |PM PN=  PQ MN⊥ | |PQ P MN由空间两点间的距离公式可得 ， 所以当 时， 取得最小值 ，此时 为线段 的中点， 由于 为定值，所以当 的面积取得最小值时， 为线段 的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合 法，考查了二次函数求最值，属于基础题. 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.若复数 ，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案. 【详解】因为 ，所以 . 故答案为： 【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题. 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为 ________. 2 2 23 1| | (1 ) (1 0) ( )4 4PQ z z z= − − + − − + − 2 93 3 8z z= − + 21 33( )2 8z= − + 1 2c = | |PQ 6 4 P 1CA 2| | 4MN = △PMN P 1CA 2 1 iz = + | |z = 2 | | | |z z= 2 1 iz = + 2| | | | | |1z z i = = + 2 2 2|1 | 1 1i = = =+ + 2【答案】 (1). (2). 4 【解析】 【分析】 根据三视图画出直观图，根据三视图中的数据得到直观图中的数据，再计算可得答案. 【详解】如图所示是三棱锥的直观图： 其中 平面 ，垂足为 ， 根据三视图可知， ， ， ， 所以 ， ， ， 比较可知该三棱锥的最长棱的长为 ， 它的体积为 ， 故答案为：（1） （2）4 【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题. 13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的 方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为 ；（ⅱ）当中签 5 AF ⊥ BCD F 2BE ED= = 2CE EF= = 3AF = 2 2BF DF BC CD= = = = 2 2(2 2) 3 17AB AD= = + = 2 2 2 23 4 5AC AF CF= + = + = 5AC = 1 1 13 4 2 43 3 2BCDAF S∆× × = × × × × = 5 0.19率不超过 时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活 动可使中签率增加 .为了使中签率超过 ，则至少需要邀请________位好友参与到“好 友助力”活动. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出需要增加中签率为 0.71，再用 0.71 除以 0.05 得 14.2，取 15 即可得到答案. 【详解】因为摇号的初始中签率为 ，所以要使中签率超过 ，需要增加中签率 ， 因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加 ， 所以至少需要邀请 ，所以至少需要邀请 15 位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为： 【点睛】本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题. 14.已知函数 .数列 满足 （ ），则数列 的前 项和是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据三角函数知识，利用 为奇数时， ， 为奇数时时， ， 为偶数时， ，可求出 ，再相加即可得到答案. 【详解】因为 ，所以 ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 所以 1 0.05 0.9 15 0.19 0.9 0.9 0.19 0.71− = 0.05 0.7 14.20.05 = 15 ( ) cos 2 xf x x π= { }na ( ) ( 1)na f n f n= + + *n N∈ { }na 100 100 n ( ) 0f n = 2 n ( )f n n= − 2 n ( )f n n= 1 2 3 4 100, , , , ,a a a a a ( ) cos 2 xf x x π= (1) (3) (5) (101) 0f f f f= = = = = (2) 2, (6) 6, (10) 10, , (98) 98f f f f= − = − = − = − (4) 4, (8) 8, (12) 12, , (100) 100f f f f= = = = 1 2 (2) 2a a f= = = − 3 4 (4) 4a a f= = = 5 6 (6) 6a a f= = = − 7 8 (8) 8a a f= = =  99 100 (100) 100a a f= = = 1 2 3 4 5 6 7 8 99 100a a a a a a a a a a+ + + + + + + + +. 故答案为： 【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前 项和，考查了分组求 和，属于基础题. 15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所 示）. 给出下列三个结论： ①曲线 关于直线 对称； ②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使得曲线 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①② 【解析】 【分析】 将 代入 也成立得①正确；利用不等式可得 ，故②正确； 联立 得四个交点，满足条件的最小正方形是以 为中点，边长 为 2 的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将 代入 得 成立，故曲线 关 于直线 对称，故①正确； 2[ (2) (4) (6) (8) (100)]f f f f f= + + + + + 2( 2 4 6 8 10 12 100)= − + − + − + − + 2 25 2 100= × × = 100 n 2 2 3 2 2:( ) 4C x y x y+ = C y x= C 1 2 C ( , )y x 2 2 3 2 2:( ) 4C x y x y+ = 2 2 1x y+ ≤ 2 2 3 2 2( ) 4 y x x y x y = ±  + = , , ,A B C D ( , )y x 2 2 3 2 2:( ) 4C x y x y+ = 2 2 3 2 2( ) 4y x y x+ = C y x=对于②，因为 ，所以 ，所以 ， 所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确； 对于③，联立 得 ，从而可得四个交点 ， ， ， ， 依题意满足条件的最小正方形是各边以 为中点，边长为 2 的正方形，故不存在一个 以原点为中心、边长为 的正方形，使得曲线 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点 坐标，属于中档题. 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在 中， . （1）求 ； （2）若 ，.求 . 从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】（1） （2） 时， ； 时， 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边化角得 ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可 得 ，再根据角的范围可得结果； （2）若选① ，根据余弦定理可得结果；若选② ，先求出 ，再根据正弦定 理可得结果. 【详解】（1）因为 ， ， 2 2 3 2 2 2 2 2( ) ( ) 4 4 x y x yx y + += ≤ 2 2 1x y+ ≤ 2 2 1x y+ ≤ C 1 2 2 3 2 2( ) 4 y x x y x y = ±  + = 2 2 1 2x y= = 2 2( , )2 2A 2 2( , )2 2B − 2 2( , )2 2C − − 2 2( , )2 2D − , , ,A B C D 2 C △ ABC sin cos( )6b A a B π= − B 5c = a 7b = 4C π = 3 π 7b = 8a = 4C π = 5 3 5 2a += sin cos( )6B B π = - sin( ) 03B π - = 7b = 4C π = sin A sin cos( )6b A a B π= − sin sin a b A B =所以 . 又因为 ，所以 ，即 . 所以 . 又因为 ，所以 ，所以 . （2）若选① ，则在 中，由余弦定理 ， 得 ，解得 或 （舍）.所以 . 若选② ，则 ， 由正弦定理 ， 得 ，解得 . 所以 . 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于 基础题. 17.如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，四边形 是正方形， 点 ， 分别是棱 ， 的中点， ， ， . （1）求证： ； sin sin sin cos( )6B A A B π = - sin 0A ≠ sin cos( )6B B π = - 3 1sin cos sin2 2B B B= + sin( ) 03B π - = 2 3 3 3B π π π− < − < 03B π - = 3B π= 7b = △ ABC 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 5 24 0a a− − = 8a = 3a = − 8a = 4C π = 6 2sin sin( ) sin cos cos sin3 4 3 4 4A B C π π π π += + = + = sin sin a c A C = 5 6 2 2 4 2 a = + 5 3 5 2a += 5 3 5 2a += 1 1 1ABC A B C− 1 1ACC A ⊥ ABC 1 1ACC A D E BC 1BB 4AB = 1 2AA = 2 5BC = 1AB CC⊥（2）求二面角 的余弦值； （3）若点 在棱 上，且 ，判断平面 与平面 是否平行，并说明 理由. 【答案】（1）证明见解析（2） （3）平面 与平面 不平行；详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据平面 平面 和 得 平面 .，得 ； （2）以 为原点，建立空间直角坐标系 ，根据两个半平面的法向量可求得结果； （3）根据平面 的法向量与向量 不垂直可得结论. 【详解】（1）证明：因为四边形 是正方形，所以 . 又因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 所以 平面 又因为 平面 ， 所以 . （2）由（1）知， ， ，所以 . 又 ， ， ， 所以 .所以 . 1D AC C− − F 1 1B C 1 1 14B C B F= 1AC D 1A EF 1 3 1AC D 1A EF ABC ⊥ 1 1ACC A 1CC AC⊥ 1CC ⊥ ABC 1AB CC⊥ A A xyz− 1AC D 1 A E 1 1ACC A 1CC AC⊥ ABC ⊥ 1 1ACC A ABC  1 1ACC A AC= 1CC ⊥ ABC AB Ì ABC 1AB CC⊥ 1CC AB⊥ 1 1//AA CC 1AA AB⊥ 4AB = 1 2AC AA= = 2 5BC = 2 2 2AB AC BC+ = AC AB⊥如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 . 所以 ， ， ， . 则有 ， ， ， 平面 的一个法向量为 . 设平面 的一个法向量为 ， 又 ， ， 由 得 令 ，则 ， .所以 . 设二面角 的平面角为 ，则 . 由题知，二面角 为锐角，所以其余弦值为 . （3）平面 与平面 不平行.理由如下： 由（2）知，平面 的一个法向量为 ， ， 所以 ，所以 与平面 不平行. 又因为 平面 ， 所以平面 与平面 不平行. A A xyz− (0,0,0)A (4,0,0)B (0,0,2)C 1(0,2,0)A (2,0,1)D 1(0,2,2)C (4,1,0)E 1ACC (1,0,0)u = 1AC D ( , , )v x y z= (2,0,1)AD = 1 (0,2,2)AC = 1 0, 0. v AD v AC  ⋅ = ⋅ =   2 0, 2 2 0. x z y z + =  + = 1x = 2z = − 2y = (1,2, 2)v = - 1D AC C− − θ | | 1 1| cos | | || | 1 3 3 u v u v ×= = =´    q 1D AC C− − 1 3 1AC D 1A EF 1AC D (1,2, 2)v = - 1 (4, 1,0)A E = - 1 2 0A E v× = ¹   1A E 1AC D 1A E ⊂ 1A EF 1AC D 1A EF【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求 法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题. 18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部 门从某地区（人数众多）随机选取了 位患者和 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行 检测，结果如下： （1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求 的分布列和数学期望； （3）假设该地区有 万人，患病率为 .从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一 次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 ？并说明理由. 【答案】（1） （2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过 ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案； （2）可知随机变量 服从二项分布，即 ，其中 ， ，根据二项分布 的概率公式可得分布列和数学期望； （3）根据患病率为 可知 10 万人中由 99000 人没患病，1000 人患病，没患病检测呈阳性 的有 990 人，患病的检测呈阳性的 950 人，共有 990+950=1450 人呈阳性，所其中只有 950 人 患病，所以患病率为 ，由此可得答案. 【详解】（1）由题意知， 位患者中有 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为 . （2）由题意可知 ，其中 ， . 的所有可能的取值为 ， ， ， . 80 100 3 X X 10 0.01 0.5 19 20 0.5 X ~ ( , )X B n p 3n = 19 20p = 0.01 950 0.51450 < 80 76 76 19 80 20 = ~ ( , )X B n p 3n = 19 20p = X 0 1 2 3， ， ， . 所以 的分布列为 故 的数学期望 . （3）此人患该疾病的概率未超过 .理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 ，其中患者人数为 . 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 . 所以此人患该疾病的概率未超过 . 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望， 属于中档题. 19.已知椭圆 ，圆 （ 为坐标原点）.过点 且 斜率为 的直线与圆 交于点 ，与椭圆 的另一个交点的横坐标为 . （1）求椭圆 的方程和圆 的方程； （2）过圆 上的动点 作两条互相垂直的直线 ， ，若直线 的斜率为 且 与椭圆 相切，试判断直线 与椭圆 的位置关系，并说明理由. 【答案】（1） ； （2）直线 与椭圆 相切，详见解析 0 0 3 3 19 1 1( 0) ( ) ( )20 20 8000P X C= = × = 1 1 2 3 19 1 57( 1) ( ) ( )20 20 8000P X C= = × = 2 2 1 3 19 1 1083( 2) ( ) ( )20 20 8000P X C= = × = 3 3 0 3 19 1 6859( 3) ( ) ( )20 20 8000P X C= = × = X X 0 1 2 3 P 1 8000 57 8000 1083 8000 6859 8000 X 19 57( ) 3 20 20E X np= = × = 0.5 1 1999000 1000 990 950 1940100 20 × + × = + = 950 950 970 0.51940 1940 < = 0.5 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2:O x y r+ = O (0, )b 1 O (1,2) C 8 5 − C O O P 1l 2l 1l ( 0)k k ≠ 1l C 2l C 2 2 14 x y+ = 2 2 5x y+ = 2l C【解析】 【分析】 （1）根据圆 过点 可得圆 的方程为： ，根据过点 且斜率为 的直线 过点 ，可得 ，可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为 ，将其代入椭圆方 程可得椭圆 的方程为 ； （2）设圆 上的动点 ，所以 ，设直线 ： ， 将其代入 ，得 ，利用判别式为 0， 可得 ，设直线 ： ，将其代入 ，利用判别式为 0 可证直线 与椭圆 相切. 【详解】（1）因为圆 过点 ，所以圆 的方程为： . 因为过点 且斜率为 的直线方程为 ， 又因为过点 ，所以 . 因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为 ， 所以 ，解得 . 所以椭圆 的方程为 . （2）直线 与椭圆 相切.理由如下： 设圆 上的动点 ，所以 . 依题意，设直线 ： . 由 得 . 因为直线 与椭圆 相切， O (1,2) O 2 2 5x y+ = (0, )b 1 (1,2) 1b = 8 3( , )5 5 − − C 2 2 14 x y+ = O 0 0 0( , )( 2)P x y x ≠ ± 2 2 0 0 5x y+ = 1l 0 0( )y y k x x− = − 2 2 14 x y+ = 2 2 2 0 0 0 0(1 4 ) 8 ( ) 4( ) 4 0k x k y kx x y kx+ + − + − − = 2 2 2 0 0 0 0( 1) 2 (1 ) 0y k x y k y− + + − = 2l 0 0 1 ( )y y x xk − = − − 2 2 14 x y+ = 2l C O (1,2) O 2 2 5x y+ = (0, )b 1 y x b= + (1,2) 1b = 8 3( , )5 5 − − 2 2 2 8 3( ) ( )5 5 11a − − + = 2 4a = C 2 2 14 x y+ = 2l C O 0 0 0( , )( 2)P x y x ≠ ± 2 2 0 0 5x y+ = 1l 0 0( )y y k x x− = − 2 2 0 0 4 4, ( ) x y y kx y kx  + =  = + − 2 2 2 0 0 0 0(1 4 ) 8 ( ) 4( ) 4 0k x k y kx x y kx+ + − + − − = 1l C所以 . 所以 . 所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 设直线 ： ， 由 得 . 则 . 所以直线 与椭圆 相切. 【点睛】本题考查了由椭圆上点的坐标求椭圆方程，考查了由圆上的点的坐标求圆的方差， 考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了运算求解能力，利用判别式为 0 是解题关键，属 于中档题. 20.已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）判断函数 的零点的个数，并说明理由； （3）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 处的切线也是曲线 的切 线. 【答案】（1） （2） 有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】 2 2 2 0 0 0 0[8 ( )] 4(1 4 )[4( ) 4] 0k y kx k y kx∆ = − − + − − = 2 2 0 01 4 ( )k y kx+ = − 2 2 2 0 0 0 0(4 ) 2 (1 ) 0x k x y k y− + + − = 2 2 0 0 5x y+ = 2 2 0 04 1x y− = − 2 2 2 0 0 0 0( 1) 2 (1 ) 0y k x y k y− + + − = 2l 0 0 1 ( )y y x xk − = − − 2 2 0 0 4 4, 1 ( ) x y y y x xk  + = − = − − 2 20 0 0 02 4 8(1 ) ( ) 4( ) 4 0x xx y x yk k k k + − + + + − = 2 2 2 1 0 0 0 0 1 116[(4 )( ) 2 ( ) (1 )]x x y yk k ∆ = − − + − + − 2 2 2 0 0 0 02 16[(4 ) 2 (1 ) ]x kx y y kk = − − + − 2 2 2 0 0 0 02 16[( 1) 2 (1 ) ]y kx y y kk = − − + − 2 2 2 0 0 0 02 16[( 1) 2 (1 )] 0y k kx y yk = − − + + − = 2l C ( ) 1 1 x xf x e x += − − ( )y f x= (0, (0))f ( )f x 0x ( )f x xy e= 0 0( , )xx e lny x= 3 2 0x y− + = ( )f x（1）根据导数的几何意义可求得结果； （2）根据单调性和零点存在性定理可得 在 和 上各有唯一一个零点，由此 可得答案； （3）根据导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线为 ，设 曲线 在点 处的切线斜率为 ，根据导数的几何意义求出切线方程为 ，根据 是 的一个零点，可证两条切线重合. 【详解】（1）因为 ， 所以 ， ， . 所以曲线 在点 处的切线的方程为 . （2）函数 有且仅有两个零点.理由如下： 的定义域为 . 因为 ， 所以 在 和 上均单调递增. 因为 ， ， 所以 在 上有唯一零点 . 因为 ， ， 所以 在 上有唯一零点 . 综上， 有且仅有两个零点. （3）曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 设曲线 在点 处的切线斜率为 ， 则 ， ， ，即切点为 . ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞ xy e= 0 0( , )xx e 0 0 0 0e e ex x xy x x= − + lny x= 3 3( , )x y 0ex 0 0e 1xy x x= − − 0x ( )f x ( ) 1 1 x xf x e x += − − 0 0 1 0 10) 2( ef − = + =− ( ) 2( 1) 2ex x f x − ′ = + 0 2(0 1) 20 3e( )f − ′ = =+ ( )y f x= (0, (0))f 3 2 0x y− + = ( )f x ( )f x { | , 1}x x R x∈ ≠ 2 2( ) e 0 ( 1) xf ' x x = + > − ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞ (0) 2 0f = > 2 1( 2) 3e 0f −− = − < ( )f x ( ,1)−∞ 1x 2e(2) 3 0f = − > 5 45( ) e 9 04f = − < ( )f x (1, )+∞ 2x ( )f x xy e= 0 0( , )xx e 0 0 0( )− = −x xy e e x x 0 0 0 0e e ex x xy x x= − + lny x= 3 3( , )x y 0ex 0 3 1ex x = 03 1 exx = 3 0y x= − 0 0 1( , )ex x−所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 因为 是 的一个零点，所以 . 所以 . 所以这两条切线重合 所以结论成立. 【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数研究函数的单调性， 考查了利用零点存在性判断零点个数，属于中档题. 21.设数列 （ ）的各项均为正整数，且 .若对任意 ，存在正整数 使得 ，则称数列 具有性质 . （1）判断数列 与数列 是否具有性质 ；（只需写出结论） （2）若数列 具有性质 ，且 ， ， ，求 的最小值； （3）若集合 ，且 （任意 ， ）.求证：存在 ，使得从 中可以选取若干元素（可重复选取）组成 一个具有性质 的数列. 【答案】（1）数列 不具有性质 ；数列 具有性质 （2） 的最小值为 （3）证明见解 析 【解析】 【分析】 （1） 不满足存在正整数 使得 ，故数列 不具有性质 ； 根据定义可知数列 具有性质 ； （2）由题可知 ， ， ， ， ，所以 ，再验证 可知 时，数列 不具有性质 ， 时，数列 具有性质 ，从而可知 的最小值 为 ； lny x= 0 0 1( , )ex x− 0 00 1e ( )e x xy x x+ = − 0 0e 1xy x x= − − 0x ( )f x 0 0 0 1 1 x xe x += − 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1e e e (1 ) (1 ) 1x x x x x x x x x− +− + = − = − = − − 1 2: , , , nA a a a 3n ≥ 1 2 na a a≤ ≤ ≤ {3,4, , }k n∈  , (1 )i j i j k≤ ≤ < k i ja a a= + A T 1 :1,2,4,7A 2 :1,2,3,6A T A T 1 1a = 2 2a = 200na = n 1 2 3 4 5 6{1,2,3, ,2019,2020}S S S S S S S= =      i jS S = ∅ , {1,2, ,6}i j ∈  i j≠ iS iS T 1A T 2A T n 10 4 7a = , (1 )i j i j k≤ ≤ < k i ja a a= + 1A T 2A T 2 2a = 3 22 4a a≤ = 4 32 8a a≤ ≤  8 72 128a a≤ ≤ 9n ≥ 9n = A T 10n = A T n 10（3）反证法：假设结论不成立，即对任意 都有：若正整数 ，则 ，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确. 【详解】（1）数列 不具有性质 ；数列 具有性质 . （2）由题可知 ， ， ， ， ， 所以 . 若 ，因为 且 ，所以 . 同理， 因为数列各项均为正整数，所以 .所以数列前三项为 . 因为数列 具有性质 ， 只可能为 之一，而又因为 ， 所以 . 同理，有 . 此时数列为 . 但数列中不存在 使得 ，所以该数列不具有性质 . 所以 . 当 时，取 .（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质 . 所以， 的最小值为 . （3）反证法：假设结论不成立，即对任意 都有：若正整数 ，则 . 否则，存在 满足：存在 ， 使得 ，此时，从 中取出 ： 当 时， 是一个具有性质 的数列； 当 时， 是一个具有性质 的数列； 当 时， 是一个具有性质 的数列. （i）由题意可知，这 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于 个， 不妨设此集合为 ，从 中取出 个数，记为 ，且 . ( 1,2, ,6)iS i =  , ,ia b S a b∈ < ib a S− ∉ 1A T 2A T 2 2a = 3 22 4a a≤ = 4 32 8a a≤ ≤  8 72 128a a≤ ≤ 9n ≥ 9n = 9 200a = 9 82a a≤ 8128 100a≥ ≥ 7 6 5 4 364 50,32 25,16 12.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 3 4a = 1,2,4 A T 4a 4,5,6,8 48 6.25a≥ ≥ 4 8a = 5 6 7 816, 32, 64, 128a a a a= = = = 1,2,4,8,16,32,64,128,200 1 9i j≤ ≤ < 200 i ja a= + T 10n≥ 10n = :1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A T n 10 ( 1,2, ,6)iS i =  , ,ia b S a b∈ < ib a S− ∉ iS , ia b S∈ a b< ib a S− ∈ iS , ,a b b a− a b a< − , ,a b a b− T a b a> − , ,b a a b− T a b a= − , ,a a b T 6 337 1S 1S 337 1 2 337, , ,a a a 1 2 337a a a< <