中考必会几何模型：中点四大模型

1 中点四大模型 模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 模型分析 如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点 E 使 DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）． 如图②，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS） 　　当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件 中的线段进行转移． 模型实例 如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AF ＝EF，求证：AC＝BE 1．如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝20，求 BC 边上中线 AD 的范围． 解：延长 AD 到 E，使 AD＝DE，连接 BE， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC 与△EDB 中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB＝AC＝20， 根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12， ∴4＜AD＜16，故 AD 的取值范围为 4＜AD＜16． ②图 ①图 构造全等 倍长类中线 倍长中线 E E D CB A FF A B CD A B CDD CB A    = ∠=∠ = DEAD BDEADC CDBD F E D CB A D CB A2 2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 BM2 ＋CN2＝DM2＋DN2． 求证：AD2＝ (AB2＋AC2)． 证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于 E， 连 ME． ∵BD＝DC， ∴ED＝DN． 在△BED 与△CND 中， ∵ ∴△BED≌△CND（SAS）． ∴BE＝NC． ∵∠MDN＝90°， ∴MD 为 EN 的中垂线． ∴EM＝MN． ∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE＝90°． ∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°． ∴∠BAC＝90°． ∴AD2＝( BC) 2＝ （AB2＋AC2）． 模型 2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等， 为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，求 MN 的长度． 连接中线 A B CDD CB A N M CB A A B CM N 4 1    = ∠=∠ = DNED CDNBDE DCBD 2 1 4 1 N M D CB A3 解答： 连接 AM． ∵AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 中点， ∴AM⊥BC，BM＝CM＝ BC＝3． ∵AB＝5， ∴AM＝ ． ∵MN⊥AC， ∴S△ANC＝ MC·AM＝ AC·MN． 即： ×3×4＝ ×5×MN． ∴MN＝ 跟踪练习 1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且 AE＝AF，求证：∠EDB＝∠ FDC． 证明：连结 AD， ∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90° 在 Rt△AED 与 Rt△AFD 中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL） ∴∠ADE＝∠ADF， ∵∠ADB＋∠ADC＝90°， ∴∠EDB＝∠FDC． FE D CB A 2 1 435 2222 =−=− BMAB 2 1 2 1 2 1 2 1 5 12    = = ADAD AFAB4 2．已知 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为 AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕 D 点旋转， 它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F． （1）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DF⊥AC 于 E 时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝ S△ABC； （2）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立， S△DEF、S△CEF、S△ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不 需要证明． 解：（1）连接 CD；如图 2 所示： ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 AB 中点， ∴∠B＝45°，∠DCE＝ ∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝ AB＝BD， ∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△CDE 和△BDF 中， ， ∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝ S△ABC； （2）不成立；S△DEF −S △CEF ＝ S△ABC ；理由如下：连接 CD，如图 3 所示： 同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S 五边形 DBFEC， ＝S△CFE＋S△DBC， ＝S△CFE＋ S△ABC， ∴S△DEF－S△CFE＝ S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC 的关系是：S△DEF－S△CEF＝ S△ABC． ③图②图①图 A B C D E F A BC D E FF E D C B A 2 1 2 1 2 1    ∠=∠ = ∠=∠ BDCB BDCD 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 A BC D E F5 模型 3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 模型分析 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE∥BC，且 DE＝ BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以 解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题． 模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M，N．求证：∠BME＝∠CNE． 解答 如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE、HF． ∵E、F 分别是 BC、AD 的中点， ∴FH＝ AB，FH∥AB，HE＝ DC，HE∥NC． 又∵AB＝CD， ∴HE＝HF． ∴∠HFE＝∠HEF． ∵FH∥MB，HE∥NC， ∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠FEH． ∴∠BME＝∠CNE． 构造中位线 取另一边中点 E A B C DD CB A N M F E D C B A 2 1 2 1 2 16 练习： 1.（1）如图 1，BD，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点 A 作 AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为 D， E，连接 DE，求证：DE∥BC，DE= （AB+BC+AC）； （2）如图 2，BD，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图 3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与 BC 还 平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明. 1.解答 （1）如图①，分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K. 在△BAD 和△BKD 中， ∴△BAD≌ △BKD（ASA） ∴AD=KD，AB=KB. 同理可证，AE=HE，AC=HC. ∴DE= HK. 又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC. ∴DE= （AB+AC+BC）. （2）猜想结果：图②结论为 DE= （AB+AC-BC） 证明：分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K. 在△BAD 和△BKD 中 ∴△BAD≌△BKD（ASA） ∴AD=KD，AB=KB 同理可证，AE=HE，AC=HC. ∴DE= HK. 又∵HK=BK+CH-BC =AB+AC-BC ∴DE= （AB+AC-BC） ED CB A 图1 G F E D CB A 图2 F E D CB A 图3 1 2 ABD DBK BD BD BDA BDK ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 1 2 1 2 1 2 ABD DBK BD BD BDA BDK ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 1 2 1 27 （3）图③的结论为 DE= （BC+AC-AB） 证明：分别延长 AE，AD 交 BC 或延长线于 H，K. 在△BAD 和△BKD 中， ∴△BAD ≌△BKD（ASA） ∴AD=KD，AB=KB. 同理可证，AE=HE，AC=HC. ∴DE= KH. 又∵HK=BH-BK =BC+CH-BK =BC+AC-AB ∴DE= （BC+AC-AB）. 2.问题一：如图①，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中 点，连接 EF，分别交 DC，AB 于点 M，N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论. 问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，D 点在 AC 上，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连 接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=60°，连接 GD，判断△AGD 的形状并证明. 2.证明 （1）等腰三角形（提示：取 AC 中点 H，连接 FH，EH，如图①） （2）△AGD 是直角三角形 如图②，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF，HE. ∵F 是 AD 的中点， ∴HF∥AB，HF= AB. G A B C DE KH F 图2 图1 N M OF E D C B A E图2 G A B C D F 1 2 ABD DBK BD BD BDA BDK ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 1 2 1 2 1 2 A B C D E K H F 图38 ∴∠1=∠3. 同理，HE∥CD，HE= CD， ∴∠2=∠EFC， ∴AB=CD， ∴HF=HE. ∴∠1=∠2. ∵∠EFC=60°， ∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF=FG. ∴GF=FD. ∴∠FGD=∠FDG=30°. ∴∠AGD=90°，即△AGD 是直角三角形. 模型 4 已知直角三角形斜边中点，可以考 虑构造斜边中线 模型分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半，即 CD= AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例 如图，在△ABC 中，BE，CF 分别为 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点，DM⊥ EF 于点 M，求证： FM=EM. 证明 连接 DE，DF. BE，CF 分别为边 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点， DF= BC，DE= BC. DF=DE，即△DEF 是等腰三角形. DM⊥EF， 点 M 是 EF 的中点，即 FM=EM. 构造直角三角形斜边上的中线 D C B A D C B A 1 2 1 2 1 2 1 2 图2 3 2 1 G A B C D F E H M F E D CB A A B CD E F M9 练习： 1.如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于 D，M 为 BC 的中点，AB=10，求 DM 的长度. 1.解答 取 AB 中点 N，连接 DN，MN. 在 Rt△ADB 中，N 是斜边 AB 上的中点， ∴DN= AB=BN=5. ∴∠NDB=∠B. 在△ABC 中，M，N 分别是 BC，AB 的中点， ∴MN∥AC ∴∠NMB=∠C， 又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB=∠NMD+∠DNM. 即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM. 又∵∠B=2∠C， ∴∠DNM=∠C=∠NMD. ∴DM=DN. ∴DM=5. 2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°， 连接 DE，M 为 DE 的中点，连接 MB，MC，求证：MB=MC. 2.证明 延长 BM 交 CE 于 G， ∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE∥BD. ∴∠BDM=∠GEM. 又∵M 是 DE 中点，即 DM=EM， 且∠BMD=∠GME， ∴△BMD ≌△GME. ∴BM=MG. ∴M 是 BG 的中点， ∴在 Rt△CBG 中，BM=CM. 3.问题 1：如图①，三角形 ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AE⊥ BC，BF ⊥AC，垂足分别为点 E， F.AE、BF 交于点 M，连接 DE，DF，若 DE=kDF，则 k 的值为 . 问题 2：如图②，三角形 ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在三角形 ABC 内部，且∠MAC= ∠MBC，过点 M 分别作 ME ⊥BC，MF⊥ AC，垂足分别为点 E，F，连接 DE，DF，求证：DE=DF. 问题 3：如图③，若将上面问题 2 中的条件“CB=CA”变为“CB ≠CA”，其他 条件不变，试探究 DE MD CB A 1 2 M E D C B A N MD CB A10 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3.解答 ∵（1）AE⊥BC，BF⊥AC， ∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是 AB 的中点， ∴DE= AB，DF= AB. ∴DE=DF. ∵DE=KDF， ∴k=1. （2）∵CB=CA， ∴∠CBA=∠CAB. ∵∠MAC=∠MBC， ∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM. ∴AM=BM. ∵ME⊥BC，MF⊥AC， ∴∠MEB=∠MFA=90°. 又∵∠MBE=∠MAF， ∴△MEB ≌△MFA（AAS） ∴BE=AF. ∵D 是 AB 的中点，即 BD=AD， 又∵∠DBE=∠DAF， ∴△DBE ≌△DAF（SAS） ∴DE=DF. （3）DE=DF. 如图，作 AM 的中点 G，BM 的中点 H，连 DG，FG，DH，EH. ∵点 D 是边 AB 的中点， ∴DG∥BM，DG= BM. 同理可得：DH∥AM，DH= AM. ∵ME⊥BC 于 E，H 是 BM 的中点. ∴在 Rt△BEM 中，HE= BM=BH. ∴∠HBE=∠HEB. ∴∠MHE=2∠HBE. 图1 M F E D CB A 图2 A B C D E F M 图3 A B C D E F M 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 图1 M F E D CB A 图2 A B C D E F M11 又∵DG= BM，HE= BM， ∴DG=HE. 同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC. ∵DG∥BM，DH∥GM， ∴四边形 DHMG 是平行四边形. ∴∠DGM=∠DHM. ∵∠MGF=2∠MAC， ∠MHE=2∠MBC， ∠MBC=∠MAC， ∴∠MGF=∠MHE. ∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE. ∴∠DGF=∠DHE. 在△DHE 与△FGD 中 ∴△DHE≌ △FGD（SAS） ∴DE=DF. 高中数学知识点 二次函数 （1）一元二次方程 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但 尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理） 的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ， 从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端 点函数值符号． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k 1 2 1 2 DG HE DGF DHE DH FG = ∠ = ∠  = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + + a 2 bx a = − ∆ ⇔ x y 1x 2x 0>a O • a bx 2 −= 0)( >kf k x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf 0)( 2 >kf a bx 2 −= x y 1x 2xO • 0 ( )M f p= 0a < 2 b pa − < ( )M f p= 2 bp qa ≤ − ≤ ( )2 bM f a = − 2 b qa − > ( )M f q= 02 b xa − ≤ ( )m f q= 02 b xa − > ( )m f p= x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x  x y0