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NCS20200707 项目第二次模拟测试卷
理科数学
本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉
原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．复数 ，则 等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是三条不重合的直线，平面 相交于直线 c， ，则“ 相交”是“ 相
交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，则不等式 的解集是（ ）
1 2 1 21 3 , 3 ,z i z i z z z= + = − = ⋅ | |z
3 2 3
2 2{ | 4 , }, { | 4 }A y y x x N B x N x N= = − ∈ = ∈ − ∈ A B∩ =
{0,2} {0,1,2} {0, 3,2} ∅
, ,a b c ,α β ,a bα β⊂ ⊂ ,a b ,a c
1, 1( ) ln , 1
x xf x x x
− ≤= > ( ) 1f x >2
A． B． C． D．
5．已知 中角 所对的边分别为 ，若 ，则角 A 等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知 为不共线的两个单位向量，且 在 上的投影为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．直线 被圆 截得最大弦长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19 世纪末，
(1, )e (2, )+∞ (2, )e ( , )e +∞
ABC , , A B C , ,a b c 2 ,sin 2cos2a c A C= =
6
π
2
π 2
3
π 5
6
π
,a b a b 1
2
− | 2 |a b− =
3 5 6 7
ln( ) x
x xf x e
=
2 sin 0x yθ⋅ + = 2 2 2 5 2 0x y y+ − + =
2 5 2 3 2 2
( ) sin( )( 0)f x A xω ϕ ω= + > (0)f =
6− 3− 2− 6
2
−3
由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道
在等高图的上垂直投影，在 A 处测得 B 处的仰角为 37 度，在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度，在 B 处测得 C
处的仰角为 53 度，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长为 50 米，则 B 点所在等高线值为（参考数据
）
A．30 米 B．50 米 C．60 米 D．70 米
11．已知 F 是双曲线 的右焦点，直线 交双曲线于 A，B 两点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12 ． 已 知 函 数 有 且 只 有 三 个 零 点 ， 则
属于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为______________．
3sin37 5
° =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 3y x=
2
3AFB
π∠ =
5 6 10 2
2
+ 5 2
2
+
3( ) sin cos ( 0)4f x x x a x a
π = + − − >
( )1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x< <
( )3 2tan x x−
0, 2
π
,2
π π
3 ,2
π +∞
3, 2
ππ
| | 1
3 1 0
y x
x y
≥ −
− + ≥ z x y= +4
14 ． 已 知 梯 形 中 ， ， 则
_____________．
15．已知 ，则 等于_______________．
16．已知正四棱椎 中， 是边长为 3 的等边三角形，点 M 是 的重心，过点 M 作与
平面 PAC 垂直的平面 ，平面 与截面 PAC 交线段的长度为 2，则平面 与正四棱椎 表面交
线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号填到横线上）
①2； ② ； ③3； ④ ．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）已知等差数列 的公差为 ，前 n 项和为 ，且满足____________．（从①
）；② 成等比数列；③ ，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，
并根据你的选择解决问题）
（I）求 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 n 项和 ．
18．（12 分）如图所示，四棱柱 中，底面 是以 为底边的等腰梯形，且
．
ABCD / / , 3, 4, 60 , 45AD BC AD AB ABC ACB° °= = ∠ = ∠ = DC =
6 2 7
0 1 2 7( 1)(2 1)x x a a x a x a x− − = + + + + 2a
P ABCD− PAC PAC
α α α P ABCD−
2 2 2 3
{ }na ( 0)d d ≠ nS
( )10 105 1S a= + 1 2 6, ,a a a 5 35S =
na
1
2n nb = { }n na b nT
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD ,AB CD
12 4, 60 ,AB AD DAB AD D D°= = ∠ = ⊥5
（I）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求直线 AB 与平面 所成角的正弦值．
19．（12 分）已知双曲线 上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率
之积为 ．
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆 上任意一点 P（P 不在 C 的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近
线的直线，交两渐近线于 两点，且 ，是否存在 使得该椭圆的离心率为
，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由．
20．（12 分）已知函数 （ ，且 ，e 为自然对数的底）．
（I）求函数 的单调区间
（Ⅱ）若函数 在 有两个不同零点，求 a 的取值范围．
21．（12 分）某班级共有 50 名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，
将同学随机分成 25 组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答
错或不答得零分，总分 5 分为满分。最后 25 组同学得分如下表：
组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
男同学得分 5 4 5 5 4 5 5 4 4 4 5 5 4
女同学得分 4 3 4 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5
分差 1 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 -1 0 2 -1
1 1D DBB ⊥ ABCD
1 1 2D D D B= = 1 1BCC B
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
1
9
2 2
2 2 1( 0)x y m nm n
+ = > >
,M N 2 2| | | | 5PM PN+ = ,m n
2 2
3
2( ) ln( )f x x ax e
= + a R∈ 0a ≠
( )f x
( ) ( ) e ag x f x −= − (0, )+∞6
组别号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
男同学得分 4 3 4 4 4 4 5 5 5 4 3 3
女同学得分 5 3 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5
分差 -1 0 0 -1 0 1 0 0 2 0 -2 -2
（I）完成 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；
（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布 ，首先根据前 20 组男女同学的分差
确定 和 ，然后根据后面 5 组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面 5 组男女同学分差与 的差
的绝对值分别为 ，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型．
①存在 ；②记满足 的 i 的个数为 k，在服从正态分布 的总体（个体数无穷
大）中任意取 5 个个体，其中落在区间 内的个体数大于或等于 k 的概
率为 P， ．
试问该课题研究小组是否会接受该模型．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
参考公式和数据：
，
； 若 ， 有 ，
．
2 2×
( )2,N µ σ
µ σ µ
( 1,2,3,4,5)ix i =
3ix σ≥ 2 3ixσ σ< < ( )2,N µ σ
( 3 , 2 ) ( 2 , 3 )µ σ µ σ µ σ µ σ− − ∪ + +
0.003P ≤
( )2P K k≥
k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
5 40.8 0.894, 0.9 0.949,0.957 0.803,43 0.957 36≈ ≈ ≈ × ≈
3 343 43 0.957 1.62 10× × ≈ × ( )2~ ,X N µ σ ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + ≈
( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + ≈7
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E 顶点在坐标原点，焦点为 ．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求抛物线 E 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点 倾斜角为 的直线 l 交 E 于 M，N 两点，若 ，求 ．
23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 ， ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）求证： ．
NCS20200707 项目第二次模拟测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A D B D C D B B C D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13． 14． 15． 16．①③
三。解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题-21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答。
( )1,0
( )3,2A α 2AN AM= tanα
( ) 1 af x ax xx x
= − + − ( ) ( )2 2g x x a x a R= − − − ∈
1a = ( ) ( ) 3f x g x< +
( ) ( )f x g x≥
1− 15 72−8
17．【解析】（I）①由 ，得 ，即 ；
②由 ， ， 成等比数列，得 ， ，即 ﹔
③由 ，得 ，即 ； （每个条件转化 1.5 分）
选择①②、①③、②③条件组合，均得 、 ，即 ﹔ 6 分
（Ⅱ） ，
，
两式相减得： ， 9 分
得 12 分
18．【解析】（Ⅰ） 中， ， ， ，得 ， 2 分
则 ，即 ， 4 分
而 ，故 平面 ，
又 面 ABCD，所以平面 平面 ABCD． 6 分
（Ⅱ）取 BD 的中点 O，由于 ，所以 ，
( )10 105 1S a= + ( )1 1
10 910 5 9 12a d a d
×+ = + + 1 1a =
1a 2a 6a 2
2 1 6a a a= 2 2 2
1 1 1 12 5a a d d a a d+ + = + 13d a=
5 35S = ( )1 5
3
5 5 352
a a a
+ = = 3 1 2 7a a d= + =
1 3a = 3d = 3 2na n= −
2 3 4
1 4 7 10 3 2
2 2 2 2 2n n
nT
−= + + + + +
2 3 4 5 1
1 1 4 7 10 3 5 3 2
2 2 2 2 2 2 2n n n
n nT +
− −= + + + + + +
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1 3 232 2 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + + + −
2 3 1 1
1 1 1 1 3 2 1 3 2 3 41 3 1 3 1 42 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n
n n nT − −
− − + = + + + + + − = + − − = −
ABD 4AB = 2AD = 60DAB∠ = ° 2 3BD =
2 2 2AD BD AB+ = AD BD⊥
1 1,AD D D BD D D D⊥ ∩ = AD ⊥ 1 1D DBB
AD ⊂ 1 1D DBB ⊥
1 1D D D B= 1D O BD=9
由（Ⅰ）可知平面 面 ABCD，故 面 ABCD．
由等腰梯形知识可得 ，则 . 8 分
以 O 为原点，分别以 为 的非负半轴建立空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，有 ，
所以， ，
即直线 AB 与平面 所成角的正弦值为 ． 12 分
19．【解析】（1）设 ，
由 ，知 ，
所以， ，得 ，即 ，
即双曲线渐近线方程为 ； 5 分
1 1D DBB ⊥ 1D O ⊥
DC CB= CO BD⊥
1, ,OB OC OD , ,x y z
1( 3, 2,0), ( 3,0,0), (0,1,0), ( 3,0,0), (0,0,1)A B C D D− − −
1 1(2 3,2,0), ( 3,0,1), ( 3,1,0)AB BB DD BC= = = = −
1B BC ( , , )n x y z= 1 1
1
0 3 0
0 3 0
n BB x z
n BC x y
⋅ = + = ⇒ ⋅ = − + =
1x = 3, 3y z= = − (1, 3, 3)n = −
| | 2 3 2 3 0 21sin | cos , | 7| | | | 7 4
n ABn AB
n AB
θ ⋅ + += < > = = =
⋅ ×
1 1A D DA 21
7
( )1 2 0 0( ,0), ( ,0), ,A a A a M x y−
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
− = ( )2
2 2 2
0 02
by x aa
= −
1 2
2
0 0 0
2 2
0 0 0
1
9MA MA
y y yk k x a x a x a
⋅ = ⋅ = =+ − −
2
2
1
9
b
a
= 1
3
b
a
=
1
3y x= ±10
（Ⅱ）由 ， 6 分
设 ，则 PM 方程为 ，
由 ，得 ；
由 ，得 7 分
由渐近线性质，得 ， ，
同理可得， ， 9 分
由 是平行四边形，知 ，
所以， ，
即
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为 . 12 分
20．【解析】（I）由 ，知 1 分
①当 时，定义域为 得 ， 得 ；
2 2
2 2
2 2 3 13 9
x ye m n n n
= ⇒ = ⇒ + =
( )0 0,P x y ( )0 0
1
3y x x y= − − +
( )0 0
1
3
3
y x x y
xy
= − − +
=
0 03
2M
y xx
+=
( )0 0
1
3
3
y x x y
xy
= − +
= −
0 03
2M
y xx
− +=
3
10
Mx
OM
= 0 010 310
3 3 2
Mx y xOM
+= =
0 010 310
3 3 2
Nx y xON
− += =
OMPN 2 2 2 2PM PN OM ON+ = +
2 2
2 2 2 2 0 0910
9 2
y xPM PN OM ON
++ = + = ⋅
2
2 2 20
0
5 9 5 59 9
xn x n
= − + = =
2 1n =
2
2 19
x y+ =
2( ) lnf x x ax e
= + ( ) ln 1 ln( )f x ax aex′ = + =
0a > (0, ), ( ) 0f x′+∞ > 1x ae
> ( ) 0f x′ < 10 x ae
< 1x ae
< ( ) 0f x′ < 1 0xae
< <
0a > 1 ,ae
+∞
10, ae
0a < 1, ae
−∞
1 ,0ae
2( ) ln ag x x ax ee
−= + − 0a >
( )g x 10, ae
1 ,ae
+∞
, ln ,t tx e x x te t= = → −∞ | |
| |e 0e
t
t
tt = − →
20, ( ) ee
ax g x −→ → − , ( ) 0x g x→ +∞ > min
1 1 2( ) ee e e
ag x g a a
− = = − + −
( )g x
2 0
1 2 0
a
a
ee
eae e
−
−
− >
− + − −
1 2( ) xh x eex e
−= − + − 2
1( ) 0xh x eex
′ −∴ = + >
( )h x (0, )+∞ (1) 0h = ( ) 0h x < (0,1)x∈
1 2 0aeae e
−− + − < (0,1)a∈
(1 ln 2,1)a∈ −12
21．【解析】（I）由表可得
男同学 女同学 总计
该次大赛得满分 10 14 24
该次大赛未得满分 15 11 26
总计 25 25 50
2 分
所以，
所以没有 90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； 4 分
（Ⅱ）可得 ； 6 分
由题知 ，而 ，
故不存在 7 分
知满足 的 i 的个数为 3，即
当
9 分
设 从 服 从 正 态 分 布 的 总 体 （ 个 体 数 无 穷 大 ） 中 任 意 取 5 个 个 体 ， 其 中 值 属 于
的 个 体 数 为 Y ， 则 ， 所 以 ，
，综上，第②种情况
出现，所以该小组不会接受该模型. 12 分
22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线 E 的焦点为 ，所以标准方程为 ，
故极坐标方程为 ﹔
2
2 50 (10 11 14 15) 1.282 2.70624 26 25 25K
× × − ×= ≈
2AN AM= 2 12t t= − 2
1 2 1 2
82 sint tt α= − = −⋅
1
2
2
sin
2
sin
t
t
α
α
=
= −
1
2
2
sin
4
sin
t
t
α
α
= −
=
1 2 2
4sin 4cos 2
sin sint t
α α
α α
− ++ = = − tan 2α =
1 2 2
4sin 4cos 2
sin sint t
α α
α α
− ++ = = 2tan 3
α =
tan 2α = 2tan 3
α =
1a = 12 3x x
− < 2
2
44 8 9x x
− + <
4 24 17 4 0x x− + < 21 44 x< < 12 2x− < < − 1 22 x< <
1 12, ,22 2
− −
( ) 1 1 11a af x ax x ax x a xx x x x x
= − + − ≥ − − − = − +
11 2 1a x ax
= − + ≥ − 14
又 ，
所以，不等式 得证． 10 分
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1g x x a x x a x a= − − − ≤ − − − = −
( ) ( )f x g x≥
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