蚌埠市 2020 届高三年级第三次教学质量检查考试
数学(文史类)
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|x2－5x＜－4}，集合 B＝{x|x≤0}，则 A∩( B)＝
A.(0，4) B.(1，4) C.(－1，4) D.(－1，0)
2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足(1－i)(z＋i)＝1，则 z＝
A. － i B. ＋ i C.1－i D.1＋i
3.已知双曲线 的离心率为 2，则实数 m 的值为
A.4 B.8 C.12 D.16
4.已知直线 l，m 和平面 α，且 m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一
时期相比较的增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展统计
公报图表，根据 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是
R
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2
14
x y
m
− =
⊂A.2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌
B.2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高
C.2019 年我国居民每月消费价格逐月递增
D.2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降
6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn。若数列{Sn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 a2020＝
A.2019 B.2020 C.22018 D.22019
7.已知向量 a＝(1，0)，b＝(2－m，2＋m)，若 a·b＝0，则 2a－b＝
A.(2，－4) B.(－2，4) C.(2，4) D.(－2，0)
8.已知 sin(α－ )＝ ，则 sin2α＝
A. B. C. D.
9.已知函数 f(x)是一次函数，且 f[f(x)－2x]＝3 恒成立，则 f(3)＝
A.1 B.3 C.5 D.7
10.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示。有下列四个结论：
①φ＝ ； ②f(x)在[－ ，－ ]上单调递增；
③f(x)的最小正周期 T＝π； ④f(x)的图象的一条对称轴为 x＝ 。
其中正确的结论有
4
π 3
3
2 2
3
6
3
2
3
1
3
3
π 7
12
π
12
π
3
πA.②③ B.②④ C.①④ D.①②
11.足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”。汉代蹴鞠是训练士兵的手段，
制定了较为完备的体制。如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称
的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守。比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决
定胜负。1970 年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼
块的数目如同掷骰子一样没准。自 1970 年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，
沿用至今。如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的 12 块正五边形和 20 块正六边形拼接
而成，形成一个近似的球体.现用边长为 4.5cm 的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面
体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由 4 个正六边形与 4 个正五边形以及
2 条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段 AA′，如图Ⅱ，则该足球的表面积
约为
参考数据：tan72°≈3.08， ≈1.73，π≈3.14，67.862≈4604.98。
A.366.64cm2 B.488.85cm2 C.1466.55cm2 D.5282.40cm2
12.已知函数 。若函数 g(x)＝－x＋m(m＞0)与 y＝f(x)的图象相交
于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标分别记为 x1，x2，则 x1＋x2 的取值范围是
A.(1， ) B.[log23， ) C.[1， ) D.[log23，3]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 f(x)＝exsinx 在点(0，0)处的切线方程为 。
14.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 a3＝36，an－2＝6，Sn＝126，则 n＝ 。
15.某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各 100 名客户
代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则
(填“能”或“不能”)有 99％以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关。
3
( )
2
12 , 12
1log 12
x x
f x
x x
−=
+ ≥
＜ ，
，
3
2
5
2
5
2附： 。
16.已知点 P( ，1)，M，N 是椭圆 上的两个动点，记直线 PM，PN，MN 的斜
率分别为 k1，k2，k，若 k1＋k2＝0，则 k＝ 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
如图所示，△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cosC－ sinC＝ 。
(1)求 A；
(2)若点 P 是线段 CA 延长线上一点，且 PA＝3，AC＝2，C＝ ，求 PB。
18.(12 分)
随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动
支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，
许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世－－蚂蚁花呗.这是
一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体
在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的
关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取 100 人，
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
2
2
2 12
yx + =
3
3
b
a
6
π得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示。
(1)由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 y 与年龄 x 成线性相关关
系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各
年龄段“赊购”人数百分比 y 与年龄 x 的线性回归方程(回归直线方程的斜率和截距保留两位有
效数字)；
(2)该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊
购”的人数；
(3)已知该网店中年龄段在 18－26 岁和 27－35 岁的注册用户人数相同，现从 18 到 35 岁之间
使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单随机抽取 2 人调
查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率。
参考公式：
19.(12 分)
如图所示七面体中，AA1//BB1//DD1，AA1⊥平面 ABED，平面 A1B1C1D1//平面 ABED，四边形
A1B1C1D1 是边长为 2 的菱形，∠D1A1B1＝60°，AA1＝2A1B1＝4BE，M，N 分别为 A1D，BB1
的中点。
(1)求证：MN//平面 C1DE；
(2)求三棱锥 M－C1DE 的体积。
1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
=
=
− ⋅
= = −
−
∑
∑20.(12 分)
已知函数 f(x)＝alnx＋x2－3x＋k。
(1)当 a＞0 时，求函数 f(x)的极值点；
(2)当 a＝1 时，对任意的 x∈[ ，e]，f(x)≤0 恒成立，求实数 k 的取值范围。
21.(12 分)
如图，设抛物线 C1：x2＝4y 与抛物线 C2：y2＝2px(p＞0)在第一象限的交点为 M(t， )，点
A，B 分别在抛物线 C2，C1 上，AM，BM 分别与 C2，C1 相切。
(1)当点 M 的纵坐标为 4 时，求抛物线 C2 的方程；
(2)若 t∈[1，2]，求△MBA 面积的取值范围。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，(其中 t 为参数， ≤α＜π)。
在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为
ρcos2θ＝2cosθ－2ρsin2θ。设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点。
(1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)已知点 P(0，1)，求 的最大值。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)＝|x－m|＋|x|，x∈R。
(1)若不等式 f(x)≥m2 对 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围；
(2)若(1)中实数 m 的最大值为 t，且 a＋b＋c＝t(a，b，c 均为正实数)。
1
e
2
4
t
cos
1 sin
x t
y t
α
α
=
= +
3
4
π
1 1
PA PB
+
∀证明： ≥9。1 1 1
a b c
+ +
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