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1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点 P 为边 AN 上一动点（且点 P 不与
点 A，B 重合），PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F，点 M 为 EF 中点，则 PM 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点
作垂线，围成面积为 S 的小正方形 EFGH．已知 AM 为 Rt△ABM 较长直角边，
AM=2 EF，则正方形 ABCD 的面积为（ ）
A．14S B．13S C．12S D．11S
3．如图，由四个边长为 1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个
顶点，可得到△ABC，则△ABC 中 AC 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若 AB=4，AD=5，则
DC 的长（ ）第 2 页（共 80 页）
A．7 B． C． D．2
5．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以 AB、AC、BC 为边在 AB
的同侧作正方形 ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为 S1，S2，S3
，S4．则 S1+S2+S3+S4 等于（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC 中，∠A=90°，P 是 BC 上一点，且 DB=DC，过 BC 上一点 P，
作 PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，已知：AD：DB=1：3，BC= ，则 PE+PF 的长
是（ ）
A． B．6 C． D．
7．如图，正方形 ABCD 边长为 2，从各边往外作等边三角形 ABE、BCF、CDG、DAH
，则四边形 AFGD 的周长为（ ）第 3 页（共 80 页）
A．4+2 +2 B．2+2 +2 C．4+2 +4 D．2+2 +4
8．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7
，则 AB 的长为（ ）
A．10 B．5 C．2 D．2
9．如图△ABC 是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点 D 在 BC 边上，且 BD＜DC
，以 AD 为边作正三角形 ADE，当△ABC 的面积是 25 ，△ADE 的面积是 7
时，BD 与 DC 的比值是（ ）
A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3
10．已知等边三角形 ABC 边长为 2，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴
负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第四象限，连结 OC，则线段 OC 长的
最小值是 ．
11．如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=7，E 是 BC 上的一个动点（不与点 B，C
重合），△DEF≌△ABC，其中点 A，B 的对应点分别是点 D，E．当点 E 运动
时 DE 边始终经过点 A．设 EF 与 AC 相交于点 G，当△AEG 是等腰三角形时，
BE 的长为 ．第 4 页（共 80 页）
12．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且 AD=CD，连接 BD，
若 AB=2，BD= ，则 BC 的长为 ．
13．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点 D、E 分别是 BC、AD 的中
点，AF∥BC 交 CE 的延长线于 F，则△AFC 的面积为 ．
14．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以 AB、BC、AC 为
边作正方 ABED、BCFK、ACGH，再作 Rt△PQR，使∠R=90°，点 H 在边 QR 上，
点 D、E 在边 PR 上，点 G、F 在边 PQ 上，则 PQ 的长为 ．
15．如图，水平距离为 80 米（BC=80 米）的 A，B 两村庄隔着一条小河，并且河
宽 15 米，A 与河 l1 的距离为 40 米，B 与河 l2 的距离为 20 米，为了方便行人
之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么 A，B 两村庄
来往的最短路程是 米．第 5 页（共 80 页）
16．如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°
，若 CD=6，BD=6.5，则 AD= ．
17．四边形 ACBD 中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7 ，则 BD=
．
18．如图，在△ABC 中，AB=BC=6，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°
，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 ．
19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO 是一个三角形台球桌，从 O 点击
出的球经过 C、D 两处反弹正好落在 A 洞，则 C 的坐标是 ．第 6 页（共 80 页）
20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角
形围成的．若两直角边 AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为 6 的直角
边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所
围成的总面积是 ．
21．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC= ．分别以 AB，AC，BC 为边，
向外作正方形 ABDE，正方形 ACFG，正方形 BCMN，连接 GE，DN．则图中阴
影的总面积是 ．
22．如图，△ABC 是直角三角形，记 BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正
方形 ABDE，正方形 ACFG，正方形 BCMN，过点 C 作 BA 边上的高 CH 并延长
交正方形 ABDE 的边 DE 于 K，则四边形 BDKH 的面积为 ．（用含 a 的
式子表示）第 7 页（共 80 页）
23．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，D 是 BC 边上一动点，BE⊥AD，交
其延长线于点 E，EF⊥AC，交其延长线于点 F，则 AF 的最大值为 ．
24．如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=2，以 AC 为边在△ABC 外作等边三角形 ACD
，连接 BD，则 BD= ．
25．如图，点 P 是等边△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5
，以 AC 为边作△AP′C≌△APB，连接 PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三
角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确
的是 ．（把所有正确答案的序号都填在横线上）
26．如图，正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16，△AEH、△BDC
、△GFI 的面积分别为 S1、S2、S3，则 S1+S2+S3= ．第 8 页（共 80 页）
27．如图所示，在等边三角形 ABC 中，BC 边上的高 AD=10，E 是 AD 上一点，现
有一动点 P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动，在 AE 上的速度是 4 单位/秒，在 CE 上的
速度是 2 单位/秒，则点 P 从 A 到 C 的运动过程中至少需 秒．
28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两
个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是 ．
29．如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则 BD
的长为 ．
30．如图，要使宽为 2 米的矩形平板车 ABCD 通过宽为 2 米的等宽的直角通道
，平板车的长不能超过 米．第 9 页（共 80 页）
31．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，点 P 在 BC 上．若点 P 为 BC 的中点，则
m=AP2+BP•PC 的值为 ；若 BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100
，且 mi=APi2+BPi•PiC（i=1，2，…，100），则 m=m1+m2+…+m100 的值为 ．
32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三
角形围成的．在 Rt△ABC 中，若直角边 AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角
形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．
则①图中小正方形的面积为 ；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带
，则需要彩带的长度至少是 ．
33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了二
枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作
正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠
BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR
上，点 G，F 在边 PQ 上，那么△PQR 的周长等于 ．第 10 页（共 80 页）
34．如图平面直角坐标系中，已知三点 A（0，7），B（8，1），C（x，0）．
（1）求线段 AB 的长；
（2）请用含 x 的代数式表示 AC+BC 的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式 ﹣ 的
最大值．
35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．
（1）求 BC 的长；
（2）求 BD 的长．
36．如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，AB= ，AC= ，AD=3，求 BC 的长
及△ABC 的面积．
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 C 在 x
轴的正半轴上，且 BC⊥OC 于点 C，点 A 的坐标为（2，2 ），AB=4 ，∠B=60°第 11 页（共 80 页）
，点 D 是线段 OC 上一点，且 OD=4，连接 AD．
（1）求证：△AOD 是等边三角形；
（2）求点 B 的坐标；
（3）在 x 轴上求一点 P，使△OBP 为等腰三角形．
38．在△ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形
的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的
边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的
顶点处），如图 1 所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它
的面积．
（1）△ABC 的面积为 ．
（2）若△DEF 的三边 DE、EF、DF 长分别为 ， ， ，请在图 2 的正方形
网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF 的面积为 ．
（3）在△ABC 中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以 AB 为边向△ABC 外作△ABD（D
与 C 在 AB 异侧），使△ABD 为等腰直角三角形，则线段 CD 的长为 ．
39．如图，在等腰△ACE 中，已知 CA=CE=2，AE=2c，点 B、D、M 分别是边 AC、
CE、AE 的中点，以 BC、CD 为边长分别作正方形 BCGF 和 CDHN，连结 FM、FH
、MH．
（1）求△ACE 的面积；
（2）试探究△FMH 是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH 的面积．第 12 页（共 80 页）
40．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E
，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，求 AM 的最小值．
41．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 、 、 ，
求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图 1 所示，先画一个正方形网
格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个
顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积．他
把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图 2 是一个 6×6 的正方形网格（每个小正方形的边长为 1）．
①利用构图法在答卷的图 2 中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
②计算①中△DEF 的面积为 ；（直接写出答案）
（2）如图 3，已知△PQR，以 PQ，PR 为边向外作正方形 PQAF，正方形 PRDE，
连接 EF．
①判断△PQR 与△PEF 面积之间的关系，并说明理由．
②若 PQ= ，PR= ，QR=3，直接写出六边形 AQRDEF 的面积为 ．第 13 页（共 80 页）
42．如图所示，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线 AD=6，求 BC 的长．
43．探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC 中，CP⊥AB 于点 P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；
（2）如图（2）所示，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 P，猜一猜 AB，BC，CD
，DA 之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形 ABCD 中，P 是其内部任意一点，试猜想 AP，BP，
CP，DP 之间的数量关系，并给出证明．
44．设 a，b，c，d 都是正数．求证： + ＞
．
45．如图：四边形 ABCD 中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以 AB、BC
、BD 为边，能否组成直角三角形，并说明理由．第 14 页（共 80 页）
46．已知：如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，DE、DF 分别交 AC
于 E，交 BC 于 F，且 DE⊥DF．
（1）如果 CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图 2，如果 CA＜CB，（1）中结论 AE2+BF2=EF2 还能成立吗？若成立，请
证明；若不成立，请说明理由．
47．（1）如图 1，AD 是△ABC 边 BC 上的高．
①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；
②已知 AB=8，AC=6，M 是 AD 上的任意一点，求 BM2﹣CM2 的值；
（2）如图 2，P 是矩形 ABCD 内的一点，若 PA=3，PB=4，PC=5，求 PD 的值．
48．如图，A，B 两个工厂位于一段直线形河的异侧，A 厂距离河边 AC=5km，B
厂距离河边 BD=1km，经测量 CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一
个污水处理厂 E．
（1）设 ED=x，请用 x 的代数式表示 AE+BE 的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂 E 的位置应怎样来确定此时需要管道第 15 页（共 80 页）
多长？
（ 3 ） 通 过 以 上 的 解 答 ， 充 分 展 开 联 想 ， 运 用 数 形 结 合 思 想 ， 请 你 猜 想
的最小值为 ．
49．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC 内有一点 P，若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为
3，4，5，则∠APB= ，由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本
题我们可以将△ABP 绕顶点 A 旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌ 这样，
就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求
出∠APB 的度数．
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC
中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F 为 BC 上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2
．
50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：
已知：在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 、 、 ，求△ABC 的
面积．小明是这样解决问题的：如图 1 所示，先画一个正方形网格（每个小
正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小
正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积．他把这种解决
问题的方法称为构图法．请回答：第 16 页（共 80 页）
（1）图 1 中△ABC 的面积为 ；参考小明解决问题的方法，完成下列问题
：
（2）图 2 是一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1）．
①利用构图法在答题卡的图 2 中画出三边长分别为 、 、 的格点△
DEF；
②计算△DEF 的面积为 ．
（3）如图 3，已知△ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABDE，ACFG，连接 EG
．若 AB= ，BC= ，
AC= ，则六边形 BCFGED 的面积为 ．
第 17 页（共 80 页）
一．选择题（共 9 小题）
1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点 P 为边 AN 上一动点（且点 P 不与
点 A，B 重合），PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F，点 M 为 EF 中点，则 PM 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形 CEPF 是矩形，因为 M 是 EF 的中点，推出延长 PM 经
过点 C，推出 EF=CP，可得 PM= EF= PC，求出 PC 的最小值可得 PM 的最小
值．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= =4，
∵PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F，
∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，
∴四边形 CEPF 是矩形，
∵M 是 EF 的中点，
∴延长 PM 经过点 C，
∴EF=CP，
PM= EF= PC，
当 PC⊥AB 时，PC= ，
∴PM 的最小值为 ，
故选：D．第 18 页（共 80 页）
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的
求法，注意当 CP⊥AB 时，CP 最小．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点
作垂线，围成面积为 S 的小正方形 EFGH．已知 AM 为 Rt△ABM 较长直角边，
AM=2 EF，则正方形 ABCD 的面积为（ ）
A．14S B．13S C．12S D．11S
【分析】设 AM=2a．BM=b．则正方形 ABCD 的面积=4a2+b2，由题意可知 EF=（
2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．
【解答】解：设 AM=2a．BM=b．则正方形 ABCD 的面积=4a2+b2
由题意可知 EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2 EF，
∴2a=2 b，
∴a= b，
∵正方形 EFGH 的面积为 S，
∴b2=S，
∴正方形 ABCD 的面积=4a2+b2=13b2=13S，
故选：B．第 19 页（共 80 页）
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．如图，由四个边长为 1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个
顶点，可得到△ABC，则△ABC 中 AC 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作 BD⊥AC 于 D，根据勾股定理求出 AC 的长，再利用三角形的面积公
式求出△ABC 中 AC 边上的高即可．
【解答】解：作 BD⊥AC 于 D，如图所示：
∵小正方形的边长为 1，
∴AC= = ，
∵S△ABC=2×2﹣ ×1×1﹣ ×2×1﹣×2×1=1.5，
∴S△ABC= ×AC×BD= × ×CD=1.5，
解得：CD= ．
故选：D．第 20 页（共 80 页）
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC 的面
积等于正方形面积减去其他 3 个三角形的面积是解决问题的关键．
4．如图，四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若 AB=4，AD=5，则
DC 的长（ ）
A．7 B． C． D．2
【分析】如图作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H．首先证明△ABC≌△DHB，推出
DH=AB=4，利用勾股定理求出 AH、BD，即可解决问题；
【解答】解：如图作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H．
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=∠ABC=∠H=90°，
∵∠BDH+∠HBD=90°，∠CAB+∠ABD=90°，
∴∠CAB=∠HDB，
∵AC=BD，
∴△ABC≌△DHB，
∴AB=DH=4，第 21 页（共 80 页）
在 Rt△BDH 中，∵DH=4，AD=5，
∴AH= =3，
∴AC=BD= = = ，BC= =7，
∴BE= = ，DE= ，EC= = ，
在 Rt△EDC 中，DC= = ，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以 AB、AC、BC 为边在 AB
的同侧作正方形 ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为 S1，S2，S3
，S4．则 S1+S2+S3+S4 等于（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】过 F 作 AM 的垂线交 AM 于 G，通过证明 S1+S2+S3+S4=Rt△ABC 的面积×
3，依此即可求解．
【解答】解：∵图中 S4=SRt△ABC．S3=S△FPT，
∴S1+S3=SRt△ABC．
S2 的左上方的顶点为 F，过 F 作 AM 的垂线交 AM 于 G，可证明 Rt△AGF≌Rt△
ABC，而图中 Rt△GFK 全等于①，
∴S2=SRt△ABC．
S1+S2+S3+S4
=（S1+S3）+S2+S4第 22 页（共 80 页）
=Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积
=Rt△ABC 的面积×3
=2×5÷2×3
=15．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方
形的面积公式进行灵活的结合和应用．
6．如图，在△ABC 中，∠A=90°，P 是 BC 上一点，且 DB=DC，过 BC 上一点 P，
作 PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，已知：AD：DB=1：3，BC= ，则 PE+PF 的长
是（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】作 PM⊥AC 于点 M 可得矩形 AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到 PE+PF=AC
，在直角△ABC 中，根据勾股定理就可以求得．
【解答】解：（1）作 PM⊥AC 于点 M，可得矩形 AEPM
∴PE=AM，利用 DB=DC 得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°第 23 页（共 80 页）
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可设 AD=x，DB=3x，那么 CD=3x，AC=2 x，BC=2 x
∵BC=
∴x=2
∴PE+PF=AC=2 ×2=4 ．
（2）连接 PD，PD 把△BCD 分成两个三角形△PBD，△PCD，
S△PBD= BD•PE，
S△PCD= DC•PF，
S△BCD= BD•AC，
所以 PE+PF=AC=2 ×2=4 ．
故选：C．
【点评】解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．
7．如图，正方形 ABCD 边长为 2，从各边往外作等边三角形 ABE、BCF、CDG、DAH
，则四边形 AFGD 的周长为（ ）第 24 页（共 80 页）
A．4+2 +2 B．2+2 +2 C．4+2 +4 D．2+2 +4
【分析】连接 AG，分别求出∠ABF 和∠FCG 的度数，再根据 AB=BC=FC，求证△ABF
≌△FCG，可得 AF=FG，同理 AF=AG，设 AB 中点为 K，连 GK，可得△AKG 为
直角三角形，再利用由勾股定理求得 AG，然后即可求得四边形 AFGD 的周长．
【解答】解：连接 AG，那么等腰三角形 ABF 顶角∠ABF=90°+60°=150°，
等腰三角形 FCG 顶角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150°
又 AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG，
∴AF=FG．
同理 AF=AG，设 AB 中点为 K，连 GK，可得△AKG 为直角三角形，
∴AK=1，KG=2+ ，由勾股定理得 AG= = = =
+ ．
四边形 AFGD 的周长为：AF+FG+GD+DA=2（ + ）+2×2=4+2 +2 ．
故选：A．
【点评】此题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
等知识点，此题有一定难度，属于难题．
8．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7
，则 AB 的长为（ ）第 25 页（共 80 页）
A．10 B．5 C．2 D．2
【分析】设 EC=x，DC=y，则直角△BCE 中，x 2+4y2=BE2=16，在直角△ADC 中，
4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得 x、y，在直角△ABC 中，AB= ．
【解答】解：设 EC=x，DC=y，∠ACB=90°，
∴在直角△BCE 中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16
在直角△ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，
解得 x= ，y=1．
在直角△ABC 中，AB= = =2 ，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角
△BCE 和直角△ADC 求 DC．BC 的长度是解题的关键．
9．如图△ABC 是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点 D 在 BC 边上，且 BD＜DC
，以 AD 为边作正三角形 ADE，当△ABC 的面积是 25 ，△ADE 的面积是 7
时，BD 与 DC 的比值是（ ）
A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3
【分析】根据△ABC 的面积，可以计算 AF，BF，设 DF=x，根据△ADE 的面积计
算 x 的值，根据 BD=BF﹣DF，CD=CF+DF 即可计算 BD，CD 长度，即可计算 BD
：CD．
【解答】解：作 AF⊥BC，第 26 页（共 80 页）
∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即 AB=2AF．BF= AF= AF．
△ABC 的面积为 ×BC×AF=25 ，计算得：AF=5，BF=5 ．
设 DF=x，则 AD= ，
根据正三角形面积计算公式 S= AD×（ ）= AD2=7 ，
计算得：x= ，
∴BD=BF﹣DF=4 ，CD=CF+FD=6 ，
故 BD：CD=2；3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据正
三角形 ADE 计算 DF 是解题的关键．
二．填空题（共 24 小题）
10．已知等边三角形 ABC 边长为 2，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴
负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第四象限，连结 OC，则线段 OC 长的
最小值是 ﹣1 ．
【分析】利用等边三角形的性质得出 C 点位置，进而求出 OC 的长．
【解答】解：如图所示：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
当点 C，O，E 在一条直线上，此时 OC 最短，
∴△ABC 是等边三角形，
∴CE 过点 O，E 为 BD 中点，则此时 EO= AB=1，第 27 页（共 80 页）
故 OC 的最小值为：OC=CE﹣EO=BCsin60°﹣ ×AB= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点 C，O，E
在一条直线上，此时 OC 最短是解题关键．
11．如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=7，E 是 BC 上的一个动点（不与点 B，C
重合），△DEF≌△ABC，其中点 A，B 的对应点分别是点 D，E．当点 E 运动
时 DE 边始终经过点 A．设 EF 与 AC 相交于点 G，当△AEG 是等腰三角形时，
BE 的长为 1 或 ．
【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得 AE≠AG，然后分别从 AE=EG
与 AG=EG 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答
案．
【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEF，
∴AE≠AG；
当 AE=EG 时，则△ABE≌△ECG，
∴CE=AB=6，第 28 页（共 80 页）
∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，
当 AG=EG 时，则∠GAE=∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴ = ，
∴CE= = ，
∴BE=7﹣ = ；
∴BE=1 或 ．
故答案为：1 或 ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰
三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且 AD=CD，连接 BD，
若 AB=2，BD= ，则 BC 的长为 ．
【分析】将△ADB 以 D 为旋转中心，逆时针旋转 60°，使 A 与 C 点重合，B 与 E
点重合，连接 BE，根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，第 29 页（共 80 页）
DB=DE，易得△DBE 为等边三角形，则 DB=BE，根据周角的定义和四边形内角
和定理得∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠
ADC﹣ ∠ABC ）=60°+30°=90° ，则△ECB 为直角三角形，根据勾股定理得
EC2+BC2=BE2，利用等线段代换可得 BD2=AB2+BC2，再代入计算即可求解．
【解答】解：如图，
将△ADB 以 D 为旋转中心，逆时针旋转 60°，使 A 与 C 点重合，B 与 E 点重合，
连接 BE，
∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE 为等边三角形，
∴DB=BE，
又∴∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE
=360°﹣∠BCD﹣∠A
=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）
=60°+30°
=90°，
∴△ECB 为直角三角形，
∴EC2+BC2=BE2，
∴BD2=AB2+BC2．
∴BC= = ．
故答案为： ．第 30 页（共 80 页）
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线
段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角
形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．
13．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点 D、E 分别是 BC、AD 的中
点，AF∥BC 交 CE 的延长线于 F，则△AFC 的面积为 6 ．
【分析】由于 AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以 AF=CD，从而可证
四边形 AFBD 是平行四边形，所以 S 四边形 AFBD=2S△ABD，又因为 BD=DC，所以 S
△ABC=2S△ABD，所以 S 四边形 AFBD=S△ABC，再根据等底等高的三角形面积等于平行
四边形面积的一半即可求出答案．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF 与△DEC 中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，第 31 页（共 80 页）
∴AF=BD，
∴四边形 AFBD 是平行四边形，
∴S 四边形 AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S 四边形 AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC= AB•AC= ×4×6=12，
∴S 四边形 AFBD=12，
∴△AFC 的面积为 12÷2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平
行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
14．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以 AB、BC、AC 为
边作正方 ABED、BCFK、ACGH，再作 Rt△PQR，使∠R=90°，点 H 在边 QR 上，
点 D、E 在边 PR 上，点 G、F 在边 PQ 上，则 PQ 的长为 2 +7 ．
【分析】首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF=
∠BAC=30°，在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得 AC，进而由等边三角形
的性质和正方形的性质及三角函数就可求得 QR 的长，在直角△QRP 中运用三
角函数即可得到 RP、进而可求出 PQ 的长．
【解答】解：延长 BA 交 QR 于点 M，连接 AR，AP．
在△ABC 和△GFC 中第 32 页（共 80 页）
，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG 是等边三角形．
AC=BC•tan60°= ，
则 QH=HA=HG=AC= ，
在直角△HMA 中，HM=AH•sin60°= × = ，AM=HA•cos60°= ，
在直角△AMR 中，MR=AD=AB=2．
∴QR= + +2= + ，
∴QP=2QR=2 +7．
故答案为：2 +7．
【点评】本题考查了勾股定理和含 30 度角的直角三角形以及全等三角形的判定
和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是
解决本题的关键．
15．如图，水平距离为 80 米（BC=80 米）的 A，B 两村庄隔着一条小河，并且河第 33 页（共 80 页）
宽 15 米，A 与河 l1 的距离为 40 米，B 与河 l2 的距离为 20 米，为了方便行人
之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么 A，B 两村庄
来往的最短路程是 115 米．
【分析】在 AC 上取一点 A′，使得 AA′=15，连接 BA′交 l2 于 F，作 EF⊥l1 垂足为 E
，连接 AE．则 AE+EF+FB 的值最小．
【解答】解：在 AC 上取一点 A′，使得 AA′=15，连接 BA′交 l2 于 F，作 EF⊥l1 垂足
为 E，连接 AE．则 AE+EF+FB 的值最小．
∵AA′=EF，AA′∥EF，
∴四边形 AA′FE 是平行四边形，
∴AE=A′F，
在 Rt△A′BC 中，BA′= = =100 米，
∴AE+EF+FB=BA′+AA′=115 米．
故答案为 115．
【点评】本题考查勾股定理的应用、两点之间线段最短、平行四边形的判定和性
质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°第 34 页（共 80 页）
，若 CD=6，BD=6.5，则 AD= ．
【分析】在 CD 外侧作等边△CDE，连接 AE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△
ACE≌△BCD，可得 AE=BD，在 Rt△ADE 中根据勾股定理可以求得 DE 的长，
即可解题．
【解答】解：在 CD 外侧作等边△CDE，连接 AE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°
，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE 和△BCD 中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD=6.5，
∵在 Rt△ADE 中，DE2=AE2﹣AD2=BD2﹣AD2=6.52﹣AD2=62，
∴AD= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，
本题中求证△ACE≌△BCD 是解题的关键．第 35 页（共 80 页）
17．四边形 ACBD 中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7 ，则 BD=
10 ．
【分析】作 AH⊥BD 于 H，CN⊥BD 于 N，CM⊥HA 于 M，则四边形 CMHN 是矩
形．首先证明△BCN≌△ACM，四边形 CMHN 是正方形，设 CN=a．构建方程
求出 a 即可解决问题；
【解答】解：作 AH⊥BD 于 H，CN⊥BD 于 N，CM⊥HA 于 M，则四边形 CMHN
是矩形．
∵∠BCA=∠MCN=90°，
∴∠BCN=∠MCA，
∵∠CNB=∠M=90°，BC=CA，
∴△BCN≌△ACM，
∴CM=CN，BN=AM，
∴四边形 CMHN 是正方形，设 CN=a．
在 Rt△AHD 中，AD=6，∠ADH=30°，
∴AH=3，DH=3 ，
在 Rt△CND 中，∵CN2+DN2=CD2，
∴a2+（a+3 ）2=（7 ）2，
整理得：2a2+6 a﹣71=0，
解得 a= 或 （舍弃），
∴AM=BN= ，第 36 页（共 80 页）
∴BD=BN+NH+DH= + +3 =10，
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、
勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决
问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．如图，在△ABC 中，AB=BC=6，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°
，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 3 或 3 或 3 ．
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图 2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠
BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得 BP 的长，利用勾股定理可得 AP 的长；当∠
APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图 1，利用直角三角形斜边的中线
等于斜边的一半得出 PO=BO，易得△BOP 为等边三角形，利用锐角三角函数
可得 AP 的长；易得 BP，利用勾股定理可得 AP 的长；情况二：如图 3，利用
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当∠APB=90°时（如图 1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP 为等边三角形，
∵AB=BC=6，
∴AP=AB•sin60°=6× =3 ；
当∠ABP=90°时（如图 2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，第 37 页（共 80 页）
∴∠BPO=30°，
∴BP= = =3 ，
在直角三角形 ABP 中，
AP= =3 ；
如图 3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP 为等边三角形，
∴AP=AO=3，
故答案为 3 或 3 或 3 ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含 30°直角三角形的性质和直角三角形斜边
的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
第 38 页（共 80 页）
19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO 是一个三角形台球桌，从 O 点击
出的球经过 C、D 两处反弹正好落在 A 洞，则 C 的坐标是 （ ， ） ．
【分析】应先作出点 O 及点 A 的对称点，过两个点的直线与直线 AB 的交点即为
所求点．
【解答】解：如图所示，
∵点 O 关于 AB 的对称点是 O′（1，1），
点 A 关于 y 轴的对称点是 A′（﹣1，0）
设 AB 的解析式为 y=kx+b，
∵（1，0），（0，1）在直线上，
∴ ，解得 k=﹣1，
∴AB 的表达式是 y=1﹣x，
同理可得 O′A′的表达式是 y= + ，
两个表达式联立，解得 x= ，y= ．
故答案为：（ ， ）．
【点评】考查对称的知识；根据作相关点的对称点得到点 D 的位置是解决本题
的关键．
第 39 页（共 80 页）
20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角
形围成的．若两直角边 AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为 6 的直角
边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所
围成的总面积是 100 ．
【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由 BC 延伸
一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：在直角三角形 ACB 中，
AB=
62+42
=2
13
，
中间小正方形的面积：
2
13
×2
13
﹣6×4÷2×4
=52﹣48
=4，
4+（6+6）×4÷2×4
=4+96
=100．第 40 页（共 80 页）
故答案为：100
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类
题．
21．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC= ．分别以 AB，AC，BC 为边，
向外作正方形 ABDE，正方形 ACFG，正方形 BCMN，连接 GE，DN．则图中阴
影的总面积是 2 ．
【分析】如图将△GAE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△KAB．首先证明 S △ABK=S△
ABC=S△AGE，同理可证 S△BDN=S△ABC，推出 S△AEG+S△BDN=2•S△ABC，由此即可解决
问题．
【解答】解：如图将△GAE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△KAB．
∵∠GAC=∠EAB=90°，
∴∠GAE+∠CAB=180°，
∵∠GAE=∠KAB，
∴∠KAB+∠CAB=180°，第 41 页（共 80 页）
∴C、A、K 共线，
∵AG=AK=AC，
∴S△ABK=S△ABC=S△AGE，
同理可证 S△BDN=S△ABC，
∴S△AEG+S△BDN=2•S△ABC=2× ×2× =2 ．
故答案为 2 ．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考
问题．
22．如图，△ABC 是直角三角形，记 BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正
方形 ABDE，正方形 ACFG，正方形 BCMN，过点 C 作 BA 边上的高 CH 并延长
交正方形 ABDE 的边 DE 于 K，则四边形 BDKH 的面积为 a2 ．（用含 a 的式
子表示）
【分析】由射影定理得到 BC2=BH•BA，即 BH•BA=a2，再由矩形面积公式即可得
到结论．
【解答】解：∵BC⊥AC，CH⊥BA，
∴BC2=BH•BA，即 BH•BA=a2，
∵四边形 ABDE 是正方形，
∴BD=BA，
∴四边形 BDKH 的面积=BH•BD=BH•BA=a2，
故答案为：a2．第 42 页（共 80 页）
【点评】本题主要考查了射影定理，正方形的性质，矩形面积，由射影定理得到
BC2=BH•BA 是解题的关键．
23．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，D 是 BC 边上一动点，BE⊥AD，交
其延长线于点 E，EF⊥AC，交其延长线于点 F，则 AF 的最大值为 4 ．
【分析】由 AB=5、AC=3、BC=4 可得出∠ACB=90°，以 AB 为直径作⊙O，则点 C、
E 在圆上，作 BC 的平行线切⊙O 于点 E，过点 E 作 EF⊥AC 的延长线于点 F，
此时 AF 最长，连接 OE，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，根据 OE⊥EF、OE⊥EF、
EF⊥AF 可得出四边形 OEFM 为矩形，进而可得出 MF 的长度，再根据点 O 为
AB 的中点利用三角形中位线的性质可得出 AM 的长度，由 AF=AM+MF 可求出
AF 的最大值．
【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°．
以 AB 为直径作⊙O，则点 C、E 在圆上，作 BC 的平行线切⊙O 于点 E，过点 E
作 EF⊥AC 的延长线于点 F，此时 AF 最长，连接 OE，过点 O 作 OM⊥AC 于点
M，如图所示．
∵OM⊥AC，∠ACB=90°，
∴OM∥BC．
∵点 O 为 AB 的中点，
∴点 M 为 AC 的中点，
∴AM= AC= ．
∵EF 切⊙O 为点 E，第 43 页（共 80 页）
∴OE⊥EF，
∴OE∥MF，
∴四边形 OEFM 为矩形，
∴MF=OE= AB= ，
∴AF=AM+ME=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、切线的性质、三角形中位线的性质以及
矩形的判定与性质，通过作切线找出 AF 最长时点 E 的位置是解题的关键．
24．如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=2，以 AC 为边在△ABC 外作等边三角形 ACD
，连接 BD，则 BD= +2 ．
【分析】根据已知条件得到 AB=AC=AD，于是得到点 B，C，D 在以 A 为圆心，AB
为半径的圆上，根据圆周角定理得到∠CBD= ∠CAD=30°，∠BDC= BAC，
过 A 作 AE⊥BC 于 E，过 C 作 CF⊥BD 于 F，得到∠CAE=∠BCD，根据全等三角
形的性质得到 DF=AE，CF=CE=1，根据勾股定理即可得到结论．第 44 页（共 80 页）
【解答】解：∵AB=AC=5，△ABC 是等边三角形，
∴AC=AD=5，
∴AB=AC=AD，
∴点 B，C，D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，
∵∠CAD=60°，
∴∠CBD= ∠CAD=30°，∠BDC= BAC，
过 A 作 AE⊥BC 于 E，过 C 作 CF⊥BD 于 F，
∴∠CAE= ，∠AEC=∠CFD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△ACE 与△DCF 中， ，
∴△AEC≌△DFC，
∴DF=AE，CF=CE=1，
∴BF= ，
∴DF= =2 ，
∴BD=BF+DF= +2 ．
故答案为： +2 ．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，
圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．如图，点 P 是等边△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5
，以 AC 为边作△AP′C≌△APB，连接 PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三
角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确
的是 ①②③ ．（把所有正确答案的序号都填在横线上）第 45 页（共 80 页）
【分析】先运用全等得出 AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60°，得出△
PAP′是等边三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠
PP′C=90°，由此得解．
【解答】解：△ABC 是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP'C≌△APB，则 AP=AP′
，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP'是正三角形，①正确；
又 PA：PB：PC=3：4：5，
∴设 PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C=90°，②正确；
又△APP'是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=150°③正确；错误的结论只能是∠APC=105°．
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形
的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的
定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
26．如图，正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16，△AEH、△BDC
、△GFI 的面积分别为 S1、S2、S3，则 S1+S2+S3= 18 ．第 46 页（共 80 页）
【分析】正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16，故直角三角形的
三边分别为 5、4、3，通过求△DEF 的面积求出△BDC，△GFI，△AEH 的面积
即可．
【解答】解：∵DF=DC，DE=DB，且∠EDF+∠BDC=180°，
过点 A 作 AI⊥EH，交 HE 的延长线于点 I，
∴∠I=∠DFE=90°，
∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，
∴∠AEI=∠DEF，
∵AE=DE，
∴△AEI≌△DEF（AAS），
∴AI=DF，
∵EH=EF，
∴S△AHE=S△DEF，
同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，
S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，
S△DEF= ×3×4=6，
∴S1+S2+S3=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了正方形各边相等，且各内角等于直角的性质，考查了三角形
面积的计算，解本题的关键是找到：S△AHE+S△BDC+S△GFI=3×S△DEF．
27．如图所示，在等边三角形 ABC 中，BC 边上的高 AD=10，E 是 AD 上一点，现
有一动点 P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动，在 AE 上的速度是 4 单位/秒，在 CE 上的第 47 页（共 80 页）
速度是 2 单位/秒，则点 P 从 A 到 C 的运动过程中至少需 5 秒．
【分析】如图，作 CH⊥AB 于 H 交 AD 于 E．P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动的时间=
+ = （EC+ AE）= （EC+EH）= CH，根据垂线段最短可知，当 CH⊥AB 时
，P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动的时间最短，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作 CH⊥AB 于 H 交 AD 于 E．
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠HAE=30°，∵∠AHE=90°，
∴HE= AE，
∵P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动的时间= + = （EC+ AE）= （EC+EH）= CH，
根据垂线段最短可知，当 CH⊥AB 时，P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动的时间最短，
∵CH、AD 是等边三角形的高，
∴CH=AD=10，
∴P 沿着折线 A﹣E﹣C 运动的时间最时间=5s．
故答案为 5．
【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短、等边三角形的性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
第 48 页（共 80 页）
28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两
个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是 10 或 8
．
【分析】先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上
的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜
边的长．
【解答】解：①如图所示：
，
连接 CD，
CD= =5，
∵D 为 AB 中点，
∴AB=2CD=10；
②如图所示：第 49 页（共 80 页）
，
连接 EF，
EF= =4 ，
∵E 为 AB 中点，
∴AB=2EF=8 ．
故答案为：10 或 8 ．
【点评】此题考查了勾股定理，图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图
形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
29．如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则 BD
的长为 ．
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据 SAS，可得△BAD
与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD′的关系，根据勾股
定理，可得答案．
【解答】解：作 AD′⊥AD，AD′=AD，连接 CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，第 50 页（共 80 页）
在△BAD 与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得 DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得 CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质
，勾股定理，作出全等图形是解题关键．
30．如图，要使宽为 2 米的矩形平板车 ABCD 通过宽为 2 米的等宽的直角通道
，平板车的长不能超过 4 米．第 51 页（共 80 页）
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过 x 米，则得出 x 为最大值时，平
板手推车所形成的三角形 CBP 为等腰直角三角形．连接 PO，与 BC 交于点 N，
利用△CBP 为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解答】解：设平板手推车的长度不能超过 x 米
则 x 为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形 CBP 为等腰直角三角形．
连接 PO，与 BC 交于点 N．
∵直角走廊的宽为 2 m，
∴PO=4m，
∴NP=PO﹣ON=4﹣2=2（m）．
又∵△CBP 为等腰直角三角形，
∴AD=BC=2CN=2NP=4（m）．
故答案为：4
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由
题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直
角三角形．
第 52 页（共 80 页）
31．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，点 P 在 BC 上．若点 P 为 BC 的中点，则
m=AP2+BP•PC 的值为 4 ；若 BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100，
且 mi=APi2+BPi•PiC（i=1，2，…，100），则 m=m1+m2+…+m100 的值为 400 ．
【 分 析 】 第 一 个 空 ， 由 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 性 质 和 勾 股 定 理 得 出
AP2+BP•PC=AB2 即可；
第二个空，作 AD⊥BC 于 D．根据勾股定理，得 APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）
2=AD2+BD2﹣2BD•BPi+BPi2，PiB•PiC=PiB•（BC﹣PiB）=2BD•BPi﹣BPi2，从而求得
mi=AD2+BD2，即可求解．
【解答】解：若点 P 为 BC 的中点，如图 1 所示：
AB=AC=2，
∴AP⊥BC，BP=CP，
∴∠APB=90°，
∴AP2+BP•PC=AP2+BP2=AB2=4．
若 BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100，
作 AD⊥BC 于 D，则 BC=2BD=2CD，如图 2 所示．
根据勾股定理，得
APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD•BPi+BPi2，
又∵PiB•PiC=PiB•（BC﹣PiB）=2BD•BPi﹣BPi2，
∴m1=AD2+BD2=AB2=4，
∴m1+m2+…+m100=4×100=400．
故答案为：4，400．第 53 页（共 80 页）
【点评】此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质；作辅助线构造
直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出 PC 也是同学们不
容易考虑到的．
32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三
角形围成的．在 Rt△ABC 中，若直角边 AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角
形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．
则①图中小正方形的面积为 1cm2 ；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩
带，则需要彩带的长度至少是 76cm ．
【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得
解；
②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得
解．
【解答】解：图①，小正方形的面积=（6﹣5）2=1cm2；第 54 页（共 80 页）
图②，外围直角三角形的斜边= =13cm，
周长=4×（13+6）=4×19=76cm，
即，需要彩带的长度至少是 76cm．
故答案为：1cm2，76cm．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了二
枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作
正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠
BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR
上，点 G，F 在边 PQ 上，那么△PQR 的周长等于 27+13 ．
【分析】在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得 AC，进而由等边三角形的性
质和正方形的性质及三角函数就可求得 QR 的长，在直角△QRP 中运用三角函
数即可得到 RP、QP 的长，就可求出△PQR 的周长．
【解答】解：延长 BA 交 QR 于点 M，连接 AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又 AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，第 55 页（共 80 页）
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG 是等边三角形．
AC=AB•cos30°=4× =2 ．
则 QH=HA=HG=AC=2 ．
在直角△HMA 中，HM=AH•sin60°=2 × =3．AM=HA•cos60°= ．
在直角△AMR 中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2 +3+4=7+2 ．
∴QP=2QR=14+4 ．
PR=QR• =7 +6．
∴△PQR 的周长等于 RP+QP+QR=27+13 ．
故答案为：27+13 ．
【点评】正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
三．解答题（共 17 小题）
34．如图平面直角坐标系中，已知三点 A（0，7），B（8，1），C（x，0）．
（1）求线段 AB 的长；
（2）请用含 x 的代数式表示 AC+BC 的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式 ﹣ 的
最大值．第 56 页（共 80 页）
【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段 AB 的长；
（2）根据两点间的距离公式可求线段 AC，BC 的值，再相加即可求解；
（3）由代数式可得 ﹣ 的最大值即为点（0，4）和点（4，1）
间的距离，根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：（1） ；
（2）AC+BC
= +
=
= + ；
（3）代数式可得 ﹣ 的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间
的距离，
最大值为 =5．
【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意
的直角三角形是解题的关键．
35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．
（1）求 BC 的长；
（2）求 BD 的长．第 57 页（共 80 页）
【分析】（1）在 Rt△ABC 中利用勾股定理即可求出 BC 的长；
（2）过点 B 作 BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E．根据等边对等角的性质以及平行
线的性质得出∠2=∠3，利用角平分线的性质得出 AB=BE=3，在 Rt△BCE 中，
根据勾股定理可得 EC=2，则 ED=4，在 Rt△BDE 中，利用勾股定理可得 BD=5．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∵AC⊥AB，AB=3，AC=2，
∴BC= = ；
（2）过点 B 作 BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E．
∵AC=CD，
∴∠1=∠ADC，
又∵AD∥BC，
∴∠3=∠ADC，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵AC⊥AB，BE⊥DC，
∴AB=BE=3，
又由（1）BC= ，
在 Rt△BCE 中，由勾股定理可得 EC=2；
∴ED=2+2=4，
在 Rt△BDE 中，由勾股定理可得 BD=5．第 58 页（共 80 页）
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形、平行线、角平分线的性质，掌握各
定理是解题的关键．
36．如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，AB= ，AC= ，AD=3，求 BC 的长
及△ABC 的面积．
【分析】作辅助线构建平行四边形 ABEC，然后根据平行四边形的对边平行且相
等及勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：延长 AD 到 E，使 DE=AD=3，连接 BE，CE．
∵D 是 BC 的中点，
∴CD=BD，
∴四边形 ABEC 是平行四边形，
∴AB∥CE，EB=CA= ，
∵62+（2 ）2=（4 ）2，即 AE2+AC2=EC2，
∴∠EAC=90°，
∴CD= = = ，
∴BC=2CD=2 ，
∴S△ABC=2S△ACD=2× AC•AD= ×3=6 ．
综上所述，BC 的长度为 2 ，△ABC 的面积是 6 ．第 59 页（共 80 页）
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、平行四边形的判定与性质．判断三
角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理
加以判断即可．
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 C 在 x
轴的正半轴上，且 BC⊥OC 于点 C，点 A 的坐标为（2，2 ），AB=4 ，∠B=60°
，点 D 是线段 OC 上一点，且 OD=4，连接 AD．
（1）求证：△AOD 是等边三角形；
（2）求点 B 的坐标；
（3）在 x 轴上求一点 P，使△OBP 为等腰三角形．
【分析】（1）过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，根据已知条件，依据三角函数求得∠
AOM=60°，根据勾股定理求得 OA=4，即可求得．
（2）过点 A 作 AN⊥BC 于点 N，则四边形 AMCN 是矩形，在 Rt△ABN 中，根据
三角函数求得 AN、BN 的值，从而求得 OC、BC 的长，得出点 B 的坐标．
（3）利用等腰三角形的特征，分三种情况探讨：OB=OP，PO=PB，BO=BP，进一
步综合得出答案即可．
【解答】解：（1）如图 2，证明：过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，第 60 页（共 80 页）
∵点 A 的坐标为（2，2 ），
∴OM=2，AM=2 ，
∴在 Rt△AOM 中，tan∠AOM= = ，
∴∠AOM=60°，
由勾股定理得，OA= =4，
∵OD=4，
∴OA=OD，
∴△AOD 是等边三角形．
（2）如图 2，过点 A 作 AN⊥BC 于点 N，
∵BC⊥OC，AM⊥x 轴，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
∴四边形 ANCM 为矩形，
∴AN=MC，AM=NC，
∵∠B=60°，AB=4 ，
∴在 Rt△ABN 中，
AN=AB•sinB=4 × =6，
BN=AB•cosB=4 × =2 ，
∴AN=MC=6，CN=AM=2 ，
∴OC=OM+MC=2+6=8，
BC=BN+CN=2 +2 =4 ，
∴点 B 的坐标为（8，4 ）．
（3）如图，第 61 页（共 80 页）
连接 OB，则 OB= =4 ，
当 OB=OP，则 P1（4 ，0），P2（﹣4 ，0）满足条件，
作 OB 的垂直平分线交 x 轴于 P3，则 P3 满足条件，设 P3（x，0），则 x2=（8﹣x）
2+（4 ）2，x=7，P3（7，0）；
O 关于 BC 的对称点 P4（16，0）也满足条件
所以在 x 轴上求一点 P，使△OBP 为等腰三角形的点有 4 个 P1（4 ，0），P2（
﹣4 ，0），P3（7，0），P4（16，0）．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函
数的应用以及勾股定理的应用，注意分类讨论思想的渗透．
38．在△ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形
的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的
边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的
顶点处），如图 1 所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它
的面积．
（1）△ABC 的面积为 3.5 ．
（2）若△DEF 的三边 DE、EF、DF 长分别为 ， ， ，请在图 2 的正方形
网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF 的面积为 5 ．
（3）在△ABC 中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以 AB 为边向△ABC 外作△ABD（D
与 C 在 AB 异 侧 ） ， 使 △ ABD 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 线 段 CD 的 长 为
．第 62 页（共 80 页）
【分析】（1）如图 1，运用正方形和三角形的面积公式直接求出△ABC 的面积，
即可解决问题．
（2）如图 2，类似（1）中的方法，直接求出△DEF 的面积即可解决问题．
（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理直接求出即可解决问题．
【解答】
解：（1）如图 1，△ABC 的面积=
=9﹣3﹣1﹣1.5=3.5，
故答案为 3.5．
（2）如图 2，△DEF 的面积=3×4﹣
=12﹣2﹣2﹣3=5．
故答案为 5．
（3）如图 3、4、5，分别求出 CD 的长度如下：
CD=2 或 CD=2 或 CD=3 ，
故答案为 ．第 63 页（共 80 页）
【点评】该题主要考查了勾股定理及其应用问题；牢固掌握勾股定理是灵活运用
、解题的基础和关键．
39．如图，在等腰△ACE 中，已知 CA=CE=2，AE=2c，点 B、D、M 分别是边 AC、
CE、AE 的中点，以 BC、CD 为边长分别作正方形 BCGF 和 CDHN，连结 FM、FH
、MH．
（1）求△ACE 的面积；
（2）试探究△FMH 是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH 的面积．
【分析】（1）连结 CM，在 RT△ACM 中，利用勾股定理求出 CM 的长即可求出△
ACE 的面积；
（2）△FMH 是等腰直角三角形，连结 BM，DM，首先证明四边形四边形 BCDM
是边长 1 的菱形，设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．利用
三角形的内角和证明∠FMH=180°﹣∠AMH﹣∠CMH=180°﹣（α+θ）=90°即可；
（3）作△HMD 的边 MD 上的高 HQ，则由勾股定理有求出 DQ 的长，再利用三
角形的面积公式即可求出△FMH 的面积．
【解答】解：（1）连结 CM，
∵CA=CE=2，M 分别是边 AE 的中点，
∴CM⊥AE．…（1 分）第 64 页（共 80 页）
在 RT△ACM 中， ，
由勾股定理得， ．
∴S△ACE= AE•CM=c ．…（2 分）
（2）△FMH 是等腰直角三角形．…（3 分）
证明：连结 BM，DM．∵CA=CE=2，
点 B、D、M 分别是边 AC、CE、AE 的中点，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4 分）
∴四边形 BCDM 是边长为 1 的菱形，
∴∠CBM=∠CDM．
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，
∴△FBM≌△MDH．…（4 分）
∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（设大小为 θ）．
又设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．
在△MDH 中，DM=DH=1，
∴∠DHM=∠DMH=θ，
由三角形内角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，
得：θ+θ+2α+90°=180°，
∴α+θ=45°．…（5 分）
∴∠FMH=180°﹣∠AMH﹣∠CMH=180°﹣2（α+θ）=90°．
∴△FMH 是等腰直角三角形． …（6 分）
（3）在等腰△ACE 中，∠ACE=180°﹣2α，
又当∠GCN=30°时，∠ACE=360°﹣∠GCN=180°﹣30°=150°
从而有：180°﹣2α=150°，又 α+θ=45°，得 θ=30°，α=15°．…（7 分）
如图，作△HMD 的边 MD 上的高 HQ，则由勾股定理有：
， ，
…（8 分）
∴△FMH 的面积 ．…（9 分）第 65 页（共 80 页）
【点评】本题考查了勾股定理的运用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三
角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性强难度大．
解题的关键是作△HMD 的边 MD 上的高 HQ，构造直角三角形．
40．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E
，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，求 AM 的最小值．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半，则 AM= EF，要求 AM 的最小值，即求 EF 的最小值；
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形 AEPF 是矩形，根据矩形的对
角线相等，得 EF=AP，则 EF 的最小值即为 AP 的最小值，根据垂线段最短，
知：AP 的最小值即等于直角三角形 ABC 斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，
∴四边形 AEPF 是矩形，
∴EF=AP．
∵M 是 EF 的中点，
∴AM= EF= AP．第 66 页（共 80 页）
当 AP⊥BC 时，AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高 ，
∴AM 的最小值是 ．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的
判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于
分析其最小值的线段．
41．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 、 、 ，
求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图 1 所示，先画一个正方形网
格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个
顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积．他
把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图 2 是一个 6×6 的正方形网格（每个小正方形的边长为 1）．
①利用构图法在答卷的图 2 中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
②计算①中△DEF 的面积为 8 ；（直接写出答案）
（2）如图 3，已知△PQR，以 PQ，PR 为边向外作正方形 PQAF，正方形 PRDE，
连接 EF．
①判断△PQR 与△PEF 面积之间的关系，并说明理由．
②若 PQ= ，PR= ，QR=3，直接写出六边形 AQRDEF 的面积为 32 ．第 67 页（共 80 页）
【分析】（1）利用勾股定理借助网格求出即可；
（2）六边形 AQRDEF 的面积=边长为 的正方形面积+边长为 的正方形面
积+△PEF 的面积+△PQR 的面积，其中两个三角形的面积分别用长方形的面积
减去各个小三角形的面积．
【解答】解：（1）①如图所示：
②△DEF 的面积为 4×5﹣ ×2×3﹣ ×2×4﹣ ×2×5=8；
（2）①如图 3，
△PEF 的面积为 6×2﹣ ×1×6﹣ ×1×3﹣ ×3×2= ，第 68 页（共 80 页）
△PQR 的面积为 ×3×3= ，
∴△PQR 与△PEF 面积相等；
②六边形 AQRDEF 的面积为（ ）2+ + +（ ）2=13+9+10=32．
故答案为：8；32．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是结合网格用矩形
及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
42．如图所示，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线 AD=6，求 BC 的长．
【分析】延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 CE，证△ABD≌△ECD，求出 AE 和 CE 的
长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根据勾股定理求出 CD 即可．
【解答】解：延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 CE，
在△ABD 和△ECD 中
，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC 中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD= = ，
∴BC=2CD=2 ，第 69 页（共 80 页）
答：BC 的长是 2 ．
【点评】本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判
定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转
化成一个直角三角形，题型较好．
43．探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC 中，CP⊥AB 于点 P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；
（2）如图（2）所示，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 P，猜一猜 AB，BC，CD
，DA 之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形 ABCD 中，P 是其内部任意一点，试猜想 AP，BP，
CP，DP 之间的数量关系，并给出证明．
【分析】（1）在 Rt△ACP 和 Rt△BPC 中利用勾股定理表示 CP 整理就可以得到；
（2）根据 AC⊥BD，分别利用勾股定理表示出 AB，BC，CD，DA，再根据 AP、PC
、PB、PD 就可以得出数量关系；
（3）构造直角三角利用勾股定理表示 AP，BP，CP，DP 结合（2）的经验，就可
以得到它们的关系．
【解答】（1）证明：∵在 Rt△ACP 中
PC2=AC2﹣AP2
在 Rt△BCP 中，PC2=BC2﹣BP2
∴AC2﹣BC2=AP2﹣BP2
（2）解：∵AB2=AP2+PB2，BC2=BP2+CP2，CD2=CP2+DP2，AD2=DP2+AP2．
∴AB2+CD2=AD2+BC2第 70 页（共 80 页）
（3）解：PA2+PC2=PB2+PD2
证明：过 P 作 EF∥AD 交 AB，CD 于 E，F，过 P 作 MN∥AB 交 AD，BC 于 M，N
则 PA2=AM2+PM2，PB2=BN2+PN2，PC2=PN2+NC2，PD2=MD2+PM2
∵AM=BN，MD=NC，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
【点评】主要考查勾股定理的运用，多次运用勾股定理，再根据相等线段得到所
需数量关系．
44．设 a，b，c，d 都是正数．求证： + ＞
．
【 分 析 】 构 建 一 个 三 角 形 使 得 其 三 边 为 ： + ＞
的三角形，根据三角形两边之和大于第三边可以求证．
【解答】解：如图，构造一个边长为（a+b）、（c+d）的矩形 ABCD，
在 Rt△ABE 中，BE= ，
所以 BE=
在 Rt△BCF 中，BF=
在 Rt△DEF 中，EF=
在△BEF 中，BE+EF＞BF
即 + ＞ ．第 71 页（共 80 页）
【点评】本题考查了勾股定理的运用，本题中设计矩形 ABCD 并且构建三角形
BEF 是解题的关键．
45．如图：四边形 ABCD 中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以 AB、BC
、BD 为边，能否组成直角三角形，并说明理由．
【分析】先以 BC 为边作等边△BCE，连接 AE、AC，由于 AC=CD，∠ACE=∠DCB，
CB=CF，利用 SAS 易证△DCB≌△ACE，那么 AE=CB，而△ABE 是直角三角形，
根据勾股定理有 AB2+BE2=AE2，等量代换可得 AB2+BC2=BD2．
【解答】解：以 AB、BC、BD 为边，能够组成直角三角形．
理由如下：以 BC 为边作等边△BCE，连接 AE、AC．如右图所示．
∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°，
∴AB2+BE2=AE2①，
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC 是等边三角形，
在△DCB 和△ACE 中，DC=AC，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，
又∵BC=CE，
∴△DCB≌△ACE，第 72 页（共 80 页）
∴BD=AE，
∵BC=BE，
由①式，可得 BD2=AB2+BC2．
∴以 AB、BC、BD 为边，能够组成直角三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．
解题的关键是作辅助线，并证明△DCB≌△ACE．
46．已知：如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，DE、DF 分别交 AC
于 E，交 BC 于 F，且 DE⊥DF．
（1）如果 CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图 2，如果 CA＜CB，（1）中结论 AE2+BF2=EF2 还能成立吗？若成立，请
证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）过点 A 作 AM∥BC，交 FD 延长线于点 M，连接 EM，通过证明
AM=BF，EF=EM 即可得出答案；
（2）延长 FD 至 M，使 DM=DF，连接 AM、EM，根据（1）通过证明 AM=BF，EF=EM
即可得出答案．
【解答】（1）证明：过点 A 作 AM∥BC，交 FD 延长线于点 M，
连接 EM．第 73 页（共 80 页）
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又 DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．（3 分）
（2）成立．
证明：延长 FD 至 M，使 DM=DF，连接 AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又 DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2（7 分）
（说明：本题提供的两种证法对（1）、（2）两问均适用）
【点评】本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是
正确作出辅助线．
47．（1）如图 1，AD 是△ABC 边 BC 上的高．
①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；
②已知 AB=8，AC=6，M 是 AD 上的任意一点，求 BM2﹣CM2 的值；
（2）如图 2，P 是矩形 ABCD 内的一点，若 PA=3，PB=4，PC=5，求 PD 的值．第 74 页（共 80 页）
【分析】（1）AD 是△ABC 边 BC 上的高．第一问中 BD2 移到左边，AC2 移到右边
即可．第二问中 BM2=BD2+DM2，CM2=CD2+DM2，BM2﹣CM2=BD2﹣CD2，再通
过 AB，AC 的转化即可．
（2）分别作三条边的高，利用辅助线及勾股定理解答．
【解答】解：（1）①证明：∵AD 是△ABC 边 BC 上的高，
∴在 Rt△ABD 及 Rt△ACD 中，
AD2=AB2﹣BD2，AD2=AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即 AB2﹣AC2=BD2﹣CD2．
②BM2=BD2+DM2，CM2=CD2+DM2，
∴BM2﹣CM2=BD2﹣CD2，
又 CD2=AC2﹣AD2BD2=AB2﹣AD2，
∴BM2﹣CM2=AB2﹣AC2=82﹣62=28．
（2）矩形 ABCD 内，作 PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与 AB，BC，AD 相交于 E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，第 75 页（共 80 页）
；
则 PD2=AE2+MD2，
又 MD=FC，
解得 PD=3 ．
【点评】熟练掌握勾股定理及矩形的性质及运用，能够运用勾股定理进行等效代
换．
48．如图，A，B 两个工厂位于一段直线形河的异侧，A 厂距离河边 AC=5km，B
厂距离河边 BD=1km，经测量 CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一
个污水处理厂 E．
（1）设 ED=x，请用 x 的代数式表示 AE+BE 的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂 E 的位置应怎样来确定此时需要管道
多长？
（ 3 ） 通 过 以 上 的 解 答 ， 充 分 展 开 联 想 ， 运 用 数 形 结 合 思 想 ， 请 你 猜 想
的最小值为 13 ．
【分析】（1）∵ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用 x 表示出 AE+BE
的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接 AB 与 CD 的交点就是污水处理厂 E 的位置
．过点 B 作 BF⊥AC 于 F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出 AB 的长；
（3）根据 AE+BE= + =AB=10，可猜想所求代数式的值为 13．第 76 页（共 80 页）
【解答】解：（1）在 Rt△ACE 和 Rt△BDE 中，根据勾股定理可得 AE= ，
BE= ，
∴AE+BE= + ；
（2）根据两点之间线段最短可知连接 AB 与 CD 的交点就是污水处理厂 E 的位置
．
过点 B 作 BF⊥AC 于 F，则有 BF=CD=8，BD=CF=1．∴AF=AC+CF=6．
在 Rt△ABF 中，BA= = =10，
∴此时最少需要管道 10km．
（3）根据以上推理，可作出下图：
设 ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．当 A、E、B 共线时求出 AB 的值即为原式最小值
．
当 A、E、B 共线时 + = =13，即其最小值为 13．
【点评】本题是一道生活联系实际的题目，综合性较强，综合利用了勾股定理，
及用数形结合的方法求代数式的值的方法，有一定的难度．
49．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC 内有一点 P，若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为
3，4，5，则∠APB= 150° ，由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本
题我们可以将△ABP 绕顶点 A 旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌ △ABP 这样，
就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求第 77 页（共 80 页）
出∠APB 的度数．
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC
中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F 为 BC 上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2
．
【分析】（1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角
相等，对应边相等，得出∠PAP′=60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为
等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把 EF，BE，FC 放到一个直角三角
形中，从而根据勾股定理即可证明．
【解答】解：（1）将△ABP 绕顶点 A 旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为 B P P′不一定在一条直线上
连接 PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C 是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；第 78 页（共 80 页）
（2）把△ACF 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABG．连接 EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG 和△AFE 中，
∵
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∵∠GBE=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
即 BE2+CF2=EF2．
【点评】熟练掌握旋转的性质，充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段
之间的关系．
50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：
已知：在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 、 、 ，求△ABC 的
面积．小明是这样解决问题的：如图 1 所示，先画一个正方形网格（每个小
正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小
正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积．他把这种解决第 79 页（共 80 页）
问题的方法称为构图法．请回答：
（1）图 1 中△ABC 的面积为 5 ；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图 2 是一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1）．
①利用构图法在答题卡的图 2 中画出三边长分别为 、 、 的格点△
DEF；
②计算△DEF 的面积为 7 ．
（3）如图 3，已知△ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABDE，ACFG，连接 EG
．若 AB= ，BC= ，
AC= ，则六边形 BCFGED 的面积为 22 ．
【分析】（1）利用恰好能覆盖△ABC 的长方形的面积减去三个小直角三角形的
面积即可解答；
（2）①借助网格利用勾股定理画图；
②利用长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（3）利用六边形 BCFGED 的面积=正方形 ABDE 面积+正方形 ACHG 面积+△ABC
的面积+△AEG 的面积求解．
【解答】解：（1）S△ABC=4×3﹣ ×1×4﹣ ×2×2﹣ ×2×3=12﹣2﹣2﹣3=5
．
故答案为：5，
（2）①如图，第 80 页（共 80 页）
②△DEF 的面积=3×5﹣ ×2×4﹣ ×1×3﹣ ×1×5=15﹣4﹣ ﹣ =7，
故答案为：7．
（3）如图 3，利用网格△ABC 的面积=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×
3=9﹣1﹣ ﹣3= ，
△AGE=2×4﹣ ×1×2﹣ ×1×4﹣ ×1×3=8﹣1﹣2﹣ = ．
六边形 BCFGED 的面积=正方形 ABDE 面积+正方形 ACHG 面积+△ABC 的面积+△
AEG 的面积=（ ）2+（ ）2+ + =22．
故答案为：22．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
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