中考必会几何模型：圆中的辅助线

DOC B A E 圆中的辅助线 模型 1 连半径构造等腰三角形 已知 AB 是⊙O 的一条弦，连接 OA，OB，则∠A＝∠B． 模型分析 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形， 利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题 模型实例 如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD＝84°，AE 交⊙O 于点 B，且 AB＝OC，求∠A． 解答：如图，连接 OB，∵AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A． ∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而 OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A． 1．如图，AB 经过⊙O 的圆心，点 B 在⊙O 上，若 AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A 的度数． 解答：如图，连接 OC、OD．∵∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°． 又∵AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD， ∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A． ∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°． ∴∠A＝24°． 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 PQ 交 AB 于 M，且 PM＝MO，求证：则 ＝ ． O BA DOC B A E AP 1 3 BQ A BO C D A BO Q M P图① A O B C 证明：如图，连接 OP、OQ． ∵PM＝OM， ∴∠P＝∠MOP． ∵OP＝OQ， ∴∠P＝∠Q． ∵∠QMO＝2∠MOP， ∴∠BOQ＝3∠MOP． ∴∠AOP＝ ∠BOQ． ∴ ＝ ． 模型 2 构造直角三角形 如图①，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，连接 AC、BC，则∠ACB=90o. 如图②，已知 AB 是⊙O 的一条弦，过点 O 作 OE⊥AB，则 OE2+AE2=OA2. 模型分析 (1) 如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中 注意 90o 的圆周角的构造. (2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利 用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算. 模型实例 例 1 已知⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求 CD 的长. 1 3 AP 1 3 BQ 图② E O A B EA O B C D A BO D F C E解答: 如图,过 O 作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６， ∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝ ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２ 在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60º,OE=2,∴EF=1,OF= . 在 Rt△ODF 中, ,∴ .∴ . ∵OF⊥CD,∴CD=2DF= 例 2 如图,AB 是⊙O 的直径,AB=AC,BC 交⊙O 于点 D,AC 交⊙O 于点 E,∠BAC=45º. (1)求∠EBC 的度数; (2)求证:BD=CD. 解答 （1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°． ∵AB 是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°． （2）连接 AD， ∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°． 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD(等腰三角形三线合一性质)． 练习 1．如图，⊙O 的弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AE＝5，BE＝13，点 O 到 AB 的距离为 2 ．求点 O 到 CD 距离，线段 OE 的长即⊙O 的半径． 解答：如图，连接 OB，过 O 分别作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥CD 于点 N． ∵AB＝AE＋BE＝5＋13＝18， ∴AM＝ AB＝9． 1 2 3 2 2 2OD DF OF= + 2 2 24 ( 3)DF= + 13DF = 2 13 10 A B C D E O 1 2 CB O A D E又∵OM＝2 ， ∴在 Rt△OBM 中， BO＝ ＝ ＝11， 由图知，四边形 ONEM 是矩形， ∴ON＝EM＝AM－AE＝9－5＝4， ∴OE＝ ＝ ＝2 ． 2．已知，AB 和 CD 是⊙O 的两条弦，且 AB⊥CD 于点 H，连接 BC、AD，作 OE⊥AD 于点 E．求证： OE＝ BC． 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 F，连接 DF、BD． ∵OE⊥AD， ∴AE＝DE． ∵OA＝OF， ∴OE 是△ADF 的中位线． ∴OE＝ DF． ∵AB⊥CD， ∴∠ABD＋∠CDB＝90°． ∵AF 是直径， ∴∠ADF＝90°． ∴∠DAF＋∠F＝90°． ∵∠ABD＝∠F， ∴∠CDB＝∠DAF． ∴DF＝BC． ∴OE＝ BC． 3．如图，直径 AB＝2，AB、CD 交于点 E 且夹角为 45°．则 CE2＋DE2＝__________． 解答：如图，过点 O 作 OF⊥CD 于点 F，连接 OD． 设 OF＝a，DF＝b， 则在 Rt△OFD 中，a2＋b2＝1． ∴CF＝DF＝b． ∵∠BED＝45°， ∴OF＝EF＝a． ∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2． 10 2 2OM BM+ 81 40+ 2 2OM BM+ 2 2(2 10) 4+ 14 1 2 1 2 1 2 A B C D E O AB C D E H O模型 3 与圆的切线有关的辅助线 模型分析 （1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线 AB 是⊙O 的切线，点 C 是切点，连接 OC，则 OC⊥AB． （2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直； 如图，已知过圆上一点 C 的直线 AB，连接 OC，证明 OC⊥AB，则直线 AB 是⊙O 的切线． ②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径； 如图，过点 O 作 OC⊥AB，证明 OC 等于⊙O 的半径，则直线 AB 是⊙O 的切线． 模型实例 例 1 如图，OA、OB 是⊙O 的半径，且 OA⊥OB，P 是 OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O 于 Q，过 Q 点 的切线交 OA 的延长线于 R．求证：RP＝PQ． 证明 连接 OQ． ∵OQ＝OB， ∴∠OQB＝∠OBQ． ∵RQ 为⊙O 的切线，OA⊥OB， ∴∠BPO＝90°－∠OBQ，∠BQR＝90°－∠OQB． ∴∠BPO＝∠QPB＝∠BQR． ∴RP＝RQ． 例 2 如图，△ABC 内接于⊙O，过 A 点作直线 DE，当∠BAE＝∠C 时，试确定直线 DE 与⊙O 的位置关系， 并证明你的结论． 解答 直线 DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接 AO 并延长，交⊙O 于点 F，连接 BF． ∵∠BAE＝∠C，∠C＝∠F， ∴∠BAE＝∠F ∵AF 为直径， ∴∠ABF＝90°． ∴∠F＋∠BAF＝90°． ∴∠BAE＋∠BAF ∴FA⊥DE． 又∵AO 是⊙O 的半径， ∴直线 DE 与⊙O 相切． A B C D E O R B O Q AP A BC O小猿热搜 1．如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC、AC 相交于点 D、E，BD＝CD，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 F．求证：DF⊥AC． 证明：如图，连接 OD． ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴OD⊥DF． ∴∠ODF＝90°． ∵BD＝CD，OA＝OB， ∴OD 是△ABC 的中位线． ∴OD∥AC． ∴∠CFD＝∠ODF＝90°． ∴DF⊥AC． 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是它的切线，CO 平分∠ACD．求证：CD 是⊙O 的切线． 证明： 如图，过 O 点作 OE⊥CD 于点 E． ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OA⊥AC． ∵CO 平分∠ACD，OE⊥CD， ∴OA＝OE． ∴CD 是⊙O 的切线． 3．如图，直线 AC 与⊙O 相交于 B、C 两点，E 是 的中点，D 是⊙O 上一点，若∠EDA＝∠ AMD．求证：AD 是⊙O 的切线． 证明：如图，连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OD． ∵E 是是 的中点， ∴OE⊥BC． ∴∠E＋∠EMF＝90°． ∵∠EDA＝∠AMD，∠AMD＝∠EMF， ∴∠ADM＋∠E＝90°． ∵OE＝OD， ∴∠E＝∠ODE． ∴∠ODE＋∠ADM＝90°，即∠ODA＝90°． ∴OD⊥AD． ∴AD 是⊙O 的切线． BC BC AB C D E F O A B C DE M O A B C D O赠送—高中数学知识点 二次函数 （1）一元二次方程 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及， 但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定 理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ， 从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④ 端点函数值符号． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + + a 2 bx a = − ∆ ⇔ x y 1x 2x 0>a O • a bx 2 −= 0)( >kf k x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf 0)( 2 >kf a bx 2 −= x y 1x 2xO • 0 ( )M f p= x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x (Ⅱ)当 时(开口向下) ①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ①若 ，则 ② ，则 ． 0a < 2 b pa − < ( )M f p= 2 bp qa ≤ − ≤ ( )2 bM f a = − 2 b qa − > ( )M f q= 02 b xa − ≤ ( )m f q= 02 b xa − > ( )m f p= x y0